«Замечательные кривые: Розы Гранди и спирали».

Слайд 1

Государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение города Москвы « Колледж полиции». « Замечательные кривые: Розы Гранди и спирали ». Исследовательская работа на тему : Выполнили : курсанты Михайлова Е. и Чеботарян К. Руководитель: Караханова И.И. преподаватель математики ВКК

Слайд 2

Содержание Введение Понятие полярной системы координат Понятие Розы Гранди И сторическая справка о розах Гранди и спиралях Виды роз Гранди Практическое применение Связь с математикой Понятие спирали Виды спиралей Практическое применение Связь с математикой Заключение

Слайд 3

ЦЕЛЬ ПРОЕКТА : Исследовать применение Роз Гранди и спиралей в нашей жизни . Задачи : - Выяснить что такое Розы Гранди и спирали. - Какие виды Роз и спиралей существуют - Опытным путем показать, как изменяются кривые Гранди и спирали от различных значений параметров. - Выяснить их применение и связь с математикой - Построить свои Розы и Спирали - Сделать выводы и дать общее заключение Объект исследования: Розы Гранди, спирали .

Слайд 4

Творчество математика в такой же степени есть создание прекрасного, как творчество живописца или поэта, - совокупность идей, подобно совокупности красок и слов, должна обладать внутренней гармонией. Красота есть первый пробный камень для математической идеи; в мире нет места уродливой математике. Годфри Харди

Слайд 5

Цель проекта Выяснить что такое роза Гранди и спираль Как появились роза Гранди и спираль Определить какими свойствами обладают роза Гранди и спираль Выяснить применение роза Гранди и спираль Найти отношение розы Гранди и спирали к математике Сделать выводы и дать общее заключение

Слайд 6

Розы Гвидо Гранди Розы Гвидо Гранди- это кривая, заданная в полярной системе координат Гранди Луи Джи Гвидо . Она похожа на розы , которые имеют плавные линии. Их очертания не каприз природы— они предопределены специально подобранными математическими зависимостями. Эти зависимости были подсказаны самой природой, ведь в большинстве случаев абрис листа или цветка представляет собой кривую, симметричную относительно оси . Семейство роз Гранди задается уравнением в полярной системе координат r=a sin k φ , где k - положительное рациональное число, которое определяет кол-во лепестков, a – положительное число, которое определяет размер. Существуют множество формул для «роз», например, r=n*sin(k*a) .Некоторые розы по этой формуле представлены на рисунке

Слайд 7

Спираль- это винтообразная кривая, которая огибает условный центр или ось, постепенно удаляясь или приближаясь к ним. Спирали- плоская кривая линия, многократно обходящую одну из точек на плоскости. Спиральные формы часто встречаются в природе: галактики, водовороты и смерчи, раковины моллюсков, папиллярные линии пальцев, двойная спираль молекулы ДНК. Принцип спирали часто встречается в природе, и этот символ получил широкое распространение еще на заре человечества. С пираль можно встретить везде: это форма Галактики, вихри, смерчи, воронки, движение частиц, ДНК скручена в спираль, раковины, листочек, который расправляется, тоже выглядит как спираль. Спирали

Слайд 8

Виды роз Гранди

Слайд 9

Наши исследования Рассмотрим уравнение кривой r = a sin kφ Для своей первой «розы» мы взяла только положительные числа и получили уравнение r =2 sin 4 φ Вот что получилось. Действительно, получилась Роза Гранди, но нам все еще не понятно, как график зависит от k и a . Допустим, что а=1 и k =1, то размер лепестков уменьшается до 1, как и кол-во лепестков. В итоге получится обычный круг небольшого размера. Но если мы увеличим а до 5, а k оставим на 1, то наш круг увеличится в 5 раз.

