Неизвестное об известном, или точки Брокара и не только…

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение «Казанский национальный исследовательский технологический университет»

 «НОБЕЛЕВСКИЕ НАДЕЖДЫ КНИТУ - 2013»

Работа в номинации «Математика»

                                                       на тему:

«Неизвестное об известном,

или точки Брокара и не только…»

Выполнили:   Гайнуллин Альберт Фаридович ,  

Соловьева Юлия Петровна ,

ученики 9 класса МБОУ «Шеморданский лицей

 Сабинсккого муниципального района РТ»,

проживающие по адресу  

                                                                    422050 Татарстан   с.Шемордан

                                              1)ул.Ф.Карима , д21 кв18 тел. 84362-33248 .

                              Дата рождения 12.01.97    e-mail:  albert-rich@mail.ru

                                  2)ул.Железнодорожная д18 кв14 тел 9033881877

                        дата рождения 5.04.1997   e-mail:  yuliya.solovyeva@mail.ru 

Директор лицея: Вафин Р.А. , тел. 84362-3-22-90,

факс  84362-3-22-90

                                                                         e-mail:  shemordan1@yandex.   

                 Руководитель:  учитель математики

                    первой категории Закирова И.С.

Казань, 2013

Оглавление.

ВВЕДЕНИЕ …………………………………………………   3 стр.

Глава первая.

Замечательные линии треугольника ….  …………… 5 стр.

Глава вторая

Из истории замечательных точек треугольника ….7 стр.

Замечательные точки треугольника………………8 стр

Глава третья

Педальный треугольник как разновидность треугольника.

Точка Брокара для педального треугольника…….. 17 стр.

Глава четвертая

Свойства педального треугольника и их применение

 в решении задач……………………………………. 18  стр.

Задачи о педальном треугольнике, месторасположении

 точки Брокара……………………………………… 22 стр.

Заключение ..……………………………………………….. 26 стр.

Литература …………………………………………………27 стр.

Введение.

« Геометрия является  самым

могущественным  средством для

изощрения  наших умственных

способностей и дает нам возможность

правильно мыслить и рассуждать»

Г.Галилей.

Геометрия - удивительная наука. Ее история насчитывает не одно тысячелетие, но каждая встреча с ней способна  одарить и обогатить   волнующей  новизной маленького открытия, изумляющей радостью творчества. Действительно, любая задача элементарной геометрии является, по существу,  теоремой, а е решение – скромной (а иногда и огромной) математической победой.  Простейший из многоугольников, треугольник, играет в геометрии особую роль. Геометрия начинается с треугольника. Вот уже два с половиной тысячелетия треугольник является символом геометрии. Треугольник неисчерпаем – постоянно открываются его новые свойства. Чтобы рассказать о всех известных его свойствах, необходим том, сравнимый по объему с томом  Большой энциклопедии.

Без преувеличения можно сказать, что вся (или почти вся) геометрия со времен «Начал» Евклида покоится на «трех китах» - трех признаках равенства треугольников. Лишь на рубеже XIX – XX вв. математики научились строить геометрию на основе более фундаментального и общего, чем равенство  треугольников, понятия геометрического преобразования.

           За несколько  тысячелетий геометры  столь подробно изучали треугольник, что иногда говорят о  «геометрии треугольника» как о самостоятельном  разделе  элементарной геометрии. В треугольнике выделяют 6 основных элементов – 3(внутренних) угла А, В, С и 3 соответственно противолежащие им стороны а, b, с.  Кроме того ,элементы треугольника нельзя задать произвольно. Необходимо чтобы выполнялись три « неравенства треугольника»: a∠А+∠В+∠С=180°.

           Центральное место в геометрии треугольника занимают  так называемые  замечательные линии и  точки. К числу таких  линий, изучаемых в школьном курсе геометрии, относятся:  

    • высоты треугольника;

    • медианы треугольника;

    • биссектрисы треугольника.

Кроме них, можно выделить и  другие   линии:

    • прямая Эйлера;

    • прямая Симсона.

С каждым треугольником связаны четыре точки:

    • точка пересечения серединных перпендикуляров (центр описанной окружности);

    • точка пересечения высот (ортоцентр);

    • точка пересечения медиан (центр тяжести треугольника);

    • точка пересечения биссектрис (центр вписанной окружности).

Эти четыре точки называют замечательными точками треугольника.

