нпк. 5класс. быстрый счет.

Муниципальное общеобразовательное учреждение

"Средняя общеобразовательная школа № 211

имени Леонида Ивановича Сидоренко" 

Калининский район

Секция математики

                                                    Ворошилов Константин   5Е          класс             

Быстрый счёт в современном мире

                                                                   Научный руководитель-

                                                     Янкина Светлана Викторовна,

                                                                учитель математики первой категории

Новосибирск 2015

Оглавление

Введение…………………………………..………………………

 Глава 1. История счета

1.1.Как люди научились считать ……………………………………...

1.2.Приёмы быстрого счёта

Глава 2. Секреты устного умножения.

2.1.Умножение на однозначное число.

2.2. Таблица умножения 19х9.

 2.3. Сочетательный закон умножения .

2. 4.Умножение на двузначное число.

2.5.Распределительный закон умножения

2.6.Умножение на 4 и на 8.

2.7.Деление на 4 и на 8.

2.8. Умножение на 5 и 25.

2.9.Умножение на   .

2.10.Умножение на   .

2.11.Умножение на ¾.

2.12.Умножение на 15, на 125, на 75

2.13.Умножение на 9 и на 11.

2.14.Деление на 5.

2.15.Деление на .

2.16.Деление на 15.

2.17. Возведение в квадрат.

2.18.Полезно запомнить.

Глава 3.

Эксперимент.

Список литературы …………………………………...…………

Приложение 1…………………………………………………..…

Приложение 2…………………………………………………..

Приложение4(презентация к выступлению)………

Введение

Как то я наткнулся на книгу Я.И Перельман  «Быстрый счёт. Тридцать простых приёмов устного счёта.» Там в введение есть следующие слова «…Мы сочли поэтому полезным  собрать в краткой брошюре наиболее простые и легко усваиваемые приёмы быстрого устного счёта. Они рассчитаны на средние способности и имеют в виду не публичные выступления на эстраде, а потребности повседневной жизни….» Мне стало интересно, написана она в1941году, а сейчас -2015 , прошло 74 года, актуально это или нет в современном мире, ведь мир меняется.

Объектом исследования являются алгоритмы счета.

Предметом исследования выступает процесс вычисления.

Цель: изучить приемы быстрого вычисления и экспериментальным путем проверить их эффективность.

Задачи:

- изучить историю возникновения счёта;

- опытно-экспериментальным путем проверить их эффективность;

- рассмотреть некоторые приемы быстрого счёта и на конкретных примерах из жизни ,найти преимущества их использования.

Гипотеза: знать приёмы быстрого счёта нужно и в современном мире.

При работе над докладом я пользовался следующими методами:

1)поисковый метод с использованием научной и учебной литература, а также поиск необходимой информации в сети Интернет;

2)практический метод выполнения вычислений с применением нестандартных алгоритмов счета;

3)анализ полученных в ходе исследования и эксперимента данных.

Актуальность данной темы заключается в том, что использование быстрых  приемов счёта  нужно в современном мире, усиливает интерес к математике и содействует развитию математических способностей.

Моя работа над темой заключалась:

1.сбор и изучение информации по заданной теме;

2.узнать, что люди думают по этому поводу;

3.проверить эффективность данных методов;

Начал я своё исследование с опроса в интернете, где людям нужно было ответить: «Как вы считаете, в современном мире, нужно быстро уметь считать устно ».

Результаты опроса.

Всего проголосовало128 человек:

да-113человек;

Нет-15.

Интересные комментарии: «только расслабишься,…тут же обсчитают.»

Люди в одноклассниках оказались более активны, там проголосовало 75 человек, вконтакте-53.

См приложение 1.

Дальше я нашёл и изучил литературу, в которой рассказывается про историю возникновения счёта, описаны приёмы быстрого и устного счёта. Не всеми приёмами на данный момент мы можем пользоваться, так как в пятом классе ещё только будем изучать дроби, а вот для целых чисел применять уже можем. Провёл в классе эксперимент. Заключался он в том, что бы проверить, а как считать быстрее, используя эти приёмы или нет.

См приложение 2.

Также в течение месяца я собирал информацию, что наша семья закупает в магазине, по какой цене. Проверил, а здесь можно применить приёмы быстрого счёта или нет.

