Научно-исследовательская работа "Математические софизмы"

КГБОУ СПО КАТТ

                                              Выполнил:

                                                  Руководитель:

                                                  Бугаева Ж.В.,

                                                      преподаватель  математики

г. Комсомольск-на-Амуре

2015 год

СОДЕРЖАНИЕ:

Содержание . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ………………………………..2

Введение. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ………………………………..3

Актуальность выбранное темы, основная гипотеза проекта, цель работы………….4

Методы, используемые при проведении работы……………………………………...5

«Понятие софизма. Исторические сведения». . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ……6

-Понятие софизма…………………………………………………………………...6

 -Экскурс в историю. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . …………………………..6

Математические софизмы………………………………………………………………7

-Алгебраические софизмы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ……………………………..8

    -Геометрические софизмы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ………………………….... 10

    -Арифметические софизмы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ………………………….... 12

Классификация ошибок………………………………………………………………...15

      -Логические………………………………………………………………………….15

       -Терминологические ……………………………………………………………….15

       -Психологические………………………………………………………………….16

Ошибки, ошибки, ошибки……………………………………………………………...18

Заключение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . …………………………….....22

Список использованной  литературы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ……………. . 24

ВВЕДЕНИЕ

 В математических вопросах нельзя пренебрегать даже самыми                         мелкими ошибками.

                                                                                  И. Ньютон.

Наверняка  каждый человек хоть раз в жизни слышал подобную фразу: «Дважды два равно пяти» или хотя бы: «Два равно трем». На самом деле, таких примеров можно привести много, но что все они обозначают? Кто их выдумал? Имеют ли они какое-нибудь логическое объяснение или же это лишь вымысел???

Именно эти вопросы я хочу рассмотреть в своей работе «Математические софизмы». Неслучайно я выбрал именно математические софизмы (хотя бывают и логические, и словесные). Они, как мне кажется, более интересны, имеют четкое логическое объяснение, кроме того, с математическими софизмами мы встречаемся намного чаще, чем с обычными. Само понятие математических софизмов предполагает несколько видов софизмов, ведь в математические можно включить и алгебраические, и геометрические, и простейшие арифметические.

Метод решения хорош, если с самого начала мы можем предвидеть и далее подтвердить это, что, следуя этому методу, мы достигнем цели.                                                                      

                                                                                    Г. Лейбниц

Актуальность выбранной темы

Наше общество развивается большими темпами, и в связи с этим многие люди занимались юридическими и экономическими вопросами. Но сейчас больше развивается производство, и требуются техники, инженеры, ученые, знания которых базируются на точных науках: математика, физика, химия. Но эти науки надо не только знать, но и понимать. Для лучшего усвоения математики существуют софизмы. Софизмом называется умышленно ложное умозаключение, которое имеет видимость правильного. Каков бы ни был софизм, он обязательно содержит одну или несколько замаскированных ошибок. Разбор софизмов прежде всего развивает логическое мышление, т.е. прививает навыки правильного мышления. Обнаружить ошибку в софизме - это значит осознать ее, а осознание ошибки предупреждает от повторения ее в других математических рассуждениях. Важно добиться отчетливого понимания ошибок, иначе софизмы будут бесполезны.

Основная гипотеза проекта

Если неточно знать формулировки теорем, математические формулы, правила и условия, при которых они выполняются, а также не анализировать построение чертежа к геометрической задаче, то можно получить абсурдные результаты, противоречащие общепринятым представлениям.

                                              Цель работы

Показать значимость математических софизмов при изучении математики, их роль в формировании полноценной личности, способной адаптироваться в условиях современного общества.

                   Методы, используемые при проведении работы:

• Изучение источников: литературы, энциклопедий, сайтов в Интернете;
• Наблюдения, сопоставления;
• Анализ и классификация ошибок в работах учащихся седьмых,
• Восьмых классов по математике;
• Классификация и отбор материала;
• Создание диаграмм;
• Создание презентации.

 «Понятие софизма. Исторические сведения»

Понятие софизма

Софизм - (от греческого sophisma – уловка, ухищрение, выдумка, головоломка), умозаключение или рассуждение, обосновывающее какую-нибудь заведомую нелепость, абсурд или парадоксальное утверждение, противоречащее общепринятым представлениям. Каким бы ни был софизм, он всегда содержит одну или несколько замаскированных ошибок.

Что же такое математический софизм? Математический софизм - удивительное утверждение, в доказательстве которого кроются незаметные, а подчас и довольно тонкие ошибки. История математики полна неожиданных и интересных софизмов, разрешение которых порой служило толчком к новым открытиям. Математические софизмы приучают  внимательно и настороженно продвигаться вперед, тщательно следить за точностью формулировок, правильностью записи чертежей, за законностью математических операций. Очень часто понимание ошибок в софизме ведет к пониманию математики в целом, помогает развивать логику и навыки правильного мышления. Если нашел ошибку в софизме, значит, ты ее осознал, а осознание ошибки предупреждает от ее повторения в дальнейших математических рассуждениях. Софизмы не приносят пользы, если  их не понимать.

