"Прогрессии вокруг нас"

Латинское слово Прогрессия в переводе на русский язык означает движение вперед. Этим термином в математике прежде именуют всякую последовательность чисел, построенную по такому закону, который позволяет неограниченно продолжать эту последовательность в одном направлении.

Эти последовательности заинтересовали нас. Поэтому мы решили исследовать, когда впервые появилось это понятие, где оно встречается и какое место занимает в нашей жизни.

Для этого сделана историческая справка об авторстве теории о прогрессиях. Приведены примеры применения прогрессий в различных областях жизни.

Актуальность исследования:

Найдя ответы на вопросы: имеют ли прогрессии практическое значение и как давно люди знают последовательности, как возникло это понятие, мы убедимся том, что математика – наука очень древняя и возникла она из практических нужд человека.

Проблемный вопрос:

Действительно ли прогрессии играют заметную роль в повседневной жизни?

Объект исследования:

Последовательности: арифметическая и геометрическая прогрессии.

Арифмети́ческая прогре́ссия —

числовая последовательность, в которой каждое последующее число, начиная со второго, получается из предыдущего увеличением его на определённое число.

Имеет вид: a1, a1+d, a1+2d, a1+3d, …, a1+(n-1)d,…

Геометри́ческая прогре́ссия —

последовательность чисел, в которой каждое последующее число, начиная со второго, получается из предыдущего умножением его на определённое число.

Имеет вид: b1, b1q, b1q2, b1q3,… ,b1qn-1,…

Предмет исследования:

Практическое применение прогрессий.

Гипотеза исследования:

Математика – наука очень древняя и возникла она из практических нужд человека. Прогрессии имеют определенное практическое значение.

Цель исследования:

Установить когда возникло понятие прогрессии и выявить примеры их применения.

Задачи исследования:

Выяснить:

когда появилось понятие прогрессии;
какие ученые внесли большой вклад в развитие теоретических и практических знаний по изучаемой проблеме.

Установить:

имеют ли арифметическая и геометрическая прогрессии прикладное значение?
найти примеры применения прогрессий в нашей жизни.

Методы исследования:

Анализ школьных учебников математики, математической, справочной литературы, литературы по истории математики, материала из Интернета.

ИЗ ИСТОРИИ

Сами по себе прогрессии известны так давно, что конечно, нельзя говорить о том, кто их открыл. Ведь уже натуральный ряд есть арифметическая прогрессия с первым членом и разностью, равных 1.

О том, как давно была известна геометрическая прогрессия, свидетельствует знаменитое предание о создании шахмат. Рассказывают, что индийский принц Сирам рассмеялся, услышав, какую награду попросил у него изобретатель шахмат: за первую клетку шахматной доски – одно зерно, за вторую – два, за третью – четыре, за четвертую – восемь и так до 64-го поля. Здесь прогрессия (геометрическая) с первым членом, равным 1, и знаменателем, равным 2.

В сочинении Евклида «Начала» (около 300 лет до н.э.) в словесной форме содержится теорема относительно геометрической прогрессии, которую можно выразить следующим равенством:

Этот результат только по внешнему виду отличается от современной формулы:

Первые теоретические сведения, связанные с прогрессиями, дошли до нас в документах Древней Греции. В V в до н.э. греки знали прогрессии и их суммы:

1+2+3+…+n = =2+4+6+…+2n = n·(n+1).

Некоторые формулы, относящиеся к прогрессиям, были известны китайским и индийским ученым (V в.).

Примеры отдельных арифметических и геометрических прогрессий можно встретить еще в древневавилонских и греческих надписях, имеющих возраст около четырех тысячелетий и более. В древней Греции еще пять столетий до н.э. были известны такие суммы:

1+2+3+…+n=½n(n+1);

1+3+5+…+(2n-1)=n2;

2+4+6+…+2n=n(n+1).

В клинописных табличках вавилонян, как и в египетских папирусах, относящихся ко второму тысячелетию до нашей эры, встречаются примеры арифметических и геометрических прогрессий. Вот пример задачи из египетского папируса Ахмеса: «Пусть тебе сказано: раздели 10 мер ячменя между 10 человеками и, разность же между каждым человеком и его соседом равна меры».

В трудах АРХИМЕДА (ок. 287-212 гг. до н.э.) излагаются сведения о прогрессиях.

Пифагор (IV в. до н. э.) и его ученики рассматривали последовательности, связанные с геометрическими фигурами.

Вопросами последовательностей занимался Леонардо Пизанский (Фибоначчи). Наиболее известной из сформулированных Фибоначчи задач является "задача о размножении кроликов", которая привела к открытию числовой последовательности 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ..., именуемой впоследствии "рядом Фибоначчи".

