ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ РАБОТА ПО МАТЕМАТИКЕ НА ТЕМУ: «РЕШЕНИЕ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ. ОБЩИЕ И ЧАСТНЫЕ МЕТОДЫ.»

Муниципальное бюджетное образовательное учреждение

«Чибитская средняя общеобразовательная школа»

ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ РАБОТА ПО МАТЕМАТИКЕ НА ТЕМУ:

«РЕШЕНИЕ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ. ОБЩИЕ И ЧАСТНЫЕ МЕТОДЫ.»

Выполнила: Тойлонова Айрура, 8 класс

Руководитель: Тойлонова Н. В.

Чибит 2016 г.

Оглавление

Введение.

Весь курс элементарной математики, изучаемой в средней школе, пронизан квадратными уравнениями. Многочисленные задачи явно несвязанные с квадратными уравнениями, в ходе их решения сводятся, в конечном итоге, либо к исследованию квадратного трехчлена, либо к нахождению его корней. Таким образом, каждый выпускник обязан уметь решать все виды квадратных уравнений (полные или неполные).

Конечно «квадратные уравнения» применяется  во многих разделах  школьного курса  математики, например,  при решении задач  на составление уравнений, алгебраическое и графическое решение уравнений. Очень большое применение методов решения квадратных уравнений нашло свое отражение в заданиях ОГЭ и ЕГЭ (во всех модулях). Но зачастую обучающиеся запоминают одну единственную формулу (основную с помощью дискриминанта) для решения квадратных уравнений. Зачастую эта формула очень громоздка и занимает много времени.

Исходя из всего вышесказанного, у меня возникла проблема: можно ли найти такие способы решения квадратных уравнений, чтобы можно было это сделать быстро и самое главное правильно.

Указанные обстоятельства обусловили мой выбор темы исследовательской работы.

Основной  целью работы считаю расширенное изучение  различных методов решения квадратных уравнений.

Цель моей исследовательской работы определяет следующие задачи:

- повторить основные методы решения квадратных уравнений: алгебраических и графических;

- изучить различные частные случаи решения квадратных уравнений;

- применить изученные способы при решении квадратных уравнений на практике.

Я предположила, что в результате исследования я смогу показать своим одноклассникам и друзьям, что решение квадратных уравнений не является одним из сложнейших заданий.

 Формулирование цели исследовательской работы определяет:

 объект исследования – квадратные уравнения;

предмет исследования – частные методы решения квадратных уравнений.

Глава 1. Основные понятия

Сначала мы разберем, что такое квадратное уравнение, как оно записывается в общем виде, и дадим связанные определения. После этого на примерах подробно разберем, как решаются неполные квадратные уравнения. Дальше перейдем к решению полных уравнений, получим формулу корней, познакомимся с дискриминантом квадратного уравнения и рассмотрим решения характерных примеров. Наконец, проследим связи между корнями и коэффициентами.

Что такое квадратное уравнение? Виды квадратных уравнений.

Для начала надо отчетливо понимать, что такое квадратное уравнение. Поэтому разговор о квадратных уравнениях логично начать с определения квадратного уравнения, а также связанных с ним определений.

Определение и примеры квадратных уравнений

Определение.

Квадратное уравнение – это уравнение вида ax2+bx+c=0, где x – переменная, a, b и c – некоторые числа, причем a отлично от нуля.

Сразу скажем, что квадратные уравнения часто называют уравнениями второй степени. Это связано с тем, что квадратное уравнение является алгебраическим уравнением второй степени.

Озвученное определение позволяет привести примеры квадратных уравнений. Так 2x2+6x+1=0, 0,2x2+2,5x+0,03=0 и т.п. – это квадратные уравнения.

Определение.

Числа a, b и c называют коэффициентами квадратного уравнения ax2+bx+c=0, причем коэффициент a называют первым, или старшим, или коэффициентом при x2, b – вторым коэффициентом, или коэффициентом при x, а c – свободным членом.

Для примера возьмем квадратное уравнение вида 5x2−2x−3=0, здесь старший коэффициент есть 5, второй коэффициент равен −2, а свободный член равен −3. Обратите внимание, когда коэффициенты b и/или c отрицательные, как в только что приведенном примере, то используется краткая форма записи квадратного уравнения вида 5x2−2x−3=0, а не 5·x2+(−2)·x+(−3)=0.

