Еще один интересный способ решения задач

Содержание

1. Аннотация…………………………………………………  2
2. Научно-исследовательская часть      

1.   Из истории………………………………………..   3

      1.1. Задача Эйлера……………………………….   4

2. Математическое понятие «граф»…………………  5

2.1. Граф и его элементы………………………….   6

2.2. Виды графов…………………………………..   7

2.3. Сфера применения графов    ………………..   8

                  3) Решение задач с помощью графов ………………  10

                      3.1. Арифметические задачи  ……………………   11

                      3.2. Задачи на движение …………………………   14  

                      3.3. Логические задачи……………………………  19

       3. Исследования и наблюдения. ……………………………  22

       4. Заключение………………………………………………..   23

       5. Список использованной литературы……..…….……….  24

 «Рано или поздно всякая правильная математическая идея находит применение в том или ином деле».                                                (А.Н. Крылов)

АННОТАЦИЯ

Работа посвящена рассмотрению   некоторых сведений теории графов. Теория графов является одним из способов решения многих задач разного содержания. В школе она не изучается, и поэтому вызвала интерес. Еще большее желание появилось познакомиться с этим способом, после того, как учитель математики сообщила, что это поможет при сдаче экзамена в 9 классе и даже в 11 классе. Ведь теория графов является частью как топологии, так и комбинаторики.  

Актуальность   работы.    

В обучении математике задачам всегда отводилась достаточно большая, если не решающая, роль. Сейчас всё большее распространение получает   метод обучения через задачи как реализация системы проблемного обучения. Основные идеи этого метода находят  и в новых учебниках. Задачи становятся не только и не столько целью, сколько средством обучения. В учебниках по математике, сколько стандартных задач, столько и нестандартных задач, для которых нет алгоритмов решения. Кроме того, с некоторых пор  раздел математики «Комбинаторика»  ввели в школьный курс. Теория графов позволяет решать наиболее легким способом, наглядно многие  задачи, которые способствуют развитию мышления и интеллекта. Поэтому  тема выбранная мною актуальна и интересна.

Цель  работы.   

Изучить понятие граф и его элементов, продемонстрировать  решение различных типов задач с помощью графов. 

Данная цель обусловила конкретные задачи исследовательской работы:

1. Проанализировать литературу по теме исследования, рассмотреть основные понятия.

2.     Подобрать и решить задачи с использованием понятия графа.

3.     Доказать и показать  обучающимся  7  класса, что используя понятие граф можно упростить  и рационально решать многие логические задачи и задачи других видов.

Объект исследования – граф.

Предмет исследования – история математики, виды задач,  способы решения задач.

Для решения поставленных задач были использованы следующие методы:

1. Исследовательский;
2. Использование на практике.
3. Компьютерная обработка данных;
4. Классификация и анализ собранного материала;
5. Математический отбор.

     Материал данной работы можно рекомендовать к использованию на уроках математики, во внеклассной работе  или на занятиях школьного математического кружка в качестве дополнительного материала с целью появления заинтересованности к учебному предмету и пробуждения желания к изучению математики у учеников, а также для расширения  кругозора.  

Ключевые слова: математика, история, граф, движение, задача, логика.

1). Из истории …

Слово «граф» в математике означает картинку, где нарисовано несколько точек, некоторые из которых соединены линиями. Графами являются блок – схемы программ для ЭВМ, сетевые графики строительства, где вершины – события, означающие окончания работ на некотором участке, а ребра, связывающие эти вершины, - работы, которые возможно начать по совершении одного события и необходимо выполнить для совершения следующего.

Исторически сложилось так, что теория графов зародилась двести с лишним лет назад именно в ходе решения головоломок. 

Однако  термин "граф" впервые появился в книге венгерского математика Д. Кенига в 1936 году.

Очень долго она находилась в стороне от главных направлений исследований ученых.

Первая работа по теории графов, принадлежит известному швейцарскому математику Л. Эйлеру. Леонард Эйлер (4 (15) апреля 1707, Базель, Швейцария — 7 (18) сентября 1783, Санкт-Петербург, Российская империя) — швейцарский, немецкий и российский математик, внёсший значительный вклад в развитие математики, а также механики, физики, астрономии и ряда прикладных наук.

