Решение логических задач в курсе основной школы

ОАНО Школа «Ника»

Проект по теме:

«Решение логических задач в курсе основной школы»

Автор проекта:

 учащаяся 9 «А» класса

Милованова Варвара

Руководитель:

учитель физики и информатики

Соловьев А.И.

Москва

2018

Введение        3

Глава 1. Основы логики        5

1.1 Формы мышления        6

1.2 Алгебра логики. Объекты алгебры логики.        6

1.3 Логические операции        7

1.4 Множества        10

1.5 Графы.        13

Глава 2. Виды логическиз задач и методы их решения.        14

2.1 Виды логических задач.        14

2.2 Методы решения логических задач.        15

Глава 3. Примеры решения задач        16

3.1 Решение логических выражений через построение таблиц истинности        16

3.2 Решение задач через построение графов:        18

3.3 Решение логических задач с использованием кругов Эйлера.        19

Глава 4. Электронное пособие – тренажёр по решению логических задач        21

Заключение        22

Литература        23

Введение

Актуальность

Разнообразие логических задач очень велико. Способов их решения тоже немало, но в курсе основной школы наибольшее распространение получили следующие:

• средствами алгебры логики;
• табличный;
• с помощью рассуждений;
• графический.

Логические задачи часто имеют практический характер, что немаловажно в современной жизни. Они заставляют задумываться, подходить к решению какой-либо проблемы с разных сторон, уметь выбирать из множества способов решения наиболее простой, легкий путь. Также навыки решения логических задач проверяются у учащихся и при итоговой аттестации за курс основной школы.

Проблемный вопрос:

«В чём заключается особенность логических задач, существуют ли специальные методы и приёмы решения таких?»

Объект исследования: логические задачи.

Предмет исследования: многообразие логических задач в курсе основной школы, методы и приёмы их решения.

Методы исследования: моделирование, сравнение, обобщение, аналогии, изучение литературных и Интернет-ресурсов, анализ и классификация информации.

Цель работы: создать электронное пособие, знакомящего школьников с основными типами логических задач в курсе основной школы и вариантами их решений в процессе подготовки к ОГЭ по информатике.

Задачи:

1. Изучить и систематизировать материал по математике и информатике касающийся решения логических задач за курс основной школы.
2. Разработать комплект задач с подсказками, решением и ответами.
3. Изучить возможности программы PowerPoint.
4. Создать электронное пособия в помощь ученикам.

Глава 1. Основы логики

Логическое мышление, как и любой другой навык, надо постоянно тренировать. Это важно в любом возрасте. Важнейшим является   формирование и развитие логического мышления и способность «действовать в уме».

Логика– это наука о мышлении. Основатель науки Аристотель.

Логика – наука о законах и формах человеческого мышления, рассматриваемого как средство познания окружающей действительности.

Термин «логика» восходит к древнегреческому слову «логос», означавшему слово, мысль, понятие, рассуждение и закон. Это наука, имеющая отношение к человеческому мышлению, обосновывает рассуждения с помощью оснований, которые впоследствии стали называться логическими законами.

В повседневной жизни, в популярной, общенаучной и философской литературе это слово используется в большом спектре значений. Оценки «логично» и «нелогично» могут использоваться для характеристики человеческих действий, оценки событий и т. п.

Предмет логики – человеческое мышление.

Значение логики состоит в следующем:

1) логика выступает важнейшим средством формирования убеждений (прежде всего научных).

2) формальная логика применяется в науке и технике.

3) традиционная формальная логика остается важнейшим средством в сфере всех видов образования. Она является основой организации всех видов знания для его подачи в процессе обучения;

4) логика является важнейшим и незаменимым инструментом развития культуры. Без логики не может обойтись никакая культурная деятельность вообще, поскольку в ней присутствуют и играют принципиальную роль рациональные элементы.

1.1 Формы мышления

Формами мышления являются: понятие, суждение, умозаключение.

Мышление начинается с форм чувственного познания мира – ощущения, восприятие, представление.

Мышление– это высшее по отношению к чувственной форме отражение бытия.

Понятие– это логическая мысль о каком-либо предмете с опред набором существенных признаков.

Суждение – это форма мышления, в кт утверждается или отрицается что-либо об окружающем мире, предметах, явлениях, а также отношениях и связях между ними.

Умозаключение— это форма абстрактного мышления, посредством которой из ранее имевшейся информации выводится новая. При этом не задействуются органы чувств, т.е. весь процесс умозаключения проходит на уровне мышления и независим от получаемой в данный момент извне информации.

1.2 Алгебра логики. Объекты алгебры логики.

В курсе информатики важен раздел математики, называемый алгеброй логики.

Объектами алгебры логики являются высказывания.

Алгебра логики определяет правила записи, упрощения и преобразования высказываний и вычисления их значений.

Высказыванием называется любое повествовательное предложение, про которое известно, что оно или истинно, или ложно.

Высказывание считается простым, если никакую его часть нельзя рассматривать как отдельное высказывание.

Высказывание, которое можно разложить на части называется сложным (составным).

Любое высказывание может быть ложно (=0) или истинно (=1).

Простые высказывания называются логическими переменными 

Например:

А = «Луна является спутником Земли.»  → А = 1

В = «Москва – столица Германии.»         → В = 0

Сложные высказывания называются логическими функциями, а значение логической функции также может принимать значения только 0 или 1. Составные (сложные) высказывания строятся из простых с помощью логических связок:

 "и", "или",  "не", «если …, то…»,  «…тогда и только тогда, когда…»,  и др.

1.3 Логические операции

I. Операция – логическое умножение:

Объединение двух (или нескольких) высказываний в одно при помощи союза «и» называется операцией логического умножения или конъюнкцией.

В алгебре логики конъюнкция обозначается значками  «&», «∙» «Λ»

Высказывание вида A & B (А конъюнкция B) истинно тогда и только тогда, когда истинны оба высказывания и А и B.

Таблица истинности для А & В:

II. Операция – логическое сложение

Объединение двух (или нескольких) высказываний в одно при помощи союза «или» называется операцией логического сложения или дизъюнкцией.

В алгебре логики дизъюнкция обозначается значками «V», «|», «+».

Высказывание вида A V B (А дизъюнкция B ) истинно тогда и только тогда, когда истинно хотя бы одно из входящих в него простых (элементарных) высказываний

Таблица истинности для А V В:

Союз «или» употребляется в не исключающих друг друга случаях.

III. Операция – логическое отрицание

Присоединение частицы «не» к высказыванию называется операцией логического отрицания или инверсией.

В алгебре логики инверсия обозначается значком « ¬ » либо чертой над высказыванием «Ā».

Рассмотренные выше операции были двуместные, т.е. выполнялись над двумя высказываниями. В алгебре логики широко применяется и одноместная операция – операция отрицание.

Высказывание вида Ā (инверсия А) делает истинное высказывание ложным и , наоборот, ложное – истинным.

Таблица истинности для Ā:

IV. Операция – логическое следование.

Объединение двух высказываний с помощью оборота речи «если …, то …» называется операцией логического следования или импликация.

В алгебре логики импликация обозначается значком « → »  

Высказывание вида A → B (А импликация B ) ложно тогда и только тогда, когда  А – истинно, а  B – ложно (т.е. из истинного высказывания следует ложное).

Таблица истинности для А → В:

V. Операция – логическое равенство

Объединение двух высказываний с помощью оборота речи «…тогда и только тогда, когда …» называется операцией логического равенства или эквивалентностью.

В алгебре логики эквивалентность обозначается значком « ↔ ».

Высказывание вида A ↔ B (А эквивалентность B) истинно тогда и только тогда, когда оба высказывания одновременно либо ложны, либо истинны.

Операции в логическом выражении выполняются слева направо с учетом скобок в следующем порядке:

 1. инверсия;

 2. конъюнкция;

 3. дизъюнкция;

 4. импликация;

 5. эквивалентность.

1.4 Множества

Множество – одно из основных понятий математики. Его смысл выражается словами: совокупность, собрание, класс, набор, команда и т.д. Этот смысл поясняется многочисленными примерами. Так, можно говорить о множестве всех учащихся 5-го класса, о множестве всех жителей Волгограда, о множестве всех натуральных чисел, о множестве корней данного уравнения. Основатель теории множеств немецкий математик Георг Кантор (1845–1918) так определил множество – «многое, мыслимое как единое, целое».

 Множества обозначаются прописными буквами латинского алфавита А, В, С, …

Если два множества состоят из одинакового количества элементов (имеют равные мощности), то они называются равномощными. Например, множество времен года и множество арифметических знаков равномощны, так как каждое из них содержит по четыре элемента.

• Множество В называется подмножеством множества А, если каждый элемент из В является элементом А. Записывается это так: B ⊂ A. Также говорят, что А содержит (или включает) В.
• Два множества А и В называются равными, если А содержится в В и В содержится в А, то есть элементы равных множеств совпадают.
• Иногда удобно рассматривать множество, в котором нет элементов вообще. Его называют пустым и обозначают ∅. Пустое множество является подмножеством любого множества. Все пустые множества равны между собой.
• Например, пустыми множествами являются: множество китов, живущих на суше; множество кругов с углами; множество слов русского языка, начинающихся с мягкого знака; множество дедушек, учащихся в вашем классе.

С множествами, как с объектами, можно выполнять определенные действия (операции). Познакомимся с некоторыми из них.

Пусть  А = {т, о, ч, к, а},  В = {т, и, р, е},  С = {д, е, ф, и, с}.

Множество общих элементов А и В называют пересечением множеств А и В и обозначают с помощью знака ∩:     А ∩ В = {т}, С ∩ В = {е, и}.

Множества А и С не имеют общих элементов, поэтому пересечением данных множеств является пустое множество:   А ∩ С =∅.

• Если из элементов множеств А и В составить новое множество, состоящее из всех элементов этих множеств и не содержащее других элементов, то получится объединение множеств А и В, которое обозначается с помощью знака ∪:

А∪В = {т, о, ч, к, а, и, р, е}.

Для того чтобы нагляднее представлять себе действия с множествами, используют специальные рисунки – диаграммы (круги) Эйлера.   На этих диаграммах множества, над которыми выполняются операции, обычно изображают в виде кругов или овалов.

Проиллюстрируем несколько ответов задания:

А = {т, о, ч, к, а},  В = {т, и, р, е},  С = {д, е, ф, и, с}.

1.  В ∩ С = {е, и}.                          2. А ∪ В ∪ С  = { т, о, ч, к, а, и, р, е, д, ф, с}.

Примечательно, что операции объединения и пересечения множеств обладают многими свойствами сложения и умножения чисел, например переместительным, сочетательным и распределительным свойствами.

• Переместительное свойство объединения и пересечения множеств:

А ∪ В = В ∪ А

А ∩ В = В ∩ А

• Сочетательное свойство объединения и пересечения множеств:

(А ∪ В) ∪ С = А ∪ (В ∪ С)

(А ∩ В) ∩ С = А ∩ (В ∩ С)

При пересечении и объединении множеств пустое множество играет такую же роль, как нуль при сложении и единица при умножении. Так, пересечение множества А с пустым множеством равно пустому множеству, а объединение множества А с пустым множеством равно множеству А:

А ∩ ∅ = ∅, А ∪ ∅ = А

Операция объединения множеств похожа на операцию сложения чисел, но отождествлять их, конечно, нельзя. Так, например, при сложении двух одинаковых чисел, отличных от нуля, получается новое число:                  

2 + 2 = 4;    2 ≠ 4.

При объединении же двух одинаковых множеств получается то же самое множество:

 М ∪ М = М.

При пересечении двух одинаковых множеств получится то же самое множество, то есть

 М ∩ М = М.

1.5 Графы.

Теория графов находит применение в различных областях современной математики, особенно в экономике. При решении логических задач часто бывает трудно запомнить многочисленные условия, данные в задаче, и установить связь между ними. Решать такие задачи помогают графы, дающие возможность наглядно представить отношения между данными задачи. Познакомимся с основными понятиями теории графов.

Прежде всего, стоит сказать, что графы, о которых идет речь, к аристократам былых времен никакого отношения не имеют. Наши графы имеют корнем греческое слово «графо», что значит «пишу». Тот же корень в словах биография, график, голография.

Графом в математике и информатике называется конечная совокупность точек, именуемых вершинами; некоторые из них соединены друг с другом линиями, называемыми ребрами графа.

Хорошо знакомый всем москвичам образец графа – схема московского метро.

Вершины – конечные станции и станции пересадок, ребра – пути, соединяющие эти станции.

Другой пример графа – генеалогическое дерево.

Впервые основы теории графов появились в 1736 г. в работе Леонарда Эйлера, где он описывал решения головоломок и математических развлекательных задач.

 Широкое развитие теория графов получила с 50-х гг. ХХ в. в связи со становлением кибернетики и развитием вычислительной техники.

Глава 2. Виды логических задач и методы их решения.

2.1 Виды логических задач.

Все логические задачи делятся на определенные группы:

Рассмотрим основные виды логических задач.

• Истинноностные задачи
• Задачи, решаемые с конца
• Задачи на переливание
• Задачи на взвешивание
• Задачи типа «Кто есть кто?»
• Задачи на пересечение и объединение множеств
• Задачи на перебор вариантов

Истинноностные задачи – это задачи, в которых требуется установить истинность или ложность высказываний.

Задачи, решаемые с конца- это задачи, решаемые с помощью математических вычислений.

Задачи на переливание- это задачи, в которых с помощью сосудов известных емкостей требуется отмерить некоторое количество жидкости.

Задачи на взвешивание - достаточно распространённый вид математических задач. В таких задачах от решающего требуется локализовать отличающийся от остальных предмет по весу за ограниченное число взвешиваний. Поиск решения в этом случае осуществляется путем операций сравнения, правда, не только одиночных элементов, но и групп элементов между собой.

Задачи типа «Кто есть кто?» - это самые что ни на есть логические задачи. Смысл задач под кодовым названием «Кто есть кто?» довольно прост. Вам даны отношения между предметами и следуя по цепочке этих отношений, вы приходите к правильному результату.

Задачи на пересечение или объединение множеств - это новый тип задач, в которых требуется найти некоторое пересечение множеств или их объединение, соблюдая условия задачи. Круги Эйлера — геометрическая схема, с помощью которой можно изобразить отношения между подмножествами, для наглядного представления.

К задачам на перебор вариантов относятся комбинаторные задачи.

2.2 Методы решения логических задач.

При изучении дополнительной литературы, интернет ресурсов, нами было выявлено, что каждая группа логических задач имеет свой оптимальный метод решения.

Известно несколько различных способов решения логических задач.

Назовём основные:

• Метод рассуждений;
• Метод таблиц;
• Метод блок-схем; 
• Метод графов;
• Метод кругов Эйлера

В работе будет предложено решение задач с помощью построения таблиц истинности, графов и с помощью кругов Эйлера.

Глава 3. Примеры решения задач

3.1 Решение логических выражений через построение таблиц истинности

Применяя логические операции, мы можем решить любые логические задачи:

1. Для этого простые логические высказывания обозначим как логические переменные – буквами;
2. Свяжем их с помощью знаков логических операций.

        Такие формулы в алгебре логики называются логическими выражениями. 

Теперь мы можем определить значение логической функции для любого набора значений логических переменных.

Для определения значения логической функции необходимо помнить порядок выполнения логических операций по убыванию старшинства.

Для построения таблицы истинности любой логической функции следует соблюдать:

1. определить кол-во строк таблицы – 2n , где n = кол-ву логических переменных;

2. определить кол-во столбцов таблицы, - оно равно количеству логических переменных + кол-во логических операций;

3. построить таблицу истинности с найденным количеством строк и столбцов + строка с названием столбцов;

4. заполнить столбцы таблицы, выполняя логические операции в необходимой последовательности и в соответствии с их таблицами истинности.

Задача 1. Для какого из приведенных чисел ложно высказывание:

НЕ ((Первая цифра меньше второй) И (Наименьшая цифра равна 3))

Числа: 731; 465; 358; 635.

Решение: Перепишем выражение на языке алгебры логики:

А= (Первая цифра меньше второй);

В= (Наименьшая цифра равна 3).

Тогда: ¬(А&В)

Составим таблицу истинности для нашей функции:

Ответ: 358.

Задача 2.

Для какого из указанных значений числа Х истинно высказывание:

((Х<5)\/(X<3))/\((Х<2)\/(X<1))?

Числа: 1; 2; 3; 4.

Решение: для удобства перепишем выражение в виде функции:

А=(Х<5); B=(X<3); C=(X<2); D=(X<1).

(A\/B)/\(C\/D).

Составим таблицу значений функции для заданных чисел:

Ответ: 1.

3.2 Решение задач через построение графов:

Задача 1: Между населенными пунктами A, B, C, D, E, F построены дороги, протяженность которых приведена в таблице:

Определить длину кротчайшего пути между пунктами A и F. Передвигаться можно только по дорогам, указанным в таблице.

Решение:

1. Строим граф, вершинами которого являются населенные пункты, а рёбрами – дороги между ними:

2. Опишем и сравним пути:

А-B-F=15+13=28

A-C-F=10+16=26

A-E-F=12+11= 23.

Ответ: 23.

Задача 2:

Велосипедист собирается проехать из пункта A в пункт E, в который ведут 3 маршрута: через B, через C, через D. Расстояния в километрах показаны на схеме. Известно, что если ехать через B, то средняя скорость будет ровна 16 км/ч, если ехать через D, то средняя скорость будет равна 18 км/ч, а если ехать через C, то средняя скорость будет равна 20 км/ч. Исходя из этих данных, велосипедист выбрал маршрут так, чтобы доехать до E за наименьшее время.

Сколько минут он планирует пробыть в пути? 

Решение:

1. (15 + 25) : 16 = 2,5 (ч) – время в пути A-B-E
2. (19 + 17) : 18 = 2 (ч)  – время в пути A-D-E
3. (11 + 34) : 20 = 2,25 (ч) – время в пути A-С-E
4. 2 < 2,25 < 2,5
5. 2 (ч) = 120 (мин)

Ответ: 120 минут он планирует пробыть  пути.

3.3 Решение логических задач с использованием кругов Эйлера.

Задача: В таблице приведены запросы к поисковому серверу. Для каждого запроса указан код, - соответствующая буква от А до Г. Расположите коды запросов слева направо в порядке возрастания количества страниц, которые найдёт сервер по каждому запросу. По всем запросам было найдено разное количество страниц. Для обозначения логической операции «ИЛИ» в запросе используется символ «|», а для обозначения логической операции «И» - «&».

Решение:

Введем графическое обозначение перечисленных в задаче множеств в виде кругов разного размера:

Тогда результат выполнения запросов схематически будет выглядеть так:

Ответ: БГАВ

Глава 4. Электронное пособие – тренажёр по решению логических задач

Заключение

В ходе работы над проектом я пришла к следующим выводам:

1. ) Все логические задачи, рассматриваемые в курсе основной школы можно решить, используя один из методов: рассуждений, таблиц; графов и кругов Эйлера.
2. Для решения логических задач с использованием таблиц истинности необходимо ввести логические переменные, связать их знаками логических операций и с помощью таблицы истинности найти значения переменных, при которых логическая функция будет иметь значение «Истина» или «Ложь» в зависимости от условия задачи.
3. Для решения логических задач с помощью графов необходимо определить и схематически изобразить вершины графа, после чего указать связи между ними в виде его ребер, используя условие задачи. Далее, путем рассуждений, необходимо выделить верный для нас ответ.
4. Для решения задач с помощью кругов Эйлера необходимо выделить множества, отображаемые в условии, определить особенности их пересечения, объединения или вхождения, после чего отобразить эту схему графически, представив каждое множество в виде кругов.

Вышеуказанные приемы можно применять к очень широкому кругу логических задач, в том числе включенных в экзаменационные работы итоговой аттестации по информатике в 9 и 11 классах.

Мною создано электронное пособие для отработки умений решения логических задач путем составления таблиц истинности для логических функций, методом составления графов и кругов Эйлера.

Данное учебное пособие будет полезно как при подготовке к урокам и олимпиадам по математике и информатике, так и при подготовке к итоговой аттестации по вышеуказанным предметам.

Литература

1. Задачи для внеклассной работы по математике в V – VI классах: Пособие для учителей [Текст]/ Сост. В.Ю. Сафонова. Под ред. Д.Б. Фукса, А. Л. Гавронского. М.: МИРОС, 1993. с. 42. – ISBN 5-7084-0023-4
2. Занимательная математика. 5 – 11 классы. [Текст]: (Как сделать уроки нескучными) / Авт. – сост. Т.Д. Гаврилова. Волгоград: Учитель, 2005.     с.32-38. – 10000 экз. –5-7057-0482-8
3. Дорофеев Г.В., Петерсон Л.Г. Математика. 6 класс. Часть 2. – М.: «Баласс», «Ювента», 2004. – 128 с.: ил.
4. Депман,И.Я., Виленкин, Н.Я. За страницами учебника математики Пособие для учащихся 5 – 6 кл. [Текст]/ И.Я Депман.  М.: Просвещение, 1999. с. 189 – 191, 231. – 10000 экз. – ISBN 5-09-007107-1
5. Смыкалова, Е.В. Дополнительные главы по математике для учащихся 5 класса. [Текст]: СПб: СМИО Пресс, 2009. с.14-20. – 2000 экз. – ISBN 5-7704-0055-2
6. Фарков, А.В. Математические олимпиады в школе.5–11 классы.[Текст] /   А.В. Фарков. М.: Айрис–пресс, 2007. с. 27, 34, 61. – 7000 экз. – ISBN 978-5-8112-2394-7
7. Энциклопедия для детей. Т. 11. Математика [Текст]/ Глав.ред. М.Д. Аксёнова. М.: Аванта +,2001. с. 537 - 542. – 20000экз. – ISBN 5-8483-0015-1
8. Дистанционная обучающая олимпиада по математике (ДООМ) http://doomatem1.narod.ru/
9. Дистанционная школа  по математике «Школа-плюс»; E-mail: ds_nsk@mail.ru
10. Сопова, С. С. Диаграмма Эйлера-Вена и "дерево". Взаимодополнение.
11. http://doomatem1.narod.ru/