Кроме них существуют и  некоторые другие  точки:

    • точка Торричелли;

    • окружность девяти точек;

    • точки Брокара.

Точки Брокара будут рассмотрены в данной работе.

Значимость  данных свойств в современном мире огромна. Знания о них практически применяются в строительстве, архитектуре, промышленном производстве и многих других областях деятельности человека.

Целью данной работы является  исследование замечательных точек и линий треугольника, не  рассматриваемых в школьной программе.

В ходе проекта решаются следующие задачи:

1) Формирование навыков самостоятельной работы с различными источниками информации;

2) Развитие математической культуры, углубить и расширить знания о замечательных точках и линиях треугольника;

3) Формирование умений использования теоретических знаний при  решении задач.

Глава I.

Замечательные линии треугольника

Высотой треугольника называется перпендикуляр, опущенный из любой вершины треугольника на противолежащую сторону или на  ее продолжение( сторона, на которую опускается перпендикуляр, называется в этом случае основанием  треугольника).   Любой треугольник   имеет три высоты.

В тупоугольном треугольнике АВС (рис.1 ) две высоты СЕ и ВF падают на продолжение сторон АВ и АС соответственно, и лежат вне треугольника; третья АD – внутри треугольника.

АD, ВF, СЕ – высоты ∆ АВС.

Высота треугольника, опущенная на сторону a:

В остроугольном треугольнике  (рис.2 ) все три высоты лежат внутри треугольника.

В прямоугольном треугольнике (рис.3) катеты  служат и высотами.

Медианой треугольника называется отрезок, соединяющий любую вершину треугольника с серединой  противоположной стороны. Любой  треугольник имеет три медианы.

АD, ВЕ, СF – медианы ∆ АВС.

Медиана, соединяющая вершину А  с серединой стороны а,  m а.

Биссектрисой треугольника называется отрезок биссектрисы любого угла от вершины до пересечения с противоположной стороной. Любой треугольник имеет три биссектрисы.

СF, АD, BE - биссектрисы ∆ АВС.  

Биссектриса угла  А,  lа.

Биссектриса делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилежащим к ней сторонам.

АЕ:ЕС=АВ:ВС

Серединным перпендикуляром  к стороне треугольника является перпендикуляр к отрезку, на котором задана сторона, проведенный через середину этого отрезка.

ED- серединный перпендикуляр к стороне ВС треугольника АВС.

ED⊥ВС,  ВD = DС.

Любая точка серединного перпендикуляра равноудалена от концов отрезка, к которому перпендикуляр проводится.

Глава II.

Из истории замечательных точек треугольника

 Поясним сначала выражение «замечательные точки треугольника». Все мы знаем, что биссектрисы внутренних углов треугольника пересекаются в одной точке – центре, вписанной  в этот треугольник окружности. Точно также, в одной точке пересекаются медиана, высоты треугольника, серединные перпендикуляры к сторонам. Получающиеся при пересечении перечисленных троек прямых точки, конечно же, замечательны (ведь три прямые, как правило, пересекаются в трех различных точках).

В школьном курсе геометрии изучаются  четыре  замечательные точки треугольника: точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника, точка пересечения медиан, точка пересечения биссектрис, точка пересечения высот.

Кроме этого существует  девять особых точек: середины сторон, основания высот, середины отрезков, соединяющих ортоцентр (точку пересечения высот) с вершинами треугольника.

В четвертой книге «Начал» Евклид решает задачу «Вписать круг в данный треугольник». Из решения вытекает, что три биссектрисы внутренних углов треугольника пересекаются в одной точке – центре вписанного круга. Из решения другой задачи Евклида вытекает, что перпендикуляры, восстановленные к сторонам треугольника в их серединах, тоже пересекаются в одной точке – центре описанного круга. В «Началах» не говорится о том, что и три высоты треугольника пересекаются в одной точке, называемой ортоцентром (греческое слово «ортос» означает прямой, правильный). Это предложение было, однако, известно Архимеду, Паппу, Проклу. Четвертой особенной точкой треугольника является точка пересечения медиан. Архимед доказал, что она является центром тяжести (барицентром) треугольника. На вышеназванные четыре точки было обращено особое внимание, начиная с XVIII в. они были названы «замечательными» или «особенными точками треугольника». Исследование свойств треугольника, связанных с этими и другими точками, послужило началом для создания новой ветви элементарной математики – «геометрии треугольника», или «новой геометрии треугольника», одним из родоначальников которой был Леонард Эйлер.

