Почему древний римлянин, в отличие от араба, не мог стать программистом.

Государственное казенное образовательное учреждение

города Москвы

специальная (коррекционная) общеобразовательная

школа-интернат №2

Проектная работа

по теме:

 «Почему древний римлянин, в отличие от араба, не мог стать программистом».

Авторы                                 Кузнецова Кристина 8 класс

   Стельмах Ольга 8 класс

Руководитель проекта:     Романова Мария Викторовна,

 учитель физики и информатики

Научный консультант:    Лютов Валентин Николаевич,

учитель биологии, ответственный за

инновационную работу в ОУ

Москва

2016

Тема проекта: Почему древний римлянин, в отличие от араба, не мог стать программистом.

Актуальность: Язык чисел, как и обычный язык, имеет свой алфавит. В том языке чисел, которым сейчас пользуются практически на всём земном шаре, алфавитом служат десять цифр от 0 до 9. Этот язык называется десятичной системой счисления. Однако не во все времена и не везде люди пользовались десятичной системой счисления. С точки зрения чисто математической она не имеет специальных преимуществ перед другими возможными системами счисления, и своим повсеместным распространением эта система обязана вовсе не общим законам математики, а причинам совсем иного характера. О свойствах, истории возникновения и применения различных систем счисления будет рассказано в нашей работе.

Цель проекта:

• Привлечь внимание к изучению систем счисления, как неотъемлемой части вычислительной техники.

Основные задачи деятельности:

• Систематизация материала по системам счисления
• Создать презентацию, в которой будет представлена следующая информация:

1. история развития и становления систем счисления;
2. правила перевода;
3. алгоритмы арифметических действий;
4. использование систем счисления в вычислительной технике.

• Получить ответ на вопрос: почему древний римлянин, в отличие от араба, не смог стать программистом?

Объект исследования: системы счисления.

Предмет исследования: история и сущность систем счисления.

Методы исследования:

• Анализ современной литературы.

Теоретическая часть: В древние времена, когда люди начали считать, появилась потребность в записи чисел. Количество предметов, например, мешков, изображалось нанесением черточек или засечек на какой-либо твердой поверхности: камне, глине, дереве (до изобретения бумаги было еще очень далеко). Каждому мешку в такой записи соответствовала одна черточка. Археологами найдены такие «записи» при раскопках культурных слоев, относящихся к периоду палеолита (10-11 тысяч лет до н.э.).

Ученые назвали этот способ записи чисел единичной (палочной) системой счисления. В ней для записи чисел применялся только один вид знаков — палочка. Каждое число в такой системе счисления обозначалось с помощью строки, составленной из палочек, количество которых равнялось обозначаемому числу. Неудобства такой системы записи чисел и ограниченность ее применения очевидны: чем большее число надо записать, тем длиннее строка из палочек; при записи большого числа легко ошибиться — нанести лишнее количество палочек или, наоборот, не дописать палочки. Можно предположить, что для облегчения счета люди стали группировать предметы по 3, 5, 10 штук. И при записи стали использовать знаки, соответствующие группе из нескольких предметов. Так как люди, естественным образом, при подсчете использовали пальцы рук, то первыми появились знаки для обозначения групп предметов из 5 -10 штук (единиц). И, таким образом, возникли уже более удобные системы записи чисел.

Древнеегипетская десятичная непозиционная система возникла во второй половине третьего тысячелетия до н.э. Бумагу заменяла глиняная дощечка, и именно поэтому цифры имеют такое начертание. В древнеегипетской системе счисления использовались специальные знаки (цифры) для обозначения чисел. Числа в египетской системе счисления записывались как комбинации этих «цифр», в которых каждая «цифра» повторялась не более девяти раз. В основе как палочной, так и древнеегипетской систем счисления лежал простой принцип сложения, согласно которому значение числа равно сумме значений цифр, участвующих в его записи. Ученые относят древнеегипетскую систему счисления к десятичной непозиционной.

Так же далеко от наших дней, за две тысячи лет до н.э., в другой великой цивилизации — вавилонской — люди записывали цифры по-другому. Шестидесятеричная вавилонская система — первая известная нам система счисления, основанная на позиционном принципе. Система вавилонян сыграла большую роль в развитии математики и астрономии, ее следы сохранились до наших дней. Так, мы до сих пор делим час на 60 минут, а минуту на 60 секунд. Точно так же, следуя примеру вавилонян, окружность мы делим на 360 частей (градусов).

