Математика в архитектуре

Математика в архитектуре

Автор: Кузнецова Татьяна 

   11 класс, МБОУ «Средняя

     школа № 20»

                                                                                              Руководитель: Карпеева Оксана

Валерьевна

                                                                                                    учитель математики

                                                                                                    МБОУ «Средняя

                                                                                                    школа № 20»

г. Дзержинск

2018 г.

Введение……………………………………………………………….…...2

Аннотация………………………………………………………………….4

Геометрические фигуры в архитектурных сооружениях…………..5

Геометрические фигуры как прообразы архитектурных форм………...-

Геометрические фигуры в решении проблем прочности………………8

Различные виды симметрии в архитектуре………………………….10

Симметрия, диссимметрия, асимметрия………………………………….-

Пропорциональность как основа архитектурной композиции……13

Пропорции в архитектурной композиции………………………………..-

Золотая пропорция………………………………………………………....15

Практическая часть………………………………………………..…….18

Геометрическая форма здания…………………………………………….19

Законы симметрии в здании школы……………………………………….21

Соотношения и пропорции………………………………………………...22

Заключение………………………………………………………………….23

Список литературы…………………………………………………………24

                                              Введение

 Как гласит распространенная метафора - «Архитектура  - это музыка в камне». А сама музыка строится по строгим математическим законам. Скажите это любому музыканту – и он удивится, ведь такое отношение к его сфере деятельности применяется нечасто. И все же, неосознанно, он движется по этой строгой математической закономерности.

Так и творчество любого архитектора подчиняется законам о сути которых он зачастую даже не догадывается. Это удивительная область человеческой деятельности. В ней тесно переплетены и строго уравновешены наука, техника и искусство. Она триедина: извечно сочетает в себе логику ученого, ремесло мастера и вдохновение художника. «Прочность – польза - красота» - такова знаменитая формула единого архитектурного целого, выведенная еще древнеримским теоретиком зодчества – Витрувием.

При соблюдении только одной составляющей архитектуры, как правило, результат заставляет разочаровываться. Так, архитектура XX века – это устойчивые, но совершенно одинаковые «серые ящики» - пример того, как «польза» и «прочность» игнорируют использование «красоты».

При этом архитектура отличается бифункциональностью: в отличие от большинства других видов искусства, она должна отвечать не только эстетическим требованиям, но и утилитарным. Интуиция и расчет – незаменимые спутники архитектора.

Роль математики в формировании «пользы» и «прочности» архитектуры очевидна. Еще архитектура классицизма, как известно, использовала достаточно строгую математическую систему пропорций, знание которой требовалось от каждого архитектора. Тем не менее, значение математических моделей в архитектуре далеко не всегда очевидно, и рассмотреть эти случаи также необходимо.

Современное общество в первую очередь подчиняется законам научно-технического прогресса. Архитектура, как одна из сфер человеческой деятельности, включает в себя те же правила, принципы и тенденции, что и в обществе. Ускорение жизненных процессов не могло не затронуть процесс архитектурного проектирования. Научно-техническая революция не могла обойти архитектуру стороной: она немыслима без проникновения математики во все доступные ей сферы.

Появление ЭВМ позволило выйти на новый уровень моделирования. Возникла возможность, применяя современные и традиционные разделы математики при астрономическом увеличении скорости просчета вариантов, создавать модели максимально возможно приближенные к реальности. Но большинство современных архитекторов стараются избежать связи со сложной математической моделью – это связано с проблемами образования и общего развития общества. В наше время, когда на одно из первых мест выходит взаимодействие «пользы» и «красоты» архитектуры, использование новых технологий в проектировании необходимо.

                                        Аннотация

Основная цель исследования: определить необходимость углубления математических познаний нового поколения архитекторов.

Задачами являются:

• исследование известных математических методов в архитектуре;
• нахождение элементов связи математики и архитектуры в истории со времен Древнего мира до сегодняшних дней;
• применение методов на практике;
• прогноз будущего математических методов в архитектуре.

Проблема исследования: прогрессивность математики в архитектуре.

Объект исследования: архитектура.

Предмет исследования: математические методы в проектировании и моделировании.

Методы исследования:

• изучение материалов и источников;
• наблюдение ранних и современных тенденций в архитектуре.

         1. Геометрические фигуры в архитектурных сооружениях.

1. Геометрические фигуры как прообразы архитектурных форм.

 Нет ни одного вида искусства, который был бы связан с геометрией так же сильно, как архитектура. Геометрия и геометрические тела – лучший способ установления отношения порядка искусства в архитектуре.

В первую очередь стоит упомянуть плоские фигуры: многоугольники, окружности, параллелограммы и др. Каждая из плоских фигур обладает своими особенностями, позволяющими им образовывать в итоге объемные фигуры.

