Магія золотого перерізу -робота МАН

Міністерство освіти і науки України

Департамент освіти і науки Київської облдержадміністрації

Київське територіальне відділення МАН України

МАГІЯ ЗОЛОТОГО ПЕРЕРІЗУ

Роботу виконала:

Костіна Софія Віталіївна,

учениця 8 класу Савинецького

Навчально-виховного об’єднання

«ЗОШ І-ІІ ступенів – дит/садок»

Педагогічний керівник:

Безродня Ельвіра Євгеніївна,

вчитель математики

Рокитне – 2017

Київський обласний комунальний позашкільний навчальний заклад

 «Мала академія наук учнівської молоді»

Київське обласне територіальне відділення МАН України

Відділення: математика

Секція: прикладна математика

Магія золотого перерізу

Мета дослідницької роботи - опис, аналіз і узагальнення різних виявів  властивостей  золотого перерізу як  математичного еталону, що вказує на органічну єдність людини і природи.

Завдання науково – дослідницької роботи: провести короткий огляд історії та математичної сутності золотого перерізу; навести приклади використання золотого перерізу в сучасній математиці, в оточуючому світі та  спробувати осмислити його роль; на конкретних прикладах показати його присутність у живій природі, а саме у будові людського тіла.

Актуальність роботи  зумовлена місцем золотого перерізу в дослідженнях живої і неживої природи, в наукових відкриттях, заснованих на золотому перерізі; його значенням для розвитку сучасної науки, а саме неможливість уявити собі подальший розвиток математичної науки та наук про природу без золотого перерізу. 

Об’єкт дослідження – поділ відрізка в заданому відношенні.

Предмет дослідження – золотий переріз.

Для розв’язання поставлених завдань використано такі теоретичні методи дослідження: системний аналіз наукової літератури з проблеми дослідження, порівняння, аналогія, узагальнення.

Результати дослідницької роботи можуть бути використані як: цікаві статті в наукових та природничих журналах; доповнення до підручника з математики; допоміжний матеріал для написання рефератів, курсових, дисертаційних робіт; дизайнерами одягу та взуття, візажистами, косметологами, перукарями.

Зміст

Глосарій

Автентичність  (дав.- гр. αὐθεντικός — справжній) — доказ походження, вірогідність.

Асимптотичний (від грецького acyptÕtos — той, що не співпадає)  - необмежено наближений.

Квазікристал - це тверде тіло, атоми якого впорядковані так, що не утворюють кристалічної сітки.

Кварки (від англ. quark — квак, кряк) -  елементарні частинки і фундаментальні складові матерії. 

Криптографія (від грец. κρυπτός — прихований і gráphein — писати) — наука про математичні методи забезпечення конфіденційності, цілісності і автентичності інформації.

Матриця (від лат. mater, matr- — «мати», зазвичай для тварин і рослин). Залежно від галузі термін може мати різні значення:

Матриця (математика) - математичний об'єкт, записаний у вигляді прямокутної таблиці чисел (чи елементів кільця), він допускає операції (додавання, віднімання, множення та множення на скаляр).

Пентаграма (пентальфа, пентагерон; грец. πεντάγραμμον від πέντε — «п'ять» і γράμμα — «риска, лінія»)— геометрична фігура, утворена правильним п'ятикутником і рівнобедреними рівновисокими трикутниками, побудованими назовні п’ятикутника на його сторонах як на основах

Теолог, той хто вивчає теологію (грец. Θεός — Бог та грец. λόγος — слово) — вчення, предметом пізнання якого є Бог і все, що з ним пов'язано.

Філотаксис (грец. «phyllon» — лист і «taxis» — розміщення) — явище, яке полягає у спірально-симетричному розташуванні листків на стеблах рослин, гілок на деревах, пелюсток в суцвіттях.

ВСТУП

Геометрія володіє двома скарбами: один з них – теорема Піфагора, другий – поділ відрізка в середньому й крайньому відношенні. Перший можна порівняти з цінністю золота, другий можна назвати коштовним каменем.

І. Кеплер

Навколишній світ різноманітний ...

Людина розрізняє оточуючі її предмети за формою. Інтерес до форми будь-якого предмета може бути продиктований життєвою необхідністю, а може бути викликаний красою форми. Форма, в основі побудови якої лежать поєднання симетрії і золотого перерізу, сприяє найкращому зоровому сприйняттю і появі відчуття краси і гармонії. Ціле завжди складається з частин, частини різної величини знаходяться в певному відношенні одна до одної і до цілого.

Із  багатьох  відношень, пропорцій,  якими  споконвіку  користувалася  людина  у  сфері  гармонії власних творінь, вирізняється одна, єдина й неповторна пропорція, яка має унікальні властивості. Цю пропорцію називали по-різному: «золотою», «Божественною», «золотим перерізом», «золотим перетином»,   «золотою серединою», «золотим числом».

«Золота пропорція» – поняття математичне і її вивчення – це насамперед задача цієї науки.  Але  вона  ж  є  критерієм  гармонії  і  краси,  а  це  вже  категорія  не  тільки  мистецтва  та естетики.