Числа в этой системе счисления составлялись из знаков двух видов: прямой клин служил для обозначения единиц и лежачий клин - для обозначения десятков. Клинья-то и служили «цифрами» в этой системе. Число 60 снова обозначалось тем же знаком (прямой клин), что и 1. Этим же знаком обозначались числа 3600 = 602, 216000 = 603 и все другие степени 60. Поэтому вавилонская система счисления получила название шестидесятеричной. Для определения значения числа надо было изображение числа разбить на разряды справа налево. Чередование групп одинаковых знаков («цифр») соответствовало чередованию разрядов: Значение числа определяли по значениям составляющие его «цифр», но с учетом того, что «цифры» в каждом последующем разряде значили в 60 раз больше тех же «цифр» в предыдущем разряде. Таблицу умножения вавилоняне никогда не запоминали, так как это было практически невозможно. При вычислениях они пользовались готовыми таблицами умножения.

Римская система принципиально ненамного отличается от египетской. Но она более распространена в наши дни. В ней для обозначения чисел 1, 5, 10, 50, 100, 500 и 1000 используются заглавные латинские буквы I, V, X, L, С, D и M (соответственно), являющиеся «цифрами» этой системы счисления. Число в римской системе счисления обозначается набором стоящих подряд «цифр». Значение числа равно:

1) сумме значений идущих подряд нескольких одинаковых «цифр» (группа первого вида);

2) разности значений двух «цифр», если слева от большей «цифры» стоит меньшая (группа второго вида). В этом случае от значения большей  «цифры» отнимается значение меньшей «цифры». Заметим, что левая «цифра» может быть меньше правой максимум на один порядок: так перед L(50) и С(100) из «младших» может стоять только Х(10), перед D(500) и М(1000) — только С(100), перед V(5) — только I(1);

3) сумме значений групп и «цифр», не вошедших в группы первого или второго вида.

Пример 1. Число 32 в римской системе счисления имеет вид XXXII = (X + Х + X) + (I + I) = 30 + 2 (две группы первого вида).

Пример 2. Число 444, имеющее в десятичной записи 3 одинаковые цифры, в римской системе счисления будет записано в виде СDХLIV = (D - С) + (L - X) + (V - I) = 400 +40+4(три группы второго вида).

Пример 3. Число 1974 в римской системе счисления имеет вид МСМLХХIV = М + (М - С) + L + (X + X) + (V - I) == 1000 + 900 +50+20+4 (наряду с группами обоих видов в формировании числа участвуют отдельные «цифры»).

Более совершенными непозиционными системами счисления были алфавитные системы. К числу таких систем счисления относились славянская, ионийская (греческая), финикийская и другие. В них числа от 1 до 9, целые количества десятков (от 10 до 90) и целые количества сотен (от 100 до 900) обозначались буквами алфавита. Алфавитная система была принята и в древней Руси. Такой способ записи чисел, как в алфавитной системе, можно рассматривать как зачатки позиционной системы, так как в нем для обозначения единиц разных разрядов применялись одни и те же символы, к которым лишь добавлялись специальные знаки для определения значения разряда. Алфавитные системы счисления были малопригодны для оперирования с большими числами. В ходе развития человеческого общества эти системы уступили место позиционным системам.

Системы счисления, основанные на позиционном принципе, возникли независимо одна от другой в древнем Междуречье (Вавилон), у племени Майя и, наконец, в Индии. Все это говорит о том, что возникновение позиционного принципа не было случайностью. Каковы же были предпосылки для его создания? Что привело людей к этому замечательному открытию? Чтобы ответить на эти вопросы, мы снова обратимся к Истории о древнем Китае, Индии и в некоторых других странах существовали системы записи, построенные на мультипликативном принципе. Следующей ступенью к позиционному принципу было опускание названий разрядов при письме подобно тому, как мы говорим «три двадцать», а не «три рубля двадцать копеек ». Но при записи чисел по такой системе очень часто требовался символ для обозначения отсутствующего разряда. Пусть, например, десятки обозначаются символом X, а сотни - У. Тогда запись числа 323 схематично будет выглядеть так: ЗУ 2Х 3.В таких системах для записи одинакового числа единиц, десятков, сотен или тысяч применяются одни и те же символы, но после каждого символа пишется название соответствующего разряда. С использованием введенных обозначений число 100 можно записать в виде 1У.

