Исследовательская работа на тему: «Исследования: космос и математика»

Министерство образования и науки Республики Дагестан

МКОУ «Кизлярская гимназия №1 имени М. М. Ломоносова»

          Научно – практическая конференция

            учащихся «Я - исследователь»

        Исследовательская работа на тему:

           «Исследования: космос и математика»

                             Выполнил: Рабаданов Гаджимурад,

                                        ученик 8 класса.

                                      Руководитель: Чернова Е. М.

                                           учитель математики

                                      МКОУ КГ №1

г. Кизляр, 2014г.

                              Содержание

Введение.______________________________________3

1. Глава 1. Навигация, траектории и орбиты.__________ 5

Глава 2. Связь и передача изображения.____________ 9

2. Практическая часть.____________________________ 10
3. Заключение.___________________________________13
4. Используемая литература._______________________ 14

2

Введение.

  Начиная с XX века, математические исследования космоса неразрывно связаны с физическими освоениями космического пространства.

12 апреля 2014 года исполнилось 53 года с момента первого полёта человека, нашего соотечественника Юрия Гагарина, в космос. Меня заинтересовала роль математики в космических исследованиях.

С одной стороны, практически все методы небесной механики, которые были разработаны на протяжении многих веков, преобразованы в инструменты для навигации ракет, искусственных спутников и космических зондов. С другой стороны, почти все эти космические аппараты были оборудованы научными приборами для сбора данных о Земле и других объектах нашей Солнечной системы, а также далёких звёздах и галактиках. Кроме того, спутники и зонды обеспечивают обратную связь на гравитационное поле вокруг Земли и всей Солнечной системы.

Помимо этих прямых эффектов, есть много других областей взаимодействия между космической программой и математикой. Вот лишь некоторые из них:

• GPS: глобальная система позиционирования
• Сжатие данных методов для передачи сообщений
• Оцифровка и кодирование изображений

Коды, исправляющие ошибки для точной передачи

• «Рогатка» или «гравитационное повышение» для оптимальных траекторий
• Эксплуатация точек Лагранжа для стратегического размещения спутников
• Динамические системы энергоэффективных методов размещения орбит
• Конечные элементы для моделирования структуры такие, как космический корабль и антенны.

Приведу примеры некоторых космических зондов и спутников, внесших

3

свой вклад в детальное изучение космологии и астрофизики:

• Космический телескоп Habble
• COBE и MAP спутники для изучения космического микроволнового фонового излучения
• Миссия Генезис и SOHO спутник для излучения Солнца и солнечного излучения

Зонд ISEE3 / ICE пространства для изучения солнечных вспышек и космических гамма – лучей                                              

• LAGEOS – спутники для проверки предсказания Эйнштейна об «увлечении» вокруг вращающегося тела.

Вместо того чтобы пытаться охватить все или даже большинство из математических связей, я сосредоточусь на двух из них, которые, на мой взгляд, необходимы, актуальны и занимают центрально место в современном мире: во – первых, навигация и планирование траекторий, и во – вторых, связи и передачи изображений.

4

    Глава 1. Навигация, траектории и орбиты

 Когда была создана правительственная программа исследования космического пространства, примечательной особенностью было создание Центра управления полётами. Первоначально в Центре управления полётами математики, специализирующиеся на орбитальной механике, следили за траекториями и подавали информацию, необходимую для навигации. Их роль была особенно важна для операций, связанных со сближением двух транспортных средств, в деликатных случаях, таких, как посада на Луну и в чрезвычайных ситуациях, которые требуют от всех участников процесса применения математических навыков точных вычислений. Например, наиболее заметная чрезвычайная ситуация была с «Апполоном - 13». Задача состояла в том, чтобы вернуть живым экипаж. После отстыковки от командного модуля экипаж корабля и учёные Центра управления полётами были вынуждены использовать для посадки лунный модуль (никогда не предназначавшийся для этой цели), чтобы благополучно возвратиться обратно на Землю.

  Каждый космонавт может рассказать нам о навигации в космическом корабле то, что она отличается от опыта пилотирования самолёта. Проведу сравнение: при пилотировании самолёта, если вы хотите догнать объект, идущий впереди быстрее вас, при увеличении скорости вы этого достигнете. Но в случае с космическим кораблём, если вы на определённой орбитальной скорости для встречи с чем-то впереди, то, «наступая на акселератор» (переводится как «применение впереди тяги»), вас поднимет на более высокую орбиту, где в первую очередь, вертикальное расстояние между вами и находящемся впереди орбитальным объектом будет увеличиваться, и, во- вторых, средняя угловая скорость будет уменьшаться по третьему закону Кеплера, и вы окажетесь всё дальше и дальше и отстанете ещё больше. (см. практическую часть, пункт №1)      