Геометрическим телом называют замкнутую часть пространства, ограниченную поверхностями. Формы любых предметов, в том силе архитектурных сооружений, можно рассматривать как сочетание таких геометрических тел, как многогранники и тела вращения.

Многогранники – геометрические тела, ограниченные плоскими многоугольниками – гранями. Стороны граней называют ребрами, концы ребер – вершинами.

Призмой называют многогранник, у которого две грани – основания призмы – равные многоугольники, расположенные в параллельных плоскостях, а остальные грани (боковые) – параллелограммы.

Форму призмы, чаще всего прямой, имеют многие предметы домашнего обихода. В архитектуре эта форма всегда имела особое значение – она наиболее удобна для базовых и конечных сооружений. Лаконичность, строгость и компактность формы прямой призмы была особенно популярна у архитекторов в XX веке, и до сих пор большинство жилых и функциональных зданий имеют подобную форму. Главная проблема таких строений – их незначительное эстетическое содержание (в большинстве случаев).

Пирамидой называют многогранник, основанием которого является плоский многоугольник, а боковыми гранями – треугольники, имеющие общую вершину.

Самый известный пример архитектурного сооружения в форме пирамиды – пирамида Хеопса, которая, как известно, считается одним из Семи чудес света. Форма пирамиды в строительстве обладает своими преимуществами, и во многом не уступает форме призмы, но при всех своих плюсах имеет главный выразительный недостаток – некомпактность. При тех же параметрах высоты и площади основания, здание в форме прямой призмы гораздо больше вмещает в себя за счет большего объема, чем здание в форме пирамиды. Поэтому сейчас эта форма чаще используется как элемент крыши.

Тела вращения – геометрические тела, ограниченные поверхностью вращения либо поверхностью вращения и плоскостью.

Прямым круговым цилиндром называют тело, ограниченное цилиндрической поверхностью вращения – его боковая поверхность - и двумя кругами – основания цилиндра, расположенные в плоскостях, перпендикулярных оси цилиндра.

Форму прямого кругового цилиндра, как правило, имеют бытовые предметы (ручка, предметы посуды, ножка стула, и др.), но и в архитектуре эта форма встречается достаточно часто. Наиболее известные примеры – многочисленные башни (например, Вавилонская башня), часовни и, конечно, Колизей. Эта форма используется также и для дополнительных сооружений, таких как башенки и колонны. Особенность этой формы – ее связь с прямой призмой. При создании сооружений, для которых требуется основание в форме эллипса (например, стадионов), у формы прямого цилиндра нет конкурентов.

Прямым круговым конусом называют тело, ограниченное поверхностью (боковая поверхность конуса) и кругом, - основание конуса, расположенным в плоскости, перпендикулярно оси конуса.

Форму прямого конуса и прямого усеченного конуса редко используют в современном строительстве. Наиболее распространена эта форма в крышах для строений цилиндрической формы.

Шаром называют тело, полученное при вращении полукруга вокруг его диаметра, а поверхность, которую при этом описывает дуга, называется шаровой или сферической.

Форма полного шара малопригодна для строительства и архитектуры – это самая неустойчивая, хотя и самая плавная форма. Гораздо более распространена форма полусферы – ее можно встретить в элементах крыш, например, в так называемых луковичных главах (куполах). Форму полусферы могут иметь различные стадионы и обсерватории.

Кроме основных известных геометрических форм в современной архитектуре появились и другие, основанные на более сложных математических действиях относительно плоскостей в пространстве. Как известно, для строительства наиболее удобными являются линейчатые поверхности (например, цилиндры и конусы), что объясняется свойствами материалов. Расширяя знания о линейчатых поверхностях, ученые предоставили архитекторам еще две: однополостный гиперболоид и гиперболический параболоид.

Форму однополостного гиперболоида имеют градильни – устройства для охлаждения воды атмосферным воздухом - и известные по всей стране башни Шухова. Башня Шухова состоит из нескольких поставленных друг на друга частей однополостных гиперболоидов. Гиперболический параболоид же в архитектуре – достаточно редкое явление, хотя по эстетичным меркам занимает одно из первых мест. Именно поэтому строения в форме гиперболического параболоида существуют, и их объединяет то, что математическая поверхность в них становится произведением искусства.

В отличие от абстрактной математической геометрии, геометрия в архитектуре наполнена собственным эстетическим содержанием. Образы математической геометрии бестелесны: они не имеют толщины, веса, и свободно парят в нашем воображении. Образцы архитектурной геометрии, созданные из конкретного материала, весомы и живут в поле земного тяготения.