См приложение 3.

Глава I. Из истории возникновения счета и чисел.

С небольшими числами иметь дело очень просто: наборы из трех-четырех предметов легко узнать «в лицо», так что считать их нет необходимости. Но как, к примеру, выяснить, не потерялась ли овца из большого стада? Здесь уже не обойтись без подсчета. Чтобы пересчитать стадо, проще всего использовать камешки: один камешек – один объект, в данном случае овца .Считать при помощи камешков удобно и просто, если объектов немного. С большими числами уже сложнее: и нужного количества камешков можно не набрать, и поднять такой мешок не каждому под силу. В некоторых сообществах для счета использовались пальцы рук и ног, но все равно оставалась проблема с числами больше 20...Значение цифр и чисел в нашей жизни трудно переоценить. Биологи утверждают, что в составе человеческого мозга есть структуры (кора левого полушария у правшей), отвечающие за формирование устной и письменной речи. Таких структур нет ни у одного другого животного. Благодаря им человек может писать, читать, говорить, произносить самые разнообразные звуки. Именно из-за такого сложного строения головного мозга человек смог в первый раз произнести слово, написать букву. Теперь мы не можем себе представить жизни без алфавита и слов . В  математике таким алфавитом являются цифры, а словами – числа. Есть много общего: своеобразными языками в математике являются системы счисления. В таких алфавитах буквы – цифры. Чаще всего математический язык легче языка лингвистического, прежде всего объемом информации, которую несет один символ . Изобретение десятичной системы счисления относится к главным достижениям человеческой мысли. Без неё вряд ли могла существовать, а тем более возникнуть современная техника и наука вообще.

Учиться считать люди начали в незапамятные времена, а учителем у них была сама жизнь.

Древние люди добывали себе пищу главным образом охотой. На крупного зверя — бизона или лося — приходилось охотиться всем племенем: в одиночку ведь с ним и не справишься. Чтобы добыча не ушла, ее надо было окружить, ну хотя бы так: пять человек справа, семь сзади, четыре слева. Тут уж без счёта никак не обойдешься! И вождь первобытного племени справлялся с этой задачей, Даже в те времена, когда человек не знал таких слов, как «пять» или «семь», он мог показать числа на пальцах рук.

Есть и сейчас на земле племена, которые при счёте не могут обойтись без помощи пальцев. Вместо числа пять они говорят «рука», десять — «две руки», а двадцать — «весь человек», — тут уж присчитываются числа на пальцах рук. В Африке есть племя, где и в наше время люди считают «один», «два», «три», а дальше «много».

Так люди начинали учиться считать, пользуясь тем, что дала им сама природа, — собственной пятернёй.

Предметы считать просто; один, два, три, четыре.… Измерить небольшое расстояние тоже несложно. Надо только иметь какую – нибудь мерку. Даже теперь мы нередко меряем расстояние по способу первобытных людей — считаем шаги.

Гораздо труднее найти мерку для времени. Тут ни пальцы, ни шаги не помогут: время можно измерять только временем. А мерка? Мерку надо было искать в природе.

Самыми древними «часами», которые к тому же никогда останавливались и не ломались, оказалось солнце. Утро, день, вечер, ночь. Не очень уж точные мерки, но поначалу первобытному человеку этого было достаточно. Потом люди научились определять время более точно: днём — по солнцу, а ночью — по звёздам.

Звёзды были для людей не только первыми часами, но и первым компасом.

А как разделить год? Весь год — это целых 365 дней, очень большая и не всегда удобная мера времени. На помощь пришла луна. Люди заметили, что от полнолуния до полнолуния проходит почти ровно тридцать суток. Так появилась ещё одна мера времени — месяц. Понятно, почему и по-русски и на многих других языках слово «месяц» означает и луну, и отрезок времени. Потом месяц стали делить ещё на четыре части. Из этих четвертушек месяца родились наши недели.

Для того чтобы считать дни нужны большие числа: десятки, сотни и даже тысячи. Тут, конечно, никаких пальцев для счёта хватить не могло! Да и считая предметы, их можно было перекладывать, пересчитывать несколько раз. А в счёте времени ошибаться нельзя. Прошедший день исчез, его не вернёшь, не присоединишь к другим.