5

Открытия, сделанные Исааком Ньютоном дали возможность исследователям перейти на более высокий уровень. Он не только сформулировал свои законы движения и гравитации, но также разработал исчисление, что позволило ему перевести эти законы на язык математических уравнений. Как применяется

  В общем контексте, где масса может меняться со временем, так, как происходит с расширенным применение тяги на транспортном средстве с постепенным снижением веса в качестве топлива, используется сила,

 определяемая первой производной от импульса. (см. практическую часть, пункт №3)

В случае гравитационного притяжения между двумя телами Ньютон был в состоянии дать полное решение. Это не является дифференциальным уравнением, выражением для неизвестной функции, производные которые появляются в уравнение, если иметь в виду «решение». Ньютон показал, что орбита каждого из тел лежит на коническом сечении (в неподвижной инерциальной системе отсчёта), и в рассматриваемом случае Кеплером, где орбита имеет форму эллипса, есть явное выражение для времени в зависимости от позиции.

Лагранж проделал большую работу над задачей, в ходе которой он разработал и ряд Фурье и функции Бесселя, названные позже в честь математиков, которые исследовали эти понятия более подробно. Лаплас и Гаусс внесли большой вклад в космические исследования, и сегодня учёные продолжают работать над применением разработанной ими теории.

       Когда есть более двух тел, задача не может быть решена аналитически, вместо этого интеграция (позиция из ускорения) должна быть сделана численно: сейчас это возможно с использованием высокой скорости компьютеров. Таким образом, численный ряд интегрального исчисления является важнейшим фактором навигации космических аппаратов.

На некоторое время при движении космический аппарат получает толчок в

6

Солнечной системе. Его последующие орбиты определяются, с учётом гравитационных сил действующих на него из-за Солнца и планет. Математики вычисляют это, шаг за шагом по времени, видя, как силы определяют движение космического аппарата.

   Как можно получить точную орбиту в компьютере? Орбиты космического аппарата измеряются по тому, как он прогрессирует на своем пути, и компьютерной моделью регулируется реальные измерения. Здесь используется другой тип исчисления: теория оценивания. В компьютер заносят «входные параметры» (стартовые позиции и скорости), и компьютерная модель вычисляет «Параметры вывода» (положения и скорости в последующие минуты времени).

   Кроме того, в навигации, необходимо «уменьшить» измерения. Для этого нужно применить несколько формул. Например, в компьютер заносят позиции центров масс разных планет; радиолокационных эхо, меры пути от антенны к тому месту, на поверхностях планет, из которых сигнал приходит в норму на Землю. Это обработка включает в себя использование тригонометрии, геометрии и физики.

    Наконец, анализ ошибок, или «ковариация» исчислений. Ковариационный анализ учитывает:

1. То, что какие измерения мы будем иметь на корабле;
2. Насколько точно мы сможем вычислить силы;
3. Насколько точно мы будем значить положение мишени.

Эти критерии используются затем для того, чтобы определить, насколько близко мы можем доставить корабль к цели. Опять же, низкая точность требует больше топлива, чтобы исправить траекторию космического аппарата приближающегося к своей конечной цели.

Один из математических инструментов, используемых для оптимизации некоторых особенностей траектории полёта, такие как расход топлива и время полёта, является Принцип Максимума Понтрягина введённый в 1962 году.                                           7

 Теорема Понтрягина характеризует оптимальные значения определённых параметров, называемых контролерами, которые определяют траекторию.

В последние десятилетия были разработаны новые гениальные методы для достижения максимального эффекта от наименьшего количества топлива. Один из таких методов известен как «рогатка» или «тяжести при содействии траектории». Количество космических аппаратов, таких как «Кассини - Гюйгенс», только выиграли от тщательного рассчитанных траекторий, что позволяет многократно использовать эффект «рогатки».

8

Глава 2. Связь и передача изображения

  Для освоения космоса и межпланетных зондов методы навигации и орбитальной механики стоят не много, если собранные данные не будут успешно переданы на Землю. Только благодаря «чудесам» современной технологии, работающим в тандеме с постоянно совершенствующимися математическими методами, представляется возможным получать яркие и детальные изображения, которые теперь мы видим на экране.

Два критических процесса выступают во взаимодействие для передачи сообщений всех видов. Первый – «сжатие» - необходим, чтобы передать максимальное количество информации с наименьшим числом бит, а второй – использование кодов, исправляющих ошибки для преодоления проблемы шума и искажений.

Различные математические методы используются для сжатия данных космических аппаратов в меньшее число бит перед передачей на Землю.

«Энтропия кодирования» - метод, который учитывает распределение вероятностей различных наборов данных с тем, чтобы кодировать более вероятные данные с более короткой последовательность, как в коде Морзе, буква «Е» представлена одной точкой.

