Математические модели конфликтных ситуаций с использованием шахмат

Содержание

Введение        3

1. История возникновения и развития теории игр        5

2. Основные понятия теории игр        7

3. Шахматы и математика        8

 4. Система координат        11

 5. Теорема Пифагора на шахматной доске        13

 6. Заключение        15

 7. Список литературы        16

Введение

  Я выбрал эту тему потому, что с четырех лет занимаюсь шахматами,  а математика один из самых моих любимых школьных предметов. Тем более, что у математики и шахмат много общего. Выдающийся математик Годфри Харди, проводя параллель между двумя этими видами человеческой деятельности, заметил как-то, что «решение проблем шахматной игры есть не что иное, как математическое упражнение, а сами шахматы – насвистывание математических мелодий». Существует даже понятие шахматная математика.

Немного поразмыслив, я понял, что данная связь может помочь в овладении и шахматными, и математическими знаниями. В математике есть задачи, которые можно решить, создав математическую модель, и при игре в шахматы постоянно возникают конфликтные ситуации, которые можно разрешить, создав модель.

Я работал по такому плану:

  1.  Изучить теорию игр.

  2. Разобраться, как с помощью шахматных знаний  можно разрешить сложные ситуации в математике.

  3. Рассмотреть примеры.  

  4. Сделать вывод.

Теория игр - раздел математики, который изучает главным образом принятие решений. Теория игр применима во многих ситуациях, в которых присутствует конфликт, когда стороны должны принять оптимальное решение, исходя из своих интересов, ничего не зная о решении оппонентов. Под игрой понимается процесс, в котором участвуют две и более сторон, ведущих борьбу за реализацию своих интересов. Каждая из сторон имеет свою цель и использует некоторую стратегию, которая может вести к выигрышу или проигрышу - в зависимости от поведения других игроков. Теория игр помогает выбрать лучшие стратегии с учетом представлений о других участниках, их ресурсах и возможных поступках.

Актуальность данного исследования заключается в возможности расширить собственные  представления о применении математики, показать ее возможности в сфере общественных наук, которые по своей природе описывают поведение, как отдельных личностей, так и групп. Математическое изучение конфликтов дает возможность не только рассмотреть действия человека в сложившейся ситуации, но и определить их последствия, особенно, когда они зависят от сочетания стратегий, используемых участниками данной ситуации.

Таким образом, объект данного исследования – математические модели конфликтных ситуаций.

Цель исследования – рассмотреть основные понятия теории игр и их применение в конкретных ситуациях.

Для достижения цели решались следующие задачи:

• изучить теорию игры и ее основные понятия;
• изучить алгоритм построения математической модели конфликтных ситуаций на примере шахматной игры;
• рассмотреть методику построения  шахматной игры.

Гипотеза – математические модели с применением шахмат помогают разрешать конфликтные ситуации.

При выполнение работы использовались следующие методы:

поисковый метод; моделирование; метод анализа.

1. История возникновения и развития теории игр

С древнейших времен история математики полна упоминаний об играх и занимательных задачах. С момента появления игр и вплоть до 19 века серьезную и занимательную математику нельзя отделить друг от друга, так как они тесно переплетались. Уже в двух великих цивилизациях древности, вавилонской и египетской, где математика носила только практический характер, встречаются настольные игры и занимательные задачи: игра  «Сенет», настольная игра Урских царей.

Серьезная и занимательная математика сосуществовали бок о бок с древнейших времен, но в начале 17 века появляется особое направление, посвященное анализу игр. В 1612 году опубликована первая книга, посвященная только занимательной математике. Ее автор – Клод  Гаспар Баше де Мезириак.  В этой книге даны описания задач о волке, козе и капусте, магических квадратах, задачи о взвешиваниях.

Начиная с этого момента появляется множество похожих книг.  А в 17 веке Христиан Г. Юйгенс (1629-1695) и Готфрид В. Лейбниц (1646–1716) предложили создать дисциплину, в которой бы использовались научные методы для изучения человеческих конфликтов и взаимодействий при помощи игр. На протяжении всего 18 века не было написано практически ни одной работы по анализу игр, которая бы имела подобную цель. В 19 веке многие экономисты создавали простые математические модели для анализа простейших конкурентных ситуаций. Среди них выделяется работа французского экономиста Антуана Огюста Курно «Исследование математических принципов теории богатства» (1838). Тем не менее теория игр как фундаментальная математическая теория появилась лишь в первой половине 20 века.