Стоит отметить, что когда коэффициенты a и/или b равны 1 или −1, то они в записи квадратного уравнения обычно не присутствуют явно, что связано с особенностями записи алгебраических выражений. Например, в квадратном уравнении y2−y+3=0 старший коэффициент есть единица, а коэффициент при y равен −1.

Упрощение вида квадратных уравнений

Порой, прежде чем пускаться в вычисление корней квадратного уравнения по формулам, не помешает задаться вопросом: «А нельзя ли упростить вид этого уравнения»? Согласитесь, что в плане вычислений проще будет решить квадратное уравнение 11x2−4x−6=0, чем 1100x2−400x−600=0.

Обычно упрощение вида квадратного уравнения достигается путем умножения или деления его обеих частей на некоторое число. Например, в предыдущем абзаце удалось достичь упрощения уравнения 1100x2−400x−600=0, разделив обе его части на 100.

Подобное преобразование проводят с квадратными уравнениями, коэффициенты которого не являются коэффициентами абсолютных величин. Для примера возьмем квадратное уравнение 12x2−42x+48=0.  НОД(12, 42, 48)=НОД(НОД(12, 42), 48)=НОД(6, 48)=6. Разделив обе части исходного квадратного уравнения на 6, мы придем к равносильному ему квадратному уравнению 2x2−7x+8=0.

А умножение обеих частей квадратного уравнения обычно производится для избавления от дробных коэффициентов. При этом умножение проводят на общий знаменатель его коэффициентов. Например, если в уравнении   обе части квадратного уравнения  умножить на НОК(6, 3, 1)=6, то оно примет более простой вид x2+4x−18=0.

В заключение этого пункта заметим, что почти всегда избавляются от минуса при старшем коэффициенте квадратного уравнения, изменяя знаки всех членов, что соответствует умножению (или делению) обеих частей на −1. Например, обычно от квадратного уравнения −2x2−3x+7=0 переходят к решению 2x2+3x−7=0.

Виды квадратных уравнений.

1) Приведенные и неприведенные  квадратные уравнения

В зависимости от значения старшего коэффициента различают приведенные и неприведенные квадратные уравнения. Дадим соответствующие определения.

Определение.

Квадратное уравнение, в котором старший коэффициент равен 1, называют приведенным квадратным уравнением. В противном случае квадратное уравнение является неприведенным.

Согласно данному определению, квадратные уравнения x2−3x+1=0,  x2− x−=0 и т.п. – приведенные, в каждом из них первый коэффициент равен единице. А 5x2−x−1=0,  и т.п. - неприведенные квадратные уравнения, их старшие коэффициенты отличны от 1.

От любого неприведенного квадратного уравнения с помощью деления его обеих частей на старший коэффициент можно перейти к приведенному. Это действие является деление то есть, полученное таким способом приведенное квадратное уравнение имеет те же корни, что и исходное неприведенное квадратное уравнение, или, так же как оно, не имеет корней.

Разберем на примере, как выполняется переход от неприведенного квадратного уравнения к приведенному.

Пример.

От уравнения 3x2+12x−7=0 перейдите к соответствующему приведенному квадратному уравнению.

Решение.

Нам достаточно выполнить деление обеих частей исходного уравнения на старший коэффициент 3, он отличен от нуля, поэтому мы можем выполнить это действие. Имеем (3x2+12x−7):3=0:3, что то же самое,(3·x2):3+(12·x):3−7:3=0, и дальше (3:3)·x2+(12:3)·x−7:3=0, откуда . Так мы получили приведенное квадратное уравнение, равносильное исходному.

2) Полные и неполные квадратные уравнения

В определении квадратного уравнения присутствует условие a≠0. Это условие нужно для того, чтобы уравнение ax2+bx+c=0 было именно квадратным, так как при a=0оно фактически становится линейным уравнением вида bx+c=0.

Что касается коэффициентов b и c, то они могут быть равны нулю, причем как по отдельности, так и вместе. В этих случаях квадратное уравнение называют неполным.

Определение.

Квадратное уравнение ax2+bx+c=0 называют неполным, если хотя бы один из коэффициентов b, c равен нулю.

В свою очередь

Определение.

Полное квадратное уравнение – это уравнение, у которого все коэффициенты отличны от нуля.

Такие названия даны не случайно. Из следующих рассуждений это станет понятно.

Если коэффициент b равен нулю, то квадратное уравнение принимает вид ax2+0x+c=0, и оно равносильно уравнению ax2+c=0. Если c=0, то есть, квадратное уравнение имеет вид ax2+bx+0=0, то его можно переписать как ax2+bx=0. А при b=0 и c=0 мы получим квадратное уравнение ax2=0. Полученные уравнения отличаются от полного квадратного уравнения тем, что их левые части не содержат либо слагаемого с переменной x, либо свободного члена, либо и того и другого. Отсюда и их название – неполные квадратные уравнения.