Задача Фибоначчи: Некто поместил пару кроликов в некоем месте, огороженном со всех сторон стеной, чтобы узнать, сколько пар кроликов родится при этом в течении года, если природа кроликов такова, что через месяц пара кроликов производит на свет другую пару, а рождают кролики со второго месяца после своего рождения (показано в таблице).

Месяцы

Пары

кроликов

144

Ряд чисел 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 и т.д. известен как ряд Фибоначчи. Особенность последовательности чисел состоит в том, что каждый ее член, начиная с третьего, равен сумме двух предыдущих 2 + 3 = 5; 3 + 5 = 8; 5 + 8 = 13, 8 + 13 = 21; 13 + 21 = 34 и т.д.

В Германии молодой Карл Гаусс (1777-1855) нашел моментально сумму всех натуральных чисел от 1 до 100, будучи ещё учеником начальной школы.

1+2+3+4+…+98+99+100 = (1+100)+(2+99)+(3+98)+…+(50+51)=

=101x50 =5050. Это – арифметическая прогрессия.

Задачи на прогрессии, дошедшие до нас из древности, были связаны с запросами хозяйственной жизни: распределение продуктов, деление наследства и другие.

Много старинных задач, дошедших до нас, связанных с прогрессией.

"Задача о семи старухах". Старухи направляются в Рим, каждая имеет 7 мулов, каждый мул тащит 7 мешков, в каждом мешке находится 7 хлебов, у каждого хлеба лежит 7 ножей, каждый нож нарежет 7 кусков хлеба. Чему равно общее число всего перечисленного?

Общая формула для вычисления суммы любой бесконечно убывающей геометрической прогрессии была выведена в первой половине XVII века несколькими математиками (среди них были французские математики Франсуа Виет и Пьер Ферма)

Общее правило для суммирования любой конечной геометрической прогрессии встречается в книге Н. Шюке «Наука о числах», увидевшей свет в 1484 году.

1+2+3+4+…+98+99+100 =

= (1+100)+(2+99)+(3+98)+…+(50+51)=

=101x50 =5050.

Сущность "задачи Баше-Менделеева" состоит в следующем: при какой системе гирь, имея их по одной, можно взвесить всевозможные грузы Q от 0 до максимального груза Qmax, чтобы значение максимального груза Qmax было бы наибольшим среди всех возможных вариаций? Известно два варианта решения этой задачи: (1) когда гири позволено класть на свободную чашу весов; (2) когда гири позволяется класть на обе чаши весов. В первом случае "оптимальная система гирь" сводится к двоичной системе гирь: 1, 2, 4, 8, 16, ..., а появляющийся при этом "оптимальный" алгоритм или способ измерения рождает двоичную систему счисления, лежащую в основе современных компьютеров. Во втором случае наилучшей является троичная система гирь: 1, 3, 9, 27, 81, ..., а возникающий при этом способ измерения рождает троичную симметричную систему счисления, которая была применена в троичном компьютере Сетунь, построенном в 50-е годы в МГУ.

ПРОГРЕССИИ В ПРИРОДЕ

Все организмы обладают интенсивностью размножения в геометрической прогрессии. Примеры этих организмов:

ИНФУЗОРИИ… Летом инфузории размножаются бесполым способом делением пополам. Вопрос: сколько будет инфузорий после 15-го размножения?

Ответ: b15 = 2·214 = 32 768 (геометрическая прогрессия)

БАКТЕРИИ… Известно, что бактерии размножаются делением: одна бактерия делится на две; каждая из этих двух в свою очередь тоже делится на две, и получаются четыре бактерии; из этих четырех в результате деления получаются восемь бактерий и т. д. (геометрическая прогрессия). Результат каждого удвоения будем называть поколением.

Способность к размножению у бактерий настолько велика, что если бы они не гибли от разных причин, а беспрерывно размножались, то за трое суток общая масса потомства одной только бактерии могла бы составить 7500 тонн. Таким громадным количеством бактерий можно было бы заполнить около 375 железнодорожных вагонов.

Интенсивность размножения бактерий используют в пищевой промышленности (для приготовления напитков, кисломолочных продуктов,

при квашении, солении и др.), в фармацевтической промышленности (для создания лекарств, вакцин), в сельском хозяйстве (для приготовления силоса, корма для животных и др.), в коммунальном хозяйстве и природоохранных мероприятиях (для очистки сточных вод,ликвидации нефтяных пятен)

МУХИ… “Потомство пары мух съест мёртвую лошадь также скоро как лев”. Карл Линней. Девятое поколение одной пары мух наполнило бы куб, сторона которого равна 140 км, или же составило бы нить, которой можно опоясать земной шар 40 млрд. раз. (пример геометрической прогрессии).