Что касается типичных ошибок в софизмах, то они таковы: запрещенные действия, пренебрежение условиями теорем, формул и правил, ошибочный чертеж, опора на ошибочные умозаключения. Нередко, ошибки, допущенные в софизме, настолько умело скрыты, что даже опытный математик не сразу их выявит. Именно в этом и проявляется связь математики и философии в софизмах. На самом деле,  софизм- гибрид не только математики и философии, но и логики с риторикой. Основные создатели софизмов – древнегреческие ученые-философы, но тем не менее, они создавали  математические  софизмы, основываясь на элементарных аксиомах, что еще раз подтверждает связь математики и философии в софизмах. Кроме того, очень важно правильно преподнести софизм, так, чтобы докладчику поверили, а значит, необходимо владеть даром красноречия и убеждения. Группа древнегреческих ученых, начавшая заниматься софизмами как отдельным математическим явлением, назвала себя софистами. Об этом подробнее в следующем разделе.

Экскурс в историю

Софистами называли группу древнегреческих философов 4-5 века до н.э., достигших большого искусства в логике. В период падения нравов древнегреческого общества(5 век) появляются так называемые учителя красноречия, которые целью своей деятельности считали и называли приобретение и распространения мудрости, вследствие чего они именовали себя софистами. Наиболее известна деятельность старших софистов, к которым относят Протагора из Абдеры, Горгия из Леонтип, Гиппия из Элиды и Продика из Кеоса. Но суть деятельности софистов много больше, чем простое обучение искусству красноречия. Они обучали и просвещали древнегреческий народ, старались способствовать достижению нравственности, присутствия духа, способности ума ориентироваться во всяком деле. Но софисты не были учеными. Умение, которое должно было быть достигнуто с их помощью, заключалось в том, что человек учился иметь в виду многообразные точки зрения. Основным направление деятельности софистов стала социально-антропологическая проблема. Они рассматривали самопознание человека, учили сомневаться, но все же, это очень глубокие философские проблемы, которые стали основой для мыслителей Европейской культуры. Что касается самих софизмов, то они стали как бы дополнением к софистике в целом, если рассматривать ее как истинно философское понятие.

        Исторически сложилось, что с понятием софизма связывают идею о намеренной фальсификации, руководствуясь признанием Протагора, что задача софиста- представить наихудший аргумент как наилучший путем хитроумных уловок в речи, в рассуждении, заботясь не об истине, а об успехе в споре или о практической выгоде. Там не менее, в Греции софистами называли и простых ораторов.

        Известнейший ученый и философ Сократ поначалу был софистом, активно участвовал в спорах и обсуждениях софистов, но вскоре стал критиковать учение софистов и софистику в целом. Такому же примеру последовали и его ученики (Ксенофонт и Платон). Философия Сократа была основана на том, что мудрость приобретается с общением, в процессе беседы. Учение Сократа было устным. Кроме  того, Сократа и по сей день считают самым мудрым философом.

         Что касается самих софизмов, то, пожалуй, самым популярным на тот момент в Древней Греции был софизм Евбулида : «Что ты не терял, ты имеешь. Рога ты не терял. Значит у тебя рога». Единственная неточность, которую возможно было допустить, то это- двусмысленность высказывания. Данная постановка фразы является нелогичной, но логика возникла намного позже, благодаря Аристотелю, поэтому, если бы фраза строилась так: «Все, что ты не терял. . .», то вывод стал бы логически безупречным.

Математические софизмы

Разбор и решение любого рода математических задач, а в особенности нестандартных, помогает  развивать смекалку и логику. Математические софизмы относятся именно к таким задачам. В этом разделе работы я рассмотрю три типа математических софизмов: алгебраические, геометрические и арифметические.

Алгебраические софизмы

1. «Два неодинаковых натуральных числа равны между собой»

решим систему двух уравнений:   х+2у=6,     (1)

                                                           у=4- х/2    (2)

подстановкой у из 2го уравнения в 1 получаем

                                                           х+8-х=6,

откуда 8=6

где ошибка???

Уравнение (2) можно записать как  х+2у=8, так что исходная система запишется в виде:

    Х+2у=6,

    Х+2у=8

В этой системе уравнений коэффициенты при переменных одинаковы, а правые части не равны между собой, из этого следует, что система несовместна, т.е. не имеет ни одного решения. Графически это означает, что прямые у=3-х/2 и у=4-х/2 параллельны и не совпадают.

Перед тем, как решать систему линейных уравнений, полезно проанализировать, имеет ли система единственное решение, бесконечно много решений или не имеет решений вообще.

