Магические квадраты

Федеральное государственное казённое

общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа №151»

(ФГКОУ СОШ №151»)

Магические квадраты.

Проектная работа по математике

обучающегося 5 класса

Негодова Алексея

Руководитель: Савенкова Валентина Андреевна,

учитель математики

Оленегорск-2, 2016

Оглавление.

Введение                                                                                                        3

Глава I. Теоретические основы исследования                                          

     1.1. Происхождение и определение                                                  4

1.2. Правила построения магических квадратов                             5

     1.3. Виды магических квадратов и методы их построения            6

Глава II. Практическая часть исследования                                              

2.1. Квадраты третьего порядка                                                         9

2.2. Квадраты четвёртого порядка                                                   10  

2.3. Квадраты пятого порядка                                                          11

Заключение                                                                                                  13      

Список литературы                                                                                     14

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность: Задачи составления и описания магических квадратов интересовали математиков с древнейших времён. Однако полного описания всех возможных магических квадратов не получено до сих пор. Эта тема не изучается в школе на уроках математики, но при этом часто входит в различные олимпиады. Именно поэтому я и взял тему «Магические квадраты»  чтобы немного приоткрыть дверь в этот интересный и удивительный мир магических квадратов.

Цель: Узнать методы построения магических квадратов и научиться их строить.

Задачи:

1. Узнать о видах магических квадратов.
2. Изучить методы построения магических квадратов
3. Научиться строить магические квадраты.

Гипотеза: Я предполагаю, что для каждого магического квадрата существует свой метод построения.

В ходе работы были использованы следующие методы:

• поисковый метод: использование справочной и учебной литературы, а также информационных ресурсов глобальной сети Интернет;
• практический метод: составление магических квадратов на основе полученных знаний;

В работе исследуется происхождение и формулируется определение магических квадратов, рассмотрены различные виды квадратов, методы их построения.

ГЛАВА I. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИССЛЕДОВАНИЯ

1. ПРОИСХОЖДЕНИЕ И ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Магический квадрат - квадратная таблица из целых чисел, в которой суммы чисел вдоль любой строки, любого столбца и любой из двух главных диагоналей равны одному и тому же числу.  

Магический квадрат – древнекитайского происхождения. Согласно легенде, (около. 2200 до н.э.) из вод Хуанхэ (Желтой реки) всплыла священная черепаха, на панцире которой были начертаны таинственные иероглифы (рис. 1), и эти знаки, известны под названием ло-шу,  равносильны магическому квадрату. О магических квадратах узнали в Индии, а затем в Японии, где в 16 веке магическим квадратам была посвящена обширная литература. Европейцев с магическими квадратами познакомил в 15 в. византийский писатель Э. Мосхопулос.

Первым квадратом, придуманным европейцем, считается квадрат А.Дюрера (рис. 2). Он изображен на его знаменитой гравюре Меланхолия 1. Дата создания гравюры (1514 г.) указана числами, стоящими в двух центральных клетках нижней строки. 

                            Рис.1                                                                                Рис. 2

В 19 и 20 вв. интерес к магическим квадратам вспыхнул с новой силой. Их стали исследовать с помощью методов высшей алгебры и операционного исчисления.

2. ПРАВИЛА ПОСТРОЕНИЯ МАГИЧЕСКИХ КВАДРАТОВ.  

Каждый элемент магического квадрата называется клеткой. Квадрат, сторона которого состоит из n клеток, называется квадратом n-го порядка.

Сумма  чисел, стоящих в каждой строке, каждом столбце и на любой диагонали, называется постоянной. Для квадрата 3-го порядка сумма = 15,  4-го порядка сумма= 34, для 5-го порядка  сумма = 65.

Две диагонали, проходящие через центр квадрата, называются главными диагоналями. 

Общий метод построения квадратов неизвестен. Правила построения магических квадратов делятся на категории в зависимости от того, каков порядок квадрата.

С увеличением порядка быстро растёт количество возможных магических квадратов. Так, например, магических квадратов четвёртого порядка уже 880, а пятого порядка – несколько миллионов. Среди них есть квадраты, обладающие интересными свойствами. Например, в квадрате, изображённом на рис. 3, равны между собой не только суммы чисел в строках, столбцах и диагоналях, но и суммы пятёрок по «разломанным» диагоналям, связанными на рисунке цветными линиями.

Рис. 3

В ходе своей работы, я пришёл  к выводу, что магических квадратов 2*2 не существует. Квадрат размером 2*2 должен был бы состоять из чисел 1,2,3,4, а его постоянная была бы равна 5. У такого квадрата по две строки, столбца и диагонали. Чтобы квадрат стал магическим, надо представить число 5 в виде суммы двух данных чисел шестью различными способами, но это сделать не возможно! Ведь таких комбинаций всего две: 1+ 4 и 2+3. Как не расставляй числа в клетках таблицы, их сумма будет равна 5 либо в каждой строке, либо в обоих столбцах, либо по диагоналям, но никак не одновременно.