Принципи «золотого перерізу» використовуються в математиці, фізиці, біології, астрономії й інших науках, в архітектурі та інших мистецтвах. Вони лежать в основі архітектурних пропорцій багатьох чудових творів світового зодчества. Золотий переріз займає значне місце в сучасних дослідженнях живої і неживої природи. Яскраві відкриття сучасної науки - квазікристали Шехтмана, нова геометрична теорія філотаксиса українського архітектора Боднара, закон структурної гармонії систем білоруського філософа Сороко, резонансна теорія Сонячної системи російського астронома Бутусова і інші сучасні наукові відкриття, засновані на золотому перерізі, поза сумнівом мають «стратегічне» значення для розвитку сучасної науки. Іншими словами, в даний час неможливо уявити собі подальший розвиток математичної науки та наук про природу без золотого перерізу. Саме це і визначило вибір теми науково - дослідницької роботи «Магія золотого перерізу».

Метою дослідження  є опис, аналіз і узагальнення різних виявів  властивостей  золотого перерізу як  математичного еталону, що вказує на органічну єдність людини і природи.

Відповідно до мети дослідження були визначені завдання: провести короткий огляд історії та математичної сутності золотого перерізу; навести приклади використання та  спробувати осмислити роль золотого перерізу в сучасній математиці, в оточуючому світі; на конкретних прикладах показати його застосування у живій природі, а саме у будові людського тіла.

Об’єкт дослідження – поділ відрізка в заданому відношенні.

Предмет дослідження – золотий переріз.

Для розв’язання поставлених завдань використано такі теоретичні методи дослідження: системний аналіз наукової літератури з проблеми дослідження, порівняння, аналогія, узагальнення.

Результати дослідницької роботи можуть бути використані як: цікаві статті в наукових та природничих журналах; доповнення до підручника з математики; допоміжний матеріал для написання рефератів, курсових, дисертаційних робіт; дизайнерами одягу та взуття, візажистами, косметологами, перукарями.

РОЗДІЛ 1

СУТНІСТЬ ЗОЛОТОГО ПЕРЕРІЗУ

1. Історія виникнення золотого перерізу

З давніх часів людина прагнула  виявити певні закономірності в природі та у власному житті. Науковці і митці всього світу і в усі часи шукали правила, за якими існує світ, і за якими людина і сама може стати неперевершеним творцем. Як наслідок, було зроблено безліч відкриттів, і серед них почесне місце займає золотий переріз.

Золотий переріз був відомий людям дуже давно. Ще Евклід використовував поділ відрізка в крайньому та середньому відношенні при побудові правильних п’ятикутників та десятикутників та вперше сформулював принцип «золотого перерізу» в своїй роботі «Начала», найвідомішому математичному творі античної науки, написаному в III столітті до н.е. Секрети золотого розподілу ревно оберігалися, зберігалися в суворій таємниці. Вони були відомі тільки обраним.

Дуже ймовірно, що задача золотого перерізу була розв’язана ще піфагорійцями: відкриттям Піфагора, давньогрецького філософа і математика  (VI ст. до н.е.), про знаходження золотих пропорцій в пентаграмі. Прямих доказів про те, що піфагорійці відкрили золоті пропорції в пентаграмі, немає. Але непрямих ознак багато.

Для давньогрецької культури проблеми гармонії, пошук ідеальних пропорцій і форм стали естетичним каноном завдяки Піфагору, який вивчав у країні пірамід таємні науки єгипетських жерців: фасад давньогрецького храму Парфенона, де присутні золоті пропорції, та при розкопках якого виявлені циркулі, якими користувалися архітектори і скульптори античного світу; помпейський циркуль (музей у Неаполі) із пропорціями золотого розподілу; Афродіта Праксителя і театр Діоніса в Афінах.

Однак є припущення, що першими до принципу золотого перерізу прийшли все ж єгиптяни: піраміда Хеопса, храми, барельєфи, предмети побуту і прикраси з гробниці Тутанхамона свідчать, що єгипетські майстри користувалися співвідношеннями золотого розподілу при їхньому створенні. Зодчий Хесира, зображений на рельєфі дерев'яної дошки з гробниці його імені, тримає в руках вимірювальні інструменти, в яких зафіксовані пропорції золотого перерізу.

У часи середньовічного Ренесансу геніальний італійський математик Лука Пачолі написав першу книжку про золотий переріз, назвавши її «божественною пропорцією». На його думку, навіть Бог використовував принцип золотого перерізу для створення Всесвіту: він назвав її «божественну суть» як вираження божественної триєдності: Бог син, Бог батько і Бог дух святий.

Видатний італійський вчений, дослідник, винахідник і художник, архітектор, анатоміст та інженер, одна з найвизначніших постатей італійського Відродження Леонардо да Вінчі багато уваги приділяв вивченню золотого перерізу. Він робив перерізи стереометричного тіла, утвореного правильними п'ятикутниками, і щоразу отримував прямокутники з відношеннями сторін у золотому поділі. Тому він дав цьому поділу назву золотий переріз. Так вона і тримається до цих пір, як найпопулярніша. Для композиційної побудови своєї знаменитої Джоконди Леонардо да Вінчі використовував, так званий, «золотий рівнобедрений трикутник», у якому відношення стегна до основи дорівнює золотому перерізу.

Над тією ж проблемою працював і німецький художник, математик і теоретик мистецтва Альбрехт Дюрер. Судячи з одного із листів Дюрера, він зустрічався з Лукою Пачолі під час перебування в Італії. Альбрехт Дюрер докладно розробляє теорію пропорцій людського тіла. Важливе місце у своїй системі співвідношень Дюрер відводив «золотому перерізу»: зріст людини ділиться в золотих пропорціях лінією пояса, а також лінією, проведеною через кінчики середніх пальців опущених рук, нижня частина обличчя - ротом тощо.