2. «Сочетательное и переместительное свойства алгебраической суммы не имеют места»

Рассмотрим сумму бесконечного числа слагаемых, поочередно равных плюс единице и минус единице, т.е.

                       S=1-1+1-1+1-1+1-1+1-1+…….. ,(1)

И попробуем найти значение этой суммы.

         Сначала поступим следующим образом. Будем объединять слагаемые в пары, начиная со второго слагаемого, ставя перед каждой парой «минус», т.е.

                         S=1-(1-1)-(1-1)-….=1-0-0-…=1.

Теперь переставим каждое положительное слагаемое той же суммы (1) на место отрицательного и обратно, тогда

                         S=-1+1-1+1-1+1-…=-1+(1-1)+(1-1)+…=-1+0+0+…=-1.

Итак, по-разному переставляя слагаемые суммы(1), мы пришли к различным значениям этой суммы: 1 и –1, в итоге сумма слагаемых изменяется от перегруппировки слагаемых ,а сочетательное и переместительное свойства алгебраической суммы не имеют места.

Где ошибка???

Данное свойство пропорции может оказаться неверным, если некоторые члены пропорции отрицательны.

3. «Дважды два равно пяти»

Обозначим 4=а, 5=b, (a+b)/2=d. Имеем: a+b=2d, a=2d-b, 2d-a=b. перемножим два последних равенства по частям. Получим: 2da-a*a=2db-b*b. Умножим обе части получившегося равенства на –1 и прибавим к результатам d*d. Будем иметь: a 2-2da+d2=b2 -2bd+d2, или (a-d)(a-d)=(b-d)(b-d), откуда a-d=b-d и a=b, т.е. 2*2=5

Где ошибка???

Из равенства квадратов двух чисел не следует, что сами эти числа равны.

4. «Отрицательное число больше положительного»

Возьмем два положительных числа а и с. Сравним два отношения:

                      а        -а

                     -с         с

Они равны, так как каждое из них равно –(а/с). Можно составить пропорцию:

                    а            -а

                   -с              с

Но если в пропорции предыдущий член первого отношения больше последующего, то предыдущий член второго отношения также больше своего последующего. В нашем случае а>-с, следовательно, должно быть –а>с, т.е. отрицательное число больше положительного.

Где ошибка???

   Данное свойство пропорции может оказаться неверным, если некоторые члены пропорции отрицательны.

Геометрические софизмы

1. «Через точку на прямую можно опустить два перпендикуляра»

                                                        Возьмем треугольник АВС. На сторонах АВ и ВС этого треугольника, как на диаметрах, построим полуокружности. Пусть эти полуокружности пересекаются со стороной АС в точках Е и Д. Соединим точки  Е и Д прямыми с точкой В. Угол АЕВ прямой, как вписанный, опирающийся на диаметр; угол ВДС также прямой. Следовательно, ВЕ  перпендикулярна АС и ВД перпендикулярна АС. Через точку В проходят два перпендикуляра к прямой АС.

Где ошибка???

Рассуждения, о том, что из точки на прямой можно опустить два перпендикуляра, опирались на ошибочный чертеж. В действительности полуокружности пересекаются со стороной АС в одной точке, т.е. ВЕ совпадает с ВD. Значит, из одной точки на прямой нельзя опустить два перпендикуляра.

2. « Спичка вдвое длиннее телеграфного столба»

 Пусть  а дм- длина спички и b дм - длина столба. Разность между b и  a  обозначим через c .

Имеем  b - a = c, b = a + c. Перемножаем два эти равенства по частям, находим: b2 - ab = ca + c2. Вычтем из обеих частей bc. Получим: b2- ab - bc = ca + c2 - bc, или b(b - a - c) = - c(b - a - c), откуда

b = - c, но c = b - a, поэтому b = a - b, или a = 2b.    

Где ошибка???

В выражении b(b-a-c )= -c(b-a-c) производится деление на (b-a-c), а этого делать нельзя, так как b-a-c=0.Значит, спичка не может быть вдвое длиннее телеграфного столба.

3. «Катет равен гипотенузе»

Угол С равен 90о, ВД - биссектриса угла СВА, СК = КА, ОК перпендикулярна СА, О - точка пересечения прямых ОК и ВД, ОМ перпендикулярна АВ, ОL перпендикулярна ВС.

Имеем: треугольник LВО равен треугольнику МВО, ВL = ВМ, ОМ = ОL = СК = КА, треугольник КОА равен треугольнику ОМА (ОА - общая сторона, КА = ОМ, угол ОКА и угол ОМА - прямые), угол ОАК = углу МОА, ОК = МА = СL, ВА = ВМ + МА, ВС = ВL + LС, но ВМ = ВL, МА = СL, и потому ВА = ВС.