            1.2 Геометрические фигуры в решении проблем прочности

 «Прочность – польза - красота», - говорит формула архитектуры Витрувия. Прочность не случайно стоит в ней на первом месте. Вся история архитектуры – это история борьбы прочности с всемогущей силой тяготения. Мелькали годы, проходили эпохи, менялись материалы, а следовательно и конструкции архитектурных сооружений. Но эта проблема всегда оставалась актуальной.

На примере таких древних строений, как пирамиды, мы можем сделать вывод: только единство конструкции и внешней формы может придать строению качество, именуемое «архитектурной истиной». Диалектическое единство внутренней конструкции и внешней формы является главнейшим условием образования архитектурных форм. Конструкция древнеегипетской пирамиды является самой прочной, простой и устойчивой. И исходит это не только из ее собственных качеств: материала и технологии строительства. В первую очередь, конструкция зависима от геометрической формы.

Форма пирамиды образована первоначально от плоских фигур – квадрата и четырех равнобедренных треугольников. Существование такой формы в первую очередь обусловлено устойчивостью конструкции, благодаря так называемому «расширению книзу». Форма треугольной и четырехугольной пирамиды выгода и тем, что при большой площади давления строение в форме пирамиды обладает меньшим весом, чем строение в форме прямоугольного параллелепипеда – что выгодно на территориях, где требуется меньшее давление на грунт. Другими словами, главное правило устойчивости конструкции пирамиды – уменьшение ее массы по мере увеличения высоты над землей. В то же время форма пирамиды удобна и для строительства с помощью блоков. Кроме «пользы» и «прочности» форма пирамиды обладает своим особенным эстетическим содержанием, величественностью, создаваемой за счет симметрии и точной системы пропорций. Далеко не каждая форма обладает таким благоприятным совпадением качеств, ценных для архитектора.

Несмотря на все исторические преобразования и искания, наиболее благоприятной в итоге была выбрана форма прямоугольной призмы. Именно эта форма главенствует ныне в архитектуре, хотя и не наполнена эстетическим содержанием. Основная черта прямоугольной призмы – равномерность. Все ее грани перпендикулярны друг другу, образуя шесть плоскостей, взаимосвязанных между собой прямыми углами. Таким образом, можно сказать, что все грани представляют собой ровные (горизонтальные и вертикальные) поверхности. Поэтому монолитный блок в форме прямоугольной призмы является наиболее массивным – а значит и устойчивым относительно земли. Ничто не заменит конструкцию в форме прямоугольной призмы в роли основания сооружения.

С другой стороны форма прямоугольной призмы неблагоприятна для высотных конструкций – в этом плане ее массивность и устойчивость играют скорее отрицательную роль, чем положительную. Достаточно вспомнить знакомую всем с детства ситуацию – высотный домик из кубиков всегда разваливался, в то время как пирамида оставалась достаточно прочной.

Так почему же в итоге в основе строительства в наше время стала форма прямоугольной призмы? Ответ прост: при достаточной устойчивости эта форма наиболее функциональна и компактна. Именно форма прямоугольной призмы позволяет создать наибольший объем при наименьшей затрате строительного материала.

                       2. Различные виды симметрии в архитектуре

                      2.1 Симметрия, диссимметрия, асимметрия.

Симметрией называют одинаковое расположение равных частей по отношению к плоскости или линии. Симметрия относится к числу наиболее сильных средств организации формы.

Простейший вид симметрии — зеркальная симметрия, симметрия левого и правого. Воображаемая плоскость, делящая форму на две равные части, называется плоскостью симметрии. Плоскость симметрии в произведениях архитектуры, как правило, вертикальна. В горизонтальной проекции строго дисциплинируется расположение частей здания и его деталей, по вертикали развивается свободное и разнообразное чередование элементов и их частей.

Центрально-осевая симметрия — это симметрия относительно вертикальной оси, линии пересечения двух (или большего числа) вертикальных плоскостей симметрии. Сооружение при этом состоит из равных частей, которые могут совмещаться при повороте вокруг оси симметрии.

Наиболее распространена в архитектуре зеркальная симметрия. Ей подчинены постройки Древнего Египта и храмы античной Греции, амфитеатры, термы, базилики и триумфальные арки римлян, дворцы и церкви Ренессанса, равно как и многочисленные сооружения современной архитектуры. Практически любое строение стандартного типа подчиняется закону симметрии – вплоть до расположения и количества окон в каждой отдельной комнате.

Центрально-осевая симметрия реже использовалась в истории архитектуры. Ей подчинены античные круглые храмы и построенные в подражание им парковые павильоны классицизма. Темпьетто во дворе церкви Сан-Пьетро в Риме отвечает законам центрально-осевой симметрии. Центрально-осевая симметрия определяет также форму некоторых архитектурных деталей — например колонн и их капителей.

