Диофант и диофантовы уравнения
решение различных видов уравнений в целых числах
Скачать:
| Вложение | Размер |
|---|---|
 diofantovy_uravneniya.pptx | 212.43 КБ |
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Содержание: Введение I .Однородные уравнения II. Общие линейные уравнения III .Решение диофантовых уравнений способом перебора вариантов IV .Решение диофантовых уравнений с использованием алгоритма Евклида V .Решение диофантовых уравнений с использованием цепной дроби VI .Метод рассеивания (измельчения) в решении диофантовых уравнений VII .Решение диофантовых уравнений разными способами VIII . Диофантовы уравнения и великие теоремы IX .Решение неопределенных уравнений степени выше первой. Заключение Список использованной литературы
Введение Биографических данных о древнегреческом ученом-математике Диофанте из Александрии практически не сохранилось. До наших времен дошла лишь часть математического трактата Диофанта "Арифметика", 6 книг из 13, а также отрывки книги о многоугольных числах. В "Арифметике", Диофант излагал начала алгебры, привел множество задач, сводящихся к неопределенным уравнениям различных степеней, и отметил методы нахождения решений таких уравнений в рациональных положительных числах. Сочинения Диофанта были отправной точкой для теоретико-числовых исследований П. Ферма, Л. Эйлера, К. Гаусса и других математиков. Именем Диофанта названы два больших раздела теории чисел - теория диофантовых уравнений и теория диофантовых приближений.
Диофантовы уравнения Алгебраические уравнения с целыми коэффициентами,вида ах + by = с. (1) решаемые во множестве целых (реже рациональных) чисел, вошли в историю математики как диофантовы . Наиболее интересными являются неопределенные уравнения или их системы, т. е. такие, в которых количество переменных больше числа уравнений. Наиболее изучены диофантовы уравнения 1 и 2 степени. В данную работу включены задачи, которые сводятся к решению уравнения первой степени с двумя неизвестными
I. Однородные уравнения При с = 0 уравнение (1) имеет вид ах + b у = 0 и называется однородным диофантовым уравнением. Пример. 2х + 3у = 0 2х = -3у Левая часть равенства делится на 2, а правая – на 3. Числа 2 и 3 взаимно просты. Поэтому у = 2 n, x = -3n , где В общем виде решением уравнения ах + b у = 0 является пара (- b n, an) Общим решением диофантова уравнения 2х + 3у = 1 является х = 5 – 3 n, y = -3 + 2n,
Теорема 1 . Если числа а и b — взаимно простые, то уравнение ах + by = 0 имеет бесконечно много решений в целых числах , которые находятся во взаимно однозначном соответствии с множеством целых чисел Z (то есть могут быть занумерованы целыми числами) и описываются формулой : х п = bn , y n = - an , где « номер» решения.
Эта теорема часто встречается при решении разнообразных задач на целые числа, и в качестве простого примера применения теоремы 1 рассмотрим следующую задачу.
II. Общие линейные уравнения Рассмотрим диофантовы уравнения вида ах + by = с. Прежде всего отметим, что, вообще говоря, такое уравнение может и не иметь целочисленных решений. Действительно, допустим, что уравнение ах + by = с имеет решение. Если коэффициенты а и b имеют общий делитель d > 1, то число ах + by , которое стоит в левой части, можно без остатка разделить на d . Поэтому и правую часть уравнения, то есть свободный член с, можно без остатка разделить на d . Иначе говоря, справедлива следующая теорема.
Теорема 2 Если наибольший общий делитель d коэффициентов а и b больше 1, а свободный член с не делится на d , то уравнение ах + by = с не имеет решений в целых числах.
Доказательство: Действительно, допустим, что уравнение ах + by = с имеет решение. Если коэффициенты а и b имеют общий делитель d > 1, то число ах + by , которое стоит в левой части, можно без остатка разделить на d . Поэтому и правую часть уравнения, то есть свободный член с, можно без остатка разделить на d . Это простое утверждение часто используется, например, для доказательства иррациональности чисел, записанных с помощью радикалов.
Задача 2. Доказать, что число не является рациональным числом. Решение . Допустим, что — число рациональное. Тогда существуют натуральные m, п такие, что Избавляясь от радикала и дроби, получим: 2n 3 = m 3 ( 1 ) Разложим числа m и n на простые множители m = 2 х •... n = 2 y •... где х , у — неотрицательные целые числа Тогда равенство ( 1 ) примет вид: 2 3y + 1 •... = 2 3х •... В силу единственности разложения натурального числа на простые множители Зу + 1 = 3x 3( х - у) = 1. Последнее уравнение является линейным диофантовым уравнением вида ах + Ьу = с, причем коэффициенты а = 3, b = -3 делятся на 3, в то время как свободный член с = 1 — нет. Значит, это уравнение не имеет целочисленных решений, что означает ложность исходного предположения о рациональности числа .