У наступні століття правило золотої пропорції перетворилося на академічний канон. Та з часом наука дещо занепала, внаслідок чого про золотий переріз забули. Знову золотий переріз було «відкрито»  в середині XIX століття.

2. Золотий переріз у сучасній науці

Систематизувати знання щодо золотого перерізу і надати їм чіткої арифметичної форми фундаментальної пропорції світобудови вдалося вже лише в наш час. Вели´ка роль у дослідженні золотого перерізу належить українському вченому Олексію Стахову: в 80-х роках минулого століття він обґрунтував базис нового вчення про гармонію систем, якому належить стати, на його думку, основною інтегруючою наукою XXI століття. Книжки вінницького вченого «Вступ до алгоритмічної теорії виміру», «Коди золотої пропорції», «Комп'ютерна арифметика на числах Фібоначчі та золотому перерізі», «Новий тип елементарної математики і комп'ютерної науки на основі золотого перерізу» видані за кордоном і не залишилися без уваги західних виробників інформаційних та комп'ютерних технологій. Канадський університет Торонто визнав автора «мислителем XXI століття». Навесні 2003 р. російський фізик-теоретик Юрій Владимиров відкрив принцип золотого перерізу в структурі атома. Помітний прорив у сучасних уявленнях про природу формоутворення біологічних об'єктів зробив на початку 90-х років український вчений Олег Боднар, створивши нову геометричну теорію філлотаксису.

 Математика гармонії пов’язана й із сучасною економікою. Досить відомі, наприклад, роботи російського вченого Харитонова про економічний розвиток російських регіонів і країни, в цілому, виходячи з принципів золотого перерізу.

  Найбільш перспективним напрямком застосування нової математики вважаються комп'ютерні технології. Сьогодні ці розробки захищені 65 патентами США, Японії, Англії, Німеччини та інших країн. За однією з таких технологій відома американська фірма недавно запустила в серійне виробництво аналоговий мікропроцесор для цифрової обробки сигналів.

Золотий переріз розкрив далеко не всі свої таємниці. Зовсім недавно його знайшли, наприклад, у медицині й фізіології: установлено, що для кожного виду живих істот є частота серцебиття, при якій тривалість усього кардіоциклу і його складових співвідносяться між собою за пропорцією золотого перерізу. Для людини ця частота дорівнює серцевому ритму здорових, фізично активних організмів у спокої: майже 63 удари на хвилину. Ця пропорція «присутня» й у судинах, і в крові, також проявляється в біоритмі і функціонуванні головного мозку і зорового сприйняття. Словом, золотий переріз є гарантом нормального, оптимального функціонування всієї кровоносної системи організму.

Деякі сучасні фізики вважають, що золотий переріз повинен «працювати» також й у мікросвіті, навіть на самому елементарному, кварковому рівні. Не дивно, що дотепер триває суперечка між ідеалістами, теологами й матеріалістами про те, ким же створений золотий переріз - вищим розумом чи це, як висловлюються фізики-теоретики, усього лиш один з наслідків динамічної рівноваги у Всесвіті.

В останні роки модно будувати спеціальні лабіринти. У їхній геометрії застосовують «божественну пропорцію», запозичуючи приклади давнини. Вони вже є в багатьох західних університетах, у лікарнях, парках, навіть в'язницях. Вважається, що проходження таких лабіринтів заспокоює, допомагає вирішувати проблеми, учить розуміти суть речей, свого місця у світі.

Американський фізик, лауреат Нобелівської премії  Р.Ф.Фейнман прийшов до висновку, що наука не дає дійсної картини світу, тому що являє собою набір різних дисциплін, не пов'язаних одна з одною. Дехто впевнений: настав момент, коли золотий переріз повинен зайняти своє лідируюче місце в єдиній науці майбутнього.

В даний час досліджуються математичні теорії пов'язані з принципами «золотого перерізу»: нова теорія гіперболічних функцій, нова теорія чисел, нова теорія вимірювання, теорія матриць Фібоначчі і так званих «золотих» матриць, нові комп'ютерні арифметики, нова теорія кодування і нова теорія криптографії. Сутність нової науки, у перегляді з точки зору золотого перерізу всієї математики, починаючи з Піфагора, спричинить у теорії нові й напевно дуже цікаві математичні результати. У практичному сенсі - «золоту» комп'ютеризацію.

РОЗДІЛ 2

ЗОЛОТИЙ ПЕРЕРІЗ І МАТЕМАТИКА  

2.1. Математична сутність  золотого перерізу

Математика - це не тільки струнка система законів, теорем, задач, але і унікальний засіб пізнання краси. Краса багатогранна і багатолика. Краса допомагає з радістю сприймати навколишній світ, математика дає можливість усвідомити явища і зміцнити знання про гармонію всього світу. Зусиллям математиків золота пропорція була пояснена, вивчена і глибоко проаналізована.

Відношенням називається таке число, що показує, у скільки разів одна величина більша за другу. Числа, які складають відношення називаються членами відношення.

Пропорція — це рівність двох відношень. Також слово “пропорція” має такі значення, як співвідношення частин цілого між собою; кількісне співвідношення між складовими частинами чого-небудь; розмірність частин тіла людини; у літературі, архітектурі та мистецтві — розмірне співвідношення частин твору, один із основних засобів композиції.