Современная десятичная позиционная система счисления возникла на основе нумерации, зародившейся не позднее 5 в. в Индии. До этого в Индии имелись системы, в которых применялся не только принцип сложения, но и принцип умножения. Аналогично строились старо китайская система и некоторые другие. Десятичная позиционная система С. даёт принципиальную возможность записывать сколь угодно большие числа. Запись чисел в ней компактна и удобна для производства арифметических операций. Поэтому вскоре после возникновения десятичная позиционная система начинает распространяться из Индии на Запад и Восток. В 9 в. появляются рукописи на арабском языке, в которых излагается эта система, в 10 в. десятичная позиционная нумерация доходит до Испании, в нач. 12 в. она появляется и в других странах Европы. Новая система получила название арабской, потому что в Европе с ней познакомились впервые по латинским переводам с арабского. Только в 16 в. новая нумерация получила широкое распространение в науке и в житейском обиходе. В России она начинает распространяться в 17 в. и в самом нач. 18 в. вытесняет алфавитную. С введением десятичных дробей десятичная позиционная система стала универсальным средством для записи всех действительных чисел.

В десятичной системе используются цифры от 0 до 10. Причём, т.к. система позиционная, положение цифр имеет значение: справа налево разряд увеличивается. Десятичная система наиболее удобная для людей во многом потому, что у нас по десять пальцев на руках и на ногах.

Двоичная система проста, так как для представления информации в ней используются всего два состояния или две цифры. Такое представление информации принято называть двоичным кодированием. Представление информации в двоичной системе использовалось человеком с давних времен. Так, жители островов Полинезии передавали необходимую информацию при помощи барабанов: чередование звонких и глухих ударов. Звук над поверхностью воды распространялся на достаточно большое расстояние, таким образом «работал» полинезийский телеграф. В телеграфе в ХIХ-ХХ веках информация передавалась с помощью азбуки Морзе — в виде последовательности из точек и тире. Часто мы договариваемся открывать входную дверь только по «условному сигналу» — комбинации коротких и длинных звонков. Двоичная система используется для решения головоломок и построения выигрышных стратегий в некоторых играх.

В наш век компьютеризации, человечество пользуется двоичной системой ежедневно, так как вся информация, обрабатываемая современными ЭВМ, хранится в них в двоичном виде. Каким же образом осуществляется это хранение? Каждый регистр арифметического устройства ЭВМ, каждая ячейка памяти представляет собой физическую систему, состоящую из некоторого числа однородных элементов. Каждый такой элемент способен находиться в нескольких состояниях и служит для изображения одного из разрядов числа. Именно поэтому каждый элемент ячейки называют разрядом. Нумерацию разрядов в ячейке принято вести справа налево, самый левый разряд имеет порядковый номер 0. Если при записи чисел в ЭВМ мы хотим использовать обычную десятичную систему счисления, то мы должны получать 10 устойчивых состояний для каждого разряда. Такие машины  существуют. Однако конструкция элементов такой машины чрезвычайно сложна. Наиболее надежным и дешевым является устройство, каждый разряд которого может принимать два состояния: намагничено — не намагничено, высокое напряжение — низкое напряжение и т.д. В современной электронике развитие аппаратной базы ЭВМ идет именно в этом направлении. Следовательно, использование двоичной системы счисления в качестве внутренней системы представления информации вызвано конструктивными особенностями элементов вычислительных машин.

В современных электронных вычислительных машинах для организации арифметических операций на ряду с двоичной используется двоично-шестнадцатеричная система счисления, в основу которой лег принцип шестнадцатеричной.

Практическая часть:

Перевод из произвольной позиционной системы счисления в десятичную систему.

Для перевода из любой позиционной системы счисления в десятичную систему используется следующий алгоритм:

1.        Пронумеруем цифры в изначальной записи числа справа налево, начиная с нуля.

2.        Умножим каждое число на соответствующую степень основания.

3.        Складываем получившиеся произведения.

Приведем пример:

11012 =1*23 + 1*22 + 0*21+ 1*20= 8+4+0+1=1310

1204205= 1*55+2*54+0*53+4*52+2*51+0*50= 3125+1250+0+100+10+0=448510

Перевод из десятичной системы в произвольную позиционную систему счисления.

Для перевода из десятичной системы счисления в любую позиционную необходимо придерживаться следующего алгоритма:

1.        Делим исходное число на основание нацело в десятичной системе счисления и записываем в качестве нового значения десятичного целую часть результата от деления.

2.        Остаток от деления (он должен быть не больше основания данной системы) записываем начиная с последнего.