Симметрия сооружения связывается с организацией его функций. Проекция плоскости симметрии — ось здания — определяет обычно размещение главного входа и начало основных потоков движения. Симметрия объединяет композицию. Расположение главного элемента на оси подчеркивает его значимость, усиливая соподчиненность частей. Каждая деталь в симметричной системе может рассматриваться лишь как часть целого. Значение общего здесь снижает действенность отдельных элементов.

Примечательна роль симметрии и в градостроительстве. Если мы обратим внимание на расположение зданий и улиц любого города с большой высоты, то все явственнее будет проступать симметричность построения.

Симметрия — многообразная закономерность организации формы здания и группы зданий, эффективное средство приведения их к единству. Однако применение симметрии в архитектуре должно быть поставлено в зависимость от целесообразной организации жизненных процессов и логики конструкций. Симметричные формы могут производить впечатление волевой организованности. Но вместе с тем симметрия сковывает, жестко регламентирует не только здание, но и самого пользующегося им человека.

Абсолютная симметрия в крупных и сложных сооружениях, строго говоря, невозможна. Сложность функциональных систем вызывает частичные отклонения от основной, определяющей характер композиции симметричной схемы. Нарушенную, частично расстроенную симметрию мы называем диссимметрией.

Диссимметрия - явление, широко распространенное в живой природе. Она характерна и для человека.

Уничтожение даже мелкой детали в симметричной композиции немедленно нарушает равновесие и порождает напряжение во всей системе. Любое отклонение становится привлекающим внимание и беспокоящим акцентом. Такое воздействие нарушенной симметрии может быть использовано как художественное средство.

Множество сооружений проектируется с учетом диссимметрии. В то время, как симметрия вносит в архитектуру упорядоченность и законченность, диссимметрия вносит элемент хаотичности. Такая хаотичность привлекает внимание, хотя далеко не всегда может быть функционально оправдана.

С точки  зрения  математических  понятий асимметрия - лишь отсутствие симметрии. Однако обширная категория приемов композиции отнюдь не покрывается этим негативным определением. В  архитектуре — симметрия и асимметрия - два   противоположных   метода закономерной  организации   пространственной формы. Единство является целью построения асимметричной системы так же, как и симметричной, однако достигается оно иным путем. Тождество частей и их расположения заменяется зрительным равновесием. Асимметричные композиции в процессе развития архитектуры возникли как воплощение сложных сочетаний жизненных процессов и   условий   окружающей   среды. Конкретные формы таких композиций вырастают как результат неповторимого сочетания факторов. Асимметрия поэтому индивидуальна, в то время как в самом принципе симметрии заложена общность, признак, связывающий все сооружения, имеющие симметрию данного типа.

Соподчиненность частей — основное средство объединения асимметричной композиции. Соподчинение проявляется не только в соотношении размеров, расстановке силуэтных и пластических акцентов, но в направленности системы пространств и объемов к главным частям здания или ансамбля, расположение которых не совпадает с геометрическим центром.

Асимметричная композиция может складываться из симметричных частей, связи между которыми не подчиняются закономерностям симметрии. Эрехтейон на Акрополе в Афинах относятся к числу наиболее гармоничных зданий с асимметричной композицией.

Роль симметрии, диссимметрии и асимметрии в архитектуре очень высока. Каждый элемент в строительстве подчиняется особым законам в зависимости от своей функциональной и эстетической направленности – и наличие или отсутствие симметрии позволяет заострять внимание человека на тех или иных особенностях архитектурного сооружения.

 3.Пропорциональность как основа архитектурной композиции

                      3.1 Пропорции в архитектурной композиции

Математика – универсальный язык науки. Пропорция же – это универсальный язык архитектуры, язык всеобъемлющий и всесильный. Пропорциональность является наиболее ярким, объективным и математически закономерным выражением архитектурной гармонии.

Еще с древних времен ученые осознавали точную соразмерность в архитектурных сооружениях и совокупности сооружений. Долгие поиски тайны этой соразмерности привели их к понятию кратности всех частей сооружения основному модулю. Модуль в архитектуре – это единица измерения, принятая для согласования размеров сооружения между собой и со всем сооружением. В качестве модуля принимались различные величины, например, диаметр колонны в античной архитектуре или диаметр купола в византийском зодчестве. Еще чаще использовали так называемый линейный модуль, когда архитектурной мерой являлась непосредственно мера длины. Так как в древние времена единой меры длины не было, то точную соразмерность ученые эпохи Возрождения понимали арифметически. Таким образом, в архитектуре допускались только рациональные пропорции, а об иррациональных не могло быть и речи.

Но сами шедевры античной архитектуры говорили об обратном: они все были основаны на иррациональных пропорциях. Например, построив квадрат и измерив его диагональ, нетрудно было вывести пропорцию, согласно которой сторона квадрата относится к диагонали как 1 к √2. Если же мы пристроим к первому квадрату второй, равный ему, то отношение меньше стороны полученного прямоугольника к его диагонали будет равно 1:√5. Таким образом мы получаем интересующую нас иррациональную пропорцию – систему двух квадратов. Именно благодаря этой системе можно говорить и о так называемом золотом сечении.