Эйлер — автор более чем 800 работ по математическому анализу,   геометрии, теории чисел, приближённым вычислениям, небесной механике, математической физике, оптике,  кораблестроению, теории музыки и др.

1.  Задача Эйлера

 В 1736 году в одном из своих писем он формулирует и предлагает решение задачи о семи  Кёнигсберских  мостах, ставшей впоследствии одной из классических задач теории графов.

Бывший  Кенигсберг (ныне Калининград) стоит на реке Преголь. Некогда там было семь мостов, которые связывали между собой и с берегами два острова. Старые мосты не сохранились, но осталась карта города, где они изображены. Жители города заметили, что они никак не могут совершить прогулку по всем мостам, пройдя по каждому из них ровно один раз.

«Некогда мне была предложена задача об острове, расположенном в городе Кенигсберге и окруженном рекой, через которую перекинуто семь мостов. Спрашивается, может ли кто-нибудь непрерывно обойти их, проходя только однажды через каждый мост. И тут же мне было сообщено, что никто еще до сих пор не мог это проделать, но никто и не доказал, что это невозможно. Вопрос этот, хотя и банальный, показался мне, однако, достойным внимания тем, что для его решения недостаточны ни геометрия, ни алгебра, ни комбинаторное искусство. После долгих размышлений я нашел легкое правило, основанное на вполне убедительном доказательстве, с помощью которого можно во всех задачах такого рода тотчас же определить, может ли быть совершен такой обход через какое угодно число и как угодно расположенных мостов или не может».

Так возникла задача-головоломка: «можно ли  пройти все семь Кенигсбергских мостов ровно один раз и вернуться в исходное место?»

Разрешить проблему   Леонарду Эйлеру удалось. Причем, он решил не только эту конкретную задачу, но придумал общий метод решения подобных задач. При решении задачи о Кенигсбергских мостах Эйлер поступил следующим образом: он "сжал" сушу в точки, а мосты "вытянул" в линии. Леонард  Эйлер  выяснил, что пройти по Кенигсбергским мостам, соблюдая заданные условия, нельзя. Прохождение по всем мостам при условии, что нужно на каждом побывать один раз и вернуться в точку начала путешествия, на языке теории графов выглядит как задача изображения «одним росчерком» графа.

2). Математическое понятие «граф».

Пусть дано некоторое конечное множество точек и некоторые из них соединены линиями, не обязательно прямыми (рис. 1)

.         .                  

.         .        

    а)             б)           в)               г)             д)

                                                рис. 1

Такие схемы или диаграммы называют графами. Схемы, изображенные на рисунке 1, могут представлять собой, например, состояния турнира четырех шахматистов. Участники турнира обозначены точками, которые можно пометить цифрами или буквами, а линии, соединяющие пары точек, обозначают соответствующие партии между шахматистами. Рисунок 1а – состояние перед началом турнира, т.е. жеребьевка; рисунки 1б – г – состоялось три тура; рисунок 1д – сыграны все шесть партий.

Графы - это замечательные математические объекты, с помощью, которых можно решать математические, экономические и логические задачи. Также можно решать различные головоломки и упрощать условия задач по  физике, химии, электронике, автоматике. Графы используют при составлении карт и генеалогических древ.

В математике даже есть специальный раздел, который так и называется: «Теория графов».

2.1. Граф и его элементы

Слово «граф» в математике означает картинку, где нарисовано несколько точек, некоторые из которых соединены линиями. С дворянским титулом «граф» их связывает общее происхождение от латинского слова «графио» - пишу.

В математике графом называется конечное множество точек, некоторые из которых соединены линиями. Точки называются вершинами графа, а соединяющие линии – рёбрами.

                                     2.2. Виды графов

Существуют различные виды графов, которые отличаются друг от друга взаимным расположением вершин и ребер. Например:

1. Схема графа, состоящая из «изолированных» вершин, называется нулевым графом. ( рис.2)
2. Графы, в которых не построены все возможные ребра, называются неполными графами. ( рис.3)
3. Графы, в которых построены все возможные ребра, называются полными графами. ( рис.4)

4. Граф можно начертить «одним росчерком» тогда и только тогда, когда он содержит не более 2 нечетных вершин, причем маршрут начинается в одной из таких вершин и заканчивается в другой. Но, поскольку граф на этом рисунке имеет четыре нечетные вершины, то такой граф начертить «одним росчерком» невозможно.
5. Граф, который можно нарисовать, не отрывая карандаша от бумаги, называется эйлеровым. 