В начале 20 века начала складываться теоретическая основа современной теории игр, окончательно оформившаяся в середине столетия. Авторство первой теоремы принадлежит логику Эрнсту Цермело (1871– 1956). Он сформулировал и доказал ее в 1912 году. Эта теорема подтверждает, что любая конечная игра с полной информацией (например, шашки или шахматы) имеет оптимальное решение в чистых стратегиях, то есть в отсутствие элемента неопределенности. Но эта теорема не описывает, как можно найти подобные стратегии.

Примерно в 1920 году великий математик Эмиль Борель заинтересовался бурно развивающейся теорией и представил идею о смешанной стратегии (в которой фигурирует элемент случайности). Вскоре над этой темой начал работать Джон фон Нейман.

Джон фон Нейман, известный по работам во множестве областей, является одним из наиболее выдающихся математиков 20 века. Он внес существенный вклад во многие сферы науки. Одно из важнейших его достижений, относящее к прикладной математике в экономике, - создание  первой книги с системным изложением теории игр и подхода к анализу экономических проблем под названием «Теория игр и экономическое поведение».  В 1943 г. Нейман написал её вместе с Оскаром Моргенштерном. Этот труд считается фундаментальным в теории игр. Он ознаменовал создание теории игр, которая уже через несколько лет, начиная с 1950-х годов, стала находить применение в анализе множества реальных ситуаций.

Основные вопросы, которыми занимались специалисты по теории игр в 1950-60-е, были связаны в том числе и с внешней политикой, в частности ядерными сдерживанием и гонкой вооружений.

В России теорией игр занимаются в основном математики – Ольга Бондарева, Елена Яновская, Сергей Печерский, Виктория Крепс, Виктор Доманский, Левон Петросян в Петербурге, Виктор Васильев в Новосибирске, Николай Кукушкин и Владимир Данилов в Москве.

2. Основные понятия теории игр

Цель теории игр – выработка рекомендаций по разумному поведению участников конфликта. Чтобы сделать возможным математический анализ конфликта, строится его математическая модель, называемая игрой.

Ситуации, в которых сталкиваются интересы двух сторон и результат любой операции, осуществляемой одной из сторон, зависит от действий другой стороны, называются конфликтными.

Конфликтная ситуация, взятая из реальной жизни, как правило, довольно сложна. К тому же ее изучение затруднено наличием разных обстоятельств, часть из которых не оказывает существенного влияния ни на развитие конфликта, ни на его исход. Поэтому для того чтобы анализ конфликтной ситуации оказался возможным, мне обходимо отвлечение от этих второстепенных факторов.  Я буду говорить о конфликтной ситуации с общепринятой точки зрения, где формализованная модель конфликта называется игрой (шашки, шахматы, карты и т.д.). От реальной конфликтной ситуации игра отличается тем, что в игре противники действуют по строго определенным правилам.

Отсюда терминология теории игр: конфликтующие стороны называются игроками, одно осуществление игры -  партией, исход игры -  выигрышем или проигрышем.

Типичный конфликт характеризуется тремя основными составляющими:

1. заинтересованными сторонами,
2. возможными действиями этих сторон,
3. интересами сторон.

Действия, которые выполняют игроки называются  стратегиями. Когда оптимальная стратегия содержит элемент неопределенности и должна держаться в секрете, такую стратегию называют смешанной. Если оптимальная стратегия не содержит элемент случайности, то ее называют чистой. 

Игры можно классифицировать различными способами в зависимости от выбранного критерия: место для игры, число участников, длительность партии, уровень сложности и т.д. Применительно к математике игры можно разделить на две большие группы в зависимости от того, присутствуют в них случайные события или нет. Случайные события могут фигурировать как в начальных условиях игры, так и при совершении ходов. Например, в большинстве карточных игр карты раздаются игроками случайном образом. Так же происходит и в домино.

Стратегическими называются игры, в которых никогда не происходит случайных событий. Все определяет только решение игроков. Благодаря отсутствию случайности, игры этого типа можно проанализировать и найти способ победить (шахматы).

3. Шахматы и математика

Шахматы – это игра, которая тесным образом связана с математикой и разрешением конфликтных ситуаций.   Поэтому предлагаю вам рассмотреть шахматную доску.

