Исследование различных способов решения задач С2 единого государственного экзамена

 1. Введение

Актуальность:        

        Задания С2 Единого государственного экзамена представляет стереометрическую задачу на определение расстояний или углов в пространстве между объектами, связанными с некоторыми многогранником.

        По статистике представленной на сайте Федерального института педагогических измерений к заданию С2 приступило 15% учащихся, из них только 2,2% получили 2 балла и 2,4% получили 1 балл.^[1]         По статистике лишь 0,5% учащихся с базовым изучением математических наук выполняют данное задание.

        Мы провели опрос учеников 11 класса. В опросе принимало участие 18 человек. Только 4 человека приступают к решению стереометрической задачи.

        Мы провели опрос учителей математики и выявили основные проблемы, которые возникают у учащихся при решении задач С2: плохо развито пространственное воображение; неумение строить линейные углы и проекции; ошибки в определении вида треугольника; вычислительные ошибки; непонимание нахождения угла между прямой и плоскостью; неточное представление о расположении перпендикуляра при нахождении расстояния от точки до прямой.

        Всё отмеченное указывает на то, что учащиеся испытывают большие трудности при решении стереометрических задач. В отличие от планиметрии в стереометрии они не могут опереться на наглядность.

        Я учусь в социально-гуманитарном классе и имею отметку 5 по математике. Мне хотелось бы набрать хорошие баллы по математике на ЕГЭ. Поэтому мы с моим учителем решили проанализировать методы решения задач С2 и нами была выдвинута гипотеза: координатный метод решения задач рациональнее поэтапно-вычислительного.

Цель работы: выявить наиболее рациональный способ  решения задач С2 единого государственного экзамена.

Для достижения поставленной цели решались следующие задачи:

1. Изучить теоретический материал по  данной теме.
2. Выяснить какие типы задач С2 давались на экзаменах в прошлые годы, какими методами предполагалось их решать, какими были требования к оформлению.
3. Сравнить поэтапно-вычислительный и координатный метод решения задач.
4. Анализ проделанной работы и выявление дальнейших путей развития данной темы.
5. Создание буклета "Помощь для решения задач С2".

Объект исследования: задачи С2 единого государственного экзамена.

Предмет исследования: различные способы решения задач С2 единого государственного экзамена.

2. Основная часть

2.1. Теоретическая часть

• Угол между двумя прямыми

Углом между скрещивающимися прямыми называется угол между пересекающимися прямыми, соответственно параллельными данным скрещивающимися.

При нахождении угла между прямыми в прямоугольной декартовой системе координат используют формулу:

• Угол между прямой и плоскостью

Углом между прямой  и плоскостью, пересекающей эту прямую и не перпендикулярной к ней, называется угол между прямой и её проекцией на плоскость.^[2]

• Угол  между плоскостями

Величиной угла между плоскостями называется величина меньшего двугранного угла. Величина двугранного угла измеряется величиной соответствующего линейного угла.

Определение. Нормальным вектором плоскости (или нормалью плоскости) называют вектор, перпендикулярный данной плоскости. 

• Расстояние от точки до прямой

Расстояние от точки до прямой, не содержащей эту точку, есть длина перпендикуляра, проведенного из этой точки на прямую.

• Расстояние от точки до плоскости

Расстояние от точки до плоскости, не содержащей эту точку, есть длина перпендикуляра, проведенного из этой точки на данную плоскость.

• Расстояние между скрещивающимися прямыми

        Расстояние между одной из скрещивающихся прямых и плоскостью, проходящей через другую прямую параллельно первой, называется расстоянием между скрещивающимися прямыми.

        Задачу данного вида можно свести к задаче  о вычислении расстояния от точки до плоскости, поэтому можно применить формулу расстояния от точки до плоскости, применяя координатный метод.^[3]

        Вывод:

        При нахождении углов и расстояний в пространстве поэтапно вычислительным методом возникают трудности, связанные с дополнительными построениями и необходимыми обоснованиями, сопровождающими эти построения. Учащийся должен иметь хорошее пространственное воображение, помнить алгоритмы решения для каждого вида задач.

        Координатный метод позволяет избежать такого рода трудностей. От учащегося требуется знания нескольких формул и навыки в решении простейших задач в координатах, основная нагрузка при решении задачи приходится на вычислительную часть.

2.2. Практическая часть

Исследование № 1

Цель: выяснить какие задания С2 предлагали на экзамене по математике в прошлые годы.

Ход работы:

1. Рассмотреть реальные варианты ЕГЭ 2012-2014г.

2. Выявить тип и методы решения заданий,  которые чаще встречаются на экзамене.

        Для того, чтобы выяснить какие задания требуют наибольшего внимания и более тщательного разбора мы рассмотрели реальные варианты ЕГЭ 2012-2014 представленные на сайте http://alexlarin.net/. Нами было рассмотрено 45 вариантов как досрочного, так и обычного экзамена. Из них 6 заданий на нахождение угла между прямыми, 12 заданий на нахождение угла между прямой и плоскостью, 10 заданий на нахождение угла между плоскостями, 5 задания на нахождения площади сечения, 6 заданий на нахождение расстояния между прямыми, 2 задания на нахождения расстояния от точки до прямой и 4 задания на нахождение расстояния от точки до плоскости.