Как же считали дни люди в те времена, когда они и писать не умели?

Додумались. Ведь можно было каждый день делать зарубку на палке и потом зарубки эти сосчитать. Так началась первая на земле запись прожитых дней. Только делали её не пером, а топором. Именно таким деревянным календарём пользовался на необитаемом острове Робинзон Крузо. Через каждые тридцать дней, то есть каждое новолуние, он делал на своём календаре зарубку подлиннее. Получалась отметка месяца. Из месяцев складывался год.

Некоторые народы — например индейцы в Северной Америке — вместо зарубок на палке завязывали узлы на шнуре или верёвке.

Так люди постепенно учились считать до сотен и тысяч и даже «записывать» эти числа с помощью палки или верёвки.

Постепенно росли знания людей, и чем дальше, тем больше увеличивалась потребность в умении считать и мерить. Скотоводам приходилось пересчитывать свои стада, а при этом счёт мог идти уже сотнями и тысячами. Земледельцу надо было знать, сколько земли засеять, чтобы прокормить себя до следующего урожая, А время посева? Ведь, если посеять не вовремя, урожая не получишь!

Счёт времени по лунным месяцам уже не годился. Нужен был более точный календарь. К тому же людям всё чаще приходилось сталкиваться с большими числами, запомнить которые трудно или даже невозможно. Нужно было придумать, как их записывать.

Около пяти тысяч лет назад люди додумались до того, что числа можно записывать не просто зарубками-единицами, а по разрядам: отдельно единицы, отдельно десятки, отдельно сотни. Это было очень важным открытием. Считать и записывать числа теперь стало гораздо легче.

В древнем Вавилоне считали не десятками, а шести десятками. Число шестьдесят играло у них такую же роль, как у нас десять. Вавилоняне пользовались всего двумя цифрами. Вертикальная чёрточка обозначала одну единицу, а угол из двух лежачих чёрточек — десять. Эти чёрточки у них получались в виде клиньев, потому что вавилоняне писали острой палочкой на сырых глиняных дощечках, которые потом сушили и обжигали.

Вавилонская запись чисел была не очень удобной. Скучное занятие — рисовать много клинышков или уголков подряд, чтобы записать число двумя знаками. А если число было большое, то нередко происходила путаница, потому что специального значка для обозначения разряда 60 не было. И например, число 3600 изображалось, как и единица, вертикальным клином. Вот тут и разберись!

Очень интересная система счёта была у народа майя, который жил в Центральной Америке (там, где сейчас государство Мексика). Около двух тысяч лет назад индейцы майя были гораздо культурнее, чем народы, жившие в то время в Европе.

Майя считали двадцатками — у них была двадцатеричная система счёта. Числа от 1 до 20 обозначались точками и чёрточками. Если под числом был нарисован особый значок в виде глаза, это значило, что число надо увеличить в двадцать раз. Получались уже не единицы, а двадцатки, второй разряд. Если глаз был нарисован дважды, то число надо было дважды умножить на двадцать. Это был третий разряд — четырёхсотки. Выходит, что изображение глаза играло у майя ту же роль, что у нас цифра нуль. Только они рисовали глаз не рядом с числом, а под ним.

Китайцы, как и египтяне, пользовались десятичной системой счёта. Кроме цифр от 1 до 9 там есть ещё значки для 10, 100 и 1000. Если справа от цифры стоит значок «10», — значит, цифру надо умножить на 10, Получаются десятки, второй разряд.

Любопытны были различные методы обозначения чисел, придуманные египтянами и вавилонянами, греками и римлянами. Но у всех этих методов был один недостаток: по мере увеличения чисел нужны были всё новые и новые знаки. И когда один из величайших древнегреческих математиков Архимед научился называть громадные числа, никто из купцов, чиновников или военачальников не обратил на это внимания. А метод Архимеда был и впрямь замечателен. Он просто называл обычную единицу единицей чисел первых, а мириаду мириад, то есть 100000000, — единицей чисел вторых. Мириаду мириад чисел вторых он назвал единицей чисел третьих и так вел счёт до мириады мириад чисел мириадо-мириадных.