Где ошибка???

Рассуждения, о том, что катет равен гипотенузе опирались на ошибочный чертеж. Точка пересечения прямой, определяемой биссектрисой ВD и серединного  перпендикуляра к катету АС, находится вне треугольника АВС.

4. « Все треугольники равносторонние»

Рассмотрим произвольный треугольник ABC. Проведем биссектрису угла B и серединный перпендикуляр к стороне AC; точку их пересечения назовем O. Опустим из нее перпендикуляры EO и OF на стороны AB и BC соответственно.

Так как DO одновременно и высота и медиана , то он равнобедренный и . Так как BO — биссектриса, то, из равенства  и  (откуда ), . Следовательно, , то есть . Отсюда, так как  и , . Проведя такое же рассуждение для основания не AC, а, например, AB, получим, что .

Из этого следует, что все треугольники на свете — равносторонние.

 Где ошибка???

Арифметические софизмы

1. « Если А больше В, то А всегда больше, чем 2В»

Возьмем два произвольных положительных числа А и В, такие, что                                                                  А>В.

Умножив это неравенство на В, получим новое неравенство АВ>В*В, а отняв от обеих его частей А*А, получим неравенство АВ-А*А>В*В-А*А, которое равносильно следующему:

                        А(В-А)>(В+А)(В-А).      (1)

После деления обеих частей неравенства (1) на В-А получим, что

                        А>В+А (2),

А прибавив к этому неравенству почленно исходное неравенство А>В, имеем 2А>2В+А, откуда

                                А>2В.

Итак, если А>В, то А>2В. Это означает, к примеру, что из неравенства 6>5 следует, что 6>10.

Где ошибка???

Здесь совершен неравносильный переход от неравенства (1) к неравенству (2). Действительно, согласно условию А>В, поэтому В-А<0.Это означает, что обе части неравенства (1) делятся на отрицательное число. Но согласно правилу преобразования неравенств при делении или умножении неравенства на одно и то же отрицательное число знак неравенства необходимо изменить на противоположный. С учетом сказанного из неравенства (1) вместо неравенства (2) получим неравенство А<В+А, прибавив к которому почленно исходное неравенство В<А, получим просто исходное неравенство А+В<В+2А

2.«Один рубль не равен ста копейкам»

Известно, что любые два неравенства можно перемножать почленно, не нарушая при этом равенства, т.е.

        Если a=b, c=d, то ac=bd.

 Применим это положение к двум очевидным равенствам

                1 р.=100 коп,  (1)

                10р.=10*100коп.(2)

перемножая эти равенства почленно, получим

                10 р.=100000 коп.     (3)

и, наконец, разделив последнее равенство на 10 получим, что

                 1 р.=10 000 коп.

таким образом, один рубль не равен ста копейкам.

Где ошибка???

Ошибка, допущенная в этом софизме, состоит в нарушении правил действия с именованными величинами: все действия, совершаемые над величинами, необходимо совершать также и над их размерностями.

Действительно, перемножая равенства (1) и (2), мы получим не (3), а следующее равенство                            

                       10 р.  =100 000 к . ,

которое после деления на 10 дает                    

                        1 р.  = 10 000 коп.,         (*)

а не равенство 1р=10 000 к, как это записано в условии софизма. Извлекая квадратный корень из равенства (*), получаем верное равенство     1р.=100 коп.

2. «Число, равное другому числу, одновременно и больше, и меньше его»

 Возьмем  два произвольных положительных равных числа А и В и напишем и напишем для них следующие очевидные неравенства:

                          А>-В и В>-В.       (1)

Перемножив оба этих неравенства почленно, получим неравенство

     А*В>В*В, а после его деления на В, что вполне законно, ведь В>0, придем к выводу, что  

                                   А>В.              (2)

Записав же два других столь же бесспорных неравенства

                       В>-А и А>-А,                  (3)

Аналогично предыдущему получим, что В*А>А*А, а разделив на А>0, придем к неравенству

                       А>В.                           (4)

Итак, число А, равное числу В, одновременно и больше, и меньше его.

Где ошибка???

Здесь совершен неравносильный переход от одного неравенства к другому при недопустимом перемножении неравенств.

Проделаем правильные преобразования неравенств.

Запишем неравенство (1) в виде А+В>0, В+В>0.

Левые части этих неравенств положительны, следовательно, умножая почленно оба эти неравенства

                     (А+В)(В+В)>0, или А>-В,

что представляет собой просто верное неравенство.

Аналогично предыдущему, записывая неравенства (3) в виде

                      (В+А)>0, А+А>0, получим просто верное неравенство В>-А.

3. «Ахиллес никогда не догонит черепаху»

Древнегреческий философ Зенон доказывал, что Ахиллес, один из самых сильных и храбрых героев, осаждавших древнюю Трою, никогда не догонит черепаху, которая, как известно, отличается крайне медленной скоростью передвижения..

