Лист Мёбиуса

              Лист  Мёбиуса

Выполнил  работу ученик 9 «Г» класса: Мигаль Никита

Руководитель:    Ченикалова Ольга Ивановна

       МБОУ   СОШ № 25     г.Владивосток      2014 г.

 Исследуемые вопросы:

1) Вступление

2)  Открытие  и понятие  листа  Мёбиуса

3) Опыты, демонстрирующие свойства листа Мёбиуса.

4) Применение листа  Мёбиуса

    5) Это интересно

    6) Выводы

Методы использованные в работе:

   - поиск;

 - отбор и анализ научной литературы;

 - обобщение;

 - представление результатов;

 - моделирование;

 - конструирование.

   Вступление:
лист мёбиуса изучается в разделе математики под названием «топология»

Топология -  раздел математики, изучающий в самом общем виде явление непрерывности, в частности свойства пространства, которые остаются неизменными при непрерывных деформациях, например,  связность, ориентируемость

В IVв. до н.э. появился грандиозный трактат Евклида, состоящий из 13 книг и содержащий все основные результаты древнегреческой математике. Трактат был столь совершенным, что  никто больше не решался написать новую книгу на эту тему. «Начала» Евклида стали настольной книгой ученых всех времен и народов. У древних греков осталось чувство неудовлетворенности. Многие ученые пытались уберечь древнюю красивую науку от вторжения посторонних методов. Но  во второй половине прошлого века возникла новая область математики, она получила название топология. Изучает топология свойства геометрических объектов, не изменяющиеся при взаимно однозначных и взаимно непрерывных преобразований.

 Открытие листа Мёбиуса и его свойства

 Рассказывают, что открыть  «лист» Мебиусу помогла служанка, сшившая однажды неправильно концы ленты. Как бы то ни было, но в 1858 году Лейпцигский профессор Август Фердинанд Мебиус(1790 – 1868),ученик К.Ф.Гаусса, астроном и геометр, послал в Парижскую академию наук работу, включающую сведения об этом листе. Семь лет он дожидался рассмотрения своей работы и, не дождавшись, опубликовал ее результаты.

Одновременно с Мебиусом изобрел этот лист и другой ученик К.Ф Гаусса – Иоганн Бенедикт Листинг(1808 – 1882), профессор Геттингенского университета. Свою работу он опубликовал на три года раньше, чем Мебиус, - в 1862 году.

Что же поразило этих двух немецких профессоров?

а то что лист мёбиуса имеет одну сторону.

Демонстрация листа Мёбиуса

• Склеим полоску, предварительно завернув одну сторону на 180 градусов.

Покажем, что поверхность односторонняя, с помощью маркера

Мы привыкли к тому, что у всякой поверхности, с которой мы имеем дела (лист бумаги, велосипедная или волейбольная камера)- две стороны.

Но только что мы убедились, что у листа Мёбиуса всего одна сторона.

Лист Мёбиуса обладает ещё одним любопытным свойством-  непрерывностью. В чём мы убедились с помощью маркера.

Если теперь лист Мёбиуса разрезать вдоль по середине, то получится дважды перекрученная лента.

• Если  теперь «афганскую ленту» разрезать вдоль посередине, то получим две афганские ленты, соединенные друг с другом.

Поверхность называют связной, если она состоит  из одного куска. Лист Мебиуса – двусвязный. Если разрезать его вдоль, он превратится не в два отдельных кольца, а в одну целую ленту. Если перекрутить ленту на два оборота, то лист становится односвязным. Три оборота – связность снова равна двум. А четыре? Да, вы, уже догадались как дальше станут развиваться события.

И наконец, то что носит название «хроматический номер». Он равен максимальному числу областей, которые можно нарисовать на поверхности так, чтобы каждая из них имела общую границу со всеми другими. Если каждую такую область выкрасить по-разному, то любой цвет должен соседствовать с любым другим. Каков же хроматический номер листа Мебиуса? Он, как ни поразительно, равен шести.

 Лист Мебиуса – топологический объект, простейшая односторонняя поверхность. В топологии изучаются топологические свойства фигур, т. е. свойства, не изменяющиеся при любых деформациях, производимых без разрывов и склеиваний (точнее, при взаимно однозначных и непрерывных отображениях).

Таким образом, лист Мебиуса обладает любопытными свойствами такими как:  односторонний, не ориентируемый, имеет  одну границу, непрерывный, двусвязный, хроматический номер – 6.

Эти свойства не изменяются при любых деформациях.

Применение листа Мёбиуса

Существуют технические  применения ленты Мебиуса:

        - В системах записи на непрерывную пленку применялись ленты Мебиуса (чтобы удвоить время записи).

        - В матричных принтерах красящая лента так же имеет вид листа Мебиуса для увеличения ее ресурса.

        - Устройство под названием резистор Мебиуса – это недавно изобретенный электронный элемент, который не имеет собственной индуктивности.

резистор мёбиуса(слева)наконечник бура(справа)

   Лист Мебиуса, как предмет вдохновения в литературе:

         - Лист Мебиуса постоянно встречается в научной фантастике, например в рассказе Артура Кларка «Стена Темноты».

         - В трудах писателя Владислава Крапивина упоминается  кольцо Мебиуса,  «Застава на Якорном поле. Повесть»

          - В рассказе А.Д. Дейча «Лист Мебиуса», описывают строительство новой линии бостонского метро, где исчезают поезда.

        Предмет вдохновения в искусстве:

Морис Корнелиус Эшер был одним из художников, кто особенно любил его и посвятил несколько своих литографий этому математическому объекту. Одна из известных – лист Мебиуса II, показывает муравьев, ползающих по поверхности ленты Мебиуса.

Знаменитая картина Эшера

Браслеты в виде листа мёбиуса

Лист мёбиуса в архитектуре

Здесь вы видите памятник листу Мебиуса (слева) и международный символ переработки (справа)

Лист мёбиуса в домашнем дизайне

Горки выполненные в виде листа мёбиуса и своеобразный браслет.

Выводы: (слайд)

Лист Мебиуса – первая односторонняя поверхность, которую открыли ученые. Позже математики открыли еще целый ряд односторонних поверхностей. Но эта – самая первая, положившая начало целому направлению в геометрии, по-прежнему привлекает к себе внимание ученых, изобретателей, художников.

Главная ценность листа Мебиуса состоит в том, что он дал толчок новым обширным  исследованиям.

Физики-теоретики выдвинули гипотезу, что наша Вселенная, вполне вероятно, замкнута в ленту Мебиуса. Эта теория полностью соответствует с теорией относительности Эйнштейна и его предположением, что космический корабль, все время летящий прямо, может вернуться к месту старта, что подтверждает неограниченность и конечность Вселенной, изогнутой в пространстве большого числа измерений.

Есть гипотеза, что спираль ДНК сама по себе тоже является фрагментом ленты Мебиуса и только поэтому генетический код так сложен для расшифровки и восприятия.

Удивительные свойства листа Мебиуса стали неисчерпаемым источником оригинальных технических решений  ученых и предметом вдохновения в работах художников, архитекторов и дизайнеров.

 Список используемой литературы:         

1)Виленкин Н. Я. ,Шибасов Л. П. ,Шибасова З. Д . «За страницами учебника математики» , « Геометрия», «Старинные и занимательные задачи»

2)Гарднер М. «Математические чудеса и тайны»

3)Интернет сайты.