Чтобы представить себе, каким громадным было это число, достаточно сказать, что по-нашему оно записывается в виде единицы с 800000000 нулями. Но и здесь не остановился великий ученый. Мириаду мириад чисел мириадо-мириадных он назвал единицей чисел второго периода и, продолжая идти вперёд, дошёл до чисел мириадо-мириадного периода. Насколько велико это число, сказать почти невозможно. Если записать его обычным почерком на бумажной ленте, то эта лента окажется во много тысяч раз длиннее, чем расстояние от Земли до Солнца! Чтобы записать, сколько нулей в числе Архимеда, надо написать цифру 8 и поставить после неё 16 нулей.

Но хотя названия громадных чисел у Архимеда уже были, обозначать их он ещё толком не умел. Не хватало ему самой малости. Архимед, один из гениальнейших математиков, не додумался до…нуля!

Впервые нуль был придуман вавилонянами примерно две тысячи лет назад. Но они применяли его лишь для обозначения пропущенных разрядов. Писать нули в конце записи числа они не догадались. Да к тому же их система счисления была, как мы знаем, шестидесятичной, и поэтому их открытие оказалось незамеченным народами, считавшими в десятичной системе счисления. Может быть, к идее о нуле для десятичной системы счёта пришли счётчики на абаке, знавшие, что иногда не приходится не класть камешки в какую-нибудь канавку на доске? Может быть, это сделали александрийские купцы? Но обычно считают, что это замечательное достижение было сделано в Индии полторы тысячи лет тому назад.

Нуль был присоединён к девяти цифрам, и появилась возможность обозначать этими девятью цифрами любое число как бы велико оно не было.

Индийцы очень обрадовались этой возможности, и в их легендах есть повествования о битвах, в которых участвовало такое количество обезьян, что для его обозначения надо было написать после единицы ещё 23 нуля! Столько обезьян не поместится во всей Солнечной системе.

И самое главное, запись таких гигантских чисел стала довольно короткой. Ведь если бы живший тридцать тысячелетий тому назад древний человек имел представление о миллионе и захотел бы изобразить это число с помощью зарубок на волчьих костях ему пришлось бы истребить 20 тысяч волков. А для записи миллиарда не хватило бы волков во всех европейских лесах. Теперь же вся запись умещалась в одной строке!

Надо сказать, что хотя введение обозначения нуля оказалось чрезвычайно полезным для математики, первоначально некоторые «учёные» встретили это нововведение враждебно. «Зачем обозначать то, чего нет!» Но полезность нового открытия скоро стала ясна всем.

Как же в древности пользовались люди своим умением считать? Для чего им была нужна математика?

Народам-земледельцам, для того чтобы прожить и прокормиться, нужно было знать гораздо больше, чем кочевникам-скотоводам. Жизнь заставляла их учиться быстрее. Поэтому у земледельческих народов математика из набора отдельных простейших правил постепенно стала превращаться в науку.

Приемы быстрого счета

Феномен особых способностей в устном счёте встречается с давних пор. Как известно, ими обладали многие учёные, в частности, Андре Ампер и Карл Гаусс. Однако, умение быстро считать было присуще и многим людям, чья профессия была далека от математики и науки в целом.

До второй половины XX века на эстраде были популярны выступления специалистов в устном счёте. Иногда они устраивали показательные соревнования между собой. Известными российскими «суперсчетчиками» являются Арон Чиквашвили, Давид Гольдштейн, Юрий Горный, зарубежными: Борислав Гаджански, Вильям Клайн, Томас Фулер и другие.

Хотя некоторые специалисты уверяли, что дело во врождённых способностях, другие аргументированно доказывали обратное: «дело не только и не столько в каких-то исключительных, „феноменальных“ способностях, а в знании некоторых математических законов, позволяющих быстро производить вычисления» и охотно раскрывали эти законы.