Вот примерная схема рассуждений Зенона. Предположим, что Ахиллес и черепаха начинают свое движение одновременно, и Ахиллес стремится догнать черепаху. Примем для определенности, что Ахиллес движется в 10 раз быстрее черепахи, и что их отделяют друг от друга 100 шагов.

Когда Ахиллес пробежит расстояние в 100 шагов, отделяющее его от того места, откуда начала двигаться черепаха, то в этом месте он туже ее не застанет, так как  она пройдет вперед расстояние в 10 шагов. Когда Ахиллес минует и эти 10 шагов, то и там черепахи уже не будет, поскольку она успеет перейти на 1 шаг вперед. Достигнув и этого места, Ахиллес опять не найдет там черепахи, потому что она успеет пройти расстояние, равное 1/10 шага, и снова окажется несколько впереди его. Это рассуждение можно продолжать до бесконечности, и придется признать, что быстроногий  Ахиллес никогда не догонит медленно ползающую черепаху.

Где ошибка???

Рассматриваемый софизм Зенона даже на сегодняшний день далек от своего окончательного разрешения, поэтому здесь я обозначу только некоторые его аспекты.

Сначала определим время t, за которое Ахиллес догонит черепаху. Оно легко находится из уравнения a+vt=wt, где а -расстояние между Ахиллесом и черепахой до начала движения, v и w – скорости черепахи и Ахиллеса соответственно. Это время при принятых в софизме условиях  (v=1 шаг/с и w=10 шагов/с) равно 11, 111111… сек.

Другими словами, примерно через 11, 1 с. Ахиллес догонит черепаху. Подойдем теперь к утверждениям софизма с точки зрения математики, проследим логику Зенона. Предположим, что Ахиллес должен пройти столько же отрезков, сколько их пройдет черепаха. Если черепаха  до момента встречи с Ахиллесом пройдет m отрезков, то Ахиллес должен

пройти те же m отрезков плюс еще один отрезок, который разделял их до начала движения. Следовательно, мы приходим к равенству m=m+1, что невозможно. Отсюда следует, что Ахиллес никогда не догонит черепаху!!!

Итак, путь, пройденный Ахиллесом, с одной стороны, состоит из бесконечной последовательности отрезков, которые принимают бесконечный ряд значений, а с другой стороны, эта бесконечная последовательность, очевидно не имеющая конца, все же завершилась, и завершилась она своим пределом, равном сумме геометрической прогрессии.

Трудности, которые возникают при оперировании понятиями непрерывного и бесконечного и столь мастерски вскрываются парадоксами и софизмами Зенона, до сих пор не преодолены, а разрешение противоречий, содержащихся в них, послужило более глубокому осмыслению основ математики.

Классификация ошибок

Логические

Так как обычно вывод может быть выражен в силлогистической форме, то и всякий софизм может быть сведён к нарушению правил силлогизма. Наиболее типичными источниками логических софизмов являются следующие нарушения правил силлогизма:

1. Вывод с отрицательной меньшей посылкой в первой фигуре: «Все люди суть разумные существа, жители планет не суть люди, следовательно, они не суть разумные существа»;
2. Вывод с утвердительными посылками во второй фигуре: «Все, находящие эту женщину невинной, должны быть против наказания её; вы — против наказания её, значит, вы находите её невинной»;
3. Вывод с отрицательной меньшей посылкой в третьей фигуре: «Закон Моисеев запрещал воровство, закон Моисеев потерял свою силу, следовательно, воровство не запрещено»;
4. Особенно распространённая ошибка quaternio terminorum, то есть употребление среднего термина в большой и в меньшей посылке не в одинаковом значении: «Все металлы — простые вещества, бронза — металл: бронза — простое вещество» (здесь в меньшей посылке слово «металл» употреблено не в точном химическом значении слова, обозначая сплав металлов): отсюда в силлогизме получаются четыре термина.

Терминологические

Грамматические, терминологические и риторические источники софизмов выражаются

в неточном или неправильном словоупотреблении и построении фразы (всякое quaternio terminorum предполагает такое словоупотребление); наиболее характерные:

1. Ошибка омонимии (equivocation). Например: реакция в смысле химическом, биологическом и историческом; доктор как врач и как учёная степень.
2. Ошибка сложения — когда разделительному термину придаётся значение собирательного. «Все углы треугольника » в том смысле, что «каждый угол ».
3. Ошибка разделения, обратная, когда собирательному термину даётся значение разделительного: «все углы треугольника » в смысле «сумма углов треугольника ».
4. Ошибка ударения, когда подчёркивание повышением голоса в речи и курсивом в письме определённого слова или нескольких слов во фразе искажает её первоначальный смысл.
5. Ошибка выражения, заключающаяся в неправильном или неясном для уразумения смысла построении фразы, например: «сколько будет пять плюс два умножить на два?» Здесь трудно решить имеется ли в виду 9 (т.е. ) или 14 (т.е. ).