Квадрат 3-го порядка можно составить только с помощью перебора различных комбинаций.

Для построения квадрата 4-го порядка можно применить методы: метод Рауз – Болла, метод вертикалей  и  горизонталей.

Магический квадрат 5-го порядка можно составить  с помощью методов Де ла Ира, Де ла Лубера или террас.

3. ВИДЫ МАГИЧЕСКИХ КВАДРАТОВ И МЕТОДЫ ИХ ПОСТРОЕНИЯ  

- нечетные, то есть состоя из нечетного числа клеток,

- четно-четные, то есть порядок равен удвоенному четному числу;

- четно-нечетные, то есть порядок равен удвоенному нечетному числу.

Методы построения магических квадратов чётного порядка

1. Метод  порядок 2n.

Исходный квадрат делят на соответствующее число квадратов порядка 4. В каждом подквадрате отмечают диагональные элементы. Остальные элементы построчно заполняют порядковыми целыми числами в направлении слева-направо и сверху-вниз. Числа, приходящиеся на выделенные диагональные элементы, должны быть пропущены.

Этот метод я не рассматриваю, так как он подходит для квадратов 8 и более порядков.                                                          

2. Метод  Рауз - Болла.

Метод Рауз - Болла состоит в следующем: в данный квадрат чётно-чётного порядка вписываются числа в их естественном порядке, начиная с левой верхней клетки. Затем в квадрате проводятся диагонали. Числа, расположенные во взаимно симметричных клетках (относительно центра квадрата), через которые прошли диагонали, меняются местами, а числа, через которые диагонали не прошли, остаются на месте.

3. Метод вертикалей  и  горизонталей.

Квадрат 4*4 разбивается на 4 подквадрата. Числа записываются в подквадраты в естественном порядке, начиная с верхней левой клетки. После заполнения, числа внутреннего квадрата 2*2 меняются по диагонали, числа двух вертикалей и горизонталей  переставляются на противоположные стороны.

Методы построения магических квадратов  нечётного порядка

1. Метод террас.

С четырёх сторон к исходному квадрату 5*5 добавляются террасы. В полученной фигуре располагают числа в естественном порядке косыми рядами снизу вверх. Числа в террасах, не попавшие в квадрат, перемещаются как бы вместе с террасами внутрь него так, чтобы они примкнули к противоположным сторонам квадрата

2. Метод Де ла Ира

Основан на двух первоначальных квадратах 5*5. В клетку первого квадрата вписываются числа от 1 до 5 так, что число 3 повторяется в клетках главной диагонали, идущей вправо вверх, и ни одно число не встречается дважды в одной строке или в одном столбце. То же самое мы проделываем с числами 0, 5, 10, 15, 20 с той лишь разницей, что число 10 теперь повторяется в клетках главной диагонали, идущей слева сверху вниз. Поклеточная сумма этих двух квадратов образует магический квадрат. 

3. Метод Де ла Лубера

 Число 1 помещается в центральную клетку верхней строки. Все натуральные числа располагаются в естественном порядке циклически снизу вверх в клетках диагоналей справа налево. Дойдя до верхнего края квадрата (как в случае числа 1), продолжаем заполнять диагональ, начинающуюся от нижней клетки следующего столбца. Дойдя до правого края квадрата (число 3), продолжаем заполнять диагональ, идущую от левой клетки строкой выше. Дойдя до заполненной клетки (число 5) или угла (число 15), траектория спускается на одну клетку вниз, после чего процесс заполнения продолжается.

В первой главе были рассмотрены вопросы происхождения магических квадратов, правила, а также виды и методы построения магических квадратов. Можно сделать несколько выводов:

• магические квадраты известны человечеству уже на протяжении нескольких тысячелетий
• нет общего метода построения магических квадратов
• метод построения зависит от того, каков порядок магического квадрата.

ГЛАВА II. ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ ИССЛЕДОВАНИЯ

2.1 Квадраты третьего порядка.

Квадраты 3-го порядка можно составить перебором различных комбинаций, так как метода для их построения НЕТ.

Квадрат со значением 15.

Я так и сделал. На перебор комбинаций ушло 30 минут. Я перебрал 15 комбинаций. И сделал вывод, этот метод не очень удобен. После первого квадрата дело пошло намного лучше!

Квадрат со значением 21                      Квадрат со значением 24

Квадрат со значением 18                          Квадрат со значением 63

Если каждое число магического квадрата сложить само с собой, то получится новый магический квадрат.

                                                             Квадрат со значением 36    

2.2 Квадраты четвёртого порядка.