Истина, как обычно, оказалась на некоей «золотой середине» сочетания природных способностей и грамотного, трудолюбивого их пробуждения, взращивания и использования. Те, кто следуя Трофиму Лысенко уповают исключительно на волю и напористость, со всеми уже хорошо известными способами и приёмами устного счёта обычно при всех стараниях не поднимаются выше очень и очень средних достижений. Более того, настойчивые попытки «хорошенько нагрузить» мозг такими занятиями как устный счёт, шахматы вслепую и т. п. легко могут привести к перенапряжению и заметному падению умственной работоспособности, памяти и самочувствия (а в наиболее тяжёлых случаях -- и к шизофрении). С другой стороны и одарённые люди при беспорядочном использовании своих талантов в такой области как устный счёт быстро «перегорают» и перестают быть в состоянии длительно и устойчиво показывать яркие достижения. Один из примеров удачного сочетания обоих условий (природной одарённости и большой грамотной работы над собой) показал наш соотечественник уроженец Алтайского края Юрий Горный.

Пожалуй, единственная научно обоснованная и достаточно подробно разработанная система резкого повышения быстроты устного счета создана была в годы второй мировой войны цюрихским профессором математики Я. Трахтенбергом. Она известна под названием "Системы быстрого счета". История ее создания необычная. В 1941 году гитлеровцы бросили Трахтенберга в концлагерь. Чтобы уцелеть в нечеловеческих условиях и сохранить нормальной свою психику, Трахтенберг начал разрабатывать принципы ускоренного счета. За четыре страшных года пребывания в концлагере профессору удалось создать стройную систему ускоренного обучения детей и взрослых основам быстрого счета. После войны Трахтенберг создал и возглавил Цюрихский математический институт, получивший мировую известность.

Также разработкой приемов быстрого счета занимались другие ученые: Яков Исидорович Перельман, Георгий Берман и другие.

Приведу приемы умножения чисел, получившие наибольшее описание в литературе.

глава 2.

2.1.Умножение на однозначное число

1.1Применяется распределительный закон умножения

ax(b+c)=axb+axc.

 « Чтобы устно умножить число на однозначный множитель (например 27х8), выполняют действие, начиная с умножения не единиц, как при письменном умножении, а иначе: умножают сначала десятки множимого (20х8=160), затем единицы (7х8=56) и оба результата складывают. »       Примеры:

34х7=(30+4)х7=30х7+4х7=210+28=238;

47х6=(40+7)х6=40х6+7х6=240+42=282.

Зная эту таблицу , можно умножение  например, 147х8 выполнить в уме так: 147х8=140х8+7х8=1120+56=1176

2.3. Сочетательный закон умножения .

(axb)xc=(axc)xb.

« Когда одно из умножаемых чисел разлагается на однозначные множители удобно бывает последовательно умножать на эти множители. Например: 225 х 6 = 225 Х 2 Х 3 = 450Х 3 = 1350.»

«Если множимое или множитель легко разложить в уме, на однозначные числа ( напр., 14=2х7 ), то пользуются этим, чтобы уменьшить один из множителей, увеличив другой во столько же раз .»

 Например:

45 х 14 = 90 х 7 = 630

 2. 4.Умножение на двузначное число.

  « Умножение на двузначное число стараются облегчить для устного выполнения, приводя это действие к более привычному умножению на однозначное число.»

Применяют переместительный закон умножения

axb=bxa.

    «Когда множимое однозначное , мысленно переставляют множители и выполняют действие, как указано в п.1.» Например:

        6 х 28 = 28 х 6 = 120 + 48 = 168

  2.5. Распределительный закон умножения

ax(b+c)=axb+axc.

« Если оба множителя двузначные, мысленно разбивают один из них на десятки и единицы.»

Например:

29 х 12 = 29 х 10 + 29 х 2 = 290 + 58 = 348;

41 х16 = 41 х 10 + 41 х 6 = 410 + 246 = 656.

Разбивать на десятки и единицы выгоднее тот множитель, в котором они выражены меньшими числами.

 2.6.Умножение на 4 и на 8.

 Применяем сочетательный закон умножения

(axb)xc=(axc)xb.

1. Чтобы устно умножить число на 4, его дважды удваивают.

Например:

          112 х 4=112х(2х2)=(112х2)х2 = 224 х 2 = 448;

           335 х 4 = 670 х 2 = 1340.

 2.Чтобы устно умножить число на 8, его трижды удваивают.

Например: 217 х 8 =217х(2х2х2)=((217х2)х2)х2=(434 х 2)х2 =868 х 2 =1736.

  2.7.Деление на 4 и на 8.

