«Математика в музыке. Действие математических законов в музыкальных произведениях». Научно-исследовательский проект.

Муниципальное учреждение дополнительного профессионального образования  «Информационно-методический центр»

142100, Московская область, г. Подольск, ул. Комсомольская, дом 73                                                 тел: 8 (4967) 63-82 60                              Е-mail:   pimc@inbox.ru

КОНФЕРЕНЦИЯ НАУЧНО-ПРАКТИЧЕСКИХ РАБОТ «ШАГ В НАУКУ»

Секция Математика

Тема: «Математика в музыке. Действие математических законов в музыкальных произведениях».

Автор работы: Рузавина Мария Владимировна,

ученица 8 «В» класса МОУ «Лицей» №1 г. о. Подольска.

Руководитель работы:

                          Латышева Наталья Алексеевна,

                          учитель математики МОУ «Лицей» №1 г. о. Подольска

.

             Городской округ Подольск

        2017г.

Оглавление.

Введение.…………………………………………………………………………3

1.Пифагор о музыке.……………………………………………………………..4

2.Золотое сечение.………………………………………………………………..4

3.Геометрическая прогрессия…………………………………………………....5

4.Исследование…………………………………………………………………...6

5.Социальный опрос……………………………………………………………...7

Заключение………………………………………………………………………..7

Список литературы……………………………………………………………….8

Приложение №1…………………………………………………………………...9

Приложение №2…………………………………………………………………...9

Приложение №3………………………………………………………………….10

  Введение.

Занимаясь в музыкальной школе, я неоднократно слышала от своего преподавателя фразу: «Кто успешно занимается музыкой, у того нет проблем в понимании математики». Закончив музыкальную школу и продолжая заниматься в средней, познавая новые законы алгебры и геометрии, меня не оставляет мысль: «Что общего между математикой и музыкой и почему великих музыкантов называют математиками своего времени?» Именно эту мысль я положила в основу своего исследования.

Актуальность: познакомившись с литературными данными, мне стало интересно, действительно ли изучаемые по программе музыкальной школы произведения классиков подчиняются законам математики и оказывает ли это влияние на заучивание и восприятие этих произведений.

Новизна работы: по данным литературы в XIX и XX в, несмотря на прогрессивное развитие науки в целом, попыток проанализировать музыку с математической точки зрения оказалось мало. Что и привело меня к следующей гипотезе.

Гипотеза: музыка подчиняется математическим законам, что обеспечивает скорейшее заучивание и лучшее восприятие музыкальных произведений.

Объект исследования: И. С. Бах прелюдия II c-moll, К. Черни этюд № 21 ор. 299.

Цель: Найти и изучить некоторые математические законы в музыке.

Задачи:

• Изучить историю вопроса связи музыки и математики.
• Изучить историю Золотого сечения.
• Изучить историю геометрической прогрессии.
• Провести работу по выявлению математических закономерностей в основах музыки и отдельных музыкальных произведениях.
• Проанализировать полученные данные и сделать вывод.

Практическая ценность: обосновать, что музыкальные произведения, подчиняющиеся математическим законам, лучше заучиваются и воспринимаются человеком.

Методы исследования:

• Работа с литературой и Интернет-источниками.
• Анализ полученных данных.
• Применение  полученных знаний на практике.
• Обобщение результатов исследования.

1.Пифагор о музыке.

Первые попытки математического осмысления искусства теряются в глубине веков задолго до нашей эры. Архитекторы и скульпторы Древнего мира искали математические закономерности в ваянии и зодчестве. Но все это случайные и неосознанные проникновения математики в пластические искусства. Осмысленное и систематическое приложение к искусству математика нашла в музыке, в трудах древнегреческого математика Пифагора и его учеников.