Рис.1

                 Шахматная доска – это не просто 64 клетки. На ней есть и координаты, и симметрия,  и геометрия (рис.1). В математических задачах и головоломках на шахматной доске дело, как правило, не обходится без участия фигур. Однако доска сама по себе также представляет достаточно интересный математический объект. Четкость и правильность линий напоминает, что разрешение конфликта должно вестись корректно, разумно, с соблюдением правил, которые не навредят оппонентам.  Рассмотрим ситуации, которые можно разрешить с помощью шахмат.

           Мне хотелось бы напомнить вам одну старинную легенду о происхождении шахмат, связанную с арифметическим расчетом на доске.

        Когда индийский царь впервые познакомился с шахматами, он был восхищен их своеобразием и обилием красивых комбинаций. Узнав, что мудрец, который изобрел игру, является его подданным, царь позвал его, чтобы лично наградить за гениальную выдумку. Властелин пообещал выполнить любую просьбу мудреца, и был  удивлен его скромностью, когда тот пожелал получить в награду пшеничные зерна. На первое поле шахматной доски — одно зерно, на второе — два, и так далее, на каждое последующее вдвое больше зерен, чем на предыдущее. Царь приказал побыстрее выдать изобретателю шахмат его ничтожную награду. Однако на следующий день придворные математики сообщили своему повелителю, что не в состоянии исполнить желание хитроумного мудреца. Оказалось, что для этого не хватит пшеницы, хранящейся не только в амбарах всего царства, но и во всех амбарах мира. Мудрец скромно потребовал

зерен. Это число записывается двадцатью цифрами и является фантастически большим. Подсчет показывает, что амбар для хранения необходимого зерна с площадью основания 80 м2 должен простираться от Земли до Солнца.

Это количество зерна примерно в 1800 раз превышает мировой урожай пшеницы за год, то есть превышает весь урожай пшеницы, собранный за всю историю человечества.

S = 18 446 744 073 709 551 615

Восемнадцать квинтиллионов четыреста сорок шесть квадриллионов семьсот сорок четыре триллиона семьдесят три биллиона семьсот девять миллионов пятьсот пятьдесят одна тысяча шестьсот пятнадцать.

Конечно, связь с математикой здесь несколько условна, однако неожиданная развязка истории наглядно иллюстрирует грандиозные математические возможности, скрывающиеся в шахматной игре.

Уместно привести одну гипотезу, использующую некоторые математические свойства доски. Согласно этой гипотезе шахматы произошли из так называемых магических квадратов.

Магический квадрат порядка n представляет собой квадратную таблицу n×n, заполненную целыми числами от 1 до n2 и обладающую следующим свойством: сумма чисел каждой строки, каждого столбца, а также двух главных диагоналей одна и та же. Для магических квадратов порядка 8 она равна 260 (рис. 2).

Рис. 2. Альмуджаннах1  и магический квадрат

Закономерность расположения чисел в магических квадратах придает им волшебную силу искусства. Недаром выдающийся немецкий художник А. Дюрер был настолько очарован этими математическими объектами, что воспроизвел магический квадрат в своей знаменитой гравюре “Меланхолия”.

Подобные примеры (число их можно увеличить) и позволяют высказать гипотезу о связи магических квадратов с шахматами. А исчезновение следов этой связи можно объяснить тем, что в далекую эпоху суеверий и мистики древние индусы и арабы приписывали числовым сочетаниям магических квадратов таинственные свойства, и эти квадраты тщательно скрывались. Может быть, поэтому и была выдумана легенда о мудреце, который изобрел шахматы.

Среди математических задач и головоломок о шахматной доске наиболее популярны задачи на разрезание доски. Первая из них также связана с легендой.

Альмуджаннах1 - старинная дебютная табия (начальное расположение фигур)

Рис. 3. Легенда о четырех алмазах

Один восточный властелин был таким искусным игроком, что за всю жизнь потерпел всего четыре поражения. В честь своих победителей, четырех мудрецов, он приказал вставить в его шахматную доску четыре алмаза — на те поля, на которых был заматован его король (см. рис. 3, где вместо алмазов изображены кони).

После смерти властелина его сын, слабый игрок и жестокий деспот, решил отомстить мудрецам, обыгравшим его отца. Он велел разделить им шахматную доску с алмазами на четыре одинаковые по форме части так, чтобы каждая заключала в себе по одному алмазу. Хотя мудрецы выполнили требование нового властелина, он все равно лишил их жизни, причем, как гласит легенда, для казни каждого мудреца использовал его часть доски с алмазом.