6.   Граф называется связным, если любые две его вершины могут быть соединены путем, т. е. последовательностью ребер, каждое следующее из которых начинается в конце предыдущего.
7. Граф называется несвязным, если это условие не выполняется.

8.Слово «дерево» в теории графов означает граф, в котором нет циклов, то есть в котором нельзя из некоторой вершины пройти по нескольким различным ребрам и вернуться в ту же вершину. Генеалогическое дерево будет деревом и в смысле теории графов, если в этом семействе не было браков между родственниками.

Не трудно понять, что граф – дерево ( рис.6) всегда можно изобразить  так, чтобы его ребра не пересекались.

2.3.Сфера применения графов  

Примерами графов могут служить схемы авиалиний, дорог, электросхемы, чертежи многоугольников.

Типичными графами на географических картах являются также изображения железных дорог.

Одними из самых распространённых графов являются схемы линий метрополитена.  

  Используют графы и при построении генеалогических деревьев.

 Существующие или вновь проектируемые дома, сооружения, кварталы и т.п. рассматриваются как вершины, а соединяющие их дороги, инженерные сети и т.п. – как рёбра. Применение различных вычислений, производимых на таком графе, позволяет, например, найти кратчайший объездной путь или  ближайший продуктовый магазин, спланировать оптимальный маршрут.    

Теория графов уже применяется в таких областях, как физика, химия, генетика, психология, социология, экономика, математическая лингвистика, теория планирования и управления, электротехника… Данная теория тесно связана так же со многими разделами математики, среди которых топология, комбинат

3). Решение задач с помощью графов

Понятие «графа» в школьной программе не дается. Отличаясь простотой теоретических сведений, наглядностью и доступностью, теория графов поможет решить довольно сложные задачи учащимся 7-8 классов. В некоторых задачах условие,  записанное с помощью рисунка, помогает найти правильный ход решения.

Для этого воспользуемся алгоритмом.

Алгоритм  составления графа.

1. О каком процессе идет речь?

2. Какие величины характеризуют данный процесс?

3. Каким соотношением связаны эти величины?

4.Сколько процессов описывается в задаче?

5.Есть ли связь между элементами?

Если ответы на эти вопросы записывать  схематически, то эта схема и будет сетевым графом.

 3.1. Арифметические  задачи  

Задача №1  Я задумал число. Если к нему прибавить 24, потом полученную сумму умножить на 9, затем из произведения вычесть 76 и, наконец, полученную разность разделить на 19, то получится число 23. Найти задуманное число.

Решение:  Сделаем рисунок. или  

Исходя из рисунка, видим, чтобы найти задуманное число, надо выполнить обратные действия:

                Ответ: 33.

Задача  №2 .    Если задуманное число умножить на 5 и к результату прибавить 1, потом сумму увеличить в 6 раз и к результату прибавить 2, затем новую сумму умножить на 7 и полученное произведение увеличить на 4, то получим число, которое в 16 раз больше числа 135. Найдите это число.

Решение: Сделаем рисунок (построим граф).

Решая, действия выполняем наоборот.

Ответ: 10.

Задача №3. В первом матче футболисты «Звездочки» забили в ворота противника половину мячей, забитых ими во втором матче, и еще один мяч. Во втором матче они забили вдвое меньше мячей, чем в третьем матче, и еще один мяч. В третьем матче они забили вдвое меньше мячей, чем в первом, и еще один мяч. Сколько всего мячей забили футболисты «Звездочки» за три матча?

Решение:

Из рисунка видно, что в каждой игре было забито одинаковое число мячей. В каждой игре забито по 2 мяча.              Ответ: 6 мячей забито в 3-х играх.