Так пифагорейцам «удалось сформулировать 2 тезиса: во-первых, основополагающие  принципы, на которых зиждется мироздание, можно выразить на языке математики; во-вторых, объединяющим началом всех вещей служат числовые отношения, которые выражают гармонию и порядок природы.» Рассмотрение чисел привело пифагорейцев к рассмотрению отношений между ними, т.е. пропорций. Пропорция с равными средними членами определяет среднее значение. Пропорции и средние значения пифагорейцы наполняли не только математическим, но и философским и эстетическим содержанием, объясняя с их помощью и музыкальные созвучия.  Идея музыкальных соотношений настолько увлекла пифагорейцев, что они пытались обнаружить их всюду. В свою очередь, открытие математических закономерностей в музыкальных созвучиях послужило первым «экспериментальным» подтверждением пифагорейской философии числа. С этого времени музыка, точнее теория музыки или учение о гармонии, занимает почетное место в пифагорейской системе. «Музыкантов»-пифагорейцев интересовало не столько музыкальное искусство, реальная музыка звуков, сколько математические пропорции и соотношения, которые, как считалось, лежат в основе музыки. Таким образом, музыка была сведена к анализу числовых закономерностей, т.е. к арифметике и геометрии.

Прошло 25 веков с тех пор, как  великий Пифагор и его ученики открыли законы целочисленных отношений в музыке  и дали  математическое посторенние музыкальной гаммы. Однако до сих пор в математическом анализе мелодии, музыкального произведения в целом делались только робкие шаги. Лишь к середине ХХ века произведения искусства стали подвергаться изучению математическими методами. Опыты по применению «точных методов» к изучению искусства являются частью общенаучного процесса и используются для того, чтобы подтвердить интуицию художника, полнее раскрыть замысел гения, найти закономерности, отличающие совершенное произведение или хотя бы эпоху, в которое оно создано.

2. Золотое сечение.

Золотое сечение – это такое пропорциональное деление отрезка на неравные части, при котором весь отрезок так относится к большей части,  как сама большая часть относится к меньшей. Эту пропорцию принято обозначать греческой буквой φ – в честь начальной буквы имени Фидий.         Вычислим это значение. Примем длину отрезка, в котором надо найти золотое сечение, за 1. Его большую часть обозначим через х, тогда меньшая – это 1-х.

По определению золотого сечения составим уравнение:

(1-х)/х=х/1.

Решив его относительно х, получим:

х=(√5-1)/2≈0,618.

Обратная величина дает для этой константы значение

φ=(1+√5)/2≈1,61803398874989484….

        Именно это постоянное число деления в Средние века было названо «Божественной пропорцией», а в наши дни именуется «золотым делением».

В дошедшей до нас античной литературе золотое деление впервые упоминается в «Началах» Эвклида, где дается геометрическое построение золотого деления.

        В эпоху Возрождения интерес к золотому делению усиливается среди ученых и художников, его стали применять как в геометрии, так и в искусстве, особенно в архитектуре.

        Леонардо да Винчи также много внимания уделял изучению золотого деления. Он производил сечения стереометрического тела, образованного правильными пятиугольниками, и каждый раз получал прямоугольники с отношениями сторон в золотом делении. Поэтому он дал ему название «золотое сечение», которое и держится до сих пор как самое популярное.

3.Геометрическая прогрессия.

        Геометрической прогрессией называется последовательность отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число.

        Первые представления об арифметической и геометрической прогрессиях были еще у древних народов. Некоторые формулы, относящиеся к прогрессиям, были известны китайским и индийским ученым. В клинописных вавилонских табличках и египетских папирусах встречаются задачи на прогрессии и указания, как их решать.

        Термин “прогрессия” был введен римским автором Боэцием (в 6 веке) и понимался в более широком смысле, как бесконечная числовая последовательность. Название “геометрическая” было перенесено из теории непрерывных пропорций, которыми занимались древние греки.

4.Исследование.

Выявление математических закономерностей в структуре музыкальных произведений  и их влияние на восприятие композиций человеком.

На занятиях в музыкальной школе я обратила внимание, что некоторые музыкальные произведения, которые я разучивала, нравятся и мне, и учителям, и моим родителям, и даже некоторым друзьям. Я долго размышляла над этим вопросом, и решила попробовать проанализировать ноты этих произведений. Я предположила, что произведения, структура которых подчиняется математическим законам, более приятны для прослушивания и гораздо легче заучиваются.

Первое произведение – прелюдия II И. С. Баха, написанная в до миноре.(Приложение 1).

К этой прелюдии я решила применить принципы Золотого сечения.