Золотий переріз (золота пропорція) - пропорційний поділ відрізка на нерівні частини, при якому весь відрізок так відноситься до більшої частини, як більша частина відноситься до меншої; або іншими словами, менший відрізок так відноситься до більшого, як більший до всього (рис.1.1 ).

c: b = b : a      або       а : b = b : c                

Рис. 1.1

Практичне знайомство із золотим перерізом починається з поділу відрізка прямої в золотій пропорції за допомогою циркуля і лінійки.

Спочатку побудуємо перпендикуляр ВС = 1/2 АВ. Потім проводимо АС — гіпотенузу трикутника АВС. Далі будуємо два кола — одне з центром у точці С і радіусом ВС, а друге з центром А і радіусом АD, де D — точка перетину першого кола з АС. Точка E, у якій друге коло перетинає  АВ, ділить його у відношенні τ. Тобто АE : EВ = φ (рис. 1.2).

Рис.1.2

Відрізки золотої пропорції виражаються нескінченним ірраціональним дробом AE = 0,618…, якщо AB прийняти за одиницю, BE = 0,382…. Для практичних цілей часто використовують наближені значення 0,62 і 0,38. Якщо відрізок AB  прийняти за 100 частин, то більша частина відрізка дорівнює 62, а менша - 38 частинам. Таким чином, частини золотого перерізу складають приблизно 62% і 38% всього відрізка.

Якщо взяти відрізок одиничної довжини (с = 1), позначити одну з частин за х (b =  x), то інша дорівнюватиме 1 — х  (а = 1 — х). Маємо рівняння:

1/x = x/(1—x)                                      

Після зведення до спільного знаменника маємо: х2 + х — 1 = 0.

Звідси,  х1,2 = (—1  ±  51/2)/2   відкинувши від'ємний результат, отримаємо х  ≈     1,6180339887…  . Але частіше беруть відношення всього відрізка до x, тобто 1/x.

При поділі відрізка у золотому відношенні   c : b = b : a ≈  1,62.

Відношення золотого перерізу  1/Х = 1,618… зазвичай позначають грецькою літерою φ. Так у науці  вшановують пам`ять  давньогрецького  скульптора  Фідія, який використовував золотий переріз у своїх творіннях. Відношення золотого перерізу називають ще формулою краси.

2.2. Золотий переріз та числа Фібоначчі

Історія багата на видатних математиків. Великі досягнення стародавньої математичної науки донині викликають захоплення гостротою розуму їхніх авторів, а імена Евкліда, Архімеда, Герона відомі кожній освіченій людині.

Інакше з математикою середньовіччя. Окрім Франсуа Вієта, у шкільному курсі математики не згадується жодного імені, яке б до нього відносилося. Це не випадково, бо математика у цей період розвивалася надзвичайно повільно і великих математиків тоді було дуже мало. Тим більший інтерес представляє праця «Liber abaci» («Книга про абак»), написана видатним італійським математиком Леонардо із Пізи, Леона́рдо Піза́нський (Leonardo Pisano), більш відомий як Фібоначчі.

Одного разу, гуляючи в лісі і споглядаючи природу, він звернув увагу, що певні числа стали в буквальному сенсі переслідувати його. Їхнє поєднання траплялося на кожному кроці. Куди б він не пішов, всюди в природі він знову і знову зустрічав ці числа. І перше, що привернуло його увагу - пелюстки квітів і листя рослин, які строго вкладалися в один і той же числовий ряд.

Надалі, подорожуючи по Сходу, він мав можливість познайомитися з досягненнями арабської математики. Поєднавши знання людей і свої спостереження, він зміг відкрити дивовижну пропорцію цих чисел. Згодом Фібоначчі став розповсюджувачем унікальних знань про співвідношення Золотий пропорції на Заході.

Ці числа є дивовижною математичною послідовністю, яка є унікальним кодом, закладеним в усе, що оточує нас. 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, ... - ці числа і їхня послідовність названі ім'ям Фібоначчі.

Особливість послідовності чисел полягає в тому, що кожен її член, починаючи з третього, дорівнює сумі двох попередніх 2+3=5; 3+5=8; 5+8=13, 8+13=21; 13+21=34 і т.д.

 Розглянемо взаємозв'язок «золотого перерізу» з числами Фібоначчі.

 Дана послідовність асимптотично (наближаючись все повільніше і повільніше) прагне до деякого постійного співвідношення. Однак, це співвідношення ірраціонально, тобто представляє собою число з нескінченною, непередбачуваною послідовністю десяткових цифр в дробовій частині. Його неможливо виразити точно.

Цей ряд має дивовижну властивість: якщо розділити число цієї послідовності на попереднє йому, ми будемо асимптотично наближатися до ірраціонального числа 1,618, що виражає пропорцію “золотого перерізу”.

Так, якщо розглянути відношення

8 : 5 = 1,6;  13: 8 = 1,625;  21 : 13 = 1,615…;  55 : 34 = 1,6176…;  89 : 55 = 1,618...,

то можна помітити, що, чим бi´льшi числа, які ми ділимо, тим ближче ми підходимо до числа 1,618 – золотого коефiцiєнта. 

Числа Фібоначчі, названі на честь їхнього «автора», трапляються у багатьох розділах математики: в комбінаториці, геометрії, теорії чисел, задачах на максимум і на мінімум. Зв'язок між золотим перерізом та числами Фібоначчі першим  помітив німецький  математик і астроном Йоганн Кеплер.

