Изопериметрические задачи

Слайд 1

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ НА ЭКСТРЕМУМ Задачи на нахождение наибольшего или наименьшего значения Автор проекта: Тибилов Таймураз Научный руководитель: Кащенко Л. В.

Слайд 2

Определения Задачи, где требуется определить условия, при которых некоторая величина принимает наибольшее и наименьшее значение, принято называть задачами «на экстремум» или задачами «на максимум и минимум». Extremum ( лат.)-крайний Maximum ( лат.)-наибольший Minimum ( лат.)-наименьший

Слайд 3

Цель Цель работы : найти простейший способ решения задач на минимум и максимум и составить алгоритм применения этого способа на практике. Для достижения поставленной цели решаются следующие задачи : Изучение истории развития экстремальных задач. Нахождение различных способов решения задач на минимум и максимум в различных источниках литературы и Интернет-ресурсах. Выбор простейших способов решения экстремальных задач и изучение их применения на практике.

Слайд 4

Декарт Пьер де Ферма Из истории вопроса

Слайд 5

МакЛорен Леонард Эйлер Лагранж Из истории вопроса

Слайд 6

Задача Евклида Если рассмотреть прямоугольник и квадрат с одинаковыми периметрами, то площадь квадрата будет больше. Площадь прямоугольника равна S0+S1 , а площадь квадрата S0+S2 и S1

Слайд 7

Решение задачи с использованием электронных таблиц Периметр 20 Сторона а Сторона b Площадь 1 9 9 2 8 16 3 7 21 4 6 24 5 5 25 6 4 24 7 3 21 8 2 16 9 1 9 максимум 25

Слайд 8

Задачи «Дидоны» Согласно легенде, вынужденная бежать из своего родного города, Дидона вместе со своими спутниками прибыла на северный берег Африки и хотела приобрести у местных жителей землю для нового поселения. Ей согласились уступить участок земли, однако не больше, чем объемлет воловья шкура. Хитроумная Дидона разрезала шкуру на узкие ремешки и, разложив их, сумела ограничить гораздо большую площадь по сравнению с той, которую можно было покрыть одной воловьей шкурой .

Слайд 9

Историческая справка Дидона – имя легендарной основательницы Карфагена (конец IX века до н. э.). Также её называли Фиоссо . Возможно, на образ Дидоны повлияли представления о финикийских богинях, и её после смерти обожествили под именем Танит .

Слайд 10

Общий и частный случаи задачи Дидоны x x l-2x S=x(l-2x)

Слайд 11

Рассмотрим решение этой задачи с помощью электронных таблиц: Периметр 20 Сторона а Сторона b Сторона с Площадь 1 1 18 18 2 2 16 32 3 3 14 42 4 4 12 48 5 5 10 50 6 6 8 48 7 7 6 42 8 8 4 32 9 9 2 18 макс 50

Слайд 12

Изопериметрические задачи Из двух многоугольников с равным периметром и равным числом сторон наибольшую площадь имеет правильный многоугольник; Из двух правильных многоугольников с равным периметром большую площадь имеет тот, у которого число углов больше. Решение с помощью ЭТ

Слайд 13

Гвозди Рассмотрим следующую задачу: Какой гвоздь труднее вытащить – круглый, квадратный или треугольный, – если они забиты одинаково глубоко и имеют одинаковую площадь поперечного сечения? S 1 S 2 S 3 S 1 = S 2 = S 3 P 1 =3,55 P 2 =4 P 3 =4,56

Слайд 14

Очевидно, что S=2(ab + bc + ac), V=abc. Если заметить, что сумма трех величин ab, bc, ac равна S/2 , а их произведение равно V2, и применить наравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом, то будем иметь: Пусть a , b , c - длины таких ребер, S – площадь полной поверхности, V – объем. c b a

Слайд 15

Вывод Человека особенно интересует наилучшее. Он стремится к нему, добивается его, борется за него. В жизни, в трудовой деятельности ему приходится постоянно решать вопросы о том, как нужно поступить в каждом случае, чтобы получающиеся результаты его деятельности были наилучшими. Решение экстремальных задач способствует углублению и обогащению математических знаний человека.

Слайд 16

Не прощаемся с задачами на экстремум… В курсе математического анализа мы будем рассматривать решение подобных задач с использованием свойства дифференцируемости функции.

Слайд 17

ВРЕМЯ ВОПРОСОВ

Слайд 18

СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ!