Проект: "Теорема Менелая и Чевы"
В проекте рассмотрено применение теорем Менелая и Чевы к решению планиметрических задач.
Сравниваются решения задач с помощью этих теорем и обычными способами, делается вывод об обязательном изучении теорем в курсе планиметрии.
Скачать:
| Вложение | Размер |
|---|---|
 Проект по геометрии Теорема Менелая и Чевы | 2.57 МБ |
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Цели проекта Изучить теоремы Менелая и Чевы Рассмотреть применение этих теорем к решению планиметрических задач Сравнить решения задач с помощью этих теорем и обычными способами Сделать заключение о пользе этих теорем и применении их в решении задач.
Оглавление: Теорема Менелая 1. Биография ученого 2. Формулировка и доказательство теоремы Менелая и теоремы , обратной теореме Менелая 3. Примеры применения теоремы Менелая Теорема Чевы 1.Биография ученого 2. Формулировка и доказательство теоремы Чевы и теоремы , обратной теореме Чевы . 4. Вывод
Менелай Александрийский- древнегреческий математик и астроном Главное сочинение Менелая — « Сферика » в трёх книгах. Его греческий оригинал утрачен, и содержание его известно по арабским, а также последующим вторичным латинским и еврейским переводам .
Самой замечательной теоремой ,которую доказал Менелай ,считается теорема, которая прежде называлась правилом шести количеств,а позже её назвали теоремой Менелая . Содержание ее состоит в следующем. Если все стороны треугольника пересечь прямой, то произведение их трех отрезков, из числа не имеющих общих концов, равно произведению таких же трех остальных отрезков.
Второй способ доказательства Дополнительное построение : Рис.9
Рассмотрим случай, если все три точки A , B , C взяты на продолжениях сторон ABC ,причем лежат на одной прямой. Проведем CK l l AB . верно
Теорема, обратная теореме Менелая Пусть в треугольнике АВС точки А 1 , В 1 , С 1 принадлежат прямым ВС, АС, АВ соответственно, тогда, если то точки А 1 , В 1 , С 1 лежат на одной прямой.
При составлении равенства нужно переходить от вершины к вершине через точку пересечения секущей линии с этой стороной или ее продолжением; Заканчивать необходимо в той же вершине, с которой начали; Равенство Менелая можно записывать, начиная с любой вершины треугольника в любом направлении (по часовой стрелке, против часовой стрелки).
Возможность применить теоремы Менелая имеет смысл, когда в условии задачи: Идёт речь, об отношении отрезков (иногда завуалированном: доказать равенство отрезков, доказать, что точка является серединой отрезка). Если на чертеже имеются элементы, присутствующие в теореме Менелая (треугольник и прямая, пересекающая его стороны или их продолжения). Иногда полезно применять обратную теорему ( если необходимо доказать, что какие-нибудь точки лежат на одной прямой ). А также при доказательстве теорем.
Применение теоремы Менелая С помощью теоремы Менелая можно легко доказывать свойства и теоремы Доказать , что медианы треугольника в точке пересечения делятся в отношении 2:1 считая от вершины.
Запишем соотношение, полученное в теореме Менелая для треугольника ABM b и прямой M c C : Первая дробь в этом произведении очевидно равна 1, а третья – 0.5. Поэтому второе отношение равно 2:1, что и требовалось доказать.
Сравнение решений задач с помощью теоремы менелая и без неё
На сторонах AB и BC треугольника ABC взяты соответственно точки M и N так, что AM:MB=2:3, BN:NC=2:1. Отрезки AN и CM пересекаются в точке O. Найти отношение CO:OM.
Решение без теоремы Проведем через точку В прямую параллельно отрезку AС, затем продолжим отрезок AN до пересечения с этой прямой и поставим там точку К:
Рассмотрим треугольники ANC и BNK. Эти треугольники подобны, так как AC||BK. Стороны треугольника BNK относятся к сторонам треугольника ANC как 2:1.
Пусть AC=x, BK=2x. Теперь продолжим отрезок MC до пересечения с прямой BK. Поставим там точку L.
Мы получили подобные треугольники LMB и AMC, сходственные стороны которых относятся как 3:2. Так как AC=x, то LB=1,5x. Пусть LM=3n, MC=2n. Тогда LC=5n. Теперь рассмотрим подобные треугольники LOK и AOC.
