В представленной работе исследуются методы нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми. Решая тесты ЕГЭ, обратил внимание на то, что в них присутствуют задачи такого типа и не всегда их можно решить, используя только один метод. Решая задачи, я всегда ищу более короткое, рациональное, наиболее красивое решение.
Эта работа актуальна потому что, исследуя методы нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми, у меня появилась возможность расширить полученные на уроках знания, научиться решать задачи новыми способами, а в дальнейшем применять эти знания на олимпиадах и заданиях ЕГЭ.
Вложение | Размер |
---|---|
![]() | 734.55 КБ |
ГБОУ РТ школа-интернат для детей сирот и детей, оставшихся без попечения родителей г. Кызыла
Исследовательская работа по теме
«Решение стереометрических задач»
Выполнил: Кол Лидия Хереловна – ученик 11 класса ГБОУ РТ школы-интерната для детей сирот и детей, оставшихся без попечения родителей г.Кызыла
2014-2015 учебный год.
Руководитель: Чит Марина Маннайовна – учитель математики, стаж работы 31 год.
2015 г.
Содержание
1.Введение ……………………………………………………………………… 1- 2
2. Методы нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми…. 2 - 3
3. Метод ортогонального проектирования………………………………………..3
4. Метод координат ………………………………………………………………..3
5. Метод объемов ………………………………………………………………. 4 - 5
6. Решение задачи различными методами …………………………………… 5 - 9
7. Результаты исследования …………………………………………………...9 - 10
8. Беседа с одноклассниками ……………………………………………………..10
9. Заключение ………………………………………………………………………11
10. Литература………………………………………………………………………12
11. Приложение 1 …………………………………………………………………..13
12. Приложение 2 …………………………………………………………………..14
13. Приложение 3 …………………………………………………………………..15
14. Приложение 4 …………………………………………………………………..16
15. Приложение 5 …………………………………………………………………..17
Введение
В представленной работе исследуются методы нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми. Решая тесты ЕГЭ, обратил внимание на то, что в них присутствуют задачи такого типа и не всегда их можно решить, используя только один метод. Решая задачи, я всегда ищу более короткое, рациональное, наиболее красивое решение.
Эта работа актуальна потому что, исследуя методы нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми, у меня появилась возможность расширить полученные на уроках знания, научиться решать задачи новыми способами, а в дальнейшем применять эти знания на олимпиадах и заданиях ЕГЭ.
Объект исследования - геометрическая задача.
Предмет изучения – методы решения задач на нахождение расстояния между скрещивающимися прямыми.
Цель работы: Исследовать методы решения задач на нахождение расстояния между скрещивающимися прямыми и выбрать самый рациональный.
Для достижения поставленной цели нам необходимо решить следующие задачи:
1
Гипотеза состоит в том, что изучать различные методы нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми лучше на примере одной задачи, если она будет иметь несколько способов решения.
Используемые методы: научно-исследовательский, исследовательский, сравнительный.
Новизна исследования состоит в том, что в работе рассматриваются сведения, которые не изучаются в школьном курсе математики и впервые тема обобщается на местном материале.
Теоретическая и практическая значимости моей исследовательской работы заключается в том, что результаты исследования могут быть использованы в решении задач ЕГЭ.
II. Методы нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми
1.Расстояние между скрещивающимися прямыми
Вспомним следующие определения из школьных учебников.
Опр.1. Расстоянием между скрещивающимися прямыми называется расстояние между ближайшими точками этих прямых.
Опр.2. Расстоянием между скрещивающимися прямыми называется длина их общего перпендикуляра.
Опр.3 Расстоянием между скрещивающимися прямыми называется расстояние от одной из скрещивающихся прямых до параллельной плоскости, проходящей через другую прямую.
Опр.4 Расстоянием между скрещивающимися прямыми называется расстояние между параллельными плоскостями, в которых находятся скрещивающиеся прямые.
Опр.5 Расстоянием между скрещивающимися прямыми называется рас- стояние между их проекциями на плоскость, которая перпендикулярна одной из этих прямых.
