Исследовательская работа в виде презентации по теме "Комплексные числа"

Слайд 1

Комплексные числа Презентацию выполнили Исакова Юлия и Восканян Асмик , обучающиеся 10 класса Бугровской СОШ Всеволожского района Ленинградской области

Слайд 2

История История развития числа уходит корнями в древние времена. Древнегреческие математики считали только натуральные числа. В Древнем Египте и Вавилоне стали использовать дроби. В III в. до н.э. китайские математики ввели отрицательные числа. В 1545 г. Итальянский ученый Кардано опубликовал работу «Великое искусство», в которой привел формулу корней кубического уравнения х 3 + рх + q = 0 . Для этой формулы понадобились новые числа, которые он записал в виде: а+ (-) √ - b , где b> 0.

Слайд 3

История А 25 лет спустя были изложены правила арифметических действий над комплексными числами. В те времена комплексные числа назывались мнимыми . Позднее комплексные числа стали изображать с помощью векторов на координатной плоскости.

Слайд 4

Комплексные числа Действительных чисел (рациональных и иррациональных) не всегда достаточно для того, чтобы решить любое алгебраическое уравнение. Например, квадратное уравнение х 2 + 1 = 0 с отрицательным дискриминантом не имеет действительных корней. Поэтому приходится расширять множество действительных чисел, добавляя к ним новые. Эти новые числа вместе с действительными числами образуют множество, которое называют множеством комплексных чисел .

Слайд 5

Комплексные числа (мнимые) Будем считать, что на множестве комплексных чисел уравнение х 2 + 1 = 0 имеет корень. Обозначим этот корень буквой i (первой буквой франц. c лова imaginaire – мнимый). Таким образом, i – это комплексное число, такое, что i 2 = - 1 . Для комплексных чисел характерны такие же операции, как и для действительных, сложения, умножения и др.

Слайд 6

Комплексные числа Комплексными числами называют выражения вида a + bi , где а и b – действительные числа, а i – некоторый символ такой, что i 2 = - 1 . Число а называется действительной частью комплексного числа a + bi , а число b – его мнимой частью. Число i называется мнимой единицей. Например, действительная часть комплексного числа 2+3 i равна 2 , а мнимая – равна 3

Слайд 7

Комплексные числа Два комплексных числа a + bi и c + di называются равными тогда и только тогда, когда a = c и b = d , т.е. когда равны их действительные и мнимые части. Найти х и у из равенства (2х + у) + ( х – у ) i = 5 - 2 i . По определению равенства комплексных чисел: Решая систему, находим х = 1, у = 3 .

Слайд 8

Сложение и умножение комплексных чисел Суммой двух комплексных чисел a + bi и c+di называется комплексное число (a + c) + (b + d) i , т.е. (a + bi) + (c + di ) = (a + c) + (b + d) i . Произведением двух комплексных чисел a + bi и c+di называется комплексное число (ac – bd ) + (ad + bc ) i , т.е. (a + bi) + (c + di ) = (ac – bd ) + (ad + bc ) i .

Слайд 9

Сложение и умножение комплексных чисел Комплексное число принято обозначать одной буквой, чаще всего z . z = a + bi Операции сложения и умножения комплексных чисел обладают свойствами действительных чисел. Основные свойства: Переместительное свойство: Z 1 +Z 2 =Z 2 +Z 1 , Z 1· Z 2 =Z 2· Z 1 Сочетательное свойство: (Z 1 +Z 2 )+Z 3 =Z 1 +(Z 2 +Z 3 ), (Z 1· Z 2 )· Z 3 =Z 1· (Z 2· Z 3 ) Распределительное свойство: Z 1· (Z 2 +Z 3 )=Z 1· Z 2 +Z 1· Z 3

Слайд 10

Модуль комплексного числа Пусть дано комплексное число Z = а + b · i . Сопряженным с Z называется комплексное число a – b · i , которое обозначается , т.е. = = =a – b · i . Отметим , что =a + b · i поэтому для любого _ комплексного числа Z имеет место равенство =Z. Модулем комплексного числа Z= a + b · i называется число и обозначается , т.е.

