Изготовление звездчатого многоранника

ИЗГОТОВЛЕНИЕ ЗВЕЗДЧАТОГО МНОГОГРАННИКА

Автор:                                     Толмачева Полина Витальевна

                                                 Муниципальное бюджетное образовательное учреждение  

                                                 «Лицей»

                                                 5 класс Б  

Руководитель:                       Толмачева Ирина Николаевна

                                преподаватель математики

                                                 Муниципальное бюджетное образовательное учреждение

                                                 «Лицей»

г. Нижневартовск

2017

Содержание.

 Введение……………………………………………………………………………………..1

 Основная часть……………………………..……………………………………………..…2

1. Теоретическая……………………………………………………………………..…..…..2

   1.1. Виды звездчатых многогранников…………………………………………………..2

    1.2. Способы изготовления моделей звездчатых многогранников……………………3

2. Практическая………………………………………………………………………………4

2.1. Изготовление модели звездчатого многогранника  способом развертки…………..4

2.2 Изготовление модели звездчатого многогранника  в технике кусудама…………….5

 Заключение………………………………………………………………………….……….6

Источники………………………………………………………………………………………7

Приложение 1……………………………………………………………………………..……I

ИЗГОТОВЛЕНИЕ ЗВЕЗДЧАТОГО МНОГОГРАННИКА

Толмачева Полина Витальевна

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение «Лицей»

5 Б класс

План Исследования:

Гипотеза: Существует способ изготовления моделей звездчатых многогранников, при

                    котором не нужны сложные математические расчеты

Проблема исследования: как изготовить модель  звездчатого многогранника без сложных расчетов.

Гипотеза исследования: Существует способ изготовления моделей звездчатых многогранников, при котором не нужны сложные математические расчеты.

Цель работы: Сравнить способы изготовления модели звездчатого многогранника

Задачи

-Изучить виды звездчатых многогранников

-Изучить способы изготовления моделей звездчатых многогранников

- Изготовить модели звездчатого многогранника  двумя способами

- Сделать выводы о «легкости» предложенных способов 

Актуальность: В школе изучаются некоторые многогранники, так называемые выпуклые многогранники. Модели, которые есть в кабинетах математики, это модели выпуклых многогранников.  Но наш мир намного многообразнее, например различные  здания и архитектурные композиции имеют невыпуклую форму, многие природные объекты, например снежинки, кристаллы, имеют форму звезды. Моделей таких фигур практически нет, и существует необходимость изготовить модели некоторых невыпуклых многогранников, которые могут быть использованы как модели невыпуклых тел

Объект исследования: звездчатые многогранники

Предмет исследования: способы изготовления моделей звездчатых многогранников.

Методы исследования:

теоретический: изучить литературу по теме, виды многогранников, выбрать модель для изготовления; выбрать способы изготовления модели,

эксперимент: изготовить модель одного и того же звездчатого многогранника двумя способами,

сравнение: сравнить способы изготовления звездчатого многогранника, сделать выводы.

Библиография:

1. Венниджер М. «Модели многогранников» Пер. с англ. В. В. Фирсова под ред. и послесл. И .М. Яглова., М: «Мир», 1974

2. 100 праздничных моделей оригами/  Сержантова Т. Б.-М.: Айрис-пресс, 2012.-192 с.: ил.-(Внимание: дети!)

3. https://ru.wikipedia.org/wiki

4.https://www.youtube.com/watch?v=08RqWyR5SkU (видео сборки)

5.https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D1%83%D1%81%D1%83%D0%B4%D0%B0%D0%BC%D0%B0

Приложение 1

Моделирование в технике кусудама

ИЗГОТОВЛЕНИЕ ЗВЕЗДЧАТОГО МНОГОГРАННИКА

Толмачева Полина Витальевна

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение «Лицей»

5 Б класс

Введение.

Человек проявляет интерес к многогранникам на протяжении всей своей сознательной деятельности - от  двухлетнего ребенка, играющего деревянными кубиками, до зрелого математика, наслаждающегося чтением книги Бранко Грюнбаума «Выпуклые многогранники» [1].