Задача  №4.  Колхозница принесла на базар корзину яблок. I покупателю она продала половину всех яблок и еще 1 яблоко, II – половину остатка и еще 1 яблоко, III – половину нового остатка и еще 1 яблоко и т.д. Последнему – шестому покупателю она также продала половину оставшихся яблок и еще 1 яблоко, причем оказалось, что она продала все свои яблоки. Сколько яблок принесла для продажи колхозница?

Решение: Составим граф.

Решая, действия делаем обратно.

Ответ: 126 яблок. 

Задача №5.   На вопрос путника: «Сколько у тебя в стаде голов скота?» - пастух ответил: «Если бы к моему стаду  добавить одну корову, то третью часть всего стада составляли бы овцы и козы. Если бы к имеющимся овцам и козам добавить одну овцу, то седьмую часть их составляли бы козы, в которых третья часть есть лишь один маленький козленок». Сколько голов скота было в стаде?

Решение: Составим граф по условию задачи.

Решаем обратно.

  Ответ: в стаде 59 голов скота.

Задача 6.  Петя принес на базар корзину яблок. I покупателю он продал половину всех яблок и еще 1 яблоко, II – половину остатка и еще 1 яблоко, III – половину нового остатка и еще 1 яблоко и т.д. Последнему – шестому покупателю она также продал половину оставшихся яблок и еще 1 яблоко, причем оказалось, что он продал все свои яблоки. Сколько яблок принес для продажи Петя? Решение. Составим граф .  Решая, действия делаем обратно   (р

Ответ: 126 яблок.

3.2. Задачи на движение

Задача 1.   Путь от станции Кинель до другой станции Оренбург, товарный поезд прошел за 9 ч, а пассажирский за 6 ч. Найдите скорость пассажирского поезда, если скорость товарного поезда равна 40 км/ч.

1.  О каком процессе идет речь?  (о движении)

2. Какими величинами он характеризуется? (скорость, время, расстояние) Каждую величину обозначим кружком.

3. Каким соотношением связаны эти три величины?  

      S                           v                               t

        S = v · t  

             S                           v                          t        

4. Сколько различных процессов описывается?  

      S1                   v1                      t1

           S2                  v2                   t2

 5. В итоге рассуждений   должен получиться сетевой граф                     

                            S                        v1                    t1= 6 ч

                                                          V2 =40 км/ч        t2 = 9 ч           

Чтобы решить задачу, надо найти значение закрашенных кружков. Каждую линию, в нашем случае их три, будем называть ребром графа. По – какому же принципу мы будем заполнять кружки: имея (зная) два не закрашенных кружка на одном ребре, найти третий, закрашенный.     Рассмотрим первое ребро графа. По условию задачи мы знаем: v2= 40 км/ч, t2 = 9 ч, следовательно, можем найти S. По какой формуле? (S = v × t). Чему будет равно S. (S= 40×9 = 360 км)

                S = 360 км      v2= 40 км/ч        t2 = 9 ч

Рассмотрим второе ребро графа. S у нас общее, его значение мы уже нашли, t1=6 ч, следовательно можем наитии v1. По какой формуле находим скорость? (v = S : t). Чему она будет равна? (v = 360 : 6 = 60 км/ч)

                   S = 360 км    v1 =60 км/ч          t1= 6 ч

В итоге должен получиться вот такой граф:  

              S = 360 км      vп= 60 км/ч        tп= 6 ч

                   vт= 40 км/ч          tт = 9 ч

 1) 40 × 9 = 360 (км) – расстояние между станциями.

 2) 360 : 6 = 60 (км/ч) – скорость пассажирского поезда.       Ответ: 60 км/ч.

Задача 2.    Машина ехала 3 часа со скоростью 65 км/ч  и 2 часа со скоростью 60 км/ч.  Какой путь пройдет машина за эти 5  часов?

Элементами являются S1 и   S2, V1 и V2, t1 и t2. Закрашиваем кружок величина, которого неизвестна, а кружок с известной величиной оставляем не закрашенным  и подписываем его. ( три часа со скоростью 65 км/ч, два часа со скоростью 60 км/ч).