2
2.Метод ортогонального проектирования.
Вспомним из школьного учебника Теорему Пифагора в таблице 1. Приложение 1
Формулы площади треугольника в таблице 2. Приложение 1.
Следуя определению 5, опишем алгоритм решения задачи данным методом.
3. Метод координат.
Будем опираться на определение 3 и использовать координаты. Даны две скрещивающиеся прямые d1 и d2. Пусть известны координаты точки
M(x0, y0, z0), лежащей на прямой d1. Пусть известно уравнение плоскости α: ax+by+cz+d=0, которой параллельна первая прямая, и в которой лежит вторая прямая d2. В этом случае для нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми d1 и d2 можно применить известную формулу расстояния от точки М до плоскости α
r(M,a)= (1)
Доказательство формулы (1) есть в учебнике по геометрии 11 класса.
4.Метод объемов.
4.1 Вспомним из школьного учебника способы на вычисление угла между
3
скрещивающимися прямыми
Первый способ – с помощью параллельного переноса. Приложение 3
Второй способ — проектирование обеих скрещивающихся прямых на плоскость, перпендикулярную одной из них. Приложение 3
4.2 Формулы площади треугольника в таблице 2. Приложение 1.
4.3 Vпир= Sосн·h (3)
4.4 При нахождении расстояния между скрещивающимися прямыми может помочь следующая формула для объёма тетраэдра:
V= abd sin
(2)
Здесь a и b – скрещивающиеся ребра тетраэдра, d и – соответственно расстояние и угол между ними (точнее, между прямыми, содержащими эти ребра).
На рис. 2 (в приложении 2) мы видим тетраэдр ABCD, достроенный до параллелепипеда AKBLMCND следующим образом: через каждое ребро тетраэдра проведена плоскость, параллельная ребру, скрещивающемуся с данным ребром. Покажем, что объём V тетраэдра ABCD равен одной трети объёма V0 получившегося параллелепипеда.
Отрезаем от параллелепипеда четыре тетраэдра:
V = Vо – VАКВС – VBCND – VALBD – VACMD.
Все эти тетраэдры имеют одинаковый объём. В самом деле, если S и d — соответственно площадь основания и высота параллелепипеда, то
VAKBC = VBCND = VALBD = VACMD = ·
· d =
Sd =
.
4
Тогда V = Vo – 4
=
Пусть a = AB, b = CD. Расстояние между прямыми, проходящими через рёбра a и b, является расстоянием между параллельными плоскостями AKB и MCN, то есть высотой d нашего параллелепипеда. Угол между рёбрами a и b — это угол ϕ между прямыми AB и KL.
Для площади основания параллелепипеда имеем:
S = · AB · KL · sin
=
ab sin
(есть такая формула планиметрии: площадь четырёхугольника равна половине произведения диагоналей на синус угла между ними). Объём параллелепипеда, стало быть, равен:
Vo =Sod = abd sin
.
Объём тетраэдра ABCD, как было показано выше, меньше в три раза, и тем самым мы приходим к нужной формуле (2).
Вывод
Для решения различных задач можно использовать наиболее подходящий метод. Решив задачу одним методом, другим методом можно проверить правильность полученного результата.
III. Решение задачи различными методами
1 способ. Решим координатным методом.
Задача. В единичном кубе ABCDA1B1C1D1 найдите расстояние между прямыми BA1 и DB1.
Решение. Через середину диагонали куба DB1 (точку O) проведем прямую, параллельную прямой A1B. Точки пересечения данной прямой с ребрами BC и A1D1 обозначаем соответственно N и M. Прямая MN лежит в
5
плоскости MNB1 и параллельна прямой A1B, которая в этой плоскости не лежит. Это означает, что прямая A1B параллельна плоскости MNB1 по признаку параллельности прямой и плоскости (рис. 4). Приложение 4.