 Мы живем в трехмерном пространстве. Предметы, окружающие нас, объемные. В школе изучаются некоторые многогранники, так называемые выпуклые многогранники. Модели, которые есть в кабинетах математики, это модели выпуклых многогранников.  Но наш мир намного многообразнее, например различные  здания и архитектурные композиции имеют невыпуклую форму, многие природные объекты, например снежинки, кристаллы, имеют форму звезды.

Мы заинтересовались, можно ли изготовить модели невыпуклых многогранников. Тема нашего исследования мы взяли изготовление звездчатого многогранника.  Эти модели могут быть использованы на уроках математики и геометрии в старших классах. А так как таких моделей в школе нет, считаем данную работу актуальной, и имеющей практическое значение. Однако изготовить модель невыпуклого(звездчатого) многогранника достаточно сложно: нужны математические вычисления, построения и т.д. Мы предположили, что существует более простой способ изготовления невыпуклых многогранников, не требующих сложных расчетов и построений. Перед нами встала проблема: как изготовить модель  звездчатого многогранника без сложных расчетов.

Целью нашей работы сталосравнить способы изготовления модели звездчатого многогранника различными способами.

Объект исследования: звездчатые многогранники, предмет исследования: способы изготовления моделей звездчатых многогранников.

Гипотеза:  Существует способ изготовления моделей звездчатых многогранников, при котором не нужны сложные математические расчеты.

Задачи:

 -Изучить виды звездчатых многогранников

 -Изучить способы изготовления моделей звездчатых многогранников

- Изготовить модели звездчатого многогранника  двумя способами

- Сделать выводы о «легкости» предложенных способов

В ходе работы мы планируем изготовить несколько моделей одного и того же многогранника различными способами и сравнить эти способы.

Изготовленные модели  могут быть использованы на уроках математики как примеры объемных невыпуклых тел.

Основная часть

1. Теоретическая часть.

1.1.  Виды звездчатых многогранников

Первый вопрос, который возникает, что такое многогранник?

Многогранник можно определить как множество многоугольников (плоских фигур), ограничивающих часть пространства [1].

Многогранники бывают выпуклые и невыпуклые; правильные,  полуправильные и  неправильные.

Остановимся на звездчатых многогранниках. Эти многогранники относятся к невыпуклым.

Термин  «звездчатый» имеет общий корень со словом «звезда» указывает на его происхождение. Существуют  звездчатые многоугольники и звездчатые многогранники[1].

Рассмотрим правильные звездчатые многогранники. Их гранями являются правильные многоугольники. Их всего четыре. Первые два были открыты И. Кеплером, а два других почти 200 лет спустя построил Л. Пуансо (1777-1859). Именно поэтому правильные звездчатые многогранники называются телами Кеплера-Пуансо.

К ним относятся:

1. Малый звездчатый додекаэдр (Приложение 1 рис 1). Этот многогранник можно получить из додекаэдра (Приложение 1 рис 2), установкой на его гранях правильных пятиугольных пирамид.

2. Большой звездчатый додекаэдр (Приложение 1 рис 3). Его можно получить из икосаэдра (Приложение 1 рис 4), установкой на его гранях правильных треугольных пирамид.

3. Большой додекаэдр (Приложение 1 рис 5). Его можно получить из икосаэдра, вырезанием из его граней правильных треугольных пирамид.

4. Большой икосаэдр (Приложение 1 рис 6). Его можно  получить из малого звездчатого додекаэдра вырезанием из его граней треугольных пирамид.

Помимо правильных звездчатых многогранников (тел Кеплера-Пуансо) имеется более сотни различных звездчатых форм многогранников,некоторые из них мы приводим в работе (Приложение 1 рис 7).

В мире существует множество фигур и форм, и  изучить их все достаточно сложно. Изготовить их модели еще сложнее. Для изготовления модели мы выбрали малый звездчатый додекаэдр, как наиболее «простой» из звездчатых форм.

Малый звездчатый додекаэдр состоит и пятиугольных пирамид, установленных на гранях додекаэдра. Граней у додекаэдра 12,  поэтому пирамид тоже 12.

Теперь возникает вопрос: как изготовить модель?

1.2.Способы изготовления моделей звездчатых многогранников.

