Числа натурального ряда

Алтайский край  Новичихинский район

МКОУ «Октябрьская средняя общеобразовательная школа»

659738, с. 10 лет Октября, ул. Гагарина, 41, тел/факс 8(385-55) 29-3-16 e-mail Okt1648@yandex.ru

=========================================================

 Числа натурального ряда

Исследовательская работа по математике

                                                                           Выполнила:  Руденко Ольга

ученица 6 класса

                                                                     Руководитель : Ломиворотова Л.Н.

  учитель математики

с. 10 лет Октября

2015г.

Актуальность:

  Тема моего проекта – числа натурального ряда. Я выбрала эту тему, потому что на уроках математики мы работаем с разными числами и теперь уже знаем дроби. Дальше мы будем знакомиться и с другими видами чисел. Но ведь изучать математику мы начали с натуральных чисел. Вот я и решила изучить  историю возникновения этих чисел,  подробнее узнать, что такое  число, как числа записывались в древности, чем отличались у разных народов.  

Цель  работы:  Используя современные технологии изучить историю возникновения чисел и основные  виды записи натуральных чисел в древности.

Гипотеза:  часто приходится удивляться не сложному, а простому.

Задачи  исследования:

1. Выделить виды записи чисел в древности.
2. Рассмотреть  удивительные равенства из натуральных чисел

Объект исследования:    натуральный ряд чисел

Предмет исследования:     натуральные числа

Методы исследования

• поисковый метод с использованием  сети Интернет;
• исследовательский метод при определении  этапов развития представлений о числах.
• практический метод при создании  презентации

Предполагаемый продукт:

• учебная презентация « История чисел»;
• памятка для учеников  «Цифры различных времен и народов»

Проведение исследования

Для решения заявленной проблемы мне потребовалось:

•  Изучить литературу по внеклассного чтения по математике
• Обратиться за консультацией к учителю математики
• Изучить исторические сведения из школьного учебника  Математика 5-6 класс.

Введение.

   Ни для кого не секрет, что всюду и повсеместно каждое мгновение наша жизнь наполнена цифрами и числами: день недели, номер автомобиля, магазинный ценник, штрих-код на книжной обложке, количество калорий в пирожном и сколько дней осталось до каникул?..

    Можно ли представить мир без чисел? Вспомните, что мы с вами делаем изо дня в день: без чисел ни покупки не сделаешь, ни времени не узнаешь, ни номера телефона не наберёшь.  Число одно из основных понятий математики, позволяющее выразить результаты счета или измерения.  Люди так часто пользуются числами и счетом, что трудно даже представить себе, что они существовали не всегда, а были изобретены человеком.  Что же пришлось преодолеть человеку, чтобы числа выглядели, так как мы их свами видим  сейчас?                                                                                                                          Часто приходится удивляться не сложному, а простому. Вот это я и постараюсь показать в своей работе на примере удивительных равенств.

  Числа сопровождают нашу жизнь повсюду, а задумывались ли мы, что пытаясь подсчитать количество яблок в килограмме, используем как раз натуральные числа. История возникновения натуральных чисел берет свое начало еще с первобытного общества. Тогда, конечно, они возникли в самом простейшем виде, но вместе с человечеством развивались и числа  Изначально они использовались только для того, чтобы что-то подсчитать, измерить, т.е. помогали именно в том, что было нужно в практической деятельности людей. Потом число становится частью математики, и история возникновения и развития натуральных чисел обуславливается уже наукой

 1.История развития числа

Представление о натуральном ряде чисел: 1,2,3,4,5,6,…. возникло в сознании людей в результате операции счёта.

   В настоящее время мы без труда представляем этот ряд бесконечным: действительно, какое бы натуральное число мы не взяли и как бы велико оно не было, прибавив к нему единицу, мы получим новое число. Но идея о бесконечности ряда чисел не сразу далась человечеству. В очень далёкие времена , когда люди умели считать только до трёх, а дальше была «тьма», натуральный ряд чисел был очень коротким. С течением времени, научаясь считать сначала при помощи зарубок, зёрен и т. п., а затем при помощи первой счётной машины — пальцев своих рук, люди постепенно удлиняли натуральный ряд чисел, и прошло довольно продолжительное время, пока они почувствовали и осознали, что этот ряд бесконечен.

