Комбинаторика .Теория вероятностей (презентаций к работе НОУ).

Слайд 1

Слайд 2

В своей работе я рассмотрела полезность получаемых знаний, также возможности их непосредственного применения при изучении других наук и в повседневной жизни. Цель моей работы овладеть умениями анализировать рассматриваемый вопрос, обобщать, находить решения поставленной задачи, выделить в конкретной ситуации сущность вопроса, отвлекаясь от несущественных деталей. Всё это формирует мышление, способствует развитию речи , особенно таких качеств выражения мысли как ПОРЯДОК , ЯСНОСТЬ, ОБОСНОВАННОСТЬ .

Слайд 3

История развития теории вероятностей Понятие вероятности разрабатывается наукой уже в течении столетий, а многие ученые-исследователи указывают на его незавершенность и неясность. "Все говорят о вероятности, но никто не может сказать что это такое" [Биркгар, 1952]

Слайд 4

С вероятностными представлениями мы встречаемся еще в античности. У Демокрита, Лукреция Кара и других античных ученых и мыслителей мы находим глубокие предвидения о строении материи с беспорядочным движением частиц (молекул), встречаем рассуждения о равновозможных исходах (равновероятностных ) . В средневековье мы наблюдаем разрозненные попытки осмыслить встречающиеся вероятностные рассуждения. В работах Л. Пачоли, Н. Тарталья и в первую очередь Д. Кардано уже делались попытки выделить новые понятия – отношения шансов – при решении ряда специфических задач, прежде всего комбинаторных Развитие теории вероятностей в начале XX века привело к необходимости пересмотра и уточнения ее логических основ. Возникла необходимость аксиоматизации теории вероятностей и ее основного понятия - вероятности. Первые работы того периода связанны с именами С.Н. Берштейна, Мизеса, Э. Бореля. окончательное становление аксиоматики произошло в 30-е годы XX века.

Слайд 5

Случайные события. Частота. Вероятность. Теория вероятностей — математическая наука, изучающая закономерности массовых случайных явлений (событий). Случайным событием (или просто событием ) называется всякое явление, которое может произойти или не произойти при осуществлении определенной совокупности условий. Теория вероятностей имеет дело с такими событиями, которые имеют массовый характер. Каждое такое осуществление данной совокупности условий называют испытанием (или опытом ).

Слайд 6

События будем обозначать заглавными буквами латинского алфавита: A , В , С , ... . Пусть при n испытаниях событие A появилось m раз. Отношение m/n называется частотой ( относительной частотой ) события A и обозначается Р*(А)=m/n Опыт показывает, что при многократном повторении испытаний частота Р*(А) случайного события обладает устойчивостью. Поясним это на примере.

Слайд 7

Пусть при бросании монеты 4040 раз герб выпал 2048 раз. Частота появления герба в данной серии опытов равна Р*(А)=m/n=2048/4040=0,5069. При бросании той же монеты 12000 раз герб выпал 6019 раз. Следовательно, в этом случае частота Р*(А)=6019/12000=0,5016. Наконец, при 24000 бросаний герб появился 12012 раз с частотой Р*(А)=0,5005. Таким образом, мы видим, что при большом числе бросаний монеты частота появления герба обладает устойчивостью, т. е. мало отличается от числа 0,5. В рассмотренном выше примере вероятность появления герба, очевидно, равна 0,5.

Слайд 8

Событие называется достоверным , если оно в данном опыте обязательно должно произойти; наоборот, событие называется невозможным , если оно в данном опыте не может произойти. Пусть, например, из урны, содержащей только черные шары, вынимают шар. Тогда появление черного шара — достоверное событие; появление белого шара — невозможное событие. Если событие достоверно, то оно произойдет при каждом испытании ( m=n ). Поэтому частота достоверного события всегда равна единице. Наоборот, если событие невозможно, то оно ни при одном испытании не осуществится ( m=0 ). Следовательно, частота невозможного события в любой серии испытаний равна нулю. Поэтому вероятность достоверного события равна единице, а вероятность невозможного события равна нулю.