Парная мера 1:√5 встречается во многих архитектурных сооружениях, разделенных между собой веками и тысячами километров: пирамиды Джосера, Хеопса, Хефрена, пропорции Парфенона, древние храмы Киева и Новгорода и т.д. Разумеется, причина популярности этой парной меры кроется в первую очередь в ее математических свойствах. Широкое распространение пропорций двойного квадрата (а их в парной системе 1:√5 очень много) связано с аддитивным свойством площадей. Дело в том, что каждое архитектурное произведение или его часть можно вписать в прямоугольник. А прямоугольники системы двойного квадрата могут без остатка разлагаться на прямоугольники этой же системы. Например, прямоугольник золотого сечения (√5+1)\2 одной линией можно разделить на два прямоугольника, стороны которых будут соотноситься как 1:2 и 2:√5 и т.д.

Но, несмотря на многие доказательства, о несомненном авторитете Витрувия, который занимался вопросами пропорциональности в архитектуре, авторитет модульной архитектуры был так велик, что мысль о геометрическом построении иррациональных пропорций оформилась только в XX веке.

 Одним из главных предметов изучения был Парфенон. Парфенон был и остается совершеннейшим архитектурным сооружением, - уникальность и бессмертие Парфенона предрекали уже в античности. Ничего удивительного, что именно это гениальное сооружение привлекло внимание архитекторов-теоретиков. Исследования Парфенона проводились такими учеными, как Тирш, Цейзинг, Жолтовский, Гримм, Мессель и др. – и каждый из них утверждал о пропорциях и геометрическом основании Парфенона различные между собой вещи.

Все эти исследования, тем не менее, коснулись одного и того же, хотя несли скорее эмпитический характер и не систематизировали знания о строении Парфенона. Подробный анализ этого великого архитектурного памятника невероятно сложен. В действительности же все исследования его объединяло то, что каждый автор в итоге пришел к золотой, или как называли ее в античности, божественной пропорции.

                                         3.2 Золотая пропорция

Удивительные свойства золотой пропорции (золотого сечения) известны с античных времён. О том, что это не простая пропорция, свидетельствует внимание к ней многих выдающихся учёных и мыслителей: Пифагора, Леонардо да Винчи, Дюрера, Кеплера и других. С течением времени внимание к золотой пропорции то ослабевало, то возрастало с новой силой, и каждый раз на волне такого внимания появлялись новые идеи и результаты, которые приводили в восхищение одних исследователей и сторонников изучения свойств золотой пропорции и порождали злобную критику других. Золотая пропорция в архитектуре играет свою немаловажную роль, отразившуюся в трудах этих великих исследователей.

Человек различает окружающие его предметы по форме. Интерес к форме какого-либо предмета может быть продиктован жизненной необходимостью, а может быть вызван красотой формы. Форма архитектурного сооружения, в основе построения которого лежат сочетание симметрии и золотого сечения, способствует наилучшему зрительному восприятию и появлению ощущения красоты и гармонии.

Целое всегда состоит из частей, части разной величины находятся в определенном отношении друг к другу и к целому.

В первую очередь тайна золотого сечения взаимосвязана с рядом чисел Фибоначи: 1+1+2+3+5+8+...+144, где каждое число в этом ряду является суммой двух предыдущих. У этого ряда есть еще одна очень интересная особенность, если предыдущее любое число разделить на последующее, мы получим другое иррациональное число Ф, равное 1,618.

Золотое сечение – это такое пропорциональное деление отрезка на неравные части, при котором весь отрезок так относится к большей части, как сама большая часть относится к меньшей; или другими словами, меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему (рис.2):

a : b= b : c

рис.2.

Свойства золотого сечения описываются уравнением:  x²-x-1= 0

Решение этого уравнения:

Золотое сечение нельзя рассматривать само по себе, отдельно, без связи с симметрией. Великий русский кристаллограф Вульф считал золотое сечение одним из проявлений симметрии. Согласно современным представлениям золотое деление – это асимметричная симметрия. Именно поэтому золотое сечение есть элемент хаоса в архитектуре, стремящийся заполнить строение эстетическим содержанием.

Одно из семи чудес света - египетские пирамиды. Исследователи довольно подробно изучали пирамиду Хеопса – и по заключению этих исследований отклонение длины апофемы боковой грани к половине стороны ее основания отвечает золотой пропорции. Исследователи предполагают, что основным исходным элементом геометрии пирамиды Хеопса является треугольник в ее вертикальном сечении, треугольник, основанный на золотой пропорции. Золотая пропорция выражена в пирамиде Хеопса неоднократно – такой представляется основная геометрическая идея, воплощенная в великой пирамиде. Все закономерные соотношения размеров сооружения являются результатом заложения в нем двух исходных величин: стороны основания и высоты – эти два размера определили все остальные пропорции пирамиды.