Приведем пример:

4410 переведём в двоичную систему

44 делим на 2. частное 22, остаток 0

22 делим на 2. частное 11, остаток 0

11 делим на 2. частное  5, остаток 1

 5 делим на 2. частное  2, остаток 1

 2 делим на 2. частное  1, остаток 0

 1 делим на 2. частное  0, остаток 1

Частное равно нулю, деление закончено. Теперь записав все остатки, справа налево получим число 1011002

Для перевода дробной части числа в другие системы счисления нужно обратить целую часть в нуль и начать умножение получившегося числа на основании той системы, в которую нужно перевести. Если в результате умножения будут снова появляться целые части, их нужно повторно обращать в нуль, предварительно запомнив (записав) значение получившейся целой части. Операция заканчивается, когда дробная часть полностью обратится в нуль. Ниже приводится пример перевода числа 103,62510 в двоичную систему счисления.

Переводим целую часть по правилам, описанным выше, получаем 10310 = 11001112.

0,625 умножаем на 2. Дробная часть 0,250. Целая часть 1.

0,250 умножаем на 2. Дробная часть 0,500. Целая часть 0.

0,500 умножаем на 2. Дробная часть 0,000. Целая часть 1.

Итак, сверху вниз получаем число 1012

103,62510 = 1100111,1012

Перевод в машинной группе.

Для этого типа операций существует упрощенный алгоритм.

Для восьмеричной — разбиваем число на триады, для шестнадцатеричной — разбиваем на тетрарды, преобразуем триады и тетрады по таблице (приложение 2)

Пример:

преобразуем 1011002

восьмеричная — 101 100 → 548

шестнадцатеричная — 0010 1100 → 2C16

Обратный перевод из восьмеричной и шестнадцатеричной в двоичную осуществляется за счет замены цифр соответствующими триадами и тетрадами.

Арифметические действия в позиционных системах счисления.

Все позиционные системы счисления одинаковы, а именно, во всех них арифметические действия выполняются по одним и тем же правилам:

• справедливы все законы: сочетательный, переместительный, распределительный;
• справедливы все правила арифметических действий, которые действуют в десятичной системе счисления;
• правила выполнения арифметических действий опираются на соответствующие таблицы сложения и умножения.

Сложение.

10012         1111

+10102           +       1

100112           10000

При сложении столбиком чисел, в данном случае двоичной системы, как и в любой позиционной системе счисления, в следующий разряд переносится только единица.

Нужно сказать, что само действие выполняется аналогично десятичному: цифры по разрядно складываются и при образовании переполнения, оно переносится в следующий разряд в виде степени образовавшегося переполнения. Так же для выполнения сложения используются соответствующие таблицы (приложение 3).

Вычитание.

Чтобы найти разность чисел a и b необходимо найти такое число c, a+c=b.

На этом принципе и основано вычитание во всех позиционных системах счисления.

-12346               -1101012

   1356                    110102

  10556                   110112

Умножение.

Как известно умножение можно заменить сложением. Например: 6*b=b+b+b+b+b+b

Из этого следует, что умножение в других позиционных системах счисления так же можно заменить сложением то есть:

101*11=101+101+101(так 11 в десятичной системе счисления 3)

Из этого можно сделать вывод, что умножение во всех позиционных системах счисления происходит по одному принципу. В основном для умножения различных чисел недесятичных систем счисления используются соответствующие таблицы умножения (приложение 3)

        *1100112                    *745628

             1112                          4458                       

       + 110011                   +457472

      +110011                   +362710

    110011                    362710

 1011001012                     425775728

Деление.

Деление-это процесс последовательного вычитания одного числа из другого. При делении в десятичной системе счисления мы отнимаем определенное количество делителей из делимого, то есть, уменьшаем число на определенное количество и получаем необходимое число.

 -5568       3

 3            1856

 -25

 24

   - 16

    15

     - 18        

      18

        0

Так же для работы используются  соответствующие таблицы умножения. (приложение 3)

Заключение:

Данная работа была написана с целью, привлечь внимание к изучению систем счисления, как неотъемлемой части вычислительной техники.

Тема работы имеет практическую направленность и может быть использована учителями при работе с детьми (факультативы, спецкурсы).

Литература:

1. Е.В. Андреев, И. Н. Фалина Системы счисления и компьютерная арифметика: Учебное пособие. – 2004г. – 254с.
2. С.В.Фомин Системы счисления – 1987г – 350с.
3. М.Д. Аксенов Энциклопедия для детей – 2002 г. – 688с

Таблица соответствия машинных систем счисления к десятичной

Таблицы сложения и  умножения систем счисления машинной группы.