Теорема 3. Любое уравнение ах + by = с, где НОД(а; b ) = 1, имеет хотя бы одно решение в целых числах. Уравнение ах + by = с имеет решение тогда и только тогда, когда число с входит в область значений М функции f ( x ; у) = ах + by от двух целочисленных аргументов х , у. Поэтому наша теорема фактически утверждает, что М = Z. Именно этот факт мы и будем доказывать. Прежде всего отметим, что множество М содержит бесконечно много чисел, например, 0= f (0; 0), а = f (1; 0), -а = f (-1; 0), а + b = f (1; 1) и т.д. Поскольку f (- x ; -у) = - f ( x ; у), это множество имеет вид : {..., -и 2 , -п 1, 0, n 1 , n 2 ,...}, где n 1 < n 2 < ... — натуральные числа. Рассмотрим наименьшее n 1 >0 из М, то есть n 1 и докажем, что n 1 = 1 . Для этого разделим число |а| на n 1 с остатком, то есть найдем такие целые числа q (неполное частное) и r (остаток), что |а| = n 1 q + r , причем 0 r п . Поскольку число n 1 принадлежит множеству М, для некоторых целых х 0 и у 0 верно равенство n ] = ах 0 + bу 0 . Кроме того , | а | = sgn ( a ) • а , где sgn (а) = +1, если а > О, и sgn (а) = -1, если а < 0. Тогда г = | а | - n 1 g = sgn (а) • а - (ах 0 + by 0 ) - q = ax + by , где x: = sgn (а) - x 0 q, у = -y 0 q — некоторые целые числа. Поэтому неотрицательное целое число г также принадлежит множеству М. Если бы число г было положительным, то условие 0 < r < n , которому удовлетворяет г как остаток от деления на n 1 , означало бы, что в множестве М есть положительное число, меньшее, чем n 1 чего быть не может. Значит, r = 0, то есть | а| делится без остатка на n 1 . Аналогичные рассуждения показывают, что и b делится без остатка на n 1 . Следовательно, n 1 — общий делитель чисел а и b , a поскольку эти числа взаимно простые, число n 1 равно 1. Функция f ( x ; y ) = ax + by обладает свойством: f ( kx ; ky ) = k • f ( x ; у). Поэтому если некоторое число с М, то и число kc M. Как мы установили, 1 М. Значит, и любое целое число k входит в М, то есть М = Z. Это и означает справедливость нашей теоремы.
Задача №3 Решить уравнение 2х - bу =1. Решение: Выпишем ряды чисел, кратных коэффициентам а = 2 и b = -5 : Из этой таблицы ясно, что второе число из первой строки (то есть -4), которое соответствует х = -2, и третье число из второй строки (то есть 5), которое соответствует у = -1, и дают в сумме 1. Таким образом, уравнение 2х- bу = 1 имеет частное решение х 0 = -2, у 0 = -1. Конечно, эту пару можно найти и проще, просто подставляя в исходное уравнение в уме небольшие числа с тем, чтобы получить верное равенство. Для несложных уравнений обычно поступают именно так.
Задача №4. Фирма продавала чай в центре города по 7 руб., а кофе по 10 руб. за стакан; на вокзале — по 4 руб. и 9 руб. соответственно. Всего было продано за час 20 стаканов чая и 20 стаканов кофе, при этом выручка в центре и на вокзале оказалась одинаковой. Сколько стаканов кофе было продано в центре? Решение: Пусть n и m соответственно — количество стаканов чая и кофе, проданных в центре города. Тогда количество стаканов чая и кофе, проданных на вокзале, будет равно (20 – n ) и (20 - m ) соответственно. По смыслу задачи переменные n и m — неотрицательные целые числа, не превосходящие 20. Общая выручка в центре равна 7n + 10m руб., а на вокзале равна 4(20 — n ) + 9(20 — m ) руб. По условию задачи эти величины равны: 7n + 10m = 4(20 - n ) + 9(20 - т) 11n + 19m = 260. Решим полученное уравнение 11n + 19m = 260: Найдем частное решение; им будет, например, n 0 = 15, m 0 = 5. Вычитая из равенства 11n + 19m = 260равенство 11 • 15 +19 • 5 = 260, мы получим однородное уравнение: 11( n - 15) = 19(5 - m ). Общее решение этого уравнения в целых числах имеет вид: n-15=19k, 5-m=11k, где k -целое число. Соответственно, общее решение исходного уравнения в целых числах имеет вид: n = 15 + 19k, т = 5 – 11k, где k целое число. Поскольку n , m ≥ 0, параметр k может быть равен только нулю. Поэтому найденное частное решение будет единственным решением исходного уравнения в неотрицательных целых числах: n = 15, т = 5. Так как это решение, кроме того, удовлетворяет условию n , m ≤ 20, найденное значение m = 5 и будет ответом задачи. Ответ: 5 стаканов.