Пирамида Хеопса содержит в себе математические знания древних египтян. К ней нужно отнести знание геометрии пирамид, ее сечений, углов, отношение сторон, знание гармонического треугольника с отношением сторон, равным √Ф. Но из этого отношения сторон √Ф следует уравнение  x²=x+1. Это свидетельствует о том, что египтяне знали о золотой пропорции, равной 1,618. Изучая сооружения древних египтян того времени, мы можем прийти к выводу, что уже в те времена существовала система пропорций, построенных на квадрате и его производных – т.е. система иррациональных пропорций.

Почему же закон золотого сечения так часто проявляется в архитектуре? Этому есть вполне рациональное математическое объяснение. Гармоничность архитектурного сооружения в первую очередь зависит не от общей формы, а от соотношения его частей между собой – их пропорциональной зависимости друг от друга. Таким образом, архитектурное целое и его части должны находиться в одинаковых соотношениях.

Таким образом, принято считать, что объекты, содержащие в себе «золотое сечение», воспринимаются людьми как наиболее гармоничные: пропорции пирамиды Хеопса, храмов, барельефов, предметов быта и украшений из гробницы Тутанхамона свидетельствуют, что египетские мастера пользовались соотношениями золотого деления при их создании. При более точном исследовании, можно прийти к выводу, что практически любой окружающий нас объект (если он не является монолитным), содержит в себе золотое сечение – это связано с подсознательным стремлением человека к гармонии.

                                          4. Практическая часть

На основе полученных знаний о математических методах в архитектуре, я провела исследование известного мне строения – здания школы №20 (рис.3), чтобы на практике определить взаимосвязь архитектуры и математики.

Здание школы №20 г. Дзержинска обладает рядом закономерностей, которые мне следует учитывать при его исследовании. Во-первых, это сооружение соответствует определенным стандартам – стандартам функционального типа. Во-вторых, можно сказать, что это сооружение является образцом современной архитектуры: и по составу строительного материала, и по форме. Учитывая это, я могу рассмотреть строение с объективной точки зрения – в данном случае, математической.

рис.3

                     4.1. Геометрическая форма здания

В общей сложности здание школы состоит из пяти габаритных фигур, три из которых выполняют ключевую роль (рис.4). Как в любом представителе современной архитектуры, в школе доминирует форма прямой призмы. Именно эта форма, как было сказано, выполняет роль наиболее устойчивой (после пирамиды) и компактной, что крайне выгодно для ее функциональных свойств. Три основные составляющие – габаритные прямые (и вытянутые в длину) четырехугольные призмы, в высоту на два и три этажа (~ 5-7 метров). Две составляющие соединяются между собой непосредственно, к третьей (в которой расположены крупные помещения спортзала и актового зала) примыкают два узких коридора высотой в один этаж (~ 2 метра). Подобное архитектурное решение позволяет создать иллюзию геометрической композиции из нескольких прямых призм. Пространство между фигурами занимает небольшой внутренний двор, украшенный многочисленной растительностью. Вся композиция в целом устойчиво вписывается в прямоугольник.

Стоит заметить, что столь разрозненная композиция несет в себе не только эстетический смысл, но и смысл прочности. Неустойчивая болотистая почва этих мест и непосредственная близость реки (проблема половодий и подземных вод) требует учитывать давление на грунт – так же, как требовалось учитывать давление на грунт в песчаных местностях и пустыне. Как было сказано, форма большинства современных сооружений соответствует стандартам прямой призмы, то есть такое архитектурное решение, как пирамида, было бы неуместно. Композиция школьного строения содержит в себе три, соединенные между собой габаритные фигуры, вместо одной – таким образом, общая массивность формы смягчается за счет увеличения площади всего сооружения.

При ближайшем рассмотрении можно увидеть четыре прямоугольные арки, соединяющие наружную сторону с внутренним двором. Основная роль этого элемента – функциональная особенность, но наряду с этим арки становятся и своеобразным эстетическим элементом. Тем не менее, как было сказано выше, прямоугольная арка – не лучшее решение в строительстве, так как за счет массивности формы прямоугольной призмы, подпорки выдерживают огромную нагрузку. Подпорки в виде призматических колонн в конкретном строении достаточно крепки, чтобы устоять долгое время, но именно их в будущем времени первыми ожидает участь в виде обрушения.            