    S1          v1= 65 км/ч     t1= 3ч

   S2           v2 = 60 км/ч     t2 =2ч

                            S1 + S2

Как узнать, какое расстояние проехала машина за 5 часов? (для этого нужно найти весь путь, который проехала машина; через S1 и   S2 проводим линию и завершаем её кружком  S1+ S2).                      (S1= 65×3 = 195 км)

        S1 = 195 км      v1= 65 км/ч        t1= 3ч

                                                                                  (S2 = 60×2 = 120 км)

            S2 = 120 км     v2 = 60 км/ч         t2 = 2 ч   Находим    S1+ S2 = 120 + 195 =                                      315 км.

Получим граф S1 = 195 км        v1= 65 км/ч     t1= 3ч

                    S2 = 120 км        v2 = 60 км/ч     t2 =2ч         S1 + S2 = 315 км  

                                                                                                Ответ: 315 км.

Задача 3.   Мотоциклист проехал расстояние от одного города до другого за 3 часа, двигаясь со скоростью  54 км/ч.  Сколько времени потребуется мотоциклисту на обратный путь, но уже по другой дороге, если она длиннее первой на  22 км, а его скорость будет меньше прежней на  8 км/ч.

Сетевой граф будет выглядеть следующим образом:

   S1=162 км        v1=54 км/ч       t1 =3 ч

  S2 = 184 км      v2 = 46 км/ч     t2 = 4 ч

  S1 < S2 на 22 км      v1 >v2 на 8 км/ч

                                                                       Ответ: 4 часа.

Задача 4.   Машина прошла первый участок пути за 3 часа, а второй участок - за 2 часа. Длина обоих участков вместе 267 км. С какой скоростью шла машина на каждом участке, если скорость на втором участке была на 8,5 км/ч больше, чем на первом?          Построим сетевой граф.

Пусть V1 = х км/ч, тогда V2 = х+ 8,5 км/ч,     S1 = 3х км,  S2  = 2( х+8.5)км

Составим уравнение: 3х + 2( х+8,5) = 267

Задача 5.    Из А в В одновременно выехали два мотоциклиста. Скорость одного из них в 1,5 раза больше скорости другого. Мотоциклист, который прибыл в В, сразу же отправился обратно.  Другого мотоциклиста он встретил через 2 ч 24 мин после выезда из А.  Расстояние между А и В равно 120 км. Найдите скорость мотоциклиста и расстояние до места встречи от В.

АВ+ВС+АС=2АВ

По ребру 4 получим уравнение: 2,4*1,5х+ 2,4х = 2*120

Задача 6.   За   9 ч по течению реки теплоход проходит тот же путь, что за  11 ч против течения. Найдите собственную скорость теплохода, если скорость течения реки 2 км/ч.

В задачах на движение по реке вводится дополнительный  сетевой граф

Получим уравнение : 8( х+2) = 11(х-1).  Скорость теплохода – х км/ч.

х+2  - скорость по течению;  х-2   - скорость против течения. 

3.3. Логические  задачи.

Задача 1  «Подружки ».         У трёх подружек - Ксюши, Насти и Оли - новогодние карнавальные костюмы белого, фиолетового и синего цветов, и шапочки тех же цветов. У Насти цвет костюма и шапочки совпали, у Ксюши ни костюм, ни шапочка не были фиолетового цвета, а Оля была в белой шапочке, но цвет костюма у неё не был белым.  Как были одеты девочки?                                                                                  Решение: Будем изображать множество подружек, шапочек и костюмов прямоугольниками, а элементы множеств - точками, помещенными в эти прямоугольники.

Бел.                                  Бел.

Син.                                 Син.

Фиол.                               Фиол.

к.                                              ш.

           К.        О.          Н                

Вывод:   Настя в фиолетовом костюме и шапочке, Ксюша в белом костюме и синей шапочке,     Оля в синем костюме  и белой шапочке.                                                                    

Задача 2. «Учительницы».      Три учительницы - Ирина Васильевна, Дарья Михайловна и Софья Петровна - преподают химию, биологию и физику в школах Ярославля, Владимира и Краснодара. Известно, что

1.    И.В. работает не в Ярославле, а Д.М. - не во Владимире;
2.    та, которая живет в Ярославле, преподает не физику;
3.   учитель, работающий  во Владимире  – учитель химии;
4.    Д.М. преподает не биологию.

Кто в каком городе  живет, и какой предмет преподает?  