В устную речь математиками введены такие слова как «сумма», «произведение», «разность». Так  — сумма произведения два на два и пятерки, а  — удвоенная сумма двух и пяти.

Более сложные софизмы проистекают из неправильного построения целого сложного хода доказательств, где логические ошибки являются замаскированными неточностями внешнего выражения. Сюда относятся:

1. Petitio principii: введение заключения, которое требуется доказать, в скрытом виде в доказательство в качестве одной из посылок. Если мы, например, желая доказать безнравственность материализма, будем красноречиво настаивать на его деморализующем влиянии, не заботясь дать отчёт, почему именно материализм — безнравственная теория, то наши рассуждения будут заключать в себе petitio principii.
2. Ignoratio elenchi заключается в том, что начав доказывать некоторый тезис, постепенно в ходе доказательства переходят к доказательству другого положения, сходного с тезисом.
3. A dicto secundum ad dictum simpliciter подменяет утверждение, сказанное с оговоркой, на утверждение, не сопровождаемое этой оговоркой.
4. Non sequitur представляет отсутствие внутренней логической связи в ходе рассуждения: всякое беспорядочное следование мыслей представляет частный случай этой ошибки.

                               Психологические

Психологические причины С. бывают троякого рода: интеллектуальные, аффективные и волевые. Во всяком обмене мыслей предполагается взаимодействие между 2 лицами, читателем и автором или лектором и слушателем, или двумя спорящими. Убедительность С. поэтому предполагает два фактора: α — психические свойства одной и β — другой из обменивающихся мыслями сторон. Правдоподобность С. зависит от ловкости того, кто защищает его, и уступчивости оппонента, а эти свойства зависят от различных особенностей обеих индивидуальностей.

Интеллектуальные причины

Интеллектуальные причины софизма заключаются в преобладании в уме лица, поддающегося С., ассоциаций по смежности над ассоциациями по сходству, в отсутствии развития способности управлять вниманием, активно мыслить, в слабой памяти, непривычке к точному словоупотреблению, бедности фактических знаний по данному предмету, лености в мышлении (ignava ratio) и т. п. Обратные качества, разумеется, являются наиболее выгодными для лица, защищающего С

Аффективные причины

Сюда относятся трусость в мышлении — боязнь опасных практических последствий, вытекающих от принятия известного положения; надежда найти факты, подтверждающие ценные для нас взгляды, побуждающая нас видеть эти факты там, где их нет, любовь и ненависть, прочно ассоциировавшиеся с известными представлениями, и т. д. Желающий обольстить ум своего соперника софист должен быть не только искусным диалектиком, но и знатоком человеческого сердца, умеющим виртуозно распоряжаться чужими страстями для своих целей. Обозначим аффективный элемент в душе искусного диалектика, который распоряжается им как актёр, чтобы тронуть противника, через , а те страсти, которые пробуждаются в душе его жертвы и омрачают в ней ясность мышления через . Argumentum ad hominem, вводящий в спор личные счёты, и argumentum ad populum, влияющий на аффекты толпы, представляют типичные С. с преобладанием аффективного элемента.

                           Волевые причины

При обмене мнений мы воздействуем не только на ум и чувства собеседника, но и на его волю. Во всякой аргументации (особенно устной) есть элемент волевой — императивный — элемент внушения. Категоричность тона, не допускающего возражения, определённая мимика и т. п. () действуют неотразимым образом на лиц, легко поддающихся внушению, особенно на массы. С другой стороны, пассивность () слушателя особенно благоприятствует успешности аргументации противника. Таким образом, всякий С. предполагает взаимоотношение между шестью психическими факторами: . Успешность С. определяется величиной этой суммы, в которой  составляет показатель силы диалектика,  есть показатель слабости его жертвы. Прекрасный психологический анализ софистики даёт Шопенгауэр в своей «Эристике» (перев. кн. Д. Н. Цертелева). Само собой разумеется, что логические, грамматические и психологические факторы теснейшим образом связаны между собой; поэтому С., представляющий, например, с логической точки зрения quaternio ter.

                       Ошибки, ошибки, ошибки..

Как я уже отмечала ранее, неточное знание формулировок, правил и условий, при которых эти правила выполняются, приводят учащихся к неправильным, а иногда и абсурдным результатам.

Попробую рассмотреть некоторые ошибки из контрольных работ обучающихся по алгебре.

                                           7 класс

               Выражения, тождества, уравнения

1.Ученики знают распределительное свойство умножения относительно сложения и вычитания.

Правило:  а(b + с) = ab + ас                          а(b - с) = аb - ас.