= = , c ледовательно = . Пусть LO=3,5z, OC=z. Тогда LO+OC=LC=4,5z. Получили, что 5 n=4,5z. Тогда MC=2n=9/5z. Отсюда MO=MC-CO=9/5z-z=4/5z CO/OM= z: z =5:4=1,25 . Ответ : 1,25
Решение задачи с помощью теоремы Менелая Рассмотрим треугольник MBC и прямую AN: Запишем теорему Менелая для этого треугольника: * * =1 2* *2/5=1 =1.25 Ответ: 1,25
Задача В ∆ABC биссектриса AD делит сторону BC в отношении 2 : 1. В каком отношении медиана CE делит эту биссектрису?
Пусть S – точка пересечения биссектрисы AD и медианы CE. Достроим ∆ASB до параллелограмма ASBK . Очевидно, что SE = EK по свойству параллелограмма ( AKBS) . Рассмотрим теперь треугольники ∆CBK и ∆CDS. Они подобны по 2 признаку = > KB/SD = CB/CD
Используя условие, получим: = = CD + 2CD CB = 3CD / CD = 3 Теперь заметим, что KB = AS, как противолежащие стороны параллелограмма. Тогда = = = 3
Рассмотрим ∆ABD и применим к нему теорему Менелая (прямая, проходящая через точки C, S, E – секущая прямая): * * = 1 По условию теоремы имеем = 1 , так как CE – медиана, а = , как мы уже подсчитали ранее. Подставим эти результаты и получим: 1 * * = 1 Отсюда получаем = 3 Второй способ.
На первый взгляд оба решения достаточно компактны и примерно равноценны. Однако, идея дополнительного построения для школьников часто оказывается очень сложна и совсем не очевидна, тогда как, зная теорему Менелая , ему достаточно лишь правильно ее применить.
Теорему Менелая применять достаточно легко, главное-правильно выбрать треугольник и секущую, помнить правила составления равенства
Я провела тренинг в нашем классе, научила одноклассников, не знающих теоремы менелая решать с её использованием задачи .
Потом мы потренировались «видеть» теорему
После мы сравнили решение задачи с помощью теоремы и без нее ( слайды 26-27) В конце я раздела всем карточки, со всеми заданиями мои одноклассники справились и сделали вывод, что это-действительно нужная теорема
В ходе тренинга было установлено, что теорема менелая действительно упрощает решение задач.
Джованни Чева (1647-1734) Джованни Чева создал учение о секущих, положившее начало новой синтетической геометрии. Известна его работа «О взаимном расположении пересекающихся прямых» (1678г.) и теорема Чевы о соотношениях отрезков в треугольнике.
Теорема Чевы . На сторонах треугольника ABC выбраны точки Если отрезки , и пересекаются в одной точке, то выполняется равенство: С 1 В А 1 О А В В 1
Доказательство S BOC /S AOB = CK/AL △ AB 1 L ~ △ KB 1 C => CK/AL=B 1 C/AB 1 Из 1 и 2 = > S BOC /S AOB =B 1 C/AB 1 ( 1 ) Аналогично получаем S AOB / S BOC = AC 1 /C 1 B (2) S AOB / S AOC = A 1 B/A 1 C (3) Перемножим равенства (1),(2) и (3) Все отношения площадей в произведении дают 1 = > в правой части тоже будет 1= >
Теорема Чевы в форме синусов.
Обратная теорема Чевы Пусть на сторонах треугольника ABC выбраны точки Тогда, если выполняется равенство , отрезки , и пересекаются в одной точке
Теорема Чевы намного облегчает решение задач. С помощью этой теоремы также можно доказывать свойства и теоремы. Рассмотрим несколько примеров.
Задача: Доказать , что высоты остроугольного треугольника пересекаются в одной точке. Доказательство: Пусть ABC - данный треугольник Пусть прямые, содержащие высоты AP и BQ треугольника ABC пересекаются в точке O. Проведем через точку A прямую, параллельную отрезку BC, через точку B прямую, параллельную отрезку AC, а через точку C - прямую, параллельную отрезку AB. Все эти прямые попарно пересекаются. Пусть точка пересечения прямых, параллельных сторонам AC и BC - точка M, точка пересечения прямых, параллельных сторонам AB и BC - точка L, а прямых, параллельным AB и AC - точка K. Точки K, L,M не лежат на одной прямой, иначе бы прямая ML совпадала бы с прямой MK, а значит, прямая BC была бы параллельна прямой AC, или совпадала бы с ней, то есть точки A, B и C лежали бы на одной прямой, что противоречит определению треугольника .