Итак:   Дарья Михайловна  – физик из Краснодара;  Ирина Васильевна – живет во Владимире (т.к. не в Ярославле), и преподает химию;  тогда Софья Петровна   из Ярославля и преподает биологию.

Задача 3. «Друзья».      В спортивном зале собрались Витя, Коля, Петя, Сережа и Максим. Каждый из мальчиков знаком только с двумя другими.

Кто с кем знаком? Решение: Построим граф.      

Ответ:    Витя знаком с Колей и Сережей, Сережа с Витей и   Петей, Петя с Сережей и Максимом, Максим с Петей и Колей, Коля с Петей и Максимом.  

Задача 4. «Планеты»              Между девятью планетами солнечной системы установлено космическое сообщение. Рейсовые ракеты летают по следующим маршрутам: Земля – Меркурий;  Плутон – Венера; Земля – Плутон; Плутон – Меркурий; Меркурий – Венера; Уран – Нептун; Нептун – Сатурн; Сатурн – Юпитер; Юпитер – Марс и Марс – Уран.  Можно ли долететь на рейсовых ракетах с Земли до Марса ?                               

Решение: составим схему-граф маршрутов: 

Мы видим, что от Земли до Марса      добраться         нельзя.

Задача 5. «Рукопожатия».       Мальчики 10 б класса Андрей, Витя, Сережа, Валера, Дима при встрече обменялись рукопожатиями (каждый пожал руку каждому по одному разу). Сколько всего рукопожатий было сделано?

Решение:

  Пусть каждому из пяти молодых людей соответствует определенная точка на плоскости, названная первой буквой его имени, а производимому рукопожатию — отрезок или часть кривой, соединяющая конкретные точки - имена.

Если подсчитать число ребер графа, изображенного на рисунке справа, то это число и будет равно количеству совершенных рукопожатий между пятью молодыми людьми. Их будет 10.

Задача 6. «Что выше?»       На пришкольном участке растут 8 деревьев:  яблоня, тополь, береза, рябина, дуб, клен, лиственница и сосна. Рябина выше лиственницы, яблоня выше клена, дуб ниже березы, но выше сосны, сосна выше рябины, береза ниже тополя, а лиственница выше яблони. Расположите деревья от самого низкого к самому высокому.               Решение: 

      Вершины графа - это деревья, обозначенные первой буквой названия дерева.  В данной задаче два отношения: “быть ниже” и “быть выше”. Рассмотрим отношение “быть ниже” и проведем стрелки от более низкого дерева к более высокому. Если в задаче сказано, что рябина выше лиственницы, то стрелку ставим от лиственницы к рябине и т.д. Получаем граф,  на котором видно, что самое низкое дерево – клен. Затем идут яблоня, лиственница, рябина, сосна, дуб, береза и тополь.

Ответ: клен самое низкое дерево.

      Задача 7. «Конверт и марка».   У Наташи есть 2 конверта - обычный, авиа   и 3 марки: прямоугольная, квадратная и треугольная. Сколькими способами Наташа может выбрать конверт и марку, чтобы отправить письмо?

       Решение: 

      Ответ: 6 способов. Задача 8. Несколько мальчиков встретились на вокзале, чтобы поехать за город в лес. При встрече все они поздоровались друг с другом за руку. Сколько мальчиков поехали за город, если всего было 10 рукопожатий?      

Решение. Сделаем рисунок. Точки будут изображать мальчиков, а отрезки рукопожатия ответ: 5
     Задача 9.   « Переливание»        Сосуд ёмкостью  8 литров наполнен водой, имеется ещё два пустых сосуда ёмкостью 5 и 3 литра. Как с помощью этих сосудов отметить ровно один литр воды?   

 Решение: Вершины графа-это три числа, которые показывают, в каких сосудах сколько литров воды находится.   Первое число – количество воды в 8-ми  литровом сосуде, второе  число – в 5-ти  литровом, третье  число – ввв3х литровом.

Задача 10.    У Пети есть 2 автомобиля, 4 оловянных солдатика и 2 мяча. Он хочет подарить набор из трех разных игрушек своему другу на день рождения. Оказалось, выбрать не так уж просто, слишком много получается вариантов, тем более что все мячи, солдатики и машины такие непохожие. Сколько наборов мог составить Петя?