Слайд 10

График при а=1 и k =1 График при а=5 и k =1

Слайд 11

Рассмотрим уравнение r = a sin ((с/ b ) φ ) В данной формуле кол-во лепестков, это не k , а c и b . Теперь лепестки будут накладываться друг на друга. Заметим, что если при делении дроби получается число, то график строится по принципу формулы r = a sin kφ . Е сли с > b , c -любое нечетное число, b - любое нечетное число и результат дроби не равен целому числу, то лепестки находятся близко друг к другу. График с с=40, b=3 График с с=2, b=1

Слайд 12

Рассмотрим уравнение r = a sin ( kφ )+ m Данная формула похожа на первую, только из-за m график стремиться к форме окружности . Ч етность k не влияет на кол-во лепестков, т.е. в этой формуле любое k равно k . 1.а=2 , k =4, m =3 2. а=2, k =4, m =5 3. а=2, k =4, m =10 4. а=2, k =4, m =60

Слайд 13

Розы Гранди нашли свое применение в технике, в частности, если некоторая точка совершает колебание вдоль прямой, вращающейся с постоянной скоростью вокруг неподвижной точки – центра колебаний, то траектория этой точки будет розой. Практические применение роз Гвидо Гранди

Слайд 14

Существуют множество видов спиралей, и все они очень интересны и красивы, но обо всем по порядку. Виды спиралей: 1.Плоская спираль 1)Архимедова спираль 2)Спираль Ферма 3)Гиперболическая спираль 4)Логарифмическая спираль 5)Спираль Фибоначчи и золотая спираль 6 ) Спираль Корню 2.Трехмерная спираль 1)Сферическая спираль Виды спиралей

Слайд 15

Архимедова спираль- спираль , плоская кривая , траектория точки M (см Рис. 1), которая равномерно движется вдоль луча OV с началом в O , в то время как сам луч OV равномерно вращается вокруг O . Другими словами, расстояние ρ = OM пропорционально углу поворота φ луча OV . Архимедова спираль p = 2 П а φ Полярное уравнение архимедовой спирали, изученной древнегреческим математиком Архимедом, имеет вид r = aϕ , где k — смещение точки M по лучу r , при повороте на угол равный одному радиану. Число a — называется шагом спирали . Уравнение Архимедовой спирали можно переписать так:

Слайд 16

Спираль Ферма Спираль Ферма (иногда параболическая спираль) — спираль, задаваемая на плоскости в полярных координатах уравнением r²= a²ϕ. (1636 г) Является видом Архимедовой спирали. Учёный Фогель в 1979 году предложил модель для распределения цветков и семян у подсолнуха. Эта модель выражается следующим образом, где θ — угол, r — радиус или расстояние от центра, а n — номер цветка и c — константа. Это форма спирали Ферма.

Слайд 17

Гиперболическая спираль Гиперболическая спираль — плоская трансцендентная кривая. Уравнение гиперболической спирали в полярной системе координат является обратным для уравнения Архимедовой спирали и записывается так: pφ =a .

Слайд 18

Логарифмическая спираль Логарифмическая спираль – плоская трансцендентная кривая. Ее уравнение в полярных координатах имеет вид ρ = аеkφ, (*) где k = ctga При a = p/2 параметр k = 0 и кривая «вырождается» в окружность. Она пересекает все свои радиус-векторы под одним и тем же углом a; по этой причине ее называют иногда «равноугольной».

Слайд 19

Спираль Фибоначчи Спираль Фибоначчи – это графическое отображение удивительной последовательности чисел, которую называют «рядом», или «числами Фибоначчи". Числа Фибоначчи или последовательность Фибоначчи - числовая последовательность, обладающая рядом свойств. Например, сумма двух соседних чисел последовательности дает значение следующего за ними (например, 1+1=2; 2+3=5 и т.д.), что подтверждает существование так называемых коэффициентов Фибоначчи, т.е. постоянных соотношений.

Слайд 20

Спираль Корню Спираль Корню (в западной литературе известна так же как Спираль Эйлера ) — кривая, у которой кривизна изменяется линейно как функция длины дуги. Она используется как переходная дуга в дорожном строительстве. Когда участок дороги в плане имеет форму части клотоиды, руль автомобиля при поворотах поворачивается без рывков. Такой изгиб дороги позволяет проходить поворот без существенного снижения скорости.