ОДУВАНЧИК…“Потомство одного одуванчика за 10 лет может покрыть пространство в 15 раз больше суши земного шара”. К. А. Тимирязев.

ТЛИ… Всего за пять поколений, то есть за 1 – 1,5 летних месяцев, одна единственная тля может оставить более 300 млн. потомков, а за год её потомство способно будет покрыть поверхность земного шара слоем толщиной почти в 1 метр.

ВОРОБЬИ… Потомство пары птиц величиной с воробья при продолжительности жизни в четыре года может покрыть весь земной шар за 35 лет.

ПРОГРЕССИИ И БАНКОВСКИЕ РАСЧЕТЫ

Все знают, что деньги положенные в банк приносят проценты в конце месяца или года.

Если их не снимать со счета, то они продолжают работать и дальше.

Если провести расчеты, то обнаруживается, что интуитивные оценки меньше, чем расчеты. Особенно, если вклады долгосрочные и сложные, т.е. начисление процентов производится с учетом ранее начисленных процентов.

Задача из «Сборника старинных занимательных задач по математике» Игнатьева Е.И.

Однажды богач заключил выгодную, как ему казалось, сделку с человеком, который целый месяц ежедневно должен был приносить по 100 тыс. руб., а взамен в первый день месяца богач должен был отдать 1 коп., во второй-2 коп., в третий-4 коп., в четвертый-8 коп. и т. д. в течении 30 дней. Сколько денег получил богач и сколько отдал? Кто выиграл от этой сделки?

“Мужик” заплатил: S30 = 100 000• 30 = 3 000 000 (рублей)

“Купец” заплатил: 1; 2; 4;… q=2/1=2.

S30 =1• (230 – 1):(2-1)= 2 30 -1= =1 073 741 824 -1 =1 073 741 823 (коп.) т.е. 10 738 418 руб.23коп

ПРОГРЕССИИ В ЛИТЕРАТУРЕ

В одном известном романе есть слова, сказанные о его герое:

Высокой страсти не имея
Для звуков жизни не щадить,
Не мог он ямба от хорея,
Как мы ни бились, отличить…

Ямб – стихотворный метр с ударениями на четных слогах стиха.

Мой дЯдя сАмых чЕстных прАвил.

(А.С.Пушкин).

Ударные слоги: 2-й, 4-й, 6-й, 8-й, и т.д.

2; 4; 6; 8; 10;…- арифметическая прогрессия

a1=2

d=2

Хорей – стихотворный размер с ударением на нечетных слогах стиха.

Я пропАл , как звЕрь в загОне.

(Б.Л.Пастернак)

Ударные слоги: 1-й, 3-й, 5-й, 7-й и т.д.

1; 3; 5; 7; 9; 11;…- арифметическая прогрессия

a1=1

d=2

ФИНАНСОВЫЕ ПИРАМИДЫ

Механизм

Организатор начинает вовлекать в свою организацию и говорит, что, если внести указанную плату по указанным адресам по 1 рублю, а затем заплатить ещё по 5 таким же адресам, вычеркнув первый адрес и дописав свой последним, то через некоторое время вы получите уйму денег. Хотя желающих разбогатеть по щучьему веленью немало, но в выигрыше оказываются только учредители такой игры.

Решение

Дело в том, что число участников увеличивается в 5 раз с каждым кругом. Если пятёрка устроителей подпишет, допустим, 120 человек со своими адресами, то в первом круге участвуют 120 человек, во втором – 600, в третьем – 3 000, …, в десятом – 234 375 000 человек; это намного больше населения страны. Так что участник, включившийся в восьмом или девятом круге, уже ничего не получит.

ВЫВОДЫ

Установили, что прогрессии известны так давно, что нельзя говорить о том, кто их открыл

Убедились в том, что задачи на прогрессии, дошедшие до нас из древности были связаны с запросами хозяйственной жизни: распределение продуктов, деление наследства и другими

Выяснили, что в развитие теории о прогрессиях внесли ученые Архимед, Пифагор и его ученики, математики Леонард Фибоначчи и Баше де Мезириака, М. Штифель, Н. Шюке, и К. Гаусс и др.
Ответили на основополагающий вопрос: Действительно, в повседневной жизни прогрессии играют заметную роль

ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ ИСТОЧНИКИ

Алгебра. 9 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений/ Ю.Н. Макарычев и др. под ред. С.А. Теляковского –М.: Просвещение, 2009 – 271 с.;
Алгебра. 9 класс, : Учебник для общеобразовательных учреждений / Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Феактистов И.Е. . -М.: Мнеозина, 2008, -447с. № 698, 699,702,725,734, 788, 789 (7 задач)
Пичурин Л.Ф. За страницами учебника алгебры. Книга для учащихся 7-9 классов средней школы -М.: Просвещение, 1990.-224сю;
Энциклопедический словарь юного математика /Сост. А.П.Савин.- М.: Педагогика, 1989.-352с..
«Занимательная алгебра». Я.И.Перельман
http://n-t.ru/tp/iz/zs.htm
http://students.tspu.ru/students/legostaeva/index.php?page=op
http://festival.1september.ru/articles/568100/
http://ru.wikipedia.org/wiki
http://pages.marsu.ru/lazarev/mat/a82001/a8.htm
http://mech.math.msu.su/dop/school/progres/tasks.htm
http://www.courier.com.ru/kvant/kv0206kaleid.htm
http://margarita-smirnova.blogspot.ru/2013/01/blog-post_2649.html

ПРИЛОЖЕНИЯ

Древнейшая прогрессия

Прогрессии

Древнейшая задача на прогрессии - не вопрос о вознаграждении изобретателя шахмат, насчитывающий за собой двухтысячелетнюю давность, а гораздо более старая задача о делении хлеба, которая записана в знаменитом египетском папирусе Ринда. Папирус этот, разысканный Риндом в конце прошлого столетия, составлен около 2000 лет до нашей эры и является списком с другого, еще более древнего математического сочинения, относящегося, быть может, к третьему тысячелетию до нашей эры. В числе арифметических, алгебраических и геометрических задач этого документа имеется такая (приводим ее в вольной передаче):

Сто мер хлеба разделить между пятью людьми так, чтобы второй получил на столько же больше первого, на сколько третий получил больше второго, четвертый больше третьего и пятый больше четвертого. Кроме того, двое первых должны получить в 7 раз меньше трех остальных. Сколько нужно дать каждому?

Решение

Очевидно, количества хлеба, полученные участниками раздела, составляют возрастающую арифметическую прогрессию. Пусть первый ее член х, разность y. Тогда

доля первого х

доля второго х + у

доля третьего х + 2y

доля четвертого х + 3y

доля пятого х + 4y.

На основании условий задачи составляем следующие два уравнения:

После упрощений первое уравнение получает вид

x + 2y = 20,

а второе:

11х = 2y.

Решив эту систему, получаем:

x = 1 2/3, y = 9 1/6.

Значит, хлеб должен быть разделен на следующие части

1 2/3, 10 5/6, 20, 29 1/6, 38 1/3.

Поливка огорода

Задача

В огороде 30 грядок, каждая длиной 16 м и шириной 2,5 м. Поливая грядки, огородник приносит ведра с водой из колодца, расположенного в 14 м от края огорода (рис. 34), и обходит грядки по меже, причем воды, приносимой за один раз, достаточно для поливки только одной грядки.

Рис. 34. Поливая грядки, огородник приносит ведра с водой из колодца, расположенного в 14 м от края огорода

Какой длины путь должен пройти огородник, поливая весь огород? Путь начинается и кончается у колодца.

Решение

Для поливки первой грядки огородник должен пройти путь

14 + 16 + 2,5 + 16 + 2,5 + 14 = 65 м.

При поливке второй он проходит

14 + 2,5 + 16 + 2,5 + 16 + 2,5 + 2,5 + 14 = 65 + 5 = 70 м.

Каждая следующая грядка требует пути на 5 м длиннее предыдущей. Имеем прогрессию:

65; 70; 75; ... ; 65 + 5 × 29.

Сумма ее членов равна

((65 + 65 + 29 × 5)30)/2 = 4125 м

Огородник при поливке всего огорода проходит путь в 4,125 км.

Кормление кур

Задача

Для 31 курицы запасено некоторое количество корма из расчета по декалитру в неделю на каждую курицу. При этом предполагалось, что численность кур меняться не будет. Но так как в действительности число кур каждую неделю убывало на 1, то заготовленного корма хватило на двойной срок.

Как велик был запас корма и на сколько времени был он первоначально рассчитан?

Решение

Пусть запасено было х декалитров корма на y недель. Так как корм рассчитан на 31 курицу по 1 декалитру на курицу в неделю, то

х = 31y.