В 1765 г. Эйлер доказал, что в любом треугольнике ортоцентр, барицентр и центр описанной окружности лежат на окружности лежат на одной прямой, названной позже «прямой Эйлера». В 20-х годах XIX в. французские математики Ж. Понселе, Ш. Брианшон и другие установили независимо друг от друга следующую теорему: основания медиан, основания высот и середин отрезков высот, соединяющих ортоцентр с вершинами треугольника, лежат на одной и той же окружности.  Эта окружность называется «окружностью девяти точек», или «окружностью Фейербаха», или «окружностью Эйлера». К. Фейербах установил, что центр этой окружности лежит на «прямой Эйлера».

Замечательные точки треугольника

1.Свойства медиан треугольника.

Теорема. Все три медианы треугольника пересекаются в одной точке ( являющейся центром тяжести треугольника).

Кроме того,  точка пересечения медиан в треугольнике отделяет от каждой медианы третью часть, считая от соответствующей стороны.

2.Следствие. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке ( являющейся центром вписанного круга).

3.Следствие. Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке (служащей центром описанного круга) .

4.Теорема. Высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке (называемой ортоцентром; в тупоугольном треугольнике ортоцентр лежит вне треугольника; в прямоугольном он совпадает с вершиной прямого угла, в остроугольном лежит внутри треугольника).

Доказательства данных теорем и следствий рассматриваются в курсе «Геометрии» 8 класса.

Малоизвестное  свойство  биссектрисы треугольника

Теорема. Пусть биссектрисы AL1, BL2, CL3 треугольника  АВС   пересекаются в точке I. Тогда

Доказательство.

АL1 – биссектриса треугольника АВС. Пусть , тогда   .  Известно, что , откуда   . Из того, что СI – биссектриса треугольника AL1C , и используя полученное выражение для  х,

имеем:  Два другие равенства доказываются аналогично.

Теорема о медианах треугольника

Теорема. Медианы  треугольника делят его на шесть треугольников, площади  которых равны. 

Дано: ∆АВС,  АА1, ВВ1 , СС1 – медианы.

Доказать: S1 = S2 =S3 =S4 = S5 =S6.

Доказательство.

1.Рассмотрим  ∆А1 ОВ и ∆А1ОС. Так как  ВА1 = А 1С и высота у этих треугольников общая, то

S1 = S2.  Аналогично S3 =S4;  S5 = S6.

2. Рассмотрим ∆ АВВ1   и  ∆ В1 ВС.   Так как АВ1 = В1С         и высота у них общая, то S∆ABB1 = S∆B1 BС,  т.е.  S4+S5+S6 = S1+S2+ S3 .

Так как  S3 = S4 ,то  S5 + S6 = S1 +S2. а так как S5 = S6 и S1 = S2, то 2S5 = 2S1 → S5 = S1 или

2S6 = 2S1 →S6 = S1, и S1 = S2  = S5 =S6.

Аналогично, рассмотрев ∆ ВС1 С и ∆ АСС1, получим

                          S1 = S2 =S3 = S4 =S5 = S6, что и требовалось доказать.

Точка Брокара

    Точка Р, лежащая внутри треугольника АВС, называется первой точкой Брокара, если РАС=РСВ=РВА.

 Для второй точки Брокара Q  должны выполняться равенства QAB=QCA=QBC.

    Докажем, что для любого треугольника существует ровно одна  первая точка Брокара (для второй точки Брокара рассуждения аналогичны).

    Построим на сторонах треугольника АВС подобные ему треугольники А1 ВС, АВ1 С и АВС1.

α, β, γ -углы треугольника. Поскольку АСР=АСВ-РСВ, равенство РАС=РСВ эквивалентно равенству АРС=180- γ. Но АВ1 С= γ , поэтому точка Брокара  Р лежит на описанной окружности треугольника

 АВ1 С.

     Аналогичные рассуждения для остальных углов показывают, что Р является точкой Брокара тогда и только тогда, когда она принадлежит описанным  окружностям всех трех треугольников А1ВС, АВ1С и АВС1.

     Поскольку описанные окружности треугольников А1ВС и АВ1С пересекаются в двух точках и одна из них – точка С, мы тем самым доказали, что существует не более одной  первой точки Брокара. Для доказательства существования  точки  Брокара достаточно показать, что эти три окружности действительно имеют общую точку.

