Некоторые доказательства теоремы Пифагора.

Слайд 1

Слайд 2

Доказательства Теоремы Пифагора Квадрат , построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника , равновелик сумме квадратов , построенных на его катетах

Слайд 3

Пифагор Историю жизни Пифагора трудно отделить от легенд. Ещё Геродот называл его «величайшим эллинским мудрецом ». Основными источниками по жизни и учению Пифагора являются сочинения . Родом из Тарента , где сильны были позиции пифагорейцев. Таким образом, самые ранние известные источники об учении Пифагора появились лишь 200 лет спустя после его смерти. Сам Пифагор не оставил сочинений, и все сведения о нём и его учении основываются на трудах его последователей, не всегда беспристрастных.

Слайд 4

Школа Пифагора дала Греции целую плеяду талантливых философов, физиков и математиков. С их именем связаны в математике систематическое введение доказательств в геометрию, рассмотрение ее как абстрактной науки, создание учения о подобии, доказательство теоремы, носящей имя Пифагора, построение некоторых правильных многоугольников и многогранников, а также учение о четных и нечетных, простых и составных, о фигурных и совершенных числах, арифметических, геометрических и гармонических пропорциях и средних . Для своих современников Пифагор прежде всего был религиозным пророком, воплощением высшей божественной мудрости. Одни называли его математиком, философом, другие - шарлатаном. Интересен и тот факт, что Пифагор первым и четыре раза подряд был олимпийским чемпионом по кулачному бою. Школа Пифагора

Слайд 5

Теорема Пифагора — одна из основополагающих теорем евклидовой геометрии, устанавливающая соотношение между сторонами прямоугольного треугольника. Д оказана греческим математиком Пифагором, в честь которого и названа. Теорема Пифагора В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов Читается теорема так :

Слайд 6

Формула

Слайд 7

Исследование доказательств теоремы Пифагора : Самое трудное доказательство теоремы – доказательство Евклида Самое известное доказательство – доказательство Леонардо Да Винчи Самое короткое доказательство – доказательство через подобные треугольники

Слайд 8

Доказательства теоремы На данный момент в научной литературе зафиксировано 367 доказательств данной теоремы Пусть ABC есть прямоугольный треугольник с прямым углом C. Проведём высоту из C и обозначим её основание через H. Треугольник ACH подобен треугольнику ABC по двум углам. Аналогично, треугольник CBH подобен ABC. Введя обозначения в с = а , ас = в , АВ = с получаем = ; = Далее а² = с · НВ; в² = с · АН Сложив , получаем a ²+ в² = с · (НВ + АН) = с² Или а ² + в² = с² , ЧТД Доказательство через подобные треугольники

Слайд 9

Доказательство из учебника геометрии 7-9 класс Р ассмотрим прямоугольный треугольник с катетами а, в и гипотенузой с. Докажем, что с ² =а ² + в ². Достроим треугольник до квадрата со стороной а+в так , как показано на рисунке. Площадь этого квадрата равна ( а + в)² . С другой стороны, этот квадрат составлен из четырёх равных прямоугольных треугольников, площадь каждого из которых равна ½ а·в , и квадрата со стороной с, поэтому: S=4·½ ав+с ²= 2ав+с². Таким образом:( а+в ) ² =2ав+с ², откуда: с ² =а ² + в ².Теорема доказана.

Слайд 10

Доказательство древнеиндийского математика Бхаскари Постройте прямоугольный треугольник со сторонами a, b и c (рис.1). Затем постройте два квадрата со сторонами, равными сумме длин двух катетов, – ( a+b ). В каждом из квадратов выполните построения, как на рисунках 2 и 3. В первом квадрате постройте четыре таких же треугольника, как на рисунке 1. В результате получаться два квадрата: один со стороной a, второй со стороной b. Во втором квадрате четыре треугольника образуют квадрат со стороной, равной гипотенузе c. Сумма площадей построенных квадратов на рис.2 равна площади построенного нами квадрата со стороной с на рис.3. Это легко проверить, высчитав площади квадратов на рис. 2 по формуле. А площадь вписанного квадрата на рисунке 3. путем вычитания площадей четырех равных между собой вписанных в квадрат прямоугольных треугольников из площади большого квадрата со стороной ( a+b ). Записав все это, имеем: a²+b² =( a+b )² – 4 .