III .Решение диофантовых уравнений способом перебора вариантов Задача №5: Андрей работает летом в кафе. За каждый час ему платят 10 р. И высчитывают 2 р. за каждую разбитую тарелку. На прошедшей неделе он заработал 180 р. Определите, сколько часов он работал и сколько разбил тарелок, если известно, что он работает не более 3 ч в день.
Решение: Пусть x часов он всего работал в неделю, тогда 10х р. ему заплатили, но он разбил у тарелок, и с него вычли 2у р. Имеем уравнение 10х – 2у =180, причем x меньше или равен 21. Получим: 5х-у=90, 5х=90+у, х=18+у:5. Так как x целое число, то у должно нацело делится на 5, чтобы в правой части получилось целое число. Возможны четыре случаи: у=0, х=18, т. е. решением является пара – (18, 0); у=5, х=19, т. е. решением является пара (19, 5); у=10, х=20, т. е. решением является пара (20, 10); у=15, х=21, т. е. решением является пара (21, 15).
Задача №6 Из двухрублевых и пятирублевых монет составлена сумма в 23 рубля. Сколько среди этих монет двухрублевых?
РЕШЕНИЕ: Пусть x – количество двухрублевых монет, у – количество пятирублевых монет. Составим и решим уравнение: 2х+5у=23; 2х=23–5у; x = (23 – 5у):2; x =(22+1 – 5у):2, почленно поделим 22 на 2 и (1 – 5у) на 2, получим: x = 11 + (1 – 5у):2. Так как x и y натуральные числа по условию задачи, то левая часть уравнения есть натуральное число, значит, и правая часть должна быть натуральным числом. К тому же, чтобы получить в правой части число натуральное, нужно чтобы выражение (1 – 5у) нацело делилось на 2. Осуществим перебор вариантов. y =1, х=9, то есть двухрублевых монет может быть 9; у=2, при этом выражение (1 – 5у) не делится нацело на 2; у=3, х=4, то есть двухрублевых монет может быть 4; при у больше или равном 4 значение x не является числом натуральным. Таким образом, ответ в задаче следующий: среди монет 9 или 4 двухрублевых.
IV .Решение диофантовых уравнений с использованием алгоритма Евклида Применение алгоритма Евклида для нахождения наибольшего общего делителя двух чисел Существует довольно простой прием, позволяющий находить наибольший делитель двух натуральных чисел. Этот прием называется алгоритмом Евклида. Чтобы найти наибольший общий делитель двух чисел: 1) надо большее из двух чисел разделить на меньшее; 2) потом меньшее из чисел на остаток при первом делении; 3) затем остаток при первом делении на остаток при втором делении и вести этот процесс до тех пор, пока не произойдет деление без остатка. Последний отличный от нуля остаток и есть искомый НОД двух данных чисел
2. Вывод формул для решения диофантовых уравнений с использованием алгоритма Евклида. Перейдем теперь к решению линейного уравнения с двумя неизвестными: ax + by = c (1) Возможны два случая: либо число c делится на d = НОД( a , b ), либо нет. В первом случае можно разделить обе части уравнения на d и свести задачу к решению в целых числах уравнения a 1 x + b 1 y = c 1, коэффициенты которого взаимно просты. Во втором случае уравнение не имеет целочисленных решений: при любых целых x и y число ax + by делиться на d и поэтому не может равняться числу c , которое на d не делится. Итак, мы можем ограничиться случаем, когда в уравнении (1) коэффициенты a и b взаимно просты. На основании предыдущего предложения найдутся такие целые числа , удовлетворяет уравнению (1). Вместе с ней уравнению (1) удовлетворяет бесконечное множество пар ( x , у) целых чисел, которые можно найти по формулам x = cx 0 + bt , y = cy 0 – at. (2) Здесь t – любое целое число. Нетрудно показать, что других целочисленных решений уравнение ах + by = c не имеет. Решение, записанное в виде (2), называется общим решением уравнения (1). Подставив вместо t конкретное целое число, получим его частное решение.