Ряд Фібоначчі міг би залишитися тільки математичним казусом, якби не та обставина, що всі дослідники золотого розподілу в рослинному й тваринному світі, не кажучи вже про мистецтво, незмінно приходили до цього ряду як до арифметичного вираження закону золотого перерізу.

2.3. «Золоті» фігури

Візерунки математики, як і візерунки художника або візерунки поета, повинні бути гарні; ідеї, як і фарби або слова, повинні поєднуватися гармонійно. Краса є першим критерієм: в світі немає місця для потворної математики.

Дж. Х. Харді

Велич і глибину природи можна відчувати не тільки при спогляданні зірок або гірських вершин, а й вдивляючись в деякі дивовижні формули, що дуже цінуються математиками за їхню красу. До них можна віднести витончені співвідношення золотої пропорції. На цій пропорції базуються основні геометричні фігури. Аналогічно назві пропорції, їх називають «золоті» фігури.

Прямокутник із «золотим» відношенням сторін стали називати «золотим прямокутником».

Якщо побудувати квадрат зі стороною AB = a, знайти середину  M відрізка AB і провести дугу кола радіусом MC з центром у точці M до перетину з продовженням сторони AB в точці E, то точка B розділить відрізок AE в крайньому і середньому відношенні.

Цей прямокутник володіє цікавими властивостями. Якщо від нього відрізати квадрат, то залишиться знову золотий прямокутник. Цей процес можна продовжувати до нескінченності. А якщо провести діагональ першого і другого отриманих прямокутника, то точка їхнього перетину належатиме всім золотим прямокутникам (рис. 2.1).

Рис.2.1.

Ще в давні часи помічено, що прямокутник, у якому сторони становлять частини відрізка, поділеного за правилом золотого поділу, справляє приємне зорове враження. Тому такої форми спеціально надають багатьом предметам: поштовим листівкам, маркам, картинам, книжкам (коли це, звичайно, не суперечить вимогам практики).

 Золотий переріз зустрічається i в «золотому» рівнобедреному трикутнику з кутом 36º при вершині, а 72º при основі, у якого відношення довжини бічної сторони до довжини основи дорівнює 1.618. (рис. 2.2)

Рис. 2.2

Якщо провести бісектрису кута  при основі, то вона відітне подібні трикутники.

Яскравим прикладом золотого перерізу є правильний п'ятикутник - опуклий і зірчастий (рис. 2.3 ). У зірчастому п'ятикутнику кожна з п'яти ліній, що складають цю фігуру, ділить іншу відносно золотого перетину, а кінці зірки є «золотими трикутниками»: їхні сторони утворюють кут 36° при вершині, а бічна сторона, ділиться у відношенні золотого перерізу.

Рис.2.3

Усередині п'ятикутника можна продовжити будувати п'ятикутники, і це ставлення буде зберігатися. Це єдина геометрична фігура, у якій без винятку вiдрiзки п’ятикутника i його діагоналей утворюються із сусiднiх або множенням, або діленням на коефiцiєнт золотого перерізу. Вона немов виткана із золотих коефiцiєнтiв i є втіленням загадки iррацiонального числа.

Зірчастий п'ятикутник називається пентаграмою. Усередині п’ятикутника знаходиться зірка, усередині зірки — п’ятикутник, у ньому знову зірка i т. д. Піфагорійці вибрали п'ятикутну зірку в якості талісмана, вона вважалася символом здоров'я і служила розпізнавальним знаком.

«Лотаринзький хрест», який служив емблемою «Вільної Франції» (організація, яку в роки другої світової війни очолював генерал де Голль), складений з тринадцяти одиничних квадратів. Встановлено, що пряма, що ділить площу «лотаринзького хреста» на дві рівні частини, ділить його у золотому відношенні. (рис. 2.4)

Рис.2.4

Окрім пентаграми  золоті відношення є і в правильних многогранниках. Правильний многогранник — це такий многогранник, всі грані якого рівні та є правильними многокутниками. Ще у “Началах” Евкліда доведено, що існує тільки 5 видів правильних многогранників, або платонових тіл: тетраедр (правильна трикутна піраміда), гексаедр (куб), октаедр (правильний восьмигранник),  додекаедр (правильний дванадцятигранник),  ікосаедр (правильний двадцятигранник). Геометрія додекаедра і ікосаедра тісно пов'язана із золотою пропорцією.

2.4. Золотий переріз у задачах

Краса математичної задачі служить одним з найважливіших стимулів її нескінченного розвитку і причиною породження численних додатків. Часом проходять десятки, сотні, а іноді і тисячі років, але люди знову і знову знаходять несподівані повороти в добре відомому рішенні і його інтерпретації. 

Ми пропонуємо ознайомитись із деякими задачами, для розв’язання яких потрібно визначити, що золотий переріз записується за допомогою пропорції, а пропорція - це рівність двох відносин.

Ідеальне людське тіло

Якщо ми виміряємо відстань від ліктя до кінчиків пальців і розділимо отриманий результат на відстань від плеча до кінчиків пальців, то отримаємо відношення 5/8!

Задача 1. Відстань від ліктя до кінчиків пальців у людини одно 40см. Знайдіть відстань від плеча до кінчиків пальців цієї людини.

Розв’язання

1.  Від ліктя:          40 см                   5 частин

      Від плеча:        х см                     8 частин

1. Складемо рівняння:

                                                                      Відповідь:  64 см

Молекула ДНК складається з двох вертикально переплетених між собою спіралей. Відношення ширини спіралі до її довжині складає приблизно 5/8.