Искомое расстояние между скрещивающимися прямыми равно расстоянию от любой точки выделенной прямой до изображенной плоскости
Ищем теперь расстояние от какой-нибудь точки прямой A1B до плоскости MNB1. Это расстояние по определению будет являться искомым расстоянием между скрещивающимися прямыми.
Для нахождения этого расстояния воспользуемся методом координат. Введем прямоугольную декартову систему координат таким образом, чтобы ее начало совпало с точкой B, ось X была направлена вдоль ребра BA, ось Y — вдоль ребра BC, ось Z — вдоль ребра BB1 (рис. 5).Приложение 4.
Прямоугольную декартову систему координат выберем так, как показано на рисунке.
Находим уравнение плоскости MNB1 в данной системе координат. Для этого определяем сперва координаты точек M, N и B1:
Полученные координаты подставляем в общее уравнение прямой
и получаем следующую систему уравнений:
Из второго уравнения системы получаем из третьего получаем
после чего из первого получаем
Подставляем полученные значения в общее уравнение прямой:
6
Замечаем, что иначе плоскость MNB1 проходила бы через начало координат. Делим обе части этого уравнения на
и получаем:
Расстояние от точки до плоскости определяется по формуле:
где — координаты точки B.
— коэффициенты при переменных
в уравнении плоскости. Точка B имеет координаты
Получаем окончательно:
Ответ:
2 способ. Решим методом объемов.
Решение Рис.6 Приложение 5. Построим пирамиду так, чтобы скрещивающиеся прямые ВА1 и DВ1 стали ребрами этой пирамиды (Рис.6). Применим формулу (2).
1.Найдем площадь треугольника А1В1В (формула в приложении 1):
S =
2. Найдем объем пирамиды DA1B1B. Основанием является треугольник А1В1В, а высотой – АD.
7
VDA1B1B =
=
.
3. Найдем длины скрещивающихся прямых ВА1 и DB1.
BA1= =
DB1= =
4. Найдем угол между скрещивающимися прямыми.
По второму способу (приложение 1) проекцией BA1 является В1А1, а проекцией DB1 является DA1. Углом между прямыми DB1 и DA1 является угол В1А1D и равен 90°.
5.Подставляем в формулу (2).
=
=
d =
d =
Ответ:
3 способ. Решим методом ортогонального проектирования
Решение Построим куб (Рис.7). Приложение 5.
По определению 5 построим плоскость АВ1С1D перпендикулярно прямой АВ1. Н – точка пересечения прямой А1В и плоскости АВ1С1D. Соединим точки НВ1 и НD и получим треугольник DНВ1.
8
Искомым расстоянием является высота НN треугольника DНВ1.
Найдем площадь треугольника DНВ1 двумя способами:
=
·
· HN
HN = ·
=
Ответ:
IV. Результат исследования
Самым рациональным выбран метод объемов, потому что долго думать ненадо, сразу после построения треугольной пирамиды можно применить формулу. Для использования координатного метода необходимо много времени в решении задач, также в некоторых задачах трудно найти координаты точек. Чтобы решить методом ортогонального проектирования, приходится долго думать как построить перпендикулярную плоскость к одной из прямых и искать искомое расстояние.
Поэтому составлен следующий алгоритм анализа условия и решения задачи методом объемов в виде памятки:
В формуле искомой величиной является d.
а) объем пирамиды V = 1/3 Sосн·h (3);
б) формулы площади треугольников для объема пирамиды в приложении 1.
в) высота пирамиды ( Теорема Пифагора в приложении 1 и т.д.)
V. Беседа с одноклассниками
Одноклассникам было предложено решать стереометрические задачи на нахождение расстояния между скрещивающимися прямыми методом объемов по алгоритму. В классе все, кто сдает профильный уровень, были заинтересованы этим методом и решали задачи, которые не получались раньше другими методами.
Всего решали - 5 человек – 100%
Справились - 3 человек – 60%
Не справились - 2 человека – 40%
Диаграмма в приложении 5.