1. Чтобы устно разделить число на 4, его дважды делят пополам.

Например: 76 : 4 = 38 : 2=19.

2. Чтобы устно разделить число на 8, его трижды делят пополам.

Например:  464 : 8=232 : 4=116 : 2=58.      

2.8. Умножение на 5 и 25.

1. Чтобы устно умножить число на 5, умножают его на 10/2. т. е. приписывают к числу нуль и делят пополам. Например:

74*5= 740:2= 370

243*5=2430:2=1215

При умножении на 5 числа четного удобнее сначала делить пополам и к полученному приписать ноль. Например:

74*5 = 74/2*10=370

2.Чтобы устно умножить число на 25, умножают его на 100/4 , т. е.-если число кратно 4-х -делят на 4 и к частному приписывают два ноля.

Например:72*25=72/4*100= 1800

Если же число при делении на 4 дает остаток, то прибавляют

при остатке: к частному

1- 25

2 -50

3 -75

Основание приема ясно из того, что

100:4=25;200:4=50;300:4=75

6.Умножение на 1  1/2, на 1   1/4, на 2  1/2, на 3/4

 6.1.Чтобы устно умножить число на 11/2 прибавляют к множимому его половину. Например:

34*1  1/2 = 34 + 17=51

23*1  1/2=23 + 111/2 = 341/2 (или 34,5)

2.9.Умножение на .

Прибавляют к множимому его четверть.

 Например:

48*=48 +12=60

58*= 58+14 =72или 72,5

2.10.Умножение на   .

К удвоенному числу прибавляют половину множимого.

Например: 18*2.=36+9= 45;

39*2.= 78 + 19.= 97 (или 97,5)

Другой способ состоит в умножении на 5 и делении пополам:

18*2 = 90:2 = 45

2.11.Умножение на ¾.

 Чтобы найти 3/4 этого числа, умножают число на 1и делит пополам. Например:

30 * 3/4 = (30+15)/2= 221/2 (или 22,5)

Видоизменение способа состоит в том, что от множимого отнимают его четверть или к половине множимого прибавляют половину этой половины.

2.12.Умножение на 15, на 125, на 75

Умножение на 15 заменяют умножением на 10 и на              11/2, (потому что 10*1=15)

Например:

18*15=18*1*10=270

7.2.Умножение на 125 заменяют умножением на 100 и на 1      (потому что 100*1  =125).

Например:

26*125 = 26*100*1      = 2600 + 650 = 3250

7.3.Умножение на 75 заменяют умножением на 100 и на 3/4 (потому что 100*3/4=75).

Например:

18*75= 18*100*3/4 =1800* 3/4 =(1800 + 900)/2=1350

Примечание. Некоторые из приведенных примеров удобно выполняются также приемом п3.

18*15 = 90*3 = 270

26*125 = 130*25 = 3250

2.13.Умножение на 9 и на 11.

Применяем переместительный axb=bxa и распределительный закон умножения относительно вычитания  (a-b)xc=axc-bхс.

«Чтобы устно умножить число на 9, приписывают к нему ноль и отнимают множимое.»

Например:

62*9=(10-1)х62=620-62=600-42=558;

 Применяем переместительный axb=bxa и распределительный закон умножения относительно сложения  (a+b)xc=axc+bхс. «Чтобы устно умножить число на 11, приписывают к нему ноль и прибавляют множимое.»

 Например:

87*11=(10+1)х87=870+87=957

9.Деление на 5, на 11/2,на 15.

2.14.Деление на 5.

 Отделяют запятой в удвоенном числ-последнюю цифру.

Например:

68:5=136:10=13,6

2.15.Деление на .

Делят удвоенное число на 3.

Например:

36:11/2=72:3=24

53:11/2=106:3=351/3

 2.16.Деление на 15.

 Делят удвоенное число на 30.

Например:240:15=480:30=48:3=16

462:15=924:30=3024/30=304/5=30,8 (или 924:30 =308:10=30,8)

2.17. Возвышение в квадрат.

Применяем формулы сокращённого умножения

=,=+100х+25=

100х(х+1)+25.