3. Примеры решения диофантовых уравнений с использованием алгоритма Евклида . Задача №9 . Решить уравнение на множестве целых чисел 7х+11у=69
Решение: НОД(7;11)=1, Найдем значение х 0 и у 0 для получения решений уравнения. Применим алгоритм Евклида к числам 11 и 7: Таким образом, получаем: , следовательно х 0 = –3, у 0 =2 Запишем общее решение уравнения на множестве целых чисел: Придавая конкретные целые значения t , можно получить частные решения уравнения. Например, при t =1, имеем x = –196, у=131.
V .Решение диофантовых уравнений с использованием цепной дроби Обратимся вновь к алгоритму Евклида, на основании которого дробь можно записать в виде суммы целой части и правильной дроби: Из второго равенства той же системы имеем: Значит, Продолжим этот процесс до тех пор, пока не придём к знаменателю q п В результате мы представим обыкновенную дробь виде цепной дроби: Ввиду громоздкости развёрнутой записи цепной дроби применяют компактную запись = [q 0 ; q 1 , q 2 , …, q п ].
Задача №13. Представить рациональное число в виде цепной дроби . Решение :
Формулы для решения диофантовых уравнений с использованием цепной дроби Вернемся к уравнению: ax + by = c (1). Напомним, что в нем a и b взаимно просты. Решение этого уравнения «способом цепной дроби» завершается применением готовых формул, представляющих общее решение данного уравнения: (5)
Задача №14. Решить уравнение 44х+13у=5. Решение: Так как , то n =4. Составим «подходящие дроби» Найдем P 3 и Q 3 используя формулы P 3 =10+7=17, Q 3 =3+2=5. Все готово к применению формул (5). Общее решение уравнения будет иметь вид: х=-25+13 t , y =85-44 t , где t – целое число.
VI .Метод рассеивания (измельчения) в решении диофантовых уравнений Способ рассеивания (размельчения) впервые применил в начале VI в. индийский математик Ариабхатта . Метод заключается в сведении данного уравнения к последовательности других уравнений с убывающими по абсолютной величине коэффициентами перед неизвестными.
Задача №17. Найти два числа, если разность произведений первого на 19 и второго на 8 равна 13. Решение: Требуется решить уравнение 19х — 8у = 13 Перепишем его иначе: 8 y =19 x –13; 8 y =16 x +3 x –13; у = 2х + и обозначим y 1 = у — 2х. В результате уравнение примет вид 8у 1 = З x — 13 или x = 2 y 1 . Если вновь произвести замену х 1 = x — 2у 1 , то придем к уравнению 3 x l — 2у 1 = 13. Заметим, что коэффициенты при неизвестных уменьшились — измельчились. Продолжим дальнейшее их уменьшение: так как y 1 = x l + , то положим у 2 =у 1 –х 1 . В результате последнее уравнение преобразуется к виду х 1 — 2у 2 : = 13. Здесь коэффициент при х 1 , равен 1, а поэтому при любом целом у 2 = t число х 1 тоже целое. Остается выразить исходные переменные через t : вначале выразим х 1 =2 t +13, y 1 = 3 t +13; а затем x = 8 t +39, y = 19 t + 91. Итак, получаем бесконечную последовательность (39 + 8 t , 91 + 19 t ) целочисленных решений . Нетрудно заметить, что методы цепных дробей и рассеивания являются лишь другой формой применения алгоритма Евклида
4. Метод «бесконечного спуска» Для доказательства многочисленных теорем, которые Ферма сформулировал в теории чисел, он ввел метод бесконечного спуска. В чем же заключается этот метод? К примеру, надо доказать, что какое – то уравнение не имеет натуральных решений. И пусть из предположения, что у данного уравнения все же есть решение в натуральных числах, можно вывести, что у него есть еще меньшее, тоже натуральное решение. Тогда из существования этого меньшего решения делается вывод о существовании еще меньшего решения и т. д. Но так как натуральные числа не могут неограниченно уменьшаться, то сделанное предположение неверно и решения данного уравнения в натуральных числах не существует. Решение уравнений методом бесконечного спуска проходит по алгоритму : предположив, что уравнение имеет решения, мы строим некоторый бесконечный процесс, в то время как по самому смыслу задачи этот процесс должен чем – то кончаться. Часто метод бесконечного спуска принимается в более простой форме. Предположив, что мы уже добрались до естественного конца, видим, что «остановиться» не можем.
