Вписанные и описанные окружности

Слайд 2

Вписанная окружность О вписанной окружности Теорема Доказательство теоремы Замечания Свойства Описанная окружность О описанной окружности Теорема Доказательство теоремы Замечания Свойства Автор

Слайд 3

Если все стороны многоугольника касаются окружности, то окружность называется вписанной в многоугольник, а многоугольник – описанным около этой окружности.

Слайд 4

В любой треугольник можно вписать окружность.

Слайд 5

о А В С

Слайд 6

Отметим, что в треугольник можно вписать только одну окружность. Допустим, что в треугольник можно вписать две окружности. Тогда центр каждой окружности равноудален от сторон треугольника и, значит, совпадает с точкой О пересечения биссектрис треугольника, а радиус равен расстоянию от точки О до сторон треугольника. Следовательно, эти окружности совпадают . о

Слайд 7

В отличие от треугольника не во всякий четырехугольник можно вписать окружность. Рассмотрим прямоугольник, у которого смежные стороны не равны. Ясно, что в такой треугольник можно «поместить» окружность, касающуюся трех его сторон, но нельзя «поместить» ее так, что бы она касалась всех 4 сторон.

Слайд 8

В любом описанном четырехугольнике суммы противоположных сторон равны. Верно и обратное утверждение: Если суммы противоположных сторон выпуклого четырехугольника равны, то в него можно вписать окружность.

Слайд 9

Если все вершины многоугольника лежат на окружности, то окружность называется описанной около многоугольника, а многоугольник – вписанным в эту окружность.

Слайд 10

Около любого треугольника можно описать окружность.

Слайд 11

Доказательство. Точка пересечения серединных перпендикуляров треугольника является центром окружности, описанной около этого треугольника. Так как данный треугольник — равнобедренный, то по теореме о медиане равнобедренного треугольника медиана, биссектриса и высота треугольника, проведенные к основанию, совпадают. Значит, высота совпадает с серединным перпендикуляром, проведенным к основанию треугольника. Следовательно, центр окружности, описанной около равнобедренного треугольника, лежит на медиане, проведенной к основанию. о

Слайд 12

Отметим, что около треугольника можно описать только одну окружность. Допустим, что около треугольника можно описать две окружности. Тогда центр каждой из них равноудален от его вершин, и поэтому совпадает с точкой О пересечения середины перпендикуляров к сторонам треугольника, а радиус равен расстоянию от точки О до вершин треугольника. Следовательно, эти окружности совпадают. о

Слайд 13

В отличие от треугольника около четырехугольника не всегда можно описать окружность. Нельзя описать окружность около ромба, не являющегося квадратом. (Т.к. Не все вершины ромба будут касаться окружности.)

Слайд 14

Если же около четырехугольника можно описать окружность, то его углы обладают следующим замечательным свойством: В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна 180⁰. C B D A + =180˚

Слайд 15

А = 0,5 BCD, C = 0,5 BAD, откуда следует А + C = 0,5*( BCD + BAD) = 0,5*360˚=180˚ C B D A

Слайд 16

Верно и обратное: Если сумма противоположных углов четырехугольника равна 180⁰, то около него можно описать окружность.