рис.4

                   4.2 Законы симметрии в здании школы

Первое, и главное, что бросается в глаза в композиции школьного сооружения – его диссимистричность. При закономерной симметричности формы каждого из элементов (формы прямой призмы), отдельные элементы и вся композиция в целом диссимитрична (частично симметрична по одной из диагоналей). Все три габаритных здания, соединенных между собой, различны по точной форме и размеру: одно из трех заметно ниже, чем два других, и напоминает форму сплюснутого куба. Два соединяющих эти габаритные части коридора также различны по размерам между собой. Четыре сквозные прямоугольные арки симметричны относительно оси в данном конкретном элементе, но в композиции самого здания (в который они встроены) расположены неравномерно. Ось симметрии этого здания не совпадает с осью симметрии композиции из прямоугольных арок.

Другими словами, какую бы плоскость мы не приняли бы за ось симметрии, в общей сложности весь ансамбль сооружений не будет симметричен относительно нее. Мы можем заметить, что при всем соответствии стандартов, здание школы обладает диссимметрией – одним из главных средств эстетической хаотичности в архитектуре. Можно предположить, что архитектор стремился придать строению «красоту» при соблюдении общих стандартов строительства того времени: то есть без сильного вмешательства в другие составляющие архитектуры – «пользу» и «прочность». В данном случае диссиметрия  оправдана и не находит строгих возражений по функциональному вопросу – внутренние помещения здания расположены закономерно и удобно.

                         4.3 Соотношения и пропорции

Школьное здание не отличается четкой пропорциональной зависимостью элементов между собой – таково его архитектурное решение. Но при внимательном рассмотрении особенно примечательны в здании школы пропорции половины. Так ширина одной оконной конструкции и арки соотносятся как 1:2. Обычное окно (как и окно холла) и окна главной галереи различны по размерам и могут рассматриваться как отношение 1:2. Такую же зависимость можно увидеть между высотами холла и примыкающего к нему здания, между размерами самих габаритных зданий и между размерами внутреннего двора.

Можно заметить и такую пропорциональную зависимость: отношение размеров арки к размеру габаритного сооружения, в которое она входит, приблизительно равно отношению входа к размерам внутреннего двора – такое отношение продиктовано функциональным соответствием арок и центрального входа. Можно заметить и тот факт, что площади оснований всех трех основных строений школы приблизительно равны, а так как размеры их различны, то значит соотносятся между собой по конкретным пропорциям.

В целом при своей асимметричности здание выглядит достаточно гармонично, а следовательно и построено по законам пропорциональной или хотя бы частичной пропорциональной зависимости.

Подводя итоги, можно сказать, что здание школы №20 построено по соответствующим математическим законам. Несмотря на соблюдение стандартов при строительстве, архитекторы смогли внести в преобладающую строгую форму прямой призмы элементы архитектурной эстетики. В первую очередь это достигается интересной композицией с внутренней связью между элементами, а также общей асимметричностью сооружения. Кроме этого примечательно пропорциональное отношение элементов здания – особое внимание уделяется системе отношений 1:2. Таким образом, даже простое здание школы можно рассматривать как завершенную архитектурную композицию – и в этом есть несомненная заслуга математики.

                                                 Заключение

Архитектура – это особая ветвь искусства. Она должна искать способы не только возвращения глубокой внутренней природной красоты, но и привносить новое в исследования свойств окружающих нас объектов. Произведения архитектуры – это строения, в которых человек обитает большую часть жизни, в которых отдыхает и трудится. Для того чтобы соблюсти полную безопасность сооружения, архитектура должна прибегать к математическим законам. Поэтому именно этой ветви искусства необходимо уделить больше всего внимания, ведь с объектами действия архитектуры мы сталкиваемся ежедневно.

Не только сторона пользы, но и эстетическая сторона архитектурных сооружений зависит от математических методов. В древности люди хорошо понимали это, стремясь все точнее изучить возможные способы улучшения качества своих творений – и это им удавалось. Подтверждением гениальности их мысли стали сооружения, которые пережили века, оставшись в относительной сохранности, которые при своей прочности по-прежнему считаются наиболее прекрасными. Несмотря на то, что тысячи лет спустя люди растеряли эти знания и интерес к архитектуре, этот вопрос остается актуальным. Именно сейчас, когда мы переходим на новый этап существования общества, необходимо уделить внимание архитектурному искусству. Ведь по-прежнему в целях экономии материала и места, в целях устойчивости современное строительство ограничивается одинаковыми «серыми коробками». И далеко не всегда есть гарантия того, что эта предполагаемо устойчивая конструкция сможет выдержать необходимые нагрузки.

Я считаю, что необходимо в наше время углублять и расширять математическое познание среди учащихся, среди будущих архитекторов и строителей. Ведь в первую очередь инициатива должна исходить от человека, а если для нее нет даже истоков – то надо дать их людям. Благодаря математике и математическим методам будет не только предотвращено совершение страшных ошибок, но и будет открыта дверь в новую эпоху строительства, в которой найдется лучшее соотношение «пользы», «прочности» и «красоты».