Так уравнения x2+x+1=0 и −2x2−5x+0,2=0 – это примеры полных квадратных уравнений, а x2=0, −2x2=0, 5x2+3=0, −x2−5x=0 – это неполные квадратные уравнения.

Глава 2.Методы решения квадратных уравнений

2.1. Графический метод решения квадратных уравнений

Используя наши знания о некоторых функциях и их графиках мы в состоянии не дожидаясь систематического изучения темы «Квадратные уравнения» решать некоторые квадратные уравнения причем различными методами. Рассмотрим все эти методы. Для начала рассмотрим неполные квадратные уравнения.

Пример 1.

Решите уравнение:  

Решение.

Для решения этого уравнения, достаточно построить графики двух функций:  

Рис. 1

Найдем координаты точки пересечения этих функций (0; 0). Координата абсциссы и есть решение данного уравнения. В данном случае уравнение имеет одно решение.

Ответ: х=0.

Пример 2.

Решите уравнение:

Решение. 

Для решения данного уравнения перенесем  за знак равенства. Получим следующее равенство:

Для решения этого уравнения, достаточно построить графики двух функций:  

Рис. 2

Найдем координаты точки пересечения этих функций (0; 0) и (3; 9). Координата абсциссы и есть решение данного уравнения.

Ответ: .

А теперь рассмотрим различные методы решения одного  полного квадратного уравнения.

Пример 3.

Решите уравнение:  

Решение.

Способ 1. Для решения этого уравнения, достаточно построить графики двух функций:

Рис 3.

Координаты точки пересечения (-1; 1) и (3; 9). Координата абсциссы и есть решение данного уравнения.

Ответ: .

Способ 2. Для решения уравнения  Найдем координаты вершины параболы по формуле:

Необходимо построить параболу вершина которой находится в точке

Рис 4.

Решение данного уравнения определятся координатами точек пересечения с осью абсцисс, то есть

Ответ: -1; 3.

2.2. Методы решения неполных квадратных уравнений

Из информации предыдущего пункта следует, что существует три вида неполных квадратных уравнений:

• a·x2=0, ему отвечают коэффициенты b=0 и c=0;
• a·x2+c=0, когда b=0;
• и a·x2+b·x=0, когда c=0.

Разберем по порядку, как решаются неполные квадратные уравнения каждого из этих видов.

1) a·x2=0

Начнем с решения неполных квадратных уравнений, в которых коэффициенты b и c равны нулю, то есть, с уравнений вида a·x2=0. Уравнению a·x2=0 следует  x2=0, которое получается из исходного делением его обеих частей на отличное от нуля число a. Очевидно, корнем уравнения x2=0 является нуль, так как02=0. Других корней это уравнение не имеет.

Итак, неполное квадратное уравнение a·x2=0 имеет единственный корень x=0.

Пример 4.

Решите уравнение: −4·x2=0.

Решение. Ему равносильно уравнение x2=0, его единственным корнем является x=0, следовательно, и исходное уравнение имеет единственный корень нуль.

Краткое решение в этом случае можно оформить следующим образом:
−4·x2=0,
x2=0:(-4),
x=0.

Ответ: x=0.

2) a·x2+c=0

Теперь рассмотрим, как решаются неполные квадратные уравнения, в которых коэффициент b равен нулю, а c≠0, то есть, уравнения вида a·x2+c=0. Мы знаем, что перенос слагаемого из одной части уравнения в другую с противоположным знаком, а также деление обеих частей уравнения на отличное от нуля число дают равносильное уравнение. Поэтому можно провести следующие равносильные преобразования неполного квадратного уравнения a·x2+c=0:

• перенести c в правую часть, что дает уравнение a·x2=−c,
• и разделить обе его части на a, получаем .

Полученное уравнение позволяет сделать выводы о его корнях.

Если число  – отрицательное, то уравнение  не имеет корней. Это утверждение следует из того, что квадрат любого числа есть число неотрицательное.

Если же   – положительное число, то дело с корнями уравнения  обстоит иначе. В этом случае, нужно вспомнить, что корень уравнения есть, им является число. Корень уравнения вычисляется по схеме:

Известно, что подстановка в уравнение вместо x его корней обращает уравнение в верное равенство. 