      Пусть Р - точка пересечения описанных окружностей треугольников А1 ВС и АВ1 С, отличная от точки С. Нетрудно доказать, что точка Р лежит внутри треугольника АВС. Имеем:

АРС = 180°- γ ,  

ВРС = 180°-β,

АРВ=360°-АРС- ВРС= =β+γ = 180°-α,

следовательно, точка Р лежит и на описанной окружности треугольника АВС1, т.е.

Р – точка Брокара.

     Отметим, что  отрезки АА1, ВВ1 и СС1 пересекаются в точке Р. Действительно, по теореме о вписанном угле, опирающихся на одну и туже дугу окружности,  ∠А1 РС = ∠А1 ВС=γ, ∠А1РВ=∠А1СВ=α,  ∠С1 РВ = ∠С1 АВ =β.

Но α+β+γ=180°,поэтому отрезок СС1 проходит через точку Р. Аналогично доказывается, что и отрезки АА1 и ВВ1 проходят через эту точку. Тем самым мы получили более простой способ построения первой точки Брокара.

Угол Брокара

Пусть Р и Q-первая и вторая точки Брокара треугольника АВС соответственно,

=РАС=РСВ =РВА,

=QAB=QCA=QBC.

Докажем, что =.так же, как в предыдущем пункте, построим точку А. Как мы установили, точка Р лежит на отрезке АА1 .Поскольку ∠АВА1=,то прямые АС и ВА1 параллельны. Пусть точки К и L-основания перпендикуляров ,опущенных на прямую АС из точек В и А1 соответственно. Пусть также точка К лежит на отрезке АС, а не на его продолжении (остальные случаи разбираются аналогично), тогда из равенства ВК=А1 L получаем:

                            ctg==++=ctg+ctg+ctg.

     Поскольку, по определению угол  меньше любого из углов треугольника АВС, а значит, меньше 90°, то по величине ctg однозначно определяется .Для угла, связанного со второй точкой Брокара, мы получим точно такое же выражение ,поэтому =.

      Из равенства этих углов следует, что первая и вторая точки Брокара изогонально сопряжены.

Докажем, что угол Брокара любого треугольника не превосходит 30°.

Известно, что площадь любого треугольника равна S=bcsin.

                      |∙cos

         |:sin

                   |·2

Тогда по теореме косинусов

2=b2+c2-=b2+c2-4Sctg

Аналогично

b2=c2+a2-=c2+a2-

c2=a2+b2-

Складываем последние 3 равенства

a2+b2+c2=b2+c2-4S+c2+a2-4Sctg+a2+b2-4Sctg γ

b2+c2+ c2 +a2+a2+b2-a2-b2-c2

4S=a2+b2+c2

ctg

Также известно, что площадь треугольника можно найти по формуле Герона: S=

Для доказательства используем известное неравенство: среднее арифметическое трёх чисел не меньше среднего геометрического этих чисел:

и

Тогда , или        

Зная, что

так как .

Отсюда получили:

Значит, используя известное свойство неравенств, для положительных чисел a и b верно:, получаем

Y=ctgx     убывающая функция при

Большему аргументу соответствует меньшее значение функции, и наоборот.

Значит, если , то  .

Нас заинтересовал вопрос, может ли точка Р лежать на биссектрисе, на медиане, на высоте или на двух из них. Легко убедиться в том, что если точка Р – центр описанной окружности, или центр вписанной окружности, или ортоцентр, то треугольник правильный. Рассмотрим случай, когда Р – точка пересечения медиан.

Теорема 1. Если точка Брокара Р есть точка пересечения медиан, то треугольник АВС правильный.

Доказательство. Так как подобен , то AD:BD=PD:AD,  и AD=DC. Тогда BD=DC∙√3 и BD2=DC2.3. Перепишем последнее равенство в таком виде:  Из этой пропорции следует, что треугольники DBC и DCP подобны. Значит, . Получаем:  и AB=BC.

Теорема 2. Если точка Брокара Р является пересечением медианы СМ с биссектрисой АЕ, то треугольник правильный.

Доказательство. Так как ВР=АР, то отрезок РМ в треугольнике АВР служит медианой, так и высотой. Но тогда отрезок СМ в треугольнике АВС также служит высотой и медианой, а значит и биссектрисой, следовательно, точка Р – пересечение биссектрис, треугольник АВС правильный.

