Одна за всех… Формула Пика.

ОКРУЖНАЯ НАУЧНАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ УЧАЩИХСЯ

СЕКЦИЯ “Математика”

 Одна за всех…   Формула Пика.

СОДЕРЖАНИЕ.

 Введение………………………………………………………………… стр. 3-5

Немного истории……………………………………………………........ стр.5

Способ вычисления площади фигуры с помощью квадратной сетки…стр.6 -7

Вычисление узлов……………………………………………………….стр. 7-14

1. Площадь прямоугольника
2. Площадь параллелограмма
3. Площадь трапеции
4. Площадь многоугольника

Теорема Пика на детских рисунках………………………………………. стр.15

Заключение………………………………………………………………….стр. 16

Список литературы…………………………………………………………стр.17

Введение

«Если вы хотите научиться плавать, то смело входите в воду, если хотите научиться решать задачи, то решайте их!»

Д. Пойя.

 Рассматривая книги по математике, я обратила внимание на задания, в которых нужно было найти площадь фигуры, изображённой на клетчатой бумаге.  Я решила узнать, в чём  особенность таких задач, существуют ли специальные методы и приёмы решения задач на клетчатой бумаге.

 Мне  в конце девятого и одиннадцатого класса предстоит сдавать Государственный Экзамен, который покажет уровень знаний, полученный во время учебы в школе. Но школьная программа не всегда предоставляет самые рациональные способы решения  каких-либо задач.

 Учитель показала  такие задачи в контрольно – измерительных материалах ЕГЭ и  ОГЭ, я решила  исследовать задачи на клетчатой бумаге, связанные с нахождением площади изображённой фигуры.

Я    изучила литературу, Интернет-ресурсы по данной теме. Казалось бы, что увлекательного можно найти на клетчатой плоскости, то есть, на бесконечном листке бумаги, расчерченном на одинаковые квадратики? Оказывается, задачи, связанные с бумагой в клеточку, достаточно разнообразны. Я научилась вычислять площади многоугольников, нарисованных на клетчатом листке. Для многих задач на бумаге в клетку нет общего правила решения, конкретных способов и приёмов. Вот это их свойство обуславливает их ценность для развития не конкретного учебного умения или навыка, а вообще умения думать, размышлять, анализировать, искать аналогии, то есть, эти задачи развивают мыслительные навыки в самом широком их понимании. Поэтому, проведя исследования, я выяснила, что существует теорема Пика, которая в школьной программе не изучается, но которая поможет мне быстрее справиться с заданием.

Актуальность: Способы нахождения  площади многоугольника нарисованного на «клеточках» очень интересная тема. Известны разные способы выполнения таких заданий: способ сложения, способ вычитания и др.  Меня  очень заинтересовала эта тема,  я  изучила  много литературы  и нашла еще один способ, способ не известный по школьной программе, но способ замечательный!   Я решила изучить формулу Пика, при помощи которой выполнять задания на нахождение площади очень легко!

Цель исследования: обосновать рациональность использования формулы Пика при решении задач на нахождение площади фигур, изображённых на клетчатой бумаге

Задачи:

1. Отобрать материал для исследования, выбрать главную, интересную, понятную информацию
2. Проанализировать и систематизировать полученную информацию
3. Провести мастер-класс в 9 классах по данной теме, проанализировать и сравнить результативность вычислений до и после ознакомления с формулой Пика;
4. Сделать выводы по результатам работы
5. Подобрать наиболее интересные, наглядные примеры

Методы исследования: моделирование, построение, анализ и классификация информации, сравнение, обобщение.

Гипотеза: задачи на нахождение площади фигур, изображённых   на клетчатой бумаге, можно решить с помощью формулы Пика более рационально.

Работа имеет практическое применение. Ее могут использовать школьники и взрослые при решении реальных ситуаций; учителя, как при проведении уроков по математике, так и на факультативных курсах и дополнительных занятий на повторение.

Данное исследование будет полезным для учащихся при самостоятельной подготовке к выпускным и вступительным экзаменам. А также будет полезно и для учеников, целью которых стали высокие места на городских олимпиадах.

Немного истории.

Зачатки геометрических знаний, связанных с измерением площадей, теряются в глубине тысячелетий.

Ещё 4-5 тыс. лет назад вавилоняне умели определять площадь прямоугольника и трапеции в квадратных единицах. Квадрат издавна служил эталоном при измерении площадей благодаря многим своим замечательным свойствам: равные стороны, равные и прямые углы, симметричность и общее совершенство формы. Квадраты легко строить, ими можно заполнить плоскость без пробелов. В Древнем Китае мерой площади был прямоугольник.