В первую неделю израсходовано было 31 дл, во вторую 30, в третью 29 и т. д. до последней недели всего удвоенного срока, когда израсходовано было:

(31 - 2y + 1) дл*.

*Поясним: расход корма в течение

1-й недели 31 дл,

2-й недели 31 - 1 дл,

3-й недели 31 - 2 дл,

...........................................

2y-й недели 31 - (2y - 1) = 31 - 2y + 1 дл.

Весь запас составлял, следовательно,

x = 31y = 31 - 30 + 29 + ... + (31 - 2у + 1).

Сумма 2у членов прогрессии, первый член которой 31, а последний 31 - 2у + 1, равна

31y = ((31 + 31 - 2y + 1)2y)/2 = (63 - 2y)y.

Так как y не может быть равен нулю, то мы вправе обе части равенства сократить на этот множитель. Получаем:

31 = 63 - 2y и y = 16,

откуда

х = 31y = 496.

Запасено было 496 декалитров корма на 16 недель.

Яблоки

Задача

Садовник продал первому покупателю половину всех своих яблок и еще пол-яблока, второму покупателю - половину оставшихся и еще пол-яблока: третьему - половину оставшихся и еще пол-яблока и т. д. Седьмому покупателю он продал половину оставшихся яблок и еще пол-яблока; после этого яблок у него не осталось. Сколько яблок было у садовника?

Решение

Если первоначальное число яблок х, то первый покупатель получил

x/2 + 1/2 = (x + 1)/2,

второй

1/2(x - (x + 1)/2) + 1/2 = (x + 1)/22,

третий

1/2(x - (x + 1)/2 - (x + 1)/4) + 1/2 = (x + 1)/23,

седьмой покупатель

(х + 1)/27.

Имеем уравнение

(х + 1)/2 + (х + 1)/22 + (х + 1)/23 + ... + (х + 1)/27 = x

или

(x + 1)(1/2 + 1/22 + 1/23 + ... + 1/27) = x.

Вычисляя стоящую в скобках сумму членов геометрической прогрессии, найдем:

х/(x + 1) = 1 - 1/27

х = 27 - 1 = 127.

Всех яблок было 127.

Покупка лошади

Задача

В старинной арифметике Магницкого мы находим следующую забавную задачу, которую привожу здесь, не сохраняя языка подлинника:

Некто продал лошадь за 156 руб. Но покупатель, приобретя лошадь, раздумал ее покупать и возвратил продавцу, говоря:

- Нет мне расчета покупать за эту цену лошадь, которая таких денег не стоит.

Тогда продавец предложил другие условия:

- Если по-твоему цена лошади высока, то купи только ее подковные гвозди, лошадь же получишь тогда в придачу бесплатно. Гвоздей в каждой подкове 6. За первый гвоздь дай мне всего 1/4 коп., за второй - 1/2 коп., за третий - 1 коп. и т. д.

Покупатель, соблазненный низкой ценой и желая даром получить лошадь, принял условия продавца, рассчитывая, что за гвозди придется уплатить не более 10 рублей.

Покупатель, соблазненный низкой ценой и желая даром получить лошадь, принял условия продавца, рассчитывая, что за гвозди придется уплатить не более 10 рублей

На сколько покупатель проторговался?

Решение

За 24 подковных гвоздя пришлось уплатить

1/4 + 1/2 + 1 + 2 + 22 + 23 + ... + 224-3

копеек. Сумма эта равна

(221 × 2 - 1/4)/(2 - 1) = 222 - 1/4 = 4194303 3/4 коп.

т. е. около 42 тысяч рублей. При таких условиях не обидно дать и лошадь в придачу.

Вознаграждение воина

Задача

Из другого старинного русского учебника математики, носящего пространное заглавие:

"Полный курс чистой математики, сочиненный Артиллерии Штык-Юнкером и Математики партикулярным Учителем Ефимом Войтяховским в пользу и употребление юношества и упражняющихся в Математике" (1795), заимствую следующую задачу:

"Служившему воину дано вознаграждение за первую рану 1 копейка, за другую - 2 копейки, за третью - 4 копейки и т. д. По исчислению нашлось, что воин получил всего вознаграждения 655 руб. 35 коп. Спрашивается число его ран".

Решение

Составляем уравнение

65535 = 1 + 2 + 22 + 23 + ... + 2x-1

или

65535 = (2x-1 × 2 - 1)/(2 - 1) = 2x-1,

откуда имеем:

65536 = 2x и x = 16

- результат, который легко находим путем испытаний.

При столь великодушной системе вознаграждения воин должен получить 16 ран и остаться при этом в живых, чтобы удостоиться награды в 655 руб. 35 коп.