Слайд 11

Вычитание и деление комплексных чисел Вычитание комплексных чисел – это операция, обратная сложению: для любых комплексных чисел Z 1 и Z 2 существует, и притом только одно, число Z, такое, что: Z + Z 2 =Z 1 Деление вводится как операция, обратная умножению: Z× Z 2 =Z 1 . Разделив обе части на Z 2 получим: Z=

Слайд 12

Вычитание и деление комплексных чисел Даны комплексные числа Z1= 4 + 5 · i и Z2= 3 + 4 · i . Найти разность Z2 – Z1 и частное Z2 – Z1 = (3 + 4· i ) – (4 + 5· i ) = –1 – i = =

Слайд 13

ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА Действительные числа геометрически изображаются точками числовой прямой. Комплексное число A+B· i можно рассматривать как пару действительных чисел(A;B). Поэтому естественно комплексное число изображать точками плоскости. Ось абсцисс называется действительной осью , т.к. на ней расположены точки соответствующие действительным числам. Ось ординат называется мнимой осью – на ней лежат точки, соответствующие мнимым комплексным числам.

Слайд 14

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКАЯ ФОРМА КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА Из рисунка видно, что число z = a + bi можно записать иначе. Очевидно, что a = rcos ( φ ) , b = rsin(φ ) , r=|z| , следовательно z = rcos(φ ) + rsin(φ ) i , φ ∈ (-π; π ) называется аргументом комплексного числа. Такое представление комплексного числа называется тригонометрической формой z = r ( cos ( φ) + sin( φ) i ).

Слайд 15

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКАЯ ФОРМА КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА Как уже говорилось выше = r = , равенство можно записать в виде a + bi = cos ( φ )+ + i sin(φ ) , откуда приравнивая действительные и мнимые части, получим: cos(φ ) = , sin(φ ) = Если sin ( φ ) поделить на sin ( φ ) получим: tg (φ ) =

Слайд 16

КВАДРАТНОЕ УРАВНЕНИЕ С КОМПЛЕКСНЫМ НЕИЗВЕСТНЫМ Рассмотрим уравнение Z 2 = a , где a – заданное действительное число, Z – неизвестное. Это уравнение: 1. имеет один корень, если a = 0. 2. имеет два действительных корня Z1,2 = , если a > 0. 3. не имеет действительных корней, если a < 0. Но имеет два комплексных корня. Запишем число a в виде a = (– 1)(– a ) = i 2 = i 2 ( ) 2 . Тогда уравнение Z 2 = a запишется в виде: Z 2 – i 2 ( ) 2 = 0

Слайд 17

КВАДРАТНОЕ УРАВНЕНИЕ С КОМПЛЕКСНЫМ НЕИЗВЕСТНЫМ Следовательно, уравнение имеет два корня: Z1,2 = i Вообще, если a < 0, то определяется формулой = i Пример: Z 2 – 6·Z + 10 = 0 Д = b 2 – 4·a·c = 6 2 – 4·10 = – 4 ; – 4 = i 2 ·4 Z 1,2 = = Ответ: Z 1,2 =

Слайд 18

Пример: Z 4 – 8·Z 2 – 9 = 0 Z 2 = t t 2 – 8·t – 9 = 0 Д = b2 – 4·a·c = 64 + 36 = 100 t 1,2 = = 4 t 1 = 9 ; t 2 = – 1 Z 2 = 9 ; Z 2 = – 1 Z 1,2 = 3; Z 3,4 = (т.к. i 2 = - 1 ) Z 3,4 = i Ответ: Z 1,2 = 3 , Z 3,4 = i

Слайд 19

Литература: Ю.М. Колягин, М.В.Ткачёва, Н.Е.Фёдорова, М.И.Шабунин « Математика : алгебра и начала анализа 11» Москва: Просвещения, 2015; А.П.Савин: «Энциклопедический словарь юного математика»; В.Д. Морозова Теория функций комплексного переменного / В.Д. Морозова.- М.: Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2002. Интернет-ресурсы .