Древние египтяне 4000 лет назад пользовались почти теми же приёмами, что и мы, для измерения площади прямоугольника, треугольника и трапеции.

        Понятие площади нам известно из повседневного опыта. Каждый понимает смысл слов: площадь комнаты равна восемнадцати квадратным метрам, площадь приусадебного участка – шести соткам и т. д. можно сказать, что площадь многоугольника – это величина той части плоскости, которую занимает многоугольник. Измерение площадей проводится с помощью выбранной единицы измерения. Измерение площадей с помощью палетки позволяет находить их значения с очень низкой степенью точности, как говорят, «в первом приближении».

Способ вычисления площади фигуры с помощью квадратной сетки.

Приближённое измерение площадей можно производить с помощью палетки – квадратной сетки, нанесённой на прозрачную пластинку. При измерении подсчитывается число квадратиков (а значит, и их площадь), целиком содержащихся в фигуре, а также число квадратиков частично входящих в измеряемую фигуру.  Это число делится пополам. Суммируя эти числа, находят приближённое значение площади фигуры. Точность такого измерения невелика, но во многих случаях она устраивает измеряющего.

 Оказывается площади многоугольников, вершины которых расположены в узлах сетки, можно вычислить гораздо проще: есть формула, связывающая их площадь с количеством узлов, лежащих внутри и на границе многоугольника. Это замечательная формула называется формулой Пика. Связь между площадью фигуры и количеством узлов, попавших в эту фигуру, особенно ясно видна в случае прямоугольника. Пусть ABCD – прямоугольник с вершинами в узлах и сторонами, идущими по линиям сетки. Обозначим через В количество узлов, лежащих внутри прямоугольника, а через Г – количество узлов на его границе. Сместим сетку на полклетки вправо и полклетки вниз. Тогда территорию прямоугольника можно «распределить» между узлами следующим образом: каждый из В узлов «контролирует» целую клетку смещённой сетки, каждый из Г-4 граничных неугловых узла – половину клетки, а каждая из угловых точек – четверть клетки                                                    

Поэтому площадь многоугольника S равна          

Итак, для прямоугольников с вершинами в узлах и сторонами, идущими по линиям сетки, мы установили формулу   Оказывается, эта формула верна не только для прямоугольников, но и для произвольных многоугольников с вершинами в узлах сетки! Это и есть формула Пика.  

Георг Пик

Пик поступил в университет в Вене в 1875 году. Свою первую работу опубликовал в возрасте 17 лет. Круг его математических интересов был чрезвычайно широк . 67 его работ посвящены многим разделам математики, таким как: линейная алгебра, интегральное исчисление, геометрия, функциональный анализ, теория потенциала.

Теорема Пика

Теорема появилась в сборнике работ Пика в 1899 году. Теорема привлекла довольно большое внимание и начала вызывать восхищение своей простотой и элегантностью. Формула Пика, или как считать площади многоугольников, полезна при решении задачи В4  ЕГЭ и 12  задачи ОГЭ.

Вычисление узлов.

Площадь искомой фигуры можно найти по формуле:

 Ѕ= -1

Г – количество узлов на границе треугольника (на сторонах и вершинах)

В – количество узлов внутри  треугольника

*Под «узлами» имеется ввиду пересечение линий.

Найдём площадь треугольника:

  Отметим узлы:

    1 клетка = 1 см   Г = 15 (обозначены красным)    В = 34 (обозначены синим)

  Найдём площадь параллелограмма:

  Отметим узлы:

Г = 18 (обозначены красным)     В = 20 (обозначены синим)

Найдём площадь трапеции:

 Отметим узлы:

Г = 24 (обозначены красным)    В = 25 (обозначены синим)

Найдём площадь многоугольника:

 Отметим узлы:

Г = 14 (обозначены красным)   В = 43 (обозначены синим)

Понятно, что находить площадь трапеции, параллелограмма, треугольника проще и быстрее по соответствующим формулам площадей этих фигур. Но знайте, что можно  это делать и таким образом. 

А вот когда дан многоугольник, у которого пять и более углов эта формула работает хорошо.