Слайд 21

Увлекательная Работа над ПРОЕКТОМ

Слайд 22

Рисуем «Розы Гранди»

Слайд 23

На уроках учитель нам объяснил логарифмы и мы решили узнать как связана логарифмическая спираль с логарифмической функцией. Самолет, вылетевший из какой-нибудь точки земного шара на север, через некоторое время окажется над Северным полюсом. Если же он полетит на восток, то, облетев параллель, вернется в тот же пункт, из которого вылетел. Предположим , что самолет будет лететь пересекая все меридианы под одним и тем же углом , т.е. держась все время одного и того же курса. Когда он облетит земной шар, то попадет в точку, имеющую ту же долготу, что и точка вылета, но расположенную ближе к Северному полюсу. После следующего облета он окажется еще ближе к полюсу и, продолжая лететь указанным образом, будет описывать вокруг полюса сужающуюся спираль. Логарифмическая спираль

Слайд 24

Живые существа обычно растут, сохраняя общее очертание своей формы. При этом они растут чаще всего во всех направлениях . Но раковины морских животных могут расти лишь в одном направлении. Чтобы не слишком вытягиваться в длину, им приходиться скручиваться, причем каждый виток подобен предыдущему. А такой рост может совершаться лишь по логарифмической спирали или ее некоторым пространственным аналогам. Поэтому раковины многих моллюсков, улиток, а также рога таких млекопитающих, как архары (горные козлы), закручены по логарифмической спирали. Можно сказать, что эта спираль является математическим символом жизни и духовного развития. Очертания, выраженные логарифмической спиралью, имеют не только раковины, в подсолнухе семечки расположены по дугам, также близким к логарифмической спирали, и т.д. Один из наиболее распространенных пауков, эпейра , сплетая паутину, закручивает нити вокруг центра по логарифмической спирали. По логарифмической спирали закручены и многие галактики, в частности, Галактика, которой принадлежит Солнечная система.

Слайд 25

Астрономы делят звезды по степени яркости на видимые и абсолютные звездные величины – звезды первой величины, второй, третьей и т.д. Последовательность видимых звездных величин, воспринимаемых глазом, представляет собой арифметическую прогрессию. Но физическая их яркость изменяется по иному закону: яркости звезд составляют геометрическую прогрессию со знаменателем 2,5. Легко понять, что «величина» звезды представляет собой логарифм её физической яркости. Короче говоря, оценивая яркость звезд, астроном оперирует таблицей логарифмов, составленной при основании 2,5.

Слайд 26

Применение спиралей Спирали применяются в кулачковых механизмах, которое преобразует вращательное движение шайбы. В некоторых механизмах требуется чтобы стержень двигался равномерно. Так же спирали широко используются в самоцентрирующихся патронах, ,направляющие канавки которого выполнены по спирали Архимеда. В большинстве случаев спирали нашли свое основное применение в технике.

Слайд 27

Заключение Данная работа позволила по-новому, с точки зрения математики, посмотреть на красоту окружающего мира, понять, что математика – прикладная наука, позволяющая описывать эту красоту. Мы получили большое разнообразие форм «роз» Гвидо Гранди, которые дают фантазию для их применения. В перспективе мы хотим изучить построение каналовых поверхностей 3-Д-цветов.

Слайд 28

Литература Савелоа А.А. Плоские кривые. Систематика, свойства, применение (справочное руководство) Гильберд Д. Наглядная геометрия. Бюшгенс С.С. Дифференциальная геометрия . http :// gvidograndi.jimdo.com/ Розы Гранди https:// ru.wikipedia.org/wiki/ полярная система координат http://www.learn-math.info/russian/historyDetail.htm?id=Grandi Гранди http://umath.ru/calc/graph/?mode=2&point=0;-1&scale=10;0&func=2*sin(4*t)+60&par=0;2*pi построение кривых http ://www.symbolarium.ru/index.php/%D0%A1%D0%BF%D0%B8%D1%80%D0%B0%D0%BB%D1%8C https :// ru . wikipedia . org / wiki /% D 0% A 1% D 0% BF % D 0% B 8% D 1%80% D 0% B 0% D 0% BB % D 1%8 C Спирали https :// ru . wikipedia . org / wiki /% D 0% A 1% D 0% BF % D 0% B 8% D 1%80% D 0% B 0% D 0% BB % D 1%8 C _% D 0% A 4% D 0% B 5% D 1%80% D 0% BC % D 0% B 0 Спираль Фибоначчи http:// matematikaiskusstvo.ru/fibonachspiral.html Спираль Фибоначчи

Слайд 29

Спасибо за внимание!