Ошибки: - 2(а + 4) = -2а + 8;                         - 2(а - 4) = -2а - 8.

«Минус» и «плюс» в формулах сыграли плохую роль после того, как ученики познакомились с отрицательными числами. Надо быть внимательными.

2.Правила раскрытия скобок все знают, а при применении забывают и выполняют его только для первого слагаемого.

Правило: + (а -b + с) = а-Ь + с;            -(а-b- с) = -а + Ь- с.

Ошибки: - (5a + b- х) =-5а+ b- х.

3.Правило переноса слагаемых из одной части уравнения в другую.

 Правило: при переносе слагаемых из одной части уравнения в другую их знаки меняются на противоположные.5х - 7 = 2x + 9;

Ошибки:  5х + 2x = 9 - 7.

4.Решение линейного уравнения.

Привычка из начальной школы большее число делить на меньшее «заставляет» при решении уравнений учащихся совершать ошибку, а надо всего то знать правило нахождения неизвестного множителя или правило деления обеих частей уравнения на одно и то же, отличное от нуля число.

ах = b;

Правило:          (а = 0)

                    х =

Ошибки: 6х =2

                   х = 3.

                            Степень с натуральным показателем  

                                                                       
Правила:                                         Ошибки:    

=                                                                         

                                                         Многочлены

Правило: при раскрытии скобок с применением распределительного свойства умножения нужно каждое слагаемое умножить на число.

                  2х - 5(х + 2) = 2х - 5х - 10;

Ошибки:  2х - 5(х + 2) = 2х - 5х +10.

Формулы сокращенного умножения

               (a+b)2=a2+2ab+b2

Правила:  (a-b)2=a2-2ab+b2

                     a2-b2= (a+b)(a-b)

 Ошибки:   (х + 5)2 = х2 +25;

 (а - 3 = (а - з)(а + 3);

 (а + 3)(3 - а) = a2 -9.

1 курс

Квадратные корни

Арифметический квадратный корень из числа а.

        По определению - это неотрицательное число, квадрат которого равен а.

Ошибки:

х = -4, х = 16.

Описание результатов

                 По результатам анализа ошибок, допущенных учащимися 7-8 классов в тестовых работах по математике, можно сделать вывод, что поверхностное изучении теории(а чаще её незнание) приводит к абсурдным результатам. Софизмы наглядно показывают, почему это происходит.        

                                             Заключение

О математических софизмах можно говорить бесконечно много, как и о математике в целом. Изо дня в день рождаются новые парадоксы, некоторые из них останутся в истории, а некоторые просуществуют один день. Софизмы есть смесь философии и математики, которая не только помогает развивать логику и искать ошибку в рассуждениях. Буквально вспомнив, кто же такие были софисты, можно понять, что основной задачей было постижение философии. Но тем не менее, в нашем современном мире, если и находятся люди, которым интересны софизмы, в особенности математические, то они изучают их как явление только со стороны математики, чтобы улучшить навыки правильности и логичности рассуждений.

Понять софизм как таковой (решить его и найти ошибку) получается не сразу. Требуются определенный навык и смекалка. Что касается меня, то некоторые софизмы приходилось разбирать по нескольку раз, чтобы действительно в них разобраться, некоторые же наоборот, казались очень простыми. Развитая логика мышления поможет не только в решении каких-нибудь математических задач, но еще может пригодиться в жизни.

Исторические сведения о софистике и софистах помогли мне разобраться, откуда же все-таки началась история софизмов. По началу, я думала, что софизмы бывают исключительно математические. Причем в виде конкретных задач, но, начав исследование в этой области, я поняла, что софистика-это целая наука, а именно математические софизмы - это лишь часть одного большого течения.

Исследовать софизмы действительно очень интересно и необычно. Порой сам попадаешься на уловки софиста, на столь безукоризненность его рассуждений. Перед тобой открывается какой-то особый мир рассуждений, которые поистине кажутся верными. Благодаря софизмам и парадоксам можно научится искать ошибки в рассуждениях других, научится грамотно строить свои рассуждения и логические объяснения. Если есть желание, то можно стать искусным софистом, добиться исключительного мастерства в искусстве красноречия или просто на досуге проверить свою смекалку.

Любовь к математике присуща не всем людям. У некоторых это чувство является как бы врожденным; у других любовь к математике возникает при изучении ее на школьной скамье.

Но найдется немного людей в наше время, которые поставили бы под сомнение огромное значение математики в развитии других наук и техники. Воздвигается ли новая АЭС, подготавливается ли новый полет человека в космос, находится ли в полете к далеким планетам корабль-лаборатория, идут ли поиски наиболее целесообразного решения сложной производственной задачи, автоматизируется ли процесс - во всех делах, великих и малых, всюду и везде незримо присутствует математика.