Задача 2. Відомо, що довжина спіралі 34 ангстрема, знайдіть ширину спіралі.               (1 ангстрем = 0,0000001мм)

Розв’язання

1. Довжина              34 ангстрема                 8 частин

     Ширина               Х ангстрем                   5 частин

2. Складемо рівняння:  

Відповідь: 21,25 ангстрема

Дивно, що насіння соняшнику розташовуються по спіралі, проти годинникової стрілки, і відношення наступного діаметра спіралі до попереднього     дорівнює 5/8!

Задача 3. Діаметр однієї спіралі насіння соняшнику дорівнює 2см. Знайдіть діаметр попередньої спіралі. (Пам'ятайте, що спіралі розташовані проти годинникової стрілки).

Розв’язання

1. Спіраль:                               2 см                      5 частин

    Попередня спіраль:               Х см                    8 частин

2. Складемо рівняння:  

Відповідь: 3,2 см

Головоногий молюск Наутілус  також підпорядковується божественній пропорції, тобто співвідношення діаметра кожного витка спіралі до наступного  дорівнює 5/8!

Задача 4. Перший виток спіралі дорівнює 1.2см. Знайдіть розмір другого витка спіралі.

Розв’язання

1. Перший виток            1,2 см                  5 частин

     Другий виток              Х см                 8 частин

2. Складемо рівняння:

Відповідь: 1,92 см

У ящірці з першого погляду уловлюються приємні для нашого ока пропорції - довжина її хвоста так відноситься до довжини решти тіла, як 8/5!

Задача 5.  Знайдіть довжину всієї ящірки, якщо довжина її хвоста 16 см.

Розв’язання

1. Хвіст                 16 см                8 частин

   Тіло                     Х см               5 частин

           2. Складемо рівняння:

10 см - довжина тіла ящірки, тоді довжина всієї ящірки 10 + 16 =26 (см)

Відповідь: 26 см

Парфенон - один з найбільш величних храмів Стародавній Греції. Відношення висоти будівлі до його довжини дорівнює 5/8!

Задача 6. Довжина Парфенона 69,54 м. Знайдіть висоту храму, якщо його висота відноситься до довжини за правилом «золотого перерізу», тобто як 5/8.

Розв’язання

1. Довжина              69,54 м                8 частин

     Висота                       х м                5 частин

2. Складемо рівняння:  

Відповідь: 43, 4625 м

Будь-яка скрипка зроблена за законом золотого перерізу. Довжина її частини грифа відноситься до довжини деки, як 5/8!

Задача 7. Знайдіть довжину скрипки, якщо довжина  деки 36 см.

Розв’язання

1. Дека            36 см                 8 частин

     Гриф              х см                5 частин

2. Складемо рівняння:

22,5 см - довжина грифа, тоді  довжина скрипки 36 + 22,5 = 58,5 (см)

Відповідь: 58,5 см

РОЗДІЛ 3.

МАГІЯ ЗОЛОТОГО ПЕРЕРІЗУ

3.1. Прояв золотого перерізу у природі

Золота пропорція зустрічається в конфігурації рослин і мінералів, будові частин Всесвіту, музичному звукоряді. Вона відображає глобальні принципи природи, пронизуючи всі рівні організації живих і неживих об'єктів.

Дивна, загадкова, незрозуміла річ: ця божественна пропорція містичним чином супроводжує всьому живому. Нежива природа не знає, що таке «золотий переріз». Але ви неодмінно побачите цю пропорцію і у вигинах морських раковин, і у формі квітів, і в образі жуків, і в красивому людському тілі. Все живе і все красиве - все підпорядковується божественному закону, ім'я якому - «золотий переріз».

Спільна робота ботаніків і математиків пролила світло на дивні явища природи. З’ясувалося, що в тому, як розташоване листя на гілці (філотаксис), насіння соняшнику, шишки сосни проявляє себе ряд Фібоначчі, а отже, проявляє себе закон золотого перерізу.

Закономірності «золотої» симетрії проявляються в енергетичних переходах елементарних часток, у будові деяких хімічних сполук, у планетарних і космічних системах, у генних структурах живих організмів. Ці закономірності є в будові окремих органів людини і тіла в цілому.

Ось таке явище як спіраль. Цю спіральну форму можна побачити в різноманітних речах, таких як: урагани, спіральні насіння, равлик людського вуха, ріг барана, хвіст морського коника, листя папороті, молекула ДНК, хвилі, які вдаряються у берег, торнадо, галактики, хвіст комети, що обертається навколо сонця, вир, схема розташування насіння соняшнику, маргаритки, кульбаби і будова вуха багатьох ссавців.

Форма спірально завитої мушлі привернула увагу Архімеда. Він вивчав її і вивів рівняння спіралі. Спіраль, накреслена відповідно цього рівняння, називається його іменем. Збільшення її кроку завжди рівномірно. (рис.3.1)

Рис. 3.1

Раковина молюска Наутілуса є класичним прикладом втілення золотого перерізу в природі. Сегменти, що зменшуються до центру, мають ширину, відповідну до пропорцій золотого перерізу. (рис.3.2)

Рис.3.2

Тобто природа, яка завжди оточувала нас і за законами якої ми живемо, теж певним чином упорядкована, і можна навести багато прикладів явищ, об’єктів, які підпорядковуються закону золотого перерізу.