Решить способом измельчения в целых числах уравнение 5x + 8y = 39. Решение: Выберем неизвестное, имеющее наименьший коэффициент, и выразим его через другое неизвестное: x = (39 – 8y):5. Выделим целую часть: x = 7 – y + (4 – 3y):5. Все число будет целым, если целым окажется значение (4 – 3y):5. Это возможно тогда, когда число (4 – 3y) без остатка делится на 5. Вводя дополнительную целочисленную переменную z , последнее уравнение запишем в виде: 4 –3 y = 5z. Мы пришли к уравнению такого же типа, как и исходное уравнение, но уже с меньшими коэффициентами. Решать его уже нужно относительно переменных y и z .
y = (4 – 5z ): 3 = 1- z + (1 – 2z) : 3 Аналогично рассуждая, запишем (1-2z) через новую целочисленную переменную и: 1–2z=3u z = (1–3u) : 2=(1– u ) : 2 – u ;1 – u=2 v u =1 –2v - дробей больше нет, спуск закончен. Теперь необходимо «подняться вверх». Выразим через переменную v сначала z , потом y и затем x . z =(1 – u ) : 2 –u =(1 – 1+2v) : 2 – 1+2v=3v-1, z =3v-1 . y= (4–5z):3 = (4 -5(3v -1)):3=3-5v, y=3-5v . x= (39–8y):5=(39–8(3–5v)):5=3+8v, x=3+8v . Формулы x=3+8v, y=3-5v представляют общее решение исходного уравнения в целых числах. Если необходимо получить только натуральные числа, то среди всех целых решений нужно выбрать такие, для которых x >0, y >0, то есть 3+8v>0, 3-5v>0. Совместно эти неравенства могут выполняться лишь при v=0. В этом случае x=3, y=3. Ответ: (3;3).
VIII . Диофантовы уравнения и великие теоремы 1. Теорема Пифагора и диофантовы уравнения Необходимо подчеркнуть, что сама теорема Пифагора представляет собой не что иное, как диофантово уравнение второй степени, обратить внимание на способы отыскания натуральных решений уравнения x 2 + y 2 = z 2 , так называемых «пифагоровых троек», известных еще в древности. Далее введем понятие пифагоровых треугольников (треугольники, у которых стороны выражаются натуральными числами), Пифагоровы тройки. Приведем еще одну частную задачу на неопределенные уравнения – теперь уже второй степени. Задача появилась примерно за две тысячи лет до Диофанта в Древнем Египте (известно, что Диофант хорошо ее знал и часто использовал): Если стороны треугольника пропорциональны числам 3, 4 и 5, то этот треугольник – прямоугольный.
Один из путей решения уравнения в целых числах оказался довольно простым. Запишем подряд квадраты натуральных чисел ( «квадратные числа», как говорили древние), отделив их друг от друга запятой. Под каждой запятой запишем разность между последовательными квадратами: 1, 4, 9, 16 , 25 , 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144 , 169 , 196… . 3, 5, 7, 9 , 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27… . В нижней строке также есть квадратные числа. Первое из них 9=3², над ним 16= 4²и 25= 5², знакомая нам тройка 3, 4, 5. Следующее квадратное число в нижней строке 25, ему соответствуют 144 и 169, отсюда находим вторую известную нам тройку 5, 12, 13.Если продолжить строку квадратных чисел и подсчитать соответствующие разности, то во второй строке найдем 49= 7², этому числу отвечают в строке квадратов 576= 24² и 625= 25². Это уже третья тройка. Она была известна еще в Древнем Египте. Теперь мы имеем право сформулировать такую теорему: Каждое нечетное число есть разность двух последовательных квадратов. Составлять такие строки – довольно трудоемкое занятие. По формулам находить такие тройки чисел и проще и быстрее. Эти формулы – правила были известны уже две с половиной тысячи лет назад. Проверим, что, если х – нечетное число, то .