Вывод: исходя из этого, получается, что вероятность того, что  на экзамене может попасть задание на нахождение угла  составляет 62%, а 26% - задачи на нахождение расстояния. По статистике, представленной на сайте ФИПИ при решении задачи С2 выпускники пользовались в основном геометрическим методом, но больше правильных решений было у выпускников, которые использовали в решении координатный метод.

Исследование № 2

Цель: сравнить решение поэтапно-вычислительного и координатного методов решения задач на нахождение углов.

Ход работы:

1. Решить задачи на нахождение угла между прямыми, угла между прямой и плоскостью, угла между плоскостями, расстояния от точки до прямой, расстояния от точки до плоскости, расстояния между скрещивающимися прямыми.

2. Сравнить результаты и сделать вывод.

Задача  №1

В единичном кубе АВСДА1В1С1Д1 найдите угол между прямыми  А1Д и Д1Е, где Е – середина ребра СС1.

1 способ (поэтапно-вычислительный):

1) Прямая  A1М параллельна прямой ЕD1⇒ Угол  между прямыми АD и D Е равен углу МAD.

2) ∆ ААD: АD=.

3): A1М=

4) ∆DВМ: DМ=1,5

5)∆МAD:

2 способ (координатный):

А(1;0;1)  Д(0;0;0)    Д(0;0;1)  Е(0;1;0,5)

=

Задача  №2

В правильной четырехугольной пирамиде SАВСД, все ребра которой равны 1, точка Е – середина ребра SD. Найдите тангенс угла между прямыми АЕ и SВ.

1способ:

МД||АД, КМ||SB, (МДР)

МР||АЕ, угол КМР-искомый

tgα=

2 способ:                                                              А(;Е

                                                                              S; B        

   sinα= 

Подробное решение задач представлено в приложении^[4].

Вывод: первый способ требует отличного знания аксиом и теорем стереометрии, логики, умения построить чертеж и свести объемную задачу к планиметрической. Способ хорош тем, что развивает логическое мышление и пространственное воображение. Решая в классе задачу № 1 мнения учащихся разошлись 50% детей утверждали, что решать задачу поэтапно-вычислительным методом проще. При решении задачи № 2 этим методом было сложно построить чертёж и  определить нужный угол. Многие не справились самостоятельно, а те кто справился потратили много времени. Решение координатным методом оказалось более простым и менее затратным по времени.

3. Заключение

         Я изучила теоретический материал по  данной теме. Выяснила, что  вероятность того, что  на экзамене может попасть задание на нахождение угла  составляет 62%, а 26% - задачи на нахождение расстояния. Так же я выяснила, что при решении задачи С2 выпускники пользовались в основном геометрическим методом, но больше правильных решений было у выпускников, которые использовали в решении координатный метод.

         В своей работе я сравнила поэтапно-вычислительный и координатный метод решения задач. И пришла к выводу: первый способ - поэтапно-вычислительный. Этот способ  требует отличного знания аксиом и теорем стереометрии, логики, умения построить чертеж и свести объемную задачу к планиметрической. Способ хорош тем, что развивает мышление и пространственное воображение. Но иногда построить линейный угол двугранного угла между плоскостями очень сложно! А порой не ясно, как вообще заданные плоскости построить... Другой метод - применение векторов и координат. Это простые формулы, алгоритмы и правила. Использование данного метода, позволяет  значительно упростить и сократить процесс решения задач.

        Метод координат — это, конечно, хороший инструмент, однако у него есть недостатки:

1.  Иногда приходится много считать. И чем сложнее многогранник — тем больше объем вычислений. Это становится особенно заметно, когда в дело вступают иррациональные координаты.

2.  К сожалению, в школе этой теме уделяется недостаточно внимания. Из-за этого возникают проблемы с оформлением готового решения.

        Однако нет ничего невозможного. Если освоить метод координат, научиться вычислять углы между всевозможными комбинациями прямых и плоскостей, то научиться оформлять свои выкладки — дело пяти минут.

        Проанализировав проделанную работу, можно сделать вывод что метод координат является наиболее удобным для решения. Этот метод - довольно сильный, так как ему поддаются даже самые сложные  задачи. Все те соотношения, которые при решении традиционным методом даются с большим трудом (через привлечение большого количества вспомогательных теорем), здесь получаются как бы сами собой, в ходе вычислений. В следующем учебном году планирую продолжить готовиться к ЕГЭ, научиться решать разными способами задачи с параметрами. Моя гипотеза подтвердилась. Цель моей работы достигнута, задачи выполнены.

Литература:

1. Геометрия. 10-11классы:учебник для общеобразовательных учреждений: базовый и       профильный уровни/Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов, С.Б. Кадомцев и др.-19-е изд.-М.: Просвещение, 2010.- 255с.
2. Готовим к ЕГЭ хорошистов и отличников./А.Г.Корянов, А.А.Прокофьев- М.: Педагогический университет "Первое сентября", 2012.- 100с.
3. ЕГЭ 2011. Математика. Задача С2. Геометрия. Стереометрия./Смирнов В. А. (под редакцией А. Л. Семенова и И. В. Ященко)-М.:МЦНМО, 2011.- 135с.
4. Сайт http://alexlarin.net/
5. Сайт Федерального института педагогических измерений.