Решение. Обозначим автомобили, солдатиков и мячи буквами с индексами: А1, А2, С1, С2, С3, С4, М1, М2. Построим граф - дерево. Точка Н - начало, от которой выставляем один из вариантов А1 и А2. От точки А1 можно выбрать уже 4 варианта солдатиков и так далее.  Двигаясь от начала по отрезкам вниз получим 16 вариантов.                           Ответ: 16 наборов.

3. Исследования и наблюдения

Данная работа была представлена моим одноклассникам, обучающимся 7 класса  школы-интерната № 9, проведены практические занятия решения задач с помощью графов. После чего был проведен опрос.

Вот какие  ответы были даны на вопрос: «Помогает ли тебе метод графов при решении задач?»

1). Мне метод графов помог разобраться в решении  комбинаторных и логических задач.(7 учащихся)

2). Задачи на движение решаются интереснее.(5 учащихся)

3). Я хочу в  дальнейшем, по мере необходимости, применять этот способ.(5 учеников)

4). Мне этот способ показался сложным, я буду решать задачи  традиционным способом.(6 учащихся)

5).  Мне это не интересно. (4 ученика)                        (Приложение 1)

Из диаграммы видно, что более 60 % учащихся заинтересовались новым способом решения задач. Из них 45 % решили для себя  использовать этот способ в дальнейшем. И только 16 % учеников не захотели вникнуть в смысл данного способа.  

Вывод: моя работа  способствует развитию интереса у одноклассников к изучению математики и получению хороших результатов.

      4.Заключение     

Изучая данную тему, я выяснила, что графы интересуют людей с древних времен и до наших дней.

Работа актуальна и интересна потому, что заставляет учащихся не только  использовать традиционные методы решения, но и дает понять, что в математике  можно найти и использовать другие  более рациональные способы.  

При работе над данной темой я узнала   много нового и интересного. Теория графов не изучена до конца и в ней еще много «белых пятен».    

Проведя исследования, я пришла  к выводу:   новые знания повышают кругозор, хочется больше узнать, чтобы потом это оказывало нам помощь в дальнейшем обучении.

 Графы – это замечательные математические объекты, с помощью которых можно решать математические, экономические и логические задачи. Графы позволяют наглядно представить условие задачи, держать в памяти многочисленные факты, а значит, значительно упростить её решение. Также можно решать различные головоломки и упрощать условия задач по физике, химии, электронике, автоматике. Они нам окажут помощь при решении некоторых заданий на выпускном экзамене.  

Кроме того, я узнала, что графы используют лингвисты для анализа художественного текста, составляются «деревья фраз», по которым можно определить автора строк.

Возможно – это тема  другой моей исследовательской работы.

5) . Список, используемой  литературы

1. Энциклопедический словарь юного математика. \Сост. А.П.Савин.- М.: Педагогика, 1989
2. Квант №6 1994г.
3. М. Гарднер  «Математические досуги» М.: Мир, 1972
4. Берж К. Теория графов и ее применение. ИЛ, 1962.
5. Математика, учебник для 5 кл. /Н.Я.Виленкин, В.И.Жохов и др.-М:Просвещение, 2011  
6.  Математика, учебник для 6 кл. /Н.Я.Виленкин, В.И.Жохов и др.-М:Просвещение, 2011  
7. Алгебра: учебник для 7 кл. / Ю.Н.Макарычев и др., под редакцией С.А.Теляковского.-М.:Просвещение,2011
8. Элективные курсы «Решение задач с помощью графов»/авт.-сост.Л.Н.Харламова. - Волгоград: Учитель,2007.

Школа диалога культур «МОСТ»

Учебно-практическая конференция «Сделай шаг»

Физико-математическое направление

Секция:  МАТЕМАТИКА

«Ещё один способ решения задач»

(метод графов)

                                                      Автор:  Пыркова Мария,

                                                      обучающаяся  7 класса

                                                      школы-интерната    № 9   ОАО «РЖД»

                                                      г.Кинель Самарской области.

                                                    Руководитель:  Степанова Ольга Алексеевна,

                                                учитель математики  высшей  категории.

2015 год

Приложение 1.    Результаты опроса обучающихся 7 класса