Слайд 9

Совмещением (или произведением ) двух событий A и В называется событие, состоящее в совместном наступлении как события A , так и события В . Это событие будем обозначать АВ или ВА . Аналогично, совмещением нескольких событий, например A , В и С , называется событие D=ABC , состоящее в совместном наступлении событий A , В и С . Объединением (или суммой ) двух событий A и В называется событие С , заключающееся в том, что произойдет по крайней мере одно из событий A или В . Это событие обозначается так: С=А+В . Объединением нескольких событий называется событие, состоящее в появлении по крайней мере одного из них. Запись D=A+B+C означает, что событие D есть объединение событий A , В и С . Два события A и В называются несовместными, если наступление события A исключает наступление события В . Отсюда следует, что если события A и В несовместны, то событие AB — невозможное .

Слайд 10

Рассмотрим следующий пример. Будем следить за движением какой-нибудь определенной молекулы газа, заключенного в некоторый объем. Внутри этого объема выделим объемы и , частично перекрывающие друг друга (рис. 1). Пусть событие A — попадание молекулы в объем , событие В — попадание молекулы в объем . Совмещением событий A и В является попадание молекулы в общую часть объемов и .Если объемы и не имеют общих точек, то ясно, что события A и В несовместны. Объединением событий A и В является попадание молекулы или только в объем или только в объем , или же в их общую часть.

Слайд 11

Аксиомы вероятностей. Изложенное позволяет высказать следующие свойства вероятностей, которые мы принимаем в качестве аксиом. Аксиома 1. Каждому случайному событию A соответствует определенное число Р(А), называемое его вероятностью и удовлетворяющее условию . Аксиома 2. Вероятность достоверного события равна единице. Аксиома 3 (аксиома сложения вероятностей). Пусть A и В — несовместные события. Тогда вероятность того, что произойдет хотя бы одно из этих двух событий, равна сумме их вероятностей: P(A+B)=P(A)+P(B) (1)

Слайд 12

Классическое определение вероятности. Два события называются равновероятными (или равновозможными ), если нет никаких объективных причин считать, что одно из них может наступить чаще, чем другое. Так, например, появления герба или надписи при бросании монеты представляют собой равновероятные события.

Слайд 13

Примеры решения задач. А) Студент, готовясь к экзамену, успел подготовить 18 билетов из 25. Какова вероятность вынуть на экзамене “хороший” билет? Решение.

Слайд 14

Абонент забыл последнюю цифру номера телефона и поэтому набирает её наугад. Определить вероятность того, что ему придётся звонить не более чем в 3 места. Решение: Вероятность набрать верную цифру из десяти равна по условию 1/10. Рассмотрим следующие случаи: 1. первый звонок оказался верным, вероятность равна 1/10 (сразу набрана нужная цифра). 2. первый звонок оказался неверным, а второй - верным, вероятность равна 9/10*1/9=1/10 (первый раз набрана неверная цифра, а второй раз верная из оставшихся девяти цифр). 3. первый и второй звонки оказались неверными, а третий - верным, вероятность равна 9/10*8/9*1/8=1/10 (аналогично пункту 2). Всего получаем P=1/10+1/10+1/10=3/10=0,3 - вероятность того, что ему придется звонить не более чем в три места. Ответ: 0,3

Слайд 15

Теория вероятностей есть математическая наука, изучающая закономерности в случайных явлениях. В своей работе я рассмотрела возможность применения теории вероятностей в повседневной жизни и при изучении других наук. В ходе работы я овладела умениями анализировать рассматриваемый вопрос, находила решения поставленных задач, выделяла в конкретной ситуации сущность вопроса. Всё это усовершенствовало моё мышление ,способствовало развитию речи и многих других качеств . По мере развития науки число учитываемых факторов становится все больше, явления исследуются подробнее ,научный прогноз становится точнее .