Первый способ, который мы нашли это развертка.  Если модель поверхности многогранника изготовлена из гибкого нерастяжимого материала (бумаги, тонкого картона и т. п.), то эту модель можно разрезать по нескольким ребрам и развернуть так, что она превратится в модель некоторого многоугольника. Этот многоугольник называют развёрткой поверхности многогранника.

Развертка – это графическое изображение поверхности предмета, мысленно совмещенная с плоскостью.

Что же  такое развертка? Если просто, то это кусок бумаги, из которого можно свернуть данный многогранник. Невыпуклый многогранник можно склеить из нескольких развёрток.

Для изготовления развертки нужно понимать, какой многоугольник мы хотим получить. Для нашей модели  нужна развертка пятиугольной  пирамиды. Пятиугольная пирамида, это пирамида у которой гранями являются треугольники, а в основании правильный пятиугольник.

Уже на этапе изучения этого метода мы столкнулись с проблемой как построить развертку, т. к. треугольники должны быть одинаковыми, нужно ли строить основание (правильный пятиугольник) для изготовления модели из бумаги, размеры модели и т. д.

Эти вопросы были решены, и развертка пирамиды построена. О проделанной работе мы расскажем в практической части.

В поисках других способов мы обратились к технике оригами и ее виду кусудама.

Кусудама (яп. букв. «лекарственный шар») — бумажная модель, которая обычно (но не всегда) формируется сшиванием вместе концов множества одинаковых пирамидальных модулей (обычно это стилизованные цветы, сложенные из квадратного листа бумаги), так что получается тело шарообразной формы. Как вариант, отдельные компоненты могут быть склеены вместе. Иногда, как украшение, снизу прикрепляется кисточка. В древней Японии кусудамы использовались для целебных сборов и благовоний[3].

(приложение 2).

Наряду склассическимикусудамами в современном оригами ежегодно появляются десятки новых оригинальных моделей — шары, многогранники, букеты и другие.

Использование техники кусудамапредполагает сгибание бумаги без расчетов, изготовление модулей, которые затем склеиваются. Каждый модуль собирается из частей , которые, в свою очередь, получаются из квадрата бумаги, путем ее сгибания. Т. о. получается модель цветов, и, что для нас более интересно, геометрических тел. Используя модульное оригами можно создать большое количество многогранников.  

Итак, мы нашли два способа изготовления многогранников. Используя каждый способ, изготовим модели одного и того же звездчатого многогранника: малого звездчатого додекаэдра.

2. Практическая часть.

2.1. Изготовление модели звездчатого многогранника  способом развертки.

Обратимся к понятию развертка. Развертка, это изображение на плоскости объемной фигуры, если ее свернуть и склеить, то получится многогранник.

Малый звездчатый додекаэдр состоит из 12 пятиугольных пирамид, которые склеиваются ребрами оснований.

Первое, это построение развертки пятиугольной пирамиды. Т. к. нам при изготовлении не нужно основание пирамиды, то и развертка будет состоять только из боковых граней.

Гранями пирамиды являются равнобедренные треугольники, которые имеют общие боковые стороны. Развертку мы получили следующим образом:

1. Чертим окружность произвольного радиуса.

2. Проведем 2 луча с началом в центре окружности, так, что бы они образовали угол примерно 500.

3. Лучи пересекают окружность. С помощью циркуля измеряем расстояние между точками пересечения лучей и окружности,и последовательно от одной из точек пересечения отмечаем на окружности еще четыре точки, удаленные на это расстояние друг от друга.

4. Проводим через центр окружности и полученные точки лучи с началом в центре.

5. На 6 лучах откладываем равные отрезки, примерно 4 см.

6. Соединяем отрезками точки на лучах, оставляем часть для склеивания.

Развертка пирамиды готова (приложение3 рис 1).

Из 12 таких разверток склеиваются пирамиды, которые затем соединяются по ребрам грани основания (приложение 3 рис 2, рис 3). Получили малый звездчатый додекаэдр (приложение 3 рис 4).

Работа по изготовлению модели с помощью развертки показала, что нужны навыки работы с циркулем, транспортиром, линейкой. Уметь измерять отрезки и углы. Строить отрезки, равные данному. Понимать какую геометрическую фигуру хотим изобразить на плоскости. Все это достаточно сложно.