Все эти прямые попарно пересекаются. Пусть точка пересечения прямых, параллельных сторонам AC и BC - точка M, точка пересечения прямых, параллельных сторонам AB и BC - точка L, а прямых, параллельным AB и AC - точка K. Точки K, L,M не лежат на одной прямой, иначе бы прямая ML совпадала бы с прямой MK, а значит, прямая BC была бы параллельна прямой AC, или совпадала бы с ней, то есть точки A, B и C лежали бы на одной прямой, что противоречит определению треугольника.
Итак, точки K, L, M составляют треугольник. MA параллельно BC, и MB параллельно AC по построению. А значит, четырёхугольник MACB - параллелограмм. Следовательно, MA = BC, MB = AC. Аналогично AL = BC = MA, BK = AC = MB, KC = AB = CL. Значит, AP и BQ - серединные перпендикуляры к сторонам треугольника KLM. Они пересекаются в точке O, а значит, CO - тоже срединный перпендикуляр. CO перпендикулярно KL, KL параллельно AB, а значит CO перпендикулярно AB. Пусть R - точка пересечения AB и CQ. Тогда CR перпендикулярно AB, то есть CR - это высота треугольника ABC. Точка O принадлежит всем прямым, содержащим высоты треугольника ABC. Значит, прямые, содержащие высоты этого треугольника пересекаются в одной точке. Что и требовалось доказать.
2 способ
Примеры задач с использованием теоремы Чевы .
ЗАДАЧА. В ∆АВС на сторонах АВ, ВС и АС расположены точки К, L и М соответственно, причем АК:КВ =1:2, В L : L С =3:4 и прямые А L , ВМ и СК пересекаются в одной точке. В каком отношении точка М делит сторону АС? Найти АМ:МС. Решение По теореме Чевы Ответ: В А С К L М х 2х 3y 4y
Задача.( Математика ЕГЭ-2014. Трениров.работа ) Точки В´ и С´ лежат на сторонах соответственно АС и АВ ∆АВС, причем АВ´:В´С=АС´:С´В. Прямые ВВ´ и СС´ пересекаются в точке О. а) Доказать, что прямая АО делит пополам сторону ВС. б) Найти отношение площади четырехугольника АВ´ОС´ к площади ∆АВС, если АВ´:В´С=АС´:С´В =1:2. Докажем, что ВК=КС. Используем теорему Чевы. т.к. то ВК=КС. А В С В´ С´ О К
Задача. ∆АВС – прямоугольный с прямым углом С. Биссектриса В L и медиана СМ пересекаются в точке К. Найти отношение L К:ВК, если известно, что МК:СК=5:6. Найти L К:ВК. Решение Для ∆АВ L и секущей СМ 2. В ∆ВСМ ВК- биссектриса, значит , тогда АВ = 10у 3. В ∆АВС В L - биссектриса, значит , тогда 4. , тогда Ответ: 3:8. А В С L М К 5х 6х 5х К 5у 6у 5у 3z 5z
Задача В треугольнике △ABC : BD — медиана, AE — биссектриса, K — их точка пересечения. Прямая, проходящая через вершину C и K, пересекает AB в точке F. Известно, что AB = c,AC = b. Найти AF и FB.
Решение
Доказать, что прямые, проходящие через вершины треугольника и точки касания вписанной окружности, пересекаются в одной точке, называемой точкой Жергона . Доказательство : Пусть окружность с центром О касается сторон ∆АВС в точках А1, В1, С1 (рис.11) тогда по свойству отрезков касательных, проведенных к окружности из одной точки. АВ1 = АС1; ВС1 = ВА1; СА1 = СВ1
Задача Зафиксируем на плоскости треугольник АВС. Вновь выберем некоторую точку плоскости Z и проведём через неё и вершины треугольника прямые, пересекающие стороны треугольника в точках А1,В1,С1 соответственно.(рис.14) Доказать, что прямые АА2, ВВ2,СС2, симметричные прямым АА1, ВВ1,СС1 относительно биссектрис соответствующих углов треугольника, пересекаются в одной точке Z1.
Вывод Теоремы Чевы и Менелая не изучаются в основном курсе геометрии 7–9 классов, а лишь в 11 классе. Но трудности, связанные с освоением этих теорем, оправданы их применением при решении задач. Решение задач с помощью теорем Чевы и Менелая более рационально, чем их решение другими способами, требующими дополнительных действий и построений, которые не всегда оказываются очевидными. Теорему нужно включить в школьную программу как обязательную .
Рисуем пшеничное поле гуашью
В какой день недели родился Юрий Гагарин?
Рисуем крокусы акварелью
Интервью с космонавтом Антоном Шкаплеровым
По морям вокруг Земли