Эта задача о разрезании доски часто встречается в занимательной литературе.

Разрезать доску на четыре одинаковые части (совпадающие при наложении) так, чтобы на каждой из них оказалось по одному коню. Предполагается, что разрезы проходят только по границам между вертикалями и горизонталями доски.

Одно из решений задачи представлено на рис. 3. Располагая четырех коней на различных полях доски, мы получаем множество задач о разрезании. Интерес в них представляет не только нахождение одного необходимого разреза, но и подсчет числа всех способов разрезать доску на четыре одинаковые части, содержащие по одному коню. Установлено, что наибольшее число решений — 800 — при расположении коней в углах доски.

Как мы можем с вами видеть, достойно из данных шахматных ситуаций выходят мудрецы, т.е. люди, обладающие знанием и верящие в него. В общении друг с другом возникают ситуации, требующие согласованности действий и проявления доброжелательного отношения к соперникам, умения отказаться от личных желаний ради достижения общих целей, а порой истины. К сожалению, не все и не всегда, даже за шахматной доской, способны достойно выйти из сложившейся ситуации. Это нелегкий, каждодневный труд. И шахматы этому учат.

В нашей школе в параллели 5-х классов обучаются 78 учеников, 25 из них (21%)  занимаются шахматами и учатся на «4» и «5».

Нетрудно сделать вывод. Шахматы не просто игра, а вид спорта, тренирующий и развивающий мыслительные процессы. Связь между обучением и игрой неоспорима.

4. Система координат

Более чем за 100 лет до н.э. греческий ученый Гиппарх предложил опоясать на карте земной шар параллелями и меридианами и ввести хорошо теперь известные географические координаты: широту и долготу – и обозначить их числами.

В ХIVв. французский математик Н. Оресм ввел, по аналогии с географическими, координаты на плоскости. Он предложил покрыть плоскость прямоугольной сеткой и называть широтой и долготой то, что мы теперь называем абсциссой и ординатой.

Это нововведение оказалось чрезвычайно продуктивным. На его основе возник метод координат, связавший геометрию с алгеброй. Основная заслуга в создании метода координат принадлежит французскому математику Р. Декарту.

Декартовая система координат на плоскости задается взаимно перпендикулярными координатными прямыми с общим началом в точке О и одинаковым масштабом. Точка О называется началом координат. Горизонтальная прямая называется осью абсцисс или осью х, вертикальная – осью ординат или осью у. Координатную плоскость обозначают хОу.

Пусть точка Р лежит на плоскости хОу. Опустим из этой точки перпендикуляры на координатные оси; основание перпендикуляров обозначим Рх и Ру. Абсциссой точки Р называется координата х точки Рх  на оси Ох, ординатой – координата у точки  Ру на оси Оу.  

                                                             Рис.4

Расстояние между двумя точками Р1 (х1;у1) и  Р2 (х2;у2) на плоскости определяется с помощью теоремы Пифагора. Об этом я буду говорить далее.

Рис. 5

                  На рисунках мы видим билеты  в цирк и  театр. На каждом из них  дано описание того, где находится место владельца данного билета: номер ряда и номер места в этом ряду.

  Описание того, где расположен тот или иной объект (предмет, место), называют его координатами. Так на билете в цирк номер ряда и номер места в  ряду - координаты этого места.

На шахматной доске тоже есть координаты. При профессиональной игре, обычно, ведут записи (обозначение фигур и координаты этих фигур).

На рисунке 6 мы видим, некий алгоритм определения координат чёрного короля.

(Кр. c2)

                Рис.6

Система координат используется не только в шахматах, но и в других играх (Морской бой, настольные игры, Биатлон, рисование по точкам, графические диктанты и т.д.)

Я думаю, что если бы большинство людей играло в подобные игры (в семье, с друзьями), то огромного количества бытовых конфликтов можно было бы избежать. Потому что игра – это один из способов победить разногласия. А умение решать маленькие конфликты путем компромисса будет совершенствоваться, значит и более серьезные проблемы тоже можно решить.

5. Теорема Пифагора на шахматной доске.

Все мы знаем  известную теорему Пифагора «В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов».

Рис.7

  Пусть АВС – данный прямоугольный треугольник с прямым углом С. Проведем высоту  СD из вершины прямого угла С.     АС2+ ВС2 =  АВ2.  