  Укреплению в сознании людей идеи бесконечности натурального ряда могли содействовать задачи, подобные той, которую поставил Архимед более двух тысяч лет назад. В своём сочинении «Псаммит» он решает вопрос об исчислении песчинок в размерах вселенной. Архимед не считал вселенную бесконечной, как это есть на самом деле, но и в его представлении она очень велика. Он представлял себе вселенную в виде шара, на поверхности которого укреплены неподвижные звёзды, а внутри находятся Земля, Солнце и планеты. Радиус этого шара Архимед принимал равным 15-1012 км (в пересчёте на наши меры). Создав особую систему счисления, он решил поставленную им задачу. Число песчинок в размерах Архимедовой вселенной оказалось примерно равным 1063. Это число велико, и оно занимает очень далёкое место в натуральном ряде чисел.                                                                                                                                                             Создав натуральный ряд чисел, люди должны были изобрести и способ записи числа в этом ряде при помощи немногих знаков.                            Разные цивилизации создавали свои собственные цифры. Так, например, в древней египетской нумерации, зародившейся более 5000 лет назад, существовали особые знаки (иероглифы) для записи чисел 1, 10, 100, 1000, …: (Рис. 3).

рис.3

      Для  того чтобы изобразить, например, целое число 23145, достаточно записать в ряд два иероглифа, изображающие десять тысяч, затем три иероглифа для тысячи, один – для ста, четыре – для десяти и пять иероглифов для единицы: (Рис.4).

рис.4

      Этого одного примера достаточно, чтобы научиться записывать числа так, как их изображали древние египтяне. Это система очень проста и примитивна.

      Похожим образом обозначали числа на острове Крит, расположенном в Средиземном море. В критской письменности единицы обозначались вертикальной чёрточкой |, десятки – горизонтальной - , сотни – кружком ◦, тысячи – знаком ¤.

      Народы (вавилоняне, ассирийцы, шумеры), жившие в Междуречье Тигра и Евфрата в период от II тысячелетия до н.э. до начала нашей эры, сначала обозначали числа с помощью кругов и полукругов различной величины, но затем стали использовать только два клинописных знака – прямой клин q (1) и лежащий клин  t (10). Эти народы использовали шестидесятеричную систему счисления, например число 23 изображали так: t  t qqq       Число 60 снова обозначалось знаком q, например число 92 записывали так:  qtttqq

      В начале нашей эры индейцы племени майя, которые жили на полуострове Юкатан в Центральной Америке, пользовались другой системой счисления – двадцатеричной. Они обозначали 1 точкой, а 5 – горизонтальной чертой, например, запись ‗‗‗‗‗‗ означала 14. системе счисления майя был и знак для нуля. По своей форме он напоминал полузакрытый глаз.

       В Древней Греции сначала числа 5, 10, 100, 1000, 10000 обозначали буквами  Г, Н, Х, М, а число 1 – черточкой /. Из этих знаков составляли обозначения   r r r  Г (35) и т.д. Позднее числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100, 200, 300, 400, 500, 600, 700, 800, 900, 1000, 2000, 3000, 4000, 5000, 6000, 7000, 8000, 9000, 10000, 20000 стали обозначать буквами греческого алфавита, к которому пришлось добавить еще три устаревшие буквы. Чтобы отличить цифры от букв, над буквами ставили черточку.

      Древние индийцы изобрели для каждой цифры свой знак. Вот как они выглядели (Рис.5)

рис.5

Однако Индия была оторвана от других стран, - на пути лежали тысячи километров расстояния и высокие горы. Арабы были первыми «чужими», которые заимствовали цифры у индийцев и привезли их в Европу. Чуть позже арабы упростили эти значки, они стали выглядеть вот так (Рис.6)

рис.6

      Они похожи на многие наши цифры. Слово «цифра» тоже досталось нам от арабов по наследству. Арабы нуль, или «пусто», называли «сифра». С тех пор и появилось слово «цифра». Правда, сейчас цифрами называются все десять значков для записи чисел,  которыми мы пользуемся: 0, 1, 2,3,4, 5,6, 7,8,9.