Зародившись чуть ли не вместе с появлением человека на Земле, математика к настоящему времени достигла таких блестящих вершин, так расширилась область ее применения, что даже специалисты в этой области не могли несколько десятков лет назад представить себе, какими гигантскими шагами пойдет развитие этой замечательной науки.

Но любая наука, и математика в особенности, строится на фундаменте знаний, добытых в предшествующие эпохи. Не усвоив этих знаний, трудно понять, что совершается в области математики теперь, в области других наук. Отсутствие таких знаний не позволят работать во многих областях производства и науки. Не будет преувеличением сказать, что, чем выше будет математическая культура народа, тем больше он сможет сделать для процветания своей Родины - России.

Вот почему имеет первостепенное значение глубокое изучение школьной математики. И математические софизмы вам покажут, как важно строго соблюдать правила и формулировки теорем при логических умозаключениях.

Решайте задачи и не бойтесь трудностей. Преодоление их вам доставит не только глубокое удовлетворение, но и большую радость, так как «в математике есть своя красота, как в поэзии и музыке» (Н.Е.Жуковский).

Предмет математики настолько серьезен, что полезно не упустить случая сделать его немного занимательным.

                                                                                                         Б. Паскаль

Список литературы:

1. Мартин Гарднер. Математические головоломки и развлечения.

М.: Оникс, 1994г.

2. Глейзер Г.И. История математики в школе. М.:Просвещение, 1982г.
3. Л.Ф.Пичурин. За страницами учебника алгебры. М. -.Просвещение, 1991г.
4. Савин А.П. Энциклопедический словарь юного математика. М.:Педагогика, 1989г.
5. Колосов " А.А. Книга для внеклассного чтения по математике. М.: Учпедгиз, 1963г.
6. Кордемский Б.А. Великие жизни в математике. М.:Просвещение, 1995г.
7. Р.Курант, Г.Роббинс. Что такое математика? М.-.МЦНМО, 2004г.
8. http://tmn.fio.ru/works/60x/306/06_2.htm
9. Ахманов А.С., Логическое учение Аристотеля, М., 1960г.
10. Брутян Г., Паралогизм, софизм и парадокс//Вопросы философии, 1959г. № 1 с. 56-66.
11. Брадис В.М., Минковский В.Л., Еленев Л.К., Ошибка в математических рассуждениях, 3 изд., М., 1967г.
12. Морозов И.А., О научном значении математических софизмов// Известия научного института им. П.Ф.Лесгафта, Пг., 1919г., с. 193-207.

Примеры шуточных софизмов

Девушка — не человек

Доказательство от противного. Допустим, девушка — человек. Девушка -- молодая, значит девушка — молодой человек. Молодой человек — это парень. Противоречие. Значит девушка — не человек.

Полупустое и полуполное

«Полупустое есть то же, что и полуполное. Если равны половины, значит равны и целые. Следовательно, пустое есть то же, что и полное».

Чётное и нечётное

«5 есть 2 + 3 („два и три'с). Два— число чётное, три — нечётное, выходит, что пять — число и чётное и нечётное. Пять не делится на два, также, как и 2 + 3, значит, оба числа не чётные!»

Не знаешь то, что знаешь

«Знаешь ли ты то, о чём я хочу тебя спросить?» — «Нет». — «Знаешь ли ты, что добродетель есть добро?» — «Знаю». — «Об этом я и хотел тебя спросить. А ты, выходит, не знаешь то, что знаешь».

Лекарства

«Лекарство, принимаемое больным, есть добро. Чем больше делать добра, тем лучше. Значит, лекарств нужно принимать как можно больше».

Вор

«Вор не желает приобрести ничего дурного. Приобретение хорошего есть дело хорошее. Следовательно, вор желает хорошего».

Отец — собака

«Эта собака имеет детей, значит, она — отец. Но это твоя собака. Значит, она твой отец. Ты её бьёшь, значит, ты бьёшь своего отца и ты — брат щенят».

Рогатый

«Что ты не терял, то имеешь. Рога ты не терял. Значит, у тебя рога».

Чем больше

«Чем больше я пью водки, тем больше у меня трясутся руки. Чем больше у меня трясутся руки, тем больше спиртного я проливаю. Чем больше я проливаю, тем меньше я выпиваю. Значит, чтобы пить меньше, надо пить больше».

Курите дети на здоровье

«Курение это яд. Яд это смерть. Смерть это сон. Сон это здоровье. Курите дети на здоровье».

ОШИБКА: смерть - это совсем не сон. Вот отсюда и пошла ошибка.

Парни не пейте кефир

«Парни пейте кефир, кефир это сила, сила это спорт, спорт это деньги, деньги это слава, слава это девушки, девушки это проблемы, проблемы это смерть, парни не пейте кефир».