Возможность обнаружения и даже исправления ошибок в передаче впервые было указано в новаторской работе Ричарда Хемминга в 1950 году. С тех пор, с одной стороны, всё более изощрённые методы были разработаны для практического применения, а с другой стороны, разработана теория кодов, исправляющая ошибки.

Теоретический интерес учёных, связанный с математическими инновациями, находит всё большее практическое применение.

9

Практическая часть

Пункт №1

SA1 = SA2 = SA3 (второй закон Кеплера)

Т1 2 / Т22 = а13 /а23

(третий закон Кеплера), где Т1, Т2 – сидерические периоды двух планет

а1 а 2 – большие полуоси.

 Особенность «состыковки» состоит в том, что при изменении скорости, объекты находятся на разных орбитах.  ( см рис.)

  Для того, чтобы рассчитать орбиты космических траекторий необходимо учитывать то, что при изменении скорости космического объекта изменяется радиус его орбиты.

10

Пункт №2

  На примере механики И. Ньютона я покажу как была выведена первая космическая скорость. Сделаю пояснение, первая космическая скорость необходимо для того, чтобы тело стало искусственным спутником Земли, вторая космическая скорость необходима для того, чтобы тело стало спутником Солнца, а третья космическая скорость необходимо для того, чтобы тело покинула Солнечную систему.

Первая космическая скорость.

F = ma – II закон Ньютона, где a = V 2 / R 3 – центростремительное ускорение

F = GmM  закон гравитации

    R2 3                               

GmM  =  V m

R2 3        R3

V = 8 км/с

Вторая космическая скорость.

А = mV2 / 2 – работа по выходу в открытый космос, равна кинетической энергии тела.

     Если F – постоянная, то А = F * R

   11

 Но F зависит от 1 / R2

          (V = 11, 2 км / с)

В случае с третьей космической скоростью F более сложная функция, так как необходимо преодолевать не только гравитацию Земли, но и гравитацию Солнца.

(V = 16, 7 км / с)

Пункт №3

  Сложность расчётов заключается в том, что второй закон И. Ньютона выглядит следующим образом F = p ` (t), p ` (t) – скорость изменения импульса, где p = mv, но m = f (t) и v = f (t), являются функциями времени, что значительно усложняет для меня усвоение учебного материала

(изучается в старших классах и является темой для дальнейшего исследования).

12

Заключение

 В результате проведённого теоретического исследования по данной теме я понял всю важность и сложность взаимодействия космических исследований и науки математики: космические исследования нужны науке – это грандиозный и могучий инструмент изучения Вселенной, Земли, самого человека.

 С каждым днём всё более расширяется сфера прикладного использования математики в космонавтике. Мы вступили лишь в шестое десятилетие космической эры, а уже вполне привыкли к таким чудесам, как охватившие всю Землю спутниковые системы связи и наблюдения за погодой, навигации и спасение людей на суше и на море во время природных катаклизмов. Всемирное спутниковое и цифровое телевидение, сверхчистые лекарства и полупроводники с орбиты – самые передовые технологии – это уже сегодняшний день. Как о чём – то вполне обыденном слушаем сообщения о многомесячной работе людей на орбите, не удивляемся следам на Луне, снятым «в упор» фотографиям далёких планет. А что же будет завтра? А завтра – возможны электростанции в космосе, удаление вредных веществ с поверхности нашей планеты, заводы на околоземной орбите и Луне. И многое – многое другое.

 За очень короткий исторический срок космонавтика стала неотъемлемой частью нашей жизни, верным помощником в хозяйственных делах и познании окружающего мира. И это благодаря математическим формулам и исследованиям.

 Изучая данную тему, я по новому, как «живую» науку, стал воспринимать математику, уже способную осуществить многие мечты Человека, на первый взгляд кажущиеся фантастикой, способные вывести человечество в межгалактическое пространство.

Я прихожу к выводу, что наше достижение в космосе являются прочной основой для дальнейшего развития и внедрения новых идей, выраженных языком математики, физики и других точных наук.

13

Список литературы

1. Баттин, Ричард А., Введение в математику и методы астродинамики, Нью-Йорк, Американский институт аэронавтики и астронавтики 1987 года.
2. Колуэлл, Питер, «Решение Уравнение Кеплера на протяжении трёх столетий». М., 1993 год.
3. Эдвард М. «Динамика и хаотического движения в небесной механике и их применение к построению низкой передачей энергии». М., Пресса 2004.
4. Ракка, Джузеппе D., «Новые вызову траектории дизайн с использованием электрических двигателей и других новых средств блуждающих в Солнечной системе», небесной механики и астрономии. М., 2003
5. Интернет – сайты.

14