Цифры  различных народов в разное время выглядели так:

Из всех странных нумераций римская является единственной, сохранившейся до сих пор и довольно широко применяемой. Римские цифры употребляются и сейчас для обозначения столетий, нумерации глав в книгах и др.

      Для записи чисел в римской нумерации надо запомнить изображение семи чисел .

I    V      X     L     C      D     M

  1     5     10    50   100   500   1000

 Различные способы  записи знаков, изобретённые разными народами на протяжении многих веков, в настоящее время вытеснены десятичной позиционной системой, которая позволяет при помощи только девяти знаков — цифр: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, и цифры нуль записать любое число натурального ряда.

 Одно из свойств, создающих превосходство десятичной системы счисления перед другими системами, заключается в том, что она пользуется законом поместного значения цифр, хотя этот закон, как увидим ниже, присущ и не только этой системе. Закон этот заключается в том, что значение каждой цифры определяется её местом: цифра, записанная на первом месте справа, означает единицы, на втором — десятки, на третьем — сотни. Закон поместного значения цифр сделал излишним введение особых знаков для обозначения десятков, сотен, тысяч и других разрядных единиц.

Записывая какое-либо число, мы обычно забываем о том, что изобретение той системы записи, которой мы пользуемся (письменной системы счисления на основе поместного значения цифр), является одним из важнейших исторических событий, а если иногда и вспоминаем об этом, то с недоумением: почему учёные ещё в древности не открыли этого способа для записи чисел?

Известный французский математик XIX в. Пьер Лаплас говорит: «Мысль выражать все числа девятью знаками, придавая им, кроме значения по форме, ещё значение по месту, настолько проста, что именно из-за этой простоты трудно понять, насколько она удивительна. Как нелегко прийти к этому способу, мы видим ясно на примере величайших гениев греческой учёности, Архимеда и Аполлония, для которых эта мысль осталась скрытой».

 Кому же мы обязаны изобретением письменной десятичной нумерации, какому учёному, какой школе или ка кому народу? Как й многое в математике", так и изобретение позиционной десятичной системы нельзя приписать какому-либо отдельному математику или какой-либо школе. Известно, что много веков назад в Индии пользовались подобной записью чисел. Известно, что индийцы уменьшили количество цифр и довели их до десяти, считая в том числе и нуль, и что индийцы применили позиционный принцип к десятичному счёту и стали пользоваться цифрой нуль. Сами ли индийцы пришли к этому историческому открытию или заимствовали идею поместного значения цифр у вавилонян, которые в глубокой древности пользовались шестидесятиричной позиционной системой, или, может быть, она перешла к ним от сумерийцев — сказать трудно. Но заслуга развития идеи позиционного счисления и введения цифры нуль, несомненно, принадлежит индийцам.

Нельзя не отметить и большую заслугу того учёного, который в IX в. перенёс это открытие индийских математиков на почву Ближнего Востока — к арабам. Этим учёным был математик — узбек Мухаммед, сын Мусы из Хорезма, который в одной из своих рукописей запечатлел идею десятичной системы счисления и ещё далее развил её. Рукопись была написана на арабском языке, научном языке Ближнего Востока того времени. Вот почему цифры, которыми мы сейчас пользуемся, называются арабскими.

Вероятнее всего, что труд Мухаммеда из Хорезма был перенесён в Европу в IX в. арабами, а вместе с ним в Европу проникла и десятичная позиционная система. Но, как всё новое, этот способ записи чисел, поражающий нас своей мудрой простотой, с большим трудом проникал не только в широкие массы, но и в круги учёных, и только в XII—XIII вв. он утвердился окончательно, вытеснив прежние, более сложные системы.