І в рослинному, і в тваринному світі настирливо пробивається формоутворювальна тенденція природи – симетрія щодо напряму зростання і руху. Тут золотий переріз виявляється в пропорціях частин перпендикулярно до напряму зростання.

З усіх тварин планети найбільшою мірою відповідає принципу золотого перерізу унікальне створіння природи - бабка. (рис. 3.3)

Відношення довжин черевця і грудей дорівнює відношенню загальної довжини тіла до довжини черевця, тобто    29 см: 17,5 см = 48 см: 29 см

Рис. 3.3

Звернемо увагу на лист винограду,  в якому відношення його частин - пропорції золотих чисел 1,62 і 1,12. (рис. 3.4)

Рис.3.4

Природа здійснила розподіл на симетричні частини і золоті пропорції. В частинах виявляється повторення будови цілого.

3.2. Магія золотого перерізу

Знання золотої пропорції дає можливість зовсім по-іншому вдивлятись у оточуючі нас різноманітні предмети, знаходити закономірності в явищах природи. Художники, вчені, модельєри, дизайнери роблять свої розрахунки, креслення або начерки, виходячи зі співвідношення золотого перерізу. Пропорції різних частин нашого тіла становлять число, дуже близьке до золотого перерізу. Якщо ці пропорції збігаються з формулою золотого перерізу, то зовнішність або тіло людини вважається ідеально складеними.

Приблизно 1490 року великий італійський вчений, художник, скульптор Леонардо да Вінчі намалював свій відомий малюнок «Вітрувіанська людина». На ньому зображено постать оголеного чоловіка у двох накладених одна на іншу позиціях: з розведеними в сторони руками і ногами, вписана в коло; з розведеними руками і зведеними разом ногами, вписана в квадрат.

Малюнок і пояснення до нього іноді називають канонічними пропорціями. Значення цього малюнка в тому, що тільки ідеальні пропорції людського тіла дозволяють позицію з розведеними руками і ногами вписати в коло, а з розведеними руками і зведеними ногами - в квадрат. Однак сама теорія пропорціонування (Леонардо да Вінчі лише втілив її в малюнку) була створена іншим римським ученим і архітектором - Марком Вітрувієм Полліон. Пізніше ця теорія отримала поширення в образотворчому мистецтві та архітектурі.

У 1855 р. німецький дослідник золотого перетину професор Адольф Цейзинг опублікував свою працю «Естетичні дослідження». Він оголосив пропорцію золотого перерізу універсальною для всіх явищ природи і мистецтва.

А.Цейзинг виконав колосальну роботу. Він виміряв близько двох тисяч людських тіл і дійшов висновку, що золотий переріз виражає середній статистичний закон. Ділення тіла точкою пупа - найважливіший показник золотого перерізу (рис.). Пропорції чоловічого тіла коливаються в межах середнього відношення 13:8=1,625 і трохи ближче підходять до золотого перерізу, ніж пропорції жіночого тіла, щодо якого середнє значення пропорції виражається в співвідношенні 8:5=1,6. У новонародженого пропорція становить відношення 1:1, до 13 років вона дорівнює 1,6, а до 21 року дорівнює чоловічій. Пропорції золотого перерізу проявляються й у відношенні інших частин тіла - довжина плеча, передпліччя і кисті, кисті і пальців тощо.  (рис. 3.5)

                                            M / m = 1,618

Рис.3.5

• Якщо прийняти центром людського тіла точку пупа, а відстань між ступнею людини і точкою пупа за одиницю виміру, то зріст людини еквівалентний числу 1.618;
• відстань від кінчиків пальців до зап’ястя і від зап’ястя до ліктя  1:1.618;
•  відстань від рівня плеча до верхівки голови й розміру голови одно 1:1.618;
• відстань від точки пупа до маківки голови і від рівня плеча до верхівки голови одно 1:1.618;
• відстань точки пупа до колін і від колін до ступень  1:1.618;
• відстань від кінчика підборіддя до кінчика верхньої губи і від кінчика верхньої губи до ніздрів  1:1.618;
• відстань від кінчика підборіддя до верхньої лінії брів і від верхньої лінії брів до верхівки  1:1.618.

Навіть людське обличчя вписується в золоту пропорцію. Якщо розділити його на 100 частин, то основні лінії обличчя розділять його на 38 і 62 частини, а числа 38 і 62 перебувають саме у золотому відношенні. (рис.3.6)

Отримати відповідний результат, можна, якщо знайти відношення довжини голови до відстані між очима і підборіддям; або відношення відстані від носа до підборіддя до відстані між губами і підборіддям. Чим більше обличчя відповідає цим пропорціям, тим більш гармонійним воно здається. Таким чином, незважаючи на існування протилежних думок, виявляється, що наші смаки у якійсь мірі наперед визначені. 

Ми теж вирішили провести дослідження  наявності золотої пропорції ( або її  наближеного значення) в будові тіла деяких учнів 8 та 9  класів Савинецького навчально-виховного закладу.

Для цього виконали виміри: зріст (а), від маківки голови до колін (b), від маківки до пупка (с), від маківки до грудей (d), від маківки до підборіддя (m), від маківки до очей (n), всієї руки (А), від кінчиків пальців до ліктя (В), кисті (С).

Найцікавішим було провести дослідження пропорцій будови тіла, обличчя та рук своїх однокласників шляхом прямих обмірів. Ми зробили математичні підрахунки, склали таблицю результатів  і проаналізували, хто серед однокласників найближче створений природою до правил «золотої пропорції» і  прийшли до висновку, що людина — це універсальна форма для перевірки законів «золотого перерізу». (Табл.3.1- 3.4.)