Проверим также, что в этом случае равенство выполняется, т. е. числа, найденные по такому правилу, всегда будут составлять решение интересующего нас неопределенного уравнения. Это уравнение будем называть «уравнением Пифагора», а его решения – «пифагоровыми тройками». По этому правилу можно получить уже известные нам тройки: если x=3 , то , получилась первая пифагорова тройка; если x=5 , то - вторая пифагорова тройка; если x=7,то - третья пифагорова тройка. Других мы пока не знаем, но следующее за 7 нечетное число 9, тогда y=40 и z=41. Проверим наши вычисления: 9²+40²=41². Следующим шагом было установление правила вычисления всех, а не только некоторых пифагоровых троек. Перепишем уравнение Пифагора следующим образом: x²=z²-y ² Это означает, что число x должно разлагаться на два неравных множителя ( z+y ) и ( z-y ), которые мы обозначим так, что получится такая система: (при этом надо иметь в виду, что a ). Из этого следует, что наименьшим значением числа b может быть только единица, тогда наименьшим значением a будет 2. Вычислим x , y , z . Получается z=5, y=3, x=4, это уже известный нам «египетский треугольник». ».
2.Великая теорема Ферма. Около 1630 года перевод «Арифметики» попал в руки выдающемуся французскому математику Пьеру Ферма. Бессмертный труд Диофанта вдохновил Ферма на очень тонкие и глубинные теоретико-числовые исследования. В частности, идя по стопам Диофанта, Ферма доказал, что натуральное число a , тогда и только тогда, представимо в виде суммы двух квадратов ( x 2 + y 2 ) с целыми x и y , когда все простые делители a , дающие при делении на 4 остаток 3 , входят в число а в четной степени. Он также нашел формулу для количества различных пар ( x ; y ) таких чисел. Именно сочинение Диофанта, дало повод Пьеру Ферма записать на полях перевода одно из самых достопримечательных замечаний в истории математики, которое мы называем Великой теоремой Ферма. На полях этой книги, против того места, где идёт речь о решении уравнения вида x 2 + y 2 = z 2 , Ферма написал: «Между тем, совершенно невозможно разложить полный куб на сумму кубов, четвёртую степень – на сумму четвёртых степеней, вообще какую-нибудь степень – на сумму степеней с тем же показателем. Я нашёл поистине удивительное доказательство этого предположения, но здесь слишком мало места, чтобы его поместить». Это положение Ферма теперь формулируется как теорема в следующем виде: «Уравнение x n + y n = z n не может быть решено в натуральных числах относительно x , y и z при натуральных значениях показателя n , больших 2» (общеизвестно, что при n =2 такие числа существуют, например, 3, 4, 5 – числа, которые, если являются длинами сторон, образуют знаменитый треугольник Пифагора). Несмотря на столь простую формулировку, доказательство этой теоремы долго не поддавалось усиленному натиску ученых. Доказательство этого утверждения математики искали более 350 лет.
Заключение Именно благодаря методам Диофанта были разгаданы методы самого Архимеда. И если история интеграционных методов Архимеда в основном завершается созданием интегрального и дифференциального исчисления Ньютоном и Лейбницем, то история методов Диофанта растягивается еще на несколько сотен лет, переплетаясь с развитием теории алгебраических функций и алгебраической геометрии. Развитие идей Диофанта можно проследить вплоть до работ Анри Пуанкаре и Андре Вейля. Раздел математики, занимающийся решением диофантовых уравнений, называется « диофантовым анализом», и он, в свою очередь, является частью интересного раздела современной математики – теории чисел. В теории чисел созданы специальные методы решения диофантовых (их ещё называют неопределёнными) уравнений. Задача решения уравнений третьей степени с двумя неизвестными до сих пор не нашла полного решения. Отдельные типы таких уравнений, как и другие задачи неопределённого анализа, решили советские учёные Б.Н.Делоне, А. О. Гельфонд и др. Вообще же алгоритм, с помощью которого можно определить, имеет ли произвольное диофантово уравнение целочисленные решения, не найден и даже пока неизвестно, существует ли такой алгоритм. \ Именно Диофант открыл нам мир арифметики и алгебры. Поэтому история диофантова анализа показалась мне особенно интересной. Я хотел бы продолжить работу над этой темой, расширить свои познания в решении неопределённых уравнений степени.
Список использованной литературы: Варпаховский Ф.П., Колмогоров А.Н. О решении десятой проблемы Гильберта. Кордемский , Б. А. Этому виду задач более 1600 лет Крафт , Х. Алгебраические кривые и диофантовы уравнения Х. Крафт / Живые числа: сборник статей. Перельман, Я.И. Занимательная алгебра Фоминых, Ю.Ф. Диофантовы уравнения
Агния Барто. Сережа учит уроки
Гораздо больше риска в приобретении знаний, чем в покупке съестного
Можно от Солнца уйти...
Нора Аргунова. Щенята
Городецкая роспись