«Чтобы возвысить в квадрат число, оканчивающееся цифрой 5 (например 85), умножают число десятков (8) на него же плюс единица (8*9=72) и приписывают 25 (в нашем примере получается 7225)»

 Примеры:

===+100х+25=100х(х+1)+25        =100*2*3+25=625;

 :4*5= 20; 2025.

 =100*((10+4)*15)+25=100*(150+60)+25= 21025;

:73*74=(70+3)*74=5180+222=5402;540225.

Сейчас указанный прием приложим и к десятичным дробям, оканчивающимся цифрой 5:

=72,25

Так как 0,5= ½, а 0,25 = ¼, то приемом п11.1 можно пользоваться также и для возвышения в квадрат чисел, оканчивающихся дробью ½:

=72

 При устном возвышение в квадрат часто удобно бывает пользоваться формулой 

Например:
=1600+1+80= 1681

Прием удобен для чисел, оканчивающихся на 1, 4, 6 и 9.

Вычисления по формуле (а+b) (а-b) = -.

52*48= (50 + 2)*(50-2)== -=2500-4=2496

Подобным же образом поступают во всех вообще случаях, когда один множитель удобно представить в виде суммы двух чисел, другой - в виде разности тех же чисел:

69*71=(70-1)*(70+1)=4899

33*27=(30+3)*(30-3)=891

Указанным сейчас приемом удобно пользоваться и для вычислений следующего рода:

7 ½*6½=(7 + ½ )*(7 - ½)=48 ¾

11 3/4*12 1/4= (12 - 1/4)*(12 +1/4) =143 15/16

2.18.Полезно запомнить.

37*З =111

Запомнив это, легко выполнять устно умножение числа 37        на 6, 9, 12 и т. п.

37*6=37*3*2=222

37*9=37*3*3=333

37*12=37*3*4=444

37*15=37*3*5 =555 и т. д,

7*11*13=1001

Запомнив это, легко выполнять устно умножения следующего рода:

77*13=1001

77*26=2002

77*39=3003 и т. д.

91*11=1001

91*22=2002

91*33=3003 и т. д.

143*7=1001

143*14=2002

143*21=3003 и т. д.

Глава 3.

3.1.Эксперимент. Для этого были подобраны учителем по 10 примеров для каждого приёма ,рассмотренных выше . В классе были выбраны три человека, которые проверяли результат вычисления на калькуляторе, я считал устно( используя приёмы быстрого счёта) и только результат записывал на доске, класс мог считать письменно по своему усмотрению просто считать или применять известные нам законы. Результаты эксперимента можно посмотреть в приложении 2.

Выводы:

1.в таких экспериментах, как умножение на однозначное число, умножение на 4 и на 9,набирать пример на калькуляторе оказалось дольше, чем посчитать устно;

2.в экспериментах: умножение на 25, деление на 8,используя разложение одного из множителя на однозначные числа(легче, но по времени дольше),первыми в вычислениях были одноклассники, которые считали письменно;

3. что бы применять приёмы быстрого счёта нужно постоянно тренироваться, так я хотел так сильно быстрее посчитать, чем одноклассники, что эксперимент 2 провалился, так как я забыл применить приёмы быстрого счёта, а стал просто умножать, и в двух экспериментах допустил ошибки.

В целом эксперимент удался , я вычислял быстрее и правильнее одноклассников. Эксперимент длился два урока, но ни я , ни одноклассники не устали. Были просьбы со стороны одноклассников иногда проводить такие уроки. В конце эксперимента я раскрыл свои «тайны» быстрого счёта. И одноклассники были немного шокированы, так как тайн то нет, всё это мы изучаем на уроках, это переместительный, сочетательный , распределительные законы умножения, просто после изучения темы мы забываем их применять.

3.2.Наблюдение.

Применение методов в современном мире. Мы каждый день ходим за покупками в магазин. В течении месяца я вёл сбор информации, что и по какой цене наша семья закупает. Приложение 3.

Выводы:

Я рассмотрел только простейшие, те, которые на сегодняшний день я могу объяснить, наиболее удобоприменимые способы устного выполнения действий умножения, деления и возвышения в квадрат. Следующий год я планирую продолжить работу над этой темой. А самоё главное, что такими приёмами, как возведение в квадрат чисел, которые оканчиваются на 5 и умножение на двухзначное число я буду применять в повседневной жизни.