Слайд 11

Внутри квадрата постройте четыре прямоугольных треугольника так, как это обозначено на чертеже. Сторону большого квадрата, она же гипотенуза, обозначим с. Катеты треугольника назовем а и b. В соответствии с чертежом сторона внутреннего квадрата это (a-b ).Используйте формулу площади квадрата S=c N , чтобы вычислить площадь внешнего квадрата. И одновременно высчитайте ту же величину, сложив площадь внутреннего квадрата и площади всех четырех прямоугольных треугольников: ( a-b)²+4·1:2 · a · b . Вы можете использовать оба варианта вычисления площади квадрата, чтобы убедиться: они дадут одинаковый результат. И это дает вам право записать, что c²=(a-b)²+4 · 1:2 · a · b . В результате решения вы получите формулу теоремы Пифагора c²=a²+b ². Теорема доказана. Древнеиндийское доказательство

Слайд 12

Главные элементы доказательства — симметрия и движение. Рассмотрим чертёж, как видно из симметрии, отрезок CI рассекает квадрат ABHJ на две одинаковые части (так как треугольники ABC и JHI равны по построению ).Пользуясь поворотом на 90 градусов против часовой стрелки вокруг точки A, мы усматриваем равенство заштрихованных фигур CAJI и DABG. Площадь заштрихованной нами фигуры равна сумме половин площадей маленьких квадратов (построенных на катетах) и площади исходного треугольника. С другой стороны, она равна половине площади большого квадрата (построенного на гипотенузе) плюс площадь исходного треугольника. Таким образом, половина суммы площадей маленьких квадратов равна половине площади большого квадрата, а следовательно сумма площадей квадратов, построенных на катетах равна площади квадрата, построенного на гипотенузе. Доказательство Леонардо Да Винчи

Слайд 13

Доказательство Евклида Доказательство Евклида приведено в предложении 47 первой книги "Начал". На гипотенузе и катетах прямоугольного треугольника АВС строятся соответствующие квадраты и доказывается, что прямоугольник BJLD равновелик квадрату ABFH, а прямоугольник JCEL - квадрату АС КG. Тогда сумма квадратов на катетах будет равна квадрату на гипотенузе. В самом деле, затушеванные на рисунке треугольники ABD и BFC равны по двум сторонам и углу между ними: FB = AB, BC = BD и Р FBC = P ABD . Но S ABD = 1/2 S BJLD , так как у треугольника ABD и прямоугольника BJLD общее основание BD и общая высота LD. Аналогично S FBC = 1/2 S ABFH (BF-общее основание, АВ - общая высота). Отсюда, учитывая, что S ABD = S FBC , имеем S BJLD = S ABFH . Аналогично, используя равенство треугольников ВСК и АСЕ, доказывается, что S JCEL = S ACKG . Итак, S ABFH + S ACKG = S BJLD + S JCEL = S BCED , что и требовалось доказать.

Слайд 14

Читается так: Теорема , обратная теореме Пифагора Если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон , то треугольник прямоугольный

Слайд 15

Итак, теорема Пифагора - одна из главных и, можно сказать, самая главная теорема геометрии. Значение ее состоит в том, что из нее или с ее помощью можно вывести большинство теорем геометрии. Теорема Пифагора замечательна и тем, что сама по себе она вовсе не очевидна. Например, свойства равнобедренного треугольника можно видеть непосредственно на чертеже. Но сколько ни смотри на прямоугольный треугольник, никак не увидишь, что между его сторонами есть простое соотношение: c² = a² + b² . Поэтому для её доказательства часто используют наглядность. Заключение