 Рассмотрим еще один способ изготовления выбранной модели многогранника.

2.2. Изготовление модели звездчатого многогранника  в технике кусудама.

Как уже говорилось выше кусудама - это модель, получаемая из склеивания модулей. Эти модули мы получаем из квадратных листов бумаги размером 7x7 см (можно брать любой размер, от этого будет меняться только размер конечной модели), мы каждый лист сворачиваем определенным образом. Пунктиром на рисунках показаны линии сгиба. В приложении 5 показано, каким образом сворачивался каждый квадрат. Для одной пирамиды нужно 5 квадратов, всего 12 пирамид, значит квадратов 60.

Каждый квадрат сворачивается, затем они склеиваются так, что бы получились пятиугольные пирамиды (приложение 6 рис. 1, рис. 2).

Используя этот способ сгибания квадратов, мы смогли изготовить модель не только малого звездчатого многогранника, но и многогранника-трансформера. Из малого звездчатого додекаэдра, получается большой звездчатый додекаэдр [4] (приложение 6 рис3, 4, 5,6). Для изготовления многогранника - трансформера нам так же не нужны были вычисления, построение, каких - либо чертежей и применение других математических методов. Мы использовали те же модули, но склеивали их в другом порядке.

Наша модель заинтересовала многих. Был проведен мастер класс по изготовлению малого звездчатого додекаэдра (приложение 7).

Итак, мы видим, что изготовление модели в технике кусудамы не требует математических расчетов, интересно и позволяет собрать различные многогранники. Наша гипотеза о том, что существует несложный способ изготовления невыпуклых многогранников подтвердилась. Мы считаем, что это техника кусудама. Как мы видели, она позволяет собрать не только модели геометрических тел, но и множество замечательных украшений для интерьера. Мы увидели, что сделать многогранник, не так сложно, как кажется, стоит только найти способ. И запастись терпением.

Заключение

По итогам проведенного исследования, можно сделать следующие выводы, согласно поставленным задачам:

1. Анализ литературы показал, что существует множество невыпуклых (звездчатых) многогранников.   Мы нашли 119 моделей. Названия их сложны и изготовление их так же сложно. Нами был выбран один из правильных звездчатых многогранников (малый звездчатый додекаэдр).

2.Мы нашли два способа изготовления моделей, это способ  разверток и использование модульного  оригами (кусудама).

3. Изготовили модели малого звездчатого додекаэдра, склеивая развертки его «лучей» и используя технику кусудама. Так же используя технику кусудама мы изготовили модель трансформер: из малого звездчатого додекаэдр получается большой звездчатый додекаэдр.

4. В процессе работы мы пришли к выводу, что изготовить модель с помощью модульного оригами несколько проще, чем с помощью разверток, т. к. не нужны построения и расчеты, модули получаются путем сгибания бумаги.

Мы ставили перед собой цель: сравнить способы изготовления модели звездчатого многогранника. Мы нашли два способа и сравнили их и выбрали более простой, считаем, что поставленная цель достигнута. Проблему изготовления двух из правильных звездчатых многогранников без сложных расчетов и построений решили. В перспективе планируем изготовить модели   некоторых других невыпуклых многогранников, которые так же можно будет использовать на уроках математики как наглядное пособие.

Найденный нами способ оказался относительно простым и доступным, для учеников младших классов. Был проведен мастер класс по изготовлению большого звездчатого многогранника, участники которого справились с изготовлением частей многогранника.

Таким образом, поставленная проблема решена, гипотеза подтвердилась, задачи решены, намечены дальнейшие перспективы.

Источники

1. Венниджер М. «Модели многогранников» Пер. с англ. В. В. Фирсова под ред. и послесл. И .М. Яглова., М: «Мир», 1974

2. 100 праздничных моделей оригами/  Сержантова Т. Б.-М.: Айрис-пресс, 2012.-192 с.: ил.-(Внимание: дети!)

3. https://ru.wikipedia.org/wiki

4.https://www.youtube.com/watch?v=08RqWyR5SkU (видео сборки)

5.https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D1%83%D1%81%D1%83%D0%B4%D0%B0%D0%BC%D0%B0