В Россию десятичная позиционная система счисления проникла гораздо позже. До XVII в. в России в основном пользовались старославянской нумерацией, которая не использовала принципа поместного значения цифр, хотя источники XV в. подтверждают знание русскими индийской нумерации. В старославянской нумерации вместо цифр употреблялись 27 знаков — букв славянского алфавита, снабжённых для отличия от обычных букв текста особым знаком сверху.

Вот знаки старославянской системы:

Старославянская система , не обладающая принципом поместного значения цифр, была вытеснена современной десятичной системой.

2.Удивительные числовые равенства из натуральных чисел.  

1. Равенство  состоящее из цифр  9 и 7      999 • 77 = 777 • 99   верно.
2. Вычислите:     142 857 • 7;  12 345 679 • 81;  98 765 432 • 9   и получите вот такие ответы      999 999;    9 999 999 999;    8 888 888 888.
3. Существуют равенства, у которых обе стороны выражаются одними и теми же цифрами.

Например, 92 −72 = 9 + 2 + 7 +2.

                        34−21=3•4 + 2−1.

                         63 : 3 = 6 • 3 + 3;

                        42 :3 + 3 = 4•2 + 3•3;

                        95 : 5 = 9 + 5 + 5;

                        (2 + 7) •2 • 16 = 272+ 16.

4. Среди натуральных чисел обнаружены несколько пар таких, что сумма и произведение чисел каждой пары отличаются только расположением цифр:  9 и 9;    24 и 3;  47 и 2;   263 и 2;     497 и 2.

               9 + 9= 18,                   24 + 3 = 27,                     47 + 2 = 49,

       9•9 = 81;                   24 •3 = 72;                       47 • 2 = 94

                        263 + 2 = 265,                            497 + 2 = 499,

                        263 •2 = 526;                            497•2 = 994;

5. Для нескольких пар чисел замечено свойство: произведение чисел не изменится, если в каждом сомножителе переставить цифры.

Например: 13•93 = 31 •39;        14•82 = 41•28;      23•64 = = 32 •46.

                        682 •143 = 341 • 286;      462 •132 = 231 • 264.

6.  Существуют равенства в которых от перестановки цифр сумма не меняется:

23 + 32 = 14 + 41;       522 + 225 = 324 + 423;

28 + 82= 19 + 91;       287 + 782 = 485 + 584;

43 + 34= 16 + 61;        334 + 433= 136 + 631.

7. Существует число, которое может быть выражено суммой факториалов своих цифр:

40 585 = 4! + 0! + 5! + 8! + 5!                              145 = 1! + 4! + 5!.

8. Для некоторых пар чисел их квадраты пишутся теми же цифрами, но в измененном порядке.

Обладают  этим свойством пары чисел:  13 и 14;    157 и 158;     913 и 914.

                      132= 169;               1572 = 24 649;           9132 = 833 569;

                       142 = 196;                      1582 = 24 964;           9142 = 835 3969.

9. Некоторые пары чисел обладают таким свойством: они сами
   и их квадраты отличаются лишь перестановкой цифр, например:

1122= 12 544;    11З2 = 12 769;    1222= 14 884;
2112 = 44 521;    3112 = 96 721;    2212 = 48 841.
Удовлетворяют ли этому свойству пары чисел:
                 12 и 21;              13 и 31;             102 и 201;                103 и 301

                 122 = 144;            132=169;           1022= 10404;            10З2 = 10609;
                212 = 441;             312 = 961;         2012 = 40401;          3012 = 90601
                                                                       

Источники информации

1. Колосов А.А. Книга для внеклассного чтения по математике в старших классах. М., Просвещение  1963.
2. Минаева С.С. Вычисления на уроках и внеклассных занятиях по математике. М., Просвещение  1983.
3. Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И.   Математика 6. Учебник для 6 класса общеобразовательных школ. /19-е изд./ - М.:Мнемозина, 2006.
4.  Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И.   Математика 6. Учебник для 6 класса общеобразовательных школ. /19-е изд./ - М.:Мнемозина, 2006
5. Интернет-ресурсы