Я решил попробовать также как и с магическим квадратом третьего порядка. Перебором комбинаций. У меня нечего не получилось.

Для квадратов четвёртого порядка наиболее удобен метод Рауз - Болла.                                            

        =

Это квадрат со значением 32.      

Интересный факт, что если к каждому числу квадрата прибавить по 1,2,3,4 и т.д. то можно создать новый магический квадрат. Например, возьмём уже готовый магический квадрат и прибавим 2 к каждому числу квадрата.

+2      =                                                      

Получился совсем другой магический квадрат со значением 42.

Также  удобен для построения метод вертикалей  и  горизонталей.

        =                      

        =  

2.3 Квадраты пятого порядка.

1метод: метод террас.          

2 метод : метод  Де ла Ира                                                        

3 метод: метод Де ла Лубера.

Во второй главе на практике рассмотрели построение магических квадратов. Для каждого порядка были применены  разные методы построения. Наиболее сложными для построения  оказались методы Де ла Ира и Де ла Лубера.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.

Магические квадраты и способы их построения беспокоили умы учёных много веков подряд. Магические квадраты не внесли вклад в развитие науки, электроники и техники, но заинтересовали многих людей со всего мира и способствовали развитию других разделов математики.  

В своей работе я изучил квадраты с 3-го порядка по 5-ый. Я рассмотрел несколько методов построения магических квадратов. Метод Де ла Лубера, метод Де ла Ира и метод террас для построения квадратов 5-го порядка. Метод Рауз - Болла  для построения квадратов 4-го порядка. И просто перебирал комбинации для построения квадрата 3-го порядка.  Была достигнута цель проекта: я узнал методы построения магических квадратов и научился их строить. В результате работы я подтвердил гипотезу о том, что для каждого магического квадрата существует свой метод построения.

Я предполагаю,  что ещё многое людям неизвестно о тайном мире магических квадратов и ещё многое предстоит узнать, ведь полного описания магических квадратов до сих пор не дано. Надеюсь, я немного приоткрыл вам дверь в этот удивительный мир магических квадратов.

Наверно, я продолжу изучать магические квадраты, узнавать новые методы построения квадратов и буду пытаться составлять магические квадраты с  6-го порядка и  далее.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ:

1. Википедия- свободная энциклопедия. - https://ru.wikipedia.org/wiki/ Магический_квадрат
2. Волшебный мир магических квадратов. - http://www.klassikpoez.narod. ru/glavnaja.htm
3. Макарова Н.В. ВОЛШЕБНЫЙ МИР МАГИЧЕСКИХ КВАДРАТОВ. -

http://narod.ru/disk/5834353000/Magic_squares.pdf.html

4. Энциклопедический словарь юного математика / Сост. А.П.Савин. - М.: Педагогика, 1989. - 352 с: ил.
5. Энциклопедия Кругосвет/ Универсальная научно-популярная онлайн - энциклопедия.- http://www.krugosvet.ru/enc/nauka_i_tehnika/matematika/ MAGICHESKI_KVADRAT.html

Оленегорск-2, 2016

Квадраты четвёртого порядка

Метод Рауз - Болла

В квадрат вписываются числа в их естественном порядке, начиная с левой верхней ячейки. Затем в квадрате проводятся диагонали. Числа, расположенные во взаимно симметричных ячейках (относительно центра квадрата), через которые прошли диагонали, меняются местами, а числа, через которые диагонали не прошли, остаются на месте.

Метод вертикалей  и  горизонталей

В квадрат записываются все числа в порядке, который изображён на рис.1. После чего меняются местами цифры диагоналей внутреннего квадрата (2*2), затем цифры вертикалей и горизонталей внешнего квадрата.

Рис. 1

Магические квадраты пятого

порядка.

Метод террас

Метод - террас

С четырёх сторон к исходному квадрату 5*5 добавляются террасы (по 2 с каждой стороны). В полученной фигуре располагают числа в естественном порядке косыми рядами снизу вверх, начиная с ячейки, находящейся по центру левой террасы. Числа в террасах, не попавшие в квадрат, перемещаются как бы вместе с террасами внутрь него так, чтобы они примкнули к противоположным сторонам квадрата.

Метод  Де ла Ира

Метод основан на двух первоначальных квадратах 5*5. В клетку первого квадрата вписываются числа от 1 до 5 так, что число 3 повторяется в клетках главной диагонали, идущей вправо вверх, и ни одно число не встречается дважды в одной строке или в одном столбце. То же самое мы проделываем с числами 0, 5, 10, 15, 20 с той лишь разницей, что число 10 теперь повторяется в клетках главной диагонали, идущей сверху вниз. Поклеточная сумма этих двух квадратов образует магический квадрат. 

Метод  Де ла Ира

       +

        =