Теорема 3. Если точка Брокара Р является точкой пересечения медианы СМ с высотой ВD, то треугольник АВС правильный.

Доказательство. Из подобия треугольников МВР и МСВ следует, что МВ:МС=МР:МВ или МВ2=МС*МР, но по условию МВ=МА, тогда МА2=МС*МР и МА:МС=МР:МА. Следовательно, треугольник АМР подобен треугольнику СМА и угол МАР равен углу МСА, а значит  и AB=BC, Р – точка пересечения медиан, т.е. треугольник АВС правильный.

Теорема 4. Если точка Брокара Р является точкой пересечения биссектрисы СМ с высотой BD, то треугольник АВС правильный.

Доказательство. Так как Р – точка Брокара, то  и  (СМ является биссектрисой в треугольнике АВС). Отсюда следует, что , в треугольнике АРС стороны АР и РС равны.

В равнобедренном треугольнике АРC высота PD является и медианой, т.е. AD=DC. Следовательно, высота BD в треугольнике АВС является и медианой. Точка Брокара Р в треугольнике АВС является пересечением биссектрисы СМ с медианой BD, отсюда, по предыдущей теореме, треугольник АВС правильный.

Глава III.

 Педальный треугольник как разновидность треугольника. Точка Брокара для педального треугольника.

Треугольник – одна из основных фигур, изучаемых в геометрии. Вот уже два с половиной тысячелетия треугольник является символом, атомом геометрии.

Тем не менее, изучаемые конструкции, связанные с треугольником, далеко не исчерпывают всех возможных. Примером тому служит педальный треугольник.

Пусть Р – любая точка внутри данного треугольника АВС, и пусть перпендикуляры, опущенные из точки Р на стороны ВС, СА, АВ треугольника, будут РА1, РВ1 и РС1. треугольник А1В1С1, вершинами которого являются основания этих перпендикуляров, называется педальным треугольником треугольника АВС для «педальной точки» Р.

Если при построении педального треугольника углы получаются равными, то они называются углами Брокара, а педальная точка - точкой Брокара. Чтобы построить точку Брокара, надо провести окружность через две вершины треугольника АВС, затем прямую, параллельную противоположной стороне выбранной вершины. Соединим третью вершину с точкой пересечения параллельной прямой и окружности. Эта прямая пересечет окружность внутри треугольника. Точка пересечения будет является точкой Брокара.

Угол Брокара определяется по формуле , а площадь педального треугольника точки Брокара равна

Треугольник, вершинами которого являются основания перпендикуляров, опущенных от внутренней точки треугольника, называется педальным.

Глава IV.

Свойства педального треугольника и их применение

 в решении задач

10. Если расстояние от педальной точки до вершины треугольника АВС равны х, у, z, то длины сторон педального треугольника равны где R – радиус описанной окружности.

Дано: треугольник АВС, Р – педальная точка. АР=х, ВР=у, СР=z, R – радиус описанной окружности.

Доказать: 

Доказательство: Около каждого из полученных четырехугольников ВС1РА1, СВ1РА1, АС1РВ1 можно описать окружность (по свойствам описанного четырехугольника). Прямые углы в точках С1 и В1 указывают на то, что эти точки лежат по окружности с диаметром АР, другими словами, точка Р лежит на окружности, описанной вокруг треугольника АВ1С1. Аналогично, точка Р лежит на окружностях, описанных вокруг треугольников СА1В1, ВС1А1. 

Опишем окружность около четырехугольника АВ1РС1; ее диаметром будет АР.

Пусть В1С1=а1, тогда на основании теоремы синусов^[1] для треугольника С1АВ1      (1).

Применив теорему синусов к самому треугольнику АВС, получим  (2).

Разделив почленно равенство (1) на равенство (2), получим: .

Аналогично: , где . А так как АР=х, ВР=у, СР=z, то длины сторон педального треугольника равны .

Замечание 1. Если Р является центром описанной окружности (х=у=z=R), длины сторон педального треугольника равны .

Замечание 2. Если Р является центром вписанной окружности, то , , , где  

20. Основания перпендикуляров, опущенных из точки на стороны треугольника, лежат на одной прямой, тогда и только тогда, когда эта точка лежит на описанной окружности.

Прямая, содержащая эти основания, известна как прямая Симсона данной точки относительно данного треугольника. Прямая Симсона приписывалась ему, поскольку она казалась типичной для его геометрических идей. Однако историки тщетно пытались найти ее в его работах. В действительности она была открыта в 1797 году Вильямом Уоллесом.

30. Если из точки L внутри треугольника опущены перпендикуляры la, lb, lc, соответственно на стороны а, b, с треугольника, то .

Дано: треугольник АВС, а, b, с – стороны треугольника АВС,  – педальная точка, la, lb, lc – перпендикуляры от L, ha, hb, hc – высоты треугольника АВС.

Доказать: 

Доказательство: Соединим точку L c вершинами треугольника. Треугольник АВС разобьется на три треугольника. Назовем площади этих треугольников Sa, Sb, Sc.

Имеем: .

Сложив, получим , а так как Sa+Sb+Sc=S, то .

Следствие. В равностороннем треугольнике сумма расстояний от произвольной точки, взятой внутри треугольника, до его сторон есть величина постоянная, равная высоте треугольника.

40. Перпендикуляры, опущенные их точки, лежащей в плоскости треугольника, на его стороны, определяют на сторонах шесть отрезков так, что сумма квадратов трех отрезков, не имеющих общих концов, равна сумме квадратов других трех отрезков.

Дано: треугольник АВС, OL, OM, ON  - перпендикуляры.

Доказать: AL2+BM2+CN2=LB2+MC2=AN2

Доказательство: т.к. OL, OM, ON – перпендикуляры,

то AO2-AL2=BO2-BL2 или

Сложив эти три равенства, получим: AL2-BL2+BM2-MC2+CN2-NA2=0 или AL2+BM2+CN2=BL2+MC2+NA2.

50. Третий педальный треугольник подобен исходному.

Дано: АВС, Р – педальная точка.

Доказать:  подобен

Доказательство: Если соединить точки А и Р, то получим двойники: одна - при вершине В1, а другая при вершине С1, далее при вершинах С2 и В2 и , наконец, обе – при вершине А3. Следовательно, треугольник АВС и треугольник  имеют равные углы при вершинах А и А3. Аналогично, они имеют равные углы  В и В3. таким образом, теорема доказана.

Это свойство педальных треугольников было обобщено доктором А. Оппенгеймом, проректором Малайского университета в Сингапуре. Он установил, что п-й педальный п-угольник любого п-угольника подобен первоначальному п-угольнику.

Задачи о педальном треугольнике,

месторасположении точки Брокара

Задача 1. Вычислить стороны педального треугольника, если расстояния от педальной точки до вершин треугольника х=4см, у=5см, z=6см, R=12 см, а стороны самого треугольника равны 8 см, 12 см, 15 см.

Решение: 

Задача 2. Расстояния от точки треугольника, взятой внутри равностороннего треугольника АВС, до сторон АВ, ВС, АС равны соответственно 1,7 см, 2,8 см, 1,5 см. Найти площадь этого треугольника.

Дано: АВС – равносторонний, la=1,5 см, lb=2,8 см,  lc=1,7 см.

Найти: 

Решение: т.к. треугольник равносторонний, то la+lb+lc=h, т.е. h=1,5+2,8+1,7=6 (см). Пусть ВD=х, АВ=36+х2=4х2 , 36=3х2 , х2=12, .  (см2)

Ответ. 12.

Задача 3. Перпендикуляры, опущенные из точки О, взятой внутри треугольника АВС, определяют на сторонах треугольника точки L, M, N так, что , причем . Известно, что АВ=9, АС=12. Найдите сторону ВС.

Дано: треугольник АВС; OL, OM и ON  - перпендикуляры. , АВ=9, АС=12

Найти: ВС

Решение: т.к.  , а АВ=9, то AL=3, LB=9, аналогично, AN=3, NC=12. По теореме о сумме отрезков AL2+BM2+CN2=BL2+MC2+AN2 , 9+64+144=81+МС2+9, МС2=127, МС=, ВС=8+

Задача 4. Найти площадь педального треугольника точки Брокара, если стороны треугольника равны 4, 7 и 5 см.

Решение.

Задача 5. Определите угол Брокара, если треугольник имеет следующие стороны 3, 2 и 5.

Решение. 

Задача 6. В треугольнике АВС  и точка Брокара Р лежит на высоте CD. Найдите отношение .

