Презентация на тему "Признаки делимости"

Слайд 1

Слайд 2

Из всех действий арифметики самое своенравное - деление «Нрав» деления проявляется не только по отношению к нулю Деление также не всегда выполнимо в области целых чисел Все эти особенности деления и способствовали возникновению таких понятий, как простые числа, НОД, НОК, признаки делимости чисел Постепенное развитие теории делимости чисел привело к глубокому расширению всей теории чисел

Слайд 3

Алгебра весьма облегчает отыскание признаков, по которым можно заранее, не выполняя деления, установить, делится ли данное число на тот или иной делитель . В школьной программе дети изучают признаки делимости на: 2 3 4 5 6 9 10 Но не изучают признаки делимости на: 7 11 13 последняя цифра делится на 2 сумма цифр делится на 3 число из двух последних цифр делится на 4 последняя цифра делится на 5 делится на 2 и на 3 сумма цифр делится на 9 последняя цифра — 0

Слайд 4

Семь раз отмерь, один раз отрежь. Семь бед, один ответ. Семь пятниц на неделе. Один с сошкой, а семеро с ложкой. У семи нянек дитя без глазу. Было у тещеньки семеро зятьев... Почему-то число 7 очень полюбилось народу и вошло в его историю? Число 7 богато не только поговорками, но и разнообразными признаками делимости 7

Слайд 5

13 7 11 Объединенный признак делимости на 7, 11 и 13 В таблице простых чисел числа 7, 11 и 13 расположены рядом. Их произведение равно: 7 * 11 * 13 = 1001 = 1000+1 Если трёхзначное число умножить на 1001, то произведение запишется такими же цифрами, как и множимое, только повторенными два раза Значит, все числа вида abcabc делятся на 7, 11 и 13. В частности , делится на 7, 11 и 13 число 999999, или, иначе, 1000000 - 1

Слайд 6

Требуется, допустим, определить, делится ли число 42623295 на 7,11 и 13. Разобьем данное число справа налево на грани по 3 цифры. Представим теперь данное число в таком виде: 42 623 295=295+628 *1000 + 42 * 1000000=295 + 623 (1000 + 1 – 1)+ 42 (1000000 – 1 + 1) = (295 – 623 + 42) + [623 (1000 + 1) + 42 * (1000000 – 1)] Число в квадратной скобке обязательно делится и на 7, и на 11, и на 13. Значит, делимость испытуемого числа полностью определяется делимостью числа, заключённого в первой скобке 42623295

Слайд 7

Если разность сумм граней данного числа, взятых через одну, делится на 7 или на 11, или на 13, то и данное делится соответственно на 7, или на 11, или на 13 42623295 Вернёмся к числу Определим на какое из чисел 7, 11 или 13 делится разность сумм граней данного числа: (295 + 42) - 623 = - 286 Число 286 делится на 11 и на 13, а на 7 оно не делится. Следовательно, число 42 623 295 делится на 11 и на 13, но на 7 не делится

Слайд 8

Первый признак делимости на 7 Число делится на 7 тогда и только тогда, когда результат вычитания удвоенной последней цифры из этого числа без последней цифры делится на 7 Доказательство: Запишем проверяемое число в виде 10х+у, где х - некоторое натуральное число, не обязательно однозначное, а у - цифра Надо доказать, что если х-2у делится на 7, то и 10х+у делится на 7 х – 2у=7а х=7а + 2у 10х=70а + 20у= 70а + 21у-у=7(10а + 3у) – у, значит 10х + у=7(10а+3у)

Слайд 9

Примеры Проверить делимость числа 11886 на 7 1188 – 6*2=1176 117 – 6*2 = 105 10 – 5*2 = 0 0 делится на 7, значит и 11886 делится на 7 Проверить делимость числа 7184 на 7 718 – 4*2 = 710 710 не делится на 7, значит 7184 не делится на 7 11886 7184

Слайд 10

В доказательстве некоторых признаков делимости на 7 активно принимает участие Теория вычетов Два натуральных числа a и b , разность которых кратна натуральному числу m, называются сравнимыми по модулю m : a ≡ b (mod m ) Так, 3 ≡ 1 (mod 2), 7 ≡ 1 (mod 3). Два числа сравнимы по модулю 2, если они оба четны, либо если они оба нечетны. По модулю 1 все целые числа сравнимы между собой. В том случае, если число n делится на m , то оно сравнимо с нулем по модулю m : n ≡ 0 (mod m ).

Слайд 11

Второй признак делимости на 7 Возьмем для испытания число 7 5236 Запишем его следующим образом : Заменим всюду основание 10 на основание 3: Если получившееся число делится (не делится) на 7, то и данное число делится (не делится) на 7 168 делится на 7, значит и 5236 делится на 7

Слайд 12

Для доказательства этого признака используем теорию вычетов. Рассмотрим шестизначное число: Третий признак делимости на 7 Имеем:

Слайд 13

Так как , дальше всё будет повто- ряться. В результате мы получаем следующие две строки чисел, причем под каждой степенью десятки подписано число, сравнимое с ней по модулю 7: ... 3 1 -2 -3 -1 2 3 1 -2 -3 -1 2 3 1 Отсюда получаем:

Слайд 14

В результате получаем следующее правило: Чтобы узнать остаток от деления натурального числа на 7, нужно справа налево подписать под цифрами этого числа коэффициенты: затем умножить каждую цифру на стоящий под ней коэф­фициент и полученные произведения сложить: найденная сумма будет иметь тот же остаток от деления на 7, что и взятое число ...,-1,2,3, 1,-2, -3, -1,2, 3, 1,...

Слайд 15