                                           Список литературы:

Волошинов А.В. Математика и искусство. – М.: Просвещение, 2000

Васютинский Н. Золотая пропорция. – М.: Молодая гвардия, 1990

Соловьев С.А., Буланже Г.В., Шульга А.К. Черчение и перспектива: Учебник для учащихся техникумов. – М.: Высшая школа, 1982

Тезисы.

Архитектура – это особая ветвь искусства. Она должна искать способы не только возвращения глубокой внутренней природной красоты, но и привносить новое в исследование свойств окружающих нас объектов. Произведения архитектуры – это строения, в которых человек обитает большую часть жизни, в которых отдыхает и трудится. Для того чтобы соблюсти полную безопасность сооружения, архитектура должна прибегать к математическим законам. Поэтому именно этой ветви искусства необходимо уделить больше всего внимания, ведь с объектами действия архитектуры мы сталкиваемся ежедневно.

Не только сторона пользы, но и эстетическая сторона архитектурных сооружений зависит от математических методов. В древности люди хорошо понимали это, стремясь все точнее изучить возможные способы улучшения качества своих творений – и это им удавалось. Подтверждением гениальности их мысли стали сооружения, которые пережили века, оставшись в относительной сохранности, которые при своей прочности по-прежнему считаются наиболее прекрасными. Несмотря на то, что тысячи лет спустя люди растеряли эти знания и интерес к архитектуре, этот вопрос остается актуальным. Именно сейчас, когда мы переходим на новый этап существования общества, необходимо уделить внимание архитектурному искусству. Ведь по-прежнему в целях экономии материала и места, в целях устойчивости современное строительство ограничивается одинаковыми «серыми коробками». И далеко не всегда есть гарантия того, что эта предполагаемо устойчивая конструкция сможет выдержать необходимые нагрузки.

Я считаю, что необходимо в наше время углублять и расширять математическое познание среди учащихся, среди будущих архитекторов и строителей. Ведь в первую очередь инициатива должна исходить от человека, а если для нее нет даже истоков – то надо дать их людям. Благодаря математике и математическим методам будет не только предотвращено совершение страшных ошибок, но и будет открыта дверь в новую эпоху строительства, в которой найдется лучшее соотношение «пользы», «прочности» и «красоты».

Основная цель исследования: определить необходимость углубления математических познаний нового поколения архитекторов.

На основе полученных знаний о математических методах в архитектуре, я провела исследование известного мне строения – здания школы № 20, чтобы на практике определить взаимосвязь архитектуры и математики.

Здание школы № 20 г. Дзержинска обладает рядом закономерностей, которые мне следует учитывать при его исследовании. Во-первых, это сооружение соответствует определенным стандартам – стандартам функционального типа. Во-вторых, можно сказать, что это сооружение является образцом современной архитектуры: и по составу строительного материала, и по форме. Учитывая это, я могу рассмотреть строение с объективной точки зрения – в данном случае, математической.

В общей сложности здание школы состоит из пяти габаритных фигур, три из которых выполняют ключевую роль. Как в любом представителе современной архитектуры, в школе доминирует форма прямой призмы. Именно эта форма, как было сказано, выполняет роль наиболее устойчивой и компактной, что крайне выгодно для ее функциональных свойств. Три основные составляющие – габаритные прямые (и вытянутые в длину) четырехугольные призмы, в высоту на два и три этажа.

Стоит заметить, что столь разрозненная композиция несет в себе не только эстетический смысл, но и смысл прочности. Неустойчивая болотистая почва этих мест и непосредственная близость реки (проблема половодий и подземных вод) требует учитывать давление на грунт – так же, как требовалось учитывать давление на грунт в песчаных местностях и пустыне. Как было сказано, форма большинства современных сооружений соответствует стандартам прямой призмы, то есть такое архитектурное решение, как пирамида, было бы неуместно. Композиция школьного строения содержит в себе три, соединенные между собой габаритные фигуры, вместо одной – таким образом, общая массивность формы смягчается за счет увеличения площади всего сооружения.

При ближайшем рассмотрении можно увидеть четыре прямоугольные арки, соединяющие наружную сторону с внутренним двором. Основная роль этого элемента – функциональная особенность, но наряду с этим арки становятся и своеобразным эстетическим элементом. Тем не менее, как было сказано выше, прямоугольная арка – не лучшее решение в строительстве, так как за счет массивности формы прямоугольной призмы, подпорки выдерживают огромную нагрузку. Подпорки в виде призматических колонн в конкретном строении достаточно крепки, чтобы устоять долгое время, но именно их в будущем времени первыми ожидает участь в виде обрушения.