10
Заключение
В ходе работы над исследовательской работой узнал много нового. Были изучены различные литературы, справочники, интернет ресурсы, в которых найдены формулы, определения, доказательства, чтобы затем сосредоточить на них внимание. В исследовательской работе решена одна задача по стереометрии из «Решу ЕГЭ» тремя методами и сделано сравнение их решений. Составлен алгоритм решения задач на нахождение расстояния между скрещивающимися прямыми методом объемов.
Таким образом, мы убедились, что решать задачи на нахождение расстояния между скрещивающимися прямыми рационально методом объемов. Работа рассматривает лишь один из аспектов проблемы. Исследования в этом направлении могут быть продолжены. Это могло бы быть изучение методов нахождения расстояния от точки до плоскости, угла между прямой и плоскостью, угла между плоскостями.
Работа может быть использована для проведения дальнейших исследований стереометрических задач. В ходе выполнения работы научился решать задачи ЕГЭ по 14 заданию.
11
Литература
1.Геометрия. 10-11 классы: учебник для общеобразоват. организаций: базовый и углубл. уровни/ Л.С. Атанасян и др. – 3-е изд. - М.: Просвещение, 2014. – 18с.,116с.
2. Геометрия. 7- 9 классы: учебник для общеобразоват. организаций
/ Л.С. Атанасян и др. – 6-е изд. - М.: Просвещение, 2016. – 123-124с.,128-130с.
3. Материалы курса «Готовим к ЕГЭ хорошистов и отличников»: лекции 5-8 \ А.Н. Корняков, А.А. Прокофьев. – М.: Педагогический университет «Первое сентября», 2012. – 100 с.
4. Рыжик В.И. О расстоянии вообще и расстоянии между скрещивающимися прямыми в частности. Научно-популярный журнал «Математика для школь-ников», № 1, 2008.
5. Рыжик В.И.Об углах между скрещивающимися прямыми. Научно-популярный журнал «Математика для школь-ников», № 4, 2008.9-11с.
Интернет ресурсы
1.https://ege.sdamgia.ru – «Решу ЕГЭ» математика 2014, 14 задание.
2. http://kpfu.ru/staff_files/F2020188451/Ganeeva_2012_matematika_dlya_shkolnikov.pdf - методы нахождения расстояния между прямыми.
4. http://gladkix-olga.ucoz.ru/load/moi_uroki/issledovatelskaja_rabota/ehtapy_vypolnenija_issledovatelskoj_raboty/7-1-0-13 - этапы выполнения исследовательской работы
Справочники
1. Математика: Справ. Материалы: Кн. для учащихся, - М.: Просвещение, 2001- 416 с.
2.Справочник по математике для подготовки к ГИА и ЕГЭ/ Э.Н. Балаян, З.Н. Каспарова. – Ростов н/Д: Феникс, 2012. 142 -157с.
12
Приложение 1
Таблица 1
Таблица 2
13
Приложение 2
14
Приложение 3
15
Приложение 4
Рис.4
Рис.5
16
Приложение 5
Рис.6
Рис.7
17
Памятка
1. Прочитать задачу.
2. Выделить условие и вопрос.
3. Сделать по условию чертеж.
4. Отметить на чертеже данные прямые и через них нарисовать треугольную пирамиду.
5. Записать формулу V= 1/6 abd sinφ (2).
6. В формуле искомой величиной является d.
7. Неизвестные величины в этой формуле:
а) объем пирамиды V = 1/3 Sосн·h (3);
б) формулы площади треугольников для объема пирамиды в приложении1
в) высота пирамиды ( Теорема Пифагора в приложении 1 и т.д.)
8. Найти длины скрещивающихся прямых ( Теорема Пифагора в приложении 1 и т.д.)
9. Найти угол между скрещивающимися прямыми. Приложение 3.
10. Подставить найденные подчеркнутые величины в формулу (2) для искомой величины. Вычислить.
11.Записать ответ.
Как нарисовать лимон акварелью
Рисуем домики зимой
Проказы старухи-зимы
Марши для детей в классической музыке
Дымковский петушок