Всего в прелюдии 37 тактов. Заканчивается последний такт нотой, длительностью в четверть такта с ферматой – удлинением в 1.5-3 раза. Поскольку это финальная фермата, удлинение будет максимальным. Таким образом, к 37 тактам добавилось еще 2 четверти – полтакта. Длина  произведения составила 37.5 тактов. Далее я разделила прелюдию на 2 части: первая – однообразная, с очень похожими ходами и комбинациями в тактах; вторая же часть более разнообразная, яркая, с гораздо ярче выраженными эмоциями, включающая в себя нарастающее перед кульминацией волнение, саму кульминацию и коду (завершение). Таким образом, первая часть составила 23 такта, а вторая 14.5 тактов. Далее я составила отношение общего количества тактов к количеству тактов первой части: 37.5/23 ≈ 1.6. Потом соотнесла кол-во тактов первой части и второй: 23/14.5≈1.6. Как видим, коэффициенты оказались равны. Но я на этом не остановилась, и разделила вторую часть еще на две: в одной подготовка к кульминации - 9 тактов, а в другой – сама кульминация и кода – 5.5 тактов. Снова составила отношения: 14.5/ 9 ≈ 1.6;  9/5.5 ≈ 1.6. И снова коэффициент 1.6. Тогда я отделила кульминацию от коды, получила соответственно 3.5 и 2 такта и составила отношение: 5.5/3.5 ≈1.6. Во всех отношениях коэффициент оказался равен 1.6 с небольшими погрешностями. Таким образом, я могу сказать, что прелюдия №II И. С. Баха подчиняется законам Золотого сечения и не просто так нравится многим людям, хотя в ней нет особенно красивых мелодий, пассажей и т.д.

Следующим я разобрала этюд №299 ор.299 Карла Черни.(Приложение 2).  Но в нем я уже искала геометрическую прогрессию.

В этом этюде 32 такта, 2 части, каждая из них по 16 тактов. Каждая из них включает в себя еще по 2 части, равные 8-ми тактам, в которых также содержатся самые маленькие части – каждая по 4 такта. Тогда, в первой части мы видим прогрессию со знаменателем 2: 4*2=8; 8*2=16; а во второй части появляется другая геометрическая прогрессия со знаменателем ½: 16*1/2=8; 8*1/2=4; 4*1/2=2 плюс 2 такта коды.

В целом же этюд можно представить вот такой схемой:

32

/  \

16      16

/ \        / \

8  8      8  8

/ \ / \     / \  / \

4 4 4 4  4 4 4 4

   / \

2. 2

5.Результаты опроса по изучаемому вопросу.

        Чтобы оценить влияние наличия математических законов в этих произведениях на восприятие их человеком, я провела опрос среди учителей и одноклассников в моей музыкальной школе. Я предложила им прослушать Прелюдию №2, в которой было найдено золотое сечение, Этюд №21, в котором я нашла геометрическую прогрессию, и этюд №3 из того же опуса, что и №21, но уже не содержащий в себе каких-либо законов. Среди 30 опрошенных 16 предпочли этюд №21, 9 Прелюдию №2 и лишь 5 Этюд №3.

Результаты опроса в приложении №3.

Заключение.

Таким образом, в ходе проведенного исследования я обнаружила, что произведения, подчиняющиеся математическим законам, легче заучиваются и лучше воспринимаются окружающими.

Список  литературы.

1. Большая детская энциклопедия. Математика. Издание 2-ое. Издательство «Мир энциклопедий Аванта+», « Астрель», 2011.

2. «Математика и искусство» А. В. Волошинов.

3. «Удивительная история математики» В. С. Кесельман.

4. Ресурсы сети Интернет.

5. Карл Черни «Школа беглости пальцев ор.299 ноты для фортепиано», издательство «Астрель», «Аст», Москва, 2006.

6.  И. С. Бах «Хорошо темперированный клавир», часть 1, ред. Бруно Муджеллини, издатель Шабатура Д. М., Минск, 2013.

Приложение 1.

И. С. Бах Прелюдия №2 до минор.

Приложение 2.

К. Черни Этюд №21 ор.299.

Приложение №3.

Результаты опроса.