Обобщим информацию этого пункта. Неполное квадратное уравнение  a·x2+c=0 равносильно уравнению , которое

• не имеет корней, если ,
• имеет два корня, если .

Пример 5.

Решите квадратное уравнение 9·x2+7=0.

Решение.
После переноса свободного члена в правую часть уравнения, оно примет вид 9·x2=−7. Разделив обе части полученного уравнения на 9, придем к   . Так как в правой части получилось отрицательное число, то это уравнение не имеет корней, следовательно, и исходное неполное квадратное уравнение 9·x2+7=0 не имеет корней.

Ответ: уравнение не имеет корней.

Пример 6. Решите неполное квадратное уравнение −x2+9=0.

Решение.

Переносим девятку в правую часть: −x2=−9. Теперь делим обе части на −1, получаем x2=9. В правой части находится положительное число, откуда заключаем, что  уравнение имеет корни.

.

Ответ:  x=3 или x=−3.

3) a·x2+b·x=0

Осталось разобраться с решением последнего вида неполных квадратных уравнений при c=0. Неполные квадратные уравнения вида a·x2+b·x=0 позволяет решить метод разложения на множители. В частности метод вынесения за скобки.

Очевидно, мы можем , находящийся в левой части уравнения, для чего достаточно вынести за скобки общий множитель x. Это позволяет перейти от исходного неполного квадратного уравнения к равносильному уравнению вида: x·(a·x+b)=0.

А это уравнение равносильно совокупности двух уравнений x=0 или a·x+b=0, последнее из которых является линейным и имеет корень x=−.

Итак, неполное квадратное уравнение a·x2+b·x=0 имеет два корня 

x=0 и x=−.

Для закрепления материала разберем решение конкретного примера.

Пример7.

Решите уравнение  .

Решение.

Выносим x за скобки, это дает уравнение . Оно равносильно двум уравнениям x=0 и .

Решаем полученное линейное уравнение:

 , и выполнив деление смешанного числа на обыкновенную дробь, находим . Следовательно, корнями исходного уравнения являются x=0 и .

Ответ: x=0, .

2.3. Методы решения полных квадратных уравнений.

1. Дискриминант, основная формула корней квадратного уравнения

Для решения квадратных уравнений вида  существуют формула корней.

Запишем формулу корней квадратного уравнения пошагово: 

1)  D=b2−4·a·c – так называемый дискриминант квадратного уравнения.

а) если D<0, то уравнение не имеет действительных корней;

б) если D>0, то уравнение не имеет один корень:

в) если D<0, то уравнение не имеет два корня:

Алгоритм решения квадратных уравнений по формулам корней

На практике при решении квадратных уравнения можно сразу использовать формулу корней, с помощью которой вычислить их значения. Но это больше относиться к нахождению комплексных корней.

Однако в школьном курсе алгебры обычно речь идет не о комплексных, а о действительных корнях квадратного уравнения. В этом случае целесообразно перед использованием формул корней квадратного уравнения предварительно найти дискриминант, убедиться, что он неотрицательный (в противном случае можно делать вывод, что уравнение не имеет действительных корней), и уже после этого вычислять значения корней.

Приведенные рассуждения позволяют записать алгоритм решения квадратного уравнения. Чтобы решить квадратное уравнение a·x2+b·x+c=0, надо:

• по формуле дискриминанта D=b2−4·a·c вычислить его значение;
• заключить, что квадратное уравнение не имеет действительных корней, если дискриминант отрицательный;
• вычислить единственный корень уравнения по формуле , если D=0;
• найти два действительных корня квадратного уравнения по формуле корней , если дискриминант положительный.

2. Дискриминант, вторая формула корней квадратного уравнения (при четном втором коэффициенте).

Для решения квадратных уравнений вида , при четном коэффициенте b=2k  существуют другая формула.

Запишем новую формулу корней квадратного уравнения при : 

1)  D’=k2−a·c – так называемый дискриминант квадратного уравнения.

а) если D’<0, то уравнение не имеет действительных корней;

б) если D’>0, то уравнение не имеет один корень:

в) если D’<0, то уравнение не имеет два корня:

Примеры решения квадратных уравнений

Рассмотрим решения квадратного уравнения двумя формулами дискриминанта.

Пример 8.

Найдите корни уравнения x2+4x−12=0.

Решение.