Решение. В прямоугольном треугольнике DCB , поэтому, воспользовавшись формулой  и подставив в нее это равенство, получаем: . Выполним преобразования:

где 2sinAsinC=cos(C-A)-cos(C+A). Подставив в формулу это значение, получаем:

Подставив значения косинуса угла В, получим:

Учитывая, что , находим:

В первом случае:

Во втором случае:

Задача 7. ^[2] Основание равнобедренного треугольника равно 36. Вписанная окружность касается его боковых сторон в точках А и Р, АР=12. Найдите периметр этого треугольника.

Решение.

I способ

Пусть BCF – равнобедренный треугольник с основанием BF. Проведем высоту CH. Тогда BH=HF и BF=2BH=36. Следовательно, FH=BH=18. Тогда по свойству касательных, проведенных к окружности из одной точки, AB=BH=HF=FP=18. Поскольку СН – ось симметрии треугольника ВСF, то центр вписанной окружности лежит на СН, а AB=FP. Следовательно, точки А и Р симметричны относительно прямой СН и поэтому АР||BF. Значит, треугольники АСР и BCF подобны. Отсюда следует, что треугольник АСР равнобедренный и АС=АР. Пусть АС=х. Из подобия треугольников ACP и BCF следует . Отсюда получаем , значит, х=9. Поэтому, ВС=СР=х+18=27. Следовательно, искомый периметр треугольника BCF равен BF+2BC=36+54=90.

II способ

Так как дана вписанная окружность, то J – есть педальная точка, тогда треугольник АРН – педальный.

, BC=CF, так как треугольник BCF- равнобедренный, ВС=х , АР=12,

По изученным свойствам педального треугольника

,

ВС=27, CF=27, BF=36.

PBCF=27+27+36=90.

Таким образом, знание свойств педального треугольника, месторасположения точки Брокара значительно упрощают решение сложных математических задач.

Заключение

Задачи  включающие в себя решение и разбор тем по замечательным точкам треугольника в школьной программе раскрываются не полностью и большая часть остается неизученной(непройденой).Такие задачи для учеников являются сложными и непривычными, в течение изучения данной темы по школьной программе не вырабатываются необходимые навыки по решению таких задач. Данная тема может частично раскрыться лишь на внеклассных занятиях или с помощью самостоятельного обучения. Эта проблема нас очень заинтересовала и мы постарались в ней разобраться

В данной работе была дана общая характеристика треугольника как геометрической фигуры, был детально рассмотрен педальный треугольник, его свойства, точка Брокара.

В рассмотренных задачах показано практическое применение свойств педального треугольника для их решения. Следует отметить, что это позволяет решать сложные математические задачи просто, красиво, понятно. В данной работе мы сделали упор на аналитический и логический  способ решения задач. В ходе изучения данной темы мы сформировали собственные навыки решения геометрических задач, а также приобрели навыки организаторской деятельности, самостоятельного поиска необходимого научного материала из различных источников информации.

Считаем, что данная работа может использоваться на факультативных занятиях для 7-11 классов , а так же в профильном обучении старших классов.

Литература.

1. Выгодский М.Я.  Справочник по элементарной математике. М.:«Наука» 1986г.

2.Савин А.П.    Энциклопедический  словарь юного математика М.: «Педагогика» 1989г.

3.Александров А. Д. и др.  Геометрия   8 -9  М.: «Просвещение» 1991 г.

4.Атанасян Л.С.  Геометрия  7 – 9  М.: «Просвещение» 1994г.

5.Бекбоев И.  и др. «Геометрия» 9 класс Алматы «Мектеп» 2009 г.

6.Журнал «Математика в школе» №5 1999г. М.: «Школа –Пресс»

7.Журнал «Математика в школе» №6 1998г. М.: «Школа – Пресс»

8.Газета «Математика» М.: «Первое сентября» №17 2006г.

9.Газета «Математика» М.: «Первое сентября» № 9  1999г.

10. Прасолов В.В  «Задачи по планиметрии» часть 1  М.:«Наука» 1991г.

11. Прасолов В.В «Точки Брокара и изогональное сопряжение»  Библиотека «Математическое просвещение» Выпуск 4,  М.: 2000 г.

12.Болтянский В. Г. и др.  «Векторное изложение геометрии» М.: «Просвещение» 1982 г.

13. Шувалова  Э.З., Каплун В.И.  «Геометрия»  М.: «Высшая школа» 1980 г.