  Эту теорему уже несколько сотен лет изучают школьники. С её помощью решают задачи, ею пользуются инженеры, архитекторы, проектировщики, модельеры. Теорема Пифагора широко используется и в повседневной жизни.

  Рассмотрим доказательство этой теоремы на шахматной доске.

                               Рис.8                                                                          Рис.9                                                                                       

Разобьем доску на квадрат и четыре одинаковых прямоугольных треугольника (Рис.8). На рис.9 изображены те же четыре треугольника и два квадрата. Треугольники в обоих случаях занимают  одну и ту же площадь, и, следовательно, одну и ту же площадь занимают оставшиеся части доски без треугольников (на рис.8-один квадрат, а на рис.9-два). Поскольку большой квадрат построен на гипотенузе прямоугольного треугольника, а маленькие – на его катетах, то знаменитая теорема Пифагора доказана!    

Можно доказать теорему следующим образом:    

                                                                     Рис.10

В центре шахматной доски нарисовать треугольник АВС (рис.10). На катетах и гипотенузе этого треугольника построить квадраты, причем квадрат, построенный на гипотенузе,  состоит из квадратов, входящих в разбиения квадратов, построенных на катетах.

Квадраты 1 и 2 состоят из восьми маленьких квадратиков, в сумме получаем количество квадратиков, из которых состоит квадрат 3 построенный на гипотенузе.

Если вы внимательно посмотрите на данный рисунок, то увидите красивый дом. Такие обычно рисуем мы – дети. В таком доме точно нет конфликтов, потому что все просчитано и построено с помощью древнейшей игры – шахматы и одной из древнейших наук – математики. В таком доме уютно и комфортно.

6. Заключение

В самом начале своей работы  я ставил цель - рассмотреть разрешение конфликтных ситуаций в математике с помощью шахмат, и считаю, что выполнил поставленную задачу. На примерах я разобрал применение шахмат для решения и математических задач.

Вывод: математика помогает шахматистам играть и выигрывать. А шахматы в свою очередь помогают нам решать как простейшие, так и самые сложные математические задачи, помогают развивать логику, внимание и отлично знать математику, строить логические цепочки, даже разрешать конфликты.

Дух соперничества в игре, в решении задач помогает развиваться, думать, находить правильные решения, а в случае проигрыша не сдаваться, а искать и побеждать.

Мой тренер, подарив мне книгу о шахматах, написал: «Цель в жизни не главное. Главное, как ты её достиг!»

Я уверен, что научившись игре в шахматы и освоив математику, смогу находить правильные решения в конфликтных ситуациях.  В дальнейшем, я планирую продолжать играть в шахматы и постараюсь разобраться в том, что осталось для меня загадкой.

7. Список литературы

1. Гарднер, М.  Математические чудеса и тайны / М. Гарднер. – Москва: Наука, 1978. – 127 с.
2. Гик,  Е. Я.  Математика на шахматной доске / Е. Я. Гик. – Москва: Мир энциклопедий Аванта+, Астрель, 2009. – 317[3]с; ил. – (Библиотека Аванты+).
3. Гик,  Е. Я.  Шахматы и математика / Е. Я. Гик.  - Москва: Наука, 1983. - 173 с.
4. Гик,  Е. Я.  Занимательные математические игры / Е. Я. Гик. – Москва: Знание, 1982. – 143 с.
5. Гусев, В. А. Внеклассная работа по математике в 6-8 классах : методическое пособие /  В. А. Гусев, А. И. Орлов, А. Л. Розенталь. – Москва: Просвещение, 1984.
6. Гусев, В.А. Математика – справочные материалы / В.А. Гусев, А.Г. Мордкович. – Москва: Просвещение, 1986.- 271с.
7. Игнатьев, Е. И.  В царстве смекалки / Е. И. Игнатьев. - Москва: Наука, 1984. – 189 с.
8. Лойд, С. Математическая мозаика / С. Лойд. – Москва: Мир, 1984. – 311 с.
9. Саати, Т. Л.  Математические модели конфликтных ситуаций / Т. Л.          Саати. - Москва: Советское радио, 1977. — 300 с.
10. Савин, А. П.  Энциклопедический словарь юного математика / А. П. Савин. – Москва: Педагогика, 1989.- 349 с.
11. Сейраван, Я. Партии-бриллианты : шахматный учебник / Яссер Сейраван; пер. с англ А. Н. Елькова. - Москва: Астрель, 2007. - 259[13] с.: ил. – (Беспроигрышные шахматы).