1)В первом случае имеем следующие коэффициенты квадратного уравнения: a=1,b=4 и c=−12. Согласно алгоритму, сначала надо вычислить дискриминант D=b2−4·a·c=42−4·1·(−12)=16+48=64. Так как 64>0, то есть, дискриминант больше нуля, то квадратное уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле корней 

 Ответ: 2 и – 6.

2) В первом случае имеем следующие коэффициенты квадратного уравнения: a=1, k=2 и c=−12. Согласно алгоритму, сначала надо вычислить дискриминант D’=k2−a·c=22−1·(−12)=4+12=16. Число 16>0, то есть, дискриминант больше нуля, то квадратное уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле корней 

 Ответ: 2 и – 6.

Можно сделать вывод, какие бы формулы мы не использовали корни уравнения x2+4x−12=0 остались неизменными.

2.4.Частные методы решения квадратных уравнений.

1) Связь между корнями и коэффициентами квадратного уравнения. Теорема Виета.

Формула корней квадратного уравнения  выражает корни уравнения через его коэффициенты. Отталкиваясь от формулы корней, можно получить другие зависимости между корнями и коэффициентами.

Наиболее известной и применимой формулой называемой Теоремой Виета.

Теорема: Пусть  - корни приведенного квадратного уравнения . Тогда произведение корней равна свободному члену, а сумма корней противоположному значению второго коэффициента:

Используя уже записанные формулы можно получить и ряд других связей между корнями и коэффициентами квадратного уравнения. К примеру, можно выразить сумму квадратов корней квадратного уравнения через его коэффициенты.

Утверждение 1. Пусть дано квадратное уравнение , а  – его корни, тогда имеет место предложение: если , то  

Утверждение 2. Пусть дано квадратное уравнение , а  – его корни, тогда имеет место предложение: если , то  

Рассмотрим практическое применение данных утверждений.

Пример 9.

Решите квадратное уравнение  

Решение.

Так как уравнение приведенное, имеет место применение теоремы Виета.

Не сложно догадаться что числа, которые в произведении дающие 8, а в сумме 6  - это 2 и 4.

Ответ: 2; 4.

Пример 10.

Решите квадратное уравнение  

Решение.

Проверим утверждение 1:  

Значит делаем выводы о корнях данного уравнения:

Ответ:.  
Пример 11.

Решите квадратное уравнение:  

Решение.

Проверим утверждение 1:  

Проверим утверждение 2:  

Значит делаем выводы о корнях данного уравнения по второму утверждению:

Ответ:.

Заключение

По итогам выполненной работы я хотела бы сказать, что мне было очень интересно работать с данной темой. Я познакомилась с новыми  методами решения квадратных уравнений, повторила графическое решение уравнений. А для этого прочитала и изучила немало дополнительной литературы. Получив эти знания, мне будет совсем нетрудно выбрать рациональный способ решения квадратных уравнений, что позволит значительно экономить время.

Таким образом, можно сделать следующий вывод: систематическое использование различных способов решения квадратных уравнений, приводит не только к повышению интереса к алгебраической математике,  повышению творческой активности обучающихся, но и повышает уверенность в собственных силах, так как у нас имеется возможность выбора того способа решения, который наиболее эффективен в каждом конкретном случае. 

Считаю что цель моей исследовательской работы достигнута.

Список, использованной литературы.

1. Алгебра: учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. - 16-е изд. - М. : Просвещение, 2008. - 271 с. : ил. - ISBN 978-5-09-019243-9.

2. Алгебра. 8 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович. - 12-е изд., стер. - М.: Мнемозина, 2012. - 215 с.: ил. ISBN 978-5-346-01155-2.

3. Алгебра. 8 класс. В 2 ч. Ч. 2.Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович. - 12-е изд., стер. - М.: Мнемозина, 2012. - 283 с.: ил. ISBN 978-5-346-01155-2.

4. Частные случаи решения квадратных уравнений. Сборник задач для поступающих в ВУЗЫ/ Е. А. Иванова. Бийск: 2011. – 73с.

Приложение 1

Решите квадратные уравнения, используя частные методы решения:

а) используя обратную теорему Виета:

1.   ;                                        2.   ;

3.   ;                                4.   ;

5.   ;                                6.  ;

7.   ;                                8.   ;

б) используя утверждение 1 :

1.    ;                                        2.   ;

3. ;                                4. ;

в) используя утверждение 2  :

1.  ;                                        2.  ;

3.  ;                                        4.  ;

Приложение 2.

Решите уравнения устно:

1)  

2)  

3)  

4)  

5)  

6)  

7)  

8)