Таблиця 3.1

 Виміри і дослідження тулуба дівчат

Таблиця 3.2

Виміри і дослідження тулуба хлопців

Таблиця 3.3

Розміри руки дівчат дівчат

Таблиця 3.4

Розміри руки хлопців

За допомогою цього дослідження ми  показали наявність золотої пропорції (її наближеного значення) або її відсутність взагалі в будові тіла однокласників. Виконавши певні розрахунки відношень частин тіла визначили, у кого з учнів вони найбільш відповідають значенням золотої пропорції і визначили, що найближче створені природою до правил «золотого перерізу»,   гармонійними є у Сови Олександра.  Також можемо зазначити, що ідеальних відношень між всіма частинами тіла як у дівчат, так і хлопців поки немає.

Будову усіх живих організмів і неживих об'єктів, які зустрічаються в природі, і які не мають ніякого зв'язку і подібності між собою, сплановано за певною математичною формулою. Це є найяскравішим доказом їхнього усвідомленого створення згідно якогось проекту, задуму.

ВИСНОВКИ

Нами був проведений історичний екскурс і розібрана математична сутність «золотого перерізу», розглянуто будову «золотих фігур». Знайомство з принципами «золотого перетину» допомагає бачити гармонію і доцільність оточуючих нас творінь природи і людини.

Ціле завжди складається із частин, частини різної величини знаходяться в певному відношенні один до одного і до цілого.

Золотий переріз - вищий прояв структурної та функціональної досконалості цілого і його частин у мистецтві, науці, техніці, природі. Цю думку поділяли і поділяють багато видатних учених, доводячи в своїх дослідженнях, що справжня краса функціональна.

Незважаючи на неприйняття «золотого перерізу» сучасними «офіційними» науками, воно повсюдно використовується в техніці, у багатьох країнах світу досить великі вчені продовжують вивчати і шукати практичне застосування одного із «золотих» математичних принципів.

Отже,  золотий перетин - це один з основних основоположних принципів природи;  людського уявлення про красу, що сформувався під впливом того, який порядок і гармонію людина бачить у природі.

Може бути, це закон краси?

Або все ж таки він - містична таємниця?

Науковий феномен або етичний принцип?

«Золотий перетин» - це і те, і друге, і третє.

Тільки не окремо, а одночасно ...

І в цьому його справжня загадка, його велика таємниця.

                                                                Анхель де Куатьє

СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ:

1. Азевич А.І. Двадцять уроків гармонії: гуманітарно-математичний курс. - М.: Школа-прес, 1998.
2. Балашевич Р. Золота пропорція як прояв гармонії навколишнього світу / Роман Балашевич // Світогляд. – 2009. – №1. С. 62-71.
3. Бевз Г.П., Богомолов О.М., Фільчаков П.Ф., Швєцов К.І., Яремчук Ф.П. Довідник з елементарної математики / за ред. П. Ф. Фільчакова, вид. 2-е перероблене і доповнене. – К.: «Наукова думка», 1975. – 656с.
4. Бугаенко В. Золотое сечение и числа Фибоначчи / В. Бугаенко // Квант. – 2008. – № 6. – С. 29 – С. 31-34. [Електронний ресурс]. – Режим доступу: http://www.diagram.com.ua/library/kvant/kvant.php?row=19 
5. Васюткінскій М.М. Золота пропорція. - М., 1990.
6. Вірченко Н. Про красу математики//Математика – 2005. - №11 –с.1-3

7. Волошинов А.В. Математика і мистецтво. - М., 1992.

8. Клименченко Д.В. Золотий поділ і пентаграма.// У світі математики. – К. : Радянська школа, 1987 – Вип. 18 – с.164-169

9. Математическая энциклопедия / [Ред. упоряд. И. М. Виноградов]. – т. 2 – М.: «Советская Энциклопедия», 1979. – 1104 с.

10. Математический энциклопедический словарь / [Ред. упоряд. Ю. В. Прохоров] – М. : Сов. Энциклопедия, 1988. – 847 с.

11. Прохоров А.І. Золота спіраль / / Квант. 1984. № 9

12.Словарь иностранных слов / отв.ред.В.В.Бурцева, Н.М.Семенова.- 3 изд.стереотип.- М.: Рус.яз.- Медиа, 2005.- 817, [15]с.

ІНТЕРНЕТ - РЕСУРСИ:

1. http://pozashkillya.ostriv.in.ua/publication/code-197026F57BF4C 
2. https://sites.google.com/site/zolotijperetingov/zolotij-pereriz-u-kulturi-ta-mistectvi
3. http://joref.ru/documentabxfjif.html
4. http://ua-referat.com/%D0%97%D0%BE%D0%BB%D0% BE%D1%82% D0% B 8%D0%B9_%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B5%D1%82%D0%B8%D0%BD_%D0%BE%D0%B4%D0%BD%D0%B5_%D0%B7_%D1%8F%D1%81%D0%BA%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%B8%D1%85_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%8F%D0%B2%D1%96%D0%B2_%D0%B3%D0%B0%D1%80%D0%BC%D0%BE%D0%BD%D1%96%D0%B9%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%96_%D0%B2_%D0%BF%D1%80%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B4%D1%96
5. http://mors.in.ua/main/2015-scho-take-zolotyy-peretyn.html 
6. https://www.nkj.ru/archive/articles/3070/