Теперь взгляните на следующие фигуры:

Это типовые фигуры, в заданиях стоит вопрос о нахождении их площади. Такие или подобные им будут на ЕГЭ. При помощи формулы Пика такие задачи решаются за минуту. Например, найдём площадь фигуры:

 Отметим узлы:

Г = 11 (обозначены красным)    В = 5 (обозначены синим)

Ответ: 9,5

На рассмотрение   примера  мы затратили всего 1-2 минуты. Вычислять площадь по формуле Пика не только быстро, но и очень легко!

 Но я задумалась, а можно ли доверять теореме Пика и получаются ли одинаковые результаты при вычислении площадей разными способами?

Я решила найти  площади многоугольников по формуле Пика и  обычным способом, применяя формулы геометрии и способы достроения или разбиения на части. Вот какие результаты я получила:

Пример №1.

Результат одинаковый.

Пример №2.

Мы снова получили одинаковые результаты.

Рассмотрим еще один пример.

 Пример №3

Результат одинаковый.

 Я рассмотрела три примера, но на самом деле  я  рассмотрела очень много самых разных примеров. Результат всегда был один и тот же: Вычисление площади по формуле Пика и другими способами дает одинаковый результат.

Вывод: формуле Пика можно доверять! Она дает точный результат.

 Затем я задумалась, а   какой способ вычисления наиболее рациональный, наиболее удобный для использования?

Для этого я рассмотрела ещё   два примера, которые окончательно позволят получить ответ на мой вопрос.

При помощи формулы Пика легко вычислить площадь многоугольника даже самой причудливой формы. Например:  

Г=16, В=9

S=16:2+9-1=16

Вывод: наиболее рациональный способ вычисления площади многоугольника, изображенного на бумаге в клетку: формула Пика!

Итак, формула Пика имеет ряд преимуществ перед другими способами вычисления площадей многоугольников на клетчатой бумаге:

Для вычисления площади  многоугольника, нужно знать всего одну формулу:    Ѕ= -1

• Формула Пика очень проста для запоминания.
• Формула Пика очень удобна и проста в применении.
• Многоугольник, площадь которого необходимо вычислить, может быть любой, даже самой причудливой  формы.

Я решила научить пользоваться формулой Пика учащихся 9 классов нашей школы.  

Учитель математики предоставила мне время на факультативе. Все учащиеся с большим интересом познакомились с презентацией и научились пользоваться формулой Пика.

Вместе с учителем я  провела две самостоятельные работы по 10 минут. В первой работе надо было найти площади фигур, до знакомства с формулой Пика, а во второй  работе найти площади тех же фигур, но уже зная теорему Пика.

За 10 минут практической работы  учащиеся  выполнили большое количество заданий.

Каждый учащийся получил памятку «Формула Пика».

Я  помогла  им в подготовке к   ОГЭ!

 А ещё я  провела  опрос учащихся 9 а, в   классов.

Теорема Пика на детских рисунках.

По формуле Пика S =В +½Г-1В=4,Г=14, S=4+½·14-1=10

По формуле Пика S =В +½Г-1В=36, Г=21

S = 36 + ½·21 -1=36+10,5-1=45,5

Заключение

         В процессе исследования я изучила справочную, научно-популярную литературу. Узнала, что  задача на нахождение площади многоугольника с вершинами в узлах сетки сподвигла австрийского математика Пика в 1899 году доказать замечательную формулу Пика.

 Я узнала,  что существуют различные способы вычисления площадей фигур. Формула Пика для вычисления площадей различных многоугольников с вершинами в узлах сетки позволяет быстро, рационально и правильно вычислять площади.  Эта формула экономит время при вычислениях площади фигуры. Учащиеся при вычислении площадей могут использовать любой способ. Формула Пика имеет значительную познавательную и практическую ценность.

Вывод:

1. Для вычисления площади  многоугольника, нужно знать всего одну формулу:    
2. Формула Пика очень проста для запоминания.
3. Формула Пика очень удобна и проста в применении.
4. Многоугольник, площадь которого необходимо вычислить, может быть любой, даже самой причудливой  формы.
   

Литература

1. Жарковская Н. М., Рисс Е. А. Геометрия клетчатой бумаги. Формула Пика // Математика, 2009, № 17, с. 24-25.

2. Задачи открытого банка заданий по математике ФИПИ, 2013 – 2016

 3. Математические этюды.etudes.ru

4. Л.С.Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б.Кадомцев и др. Геометрия .7-9 классы. М. Просвещение ,2015

5.  http://dic.academic.ru/ (Википедии — свободной    энциклопедии).

6. http://www.bymath.net  (энциклопедия)