Школьный курс планиметрии содержит не так много информации по геометрии конфигурации треугольников и окружностей. А тема эта очень интересна. Многие великие ученые, такие как Гаусс, Эйлер, Лейбниц, Чева, Симпсон занимались решением задач связанных с комбинацией треугольника и окружности. С древнейших времен окружность и треугольник считали совершенными фигурами, в некоторых странах их наделяли и наделяют магическими смыслом и не случайно. Казалось бы, каждая из них изучена досконально, вдоль и поперек, но вот они в паре. В сотрудничестве они подарили множество открытий миру математики и принесли всемирную известность К. Фейербаху и многим другим ученым.
Цель данной работы – рассмотреть ту часть геометрии, которая не изучается в школе, но является ее естественным продолжением. Речь идет о геометрии конфигурации «треугольник – окружность».
В ходе выполнения работы решались следующие задачи:
1) Формирование навыков самостоятельной работы с различными источниками информации;
2) Развитие математической культуры, углубление и расширение знаний о замечательных точках и линиях треугольника; комбинации «треугольник – окружность»;
3) Формирование умений использования теоретических знаний при решении задач.
В ходе выполнения данной работы были изучены ряд новых понятий и фактов из геометрии на плоскости, таких как теоремы Менелая, Чевы, Жергонна, Нагеля и др., а также некоторые специальные преобразования (изотомическое и изогональное), с помощью которых легко получать новые замечательные свойства.
Также в данной работе рассмотрены такие интересные факты геометрии, как окружность девяти точек (окружность Эйлера) и её свойства, точки Жергонна, Нагеля и Лемуана, прямые Нагеля и Эйлера. Так же приведены решения нескольких задач.
Такие задачи для учеников являются сложными и непривычными, в течение изучения данной темы по школьной программе не вырабатываются необходимые навыки по решению таких задач. Данная тема может частично раскрыться лишь на внеклассных занятиях или с помощью самостоятельного обучения.
Данная работа может использоваться на факультативных занятиях для 8-11 классов , а так же в профильном обучении старших классов.
Вложение | Размер |
---|---|
yulya-novoe.doc | 152.5 КБ |
XV Поволжская научная конференция учащихся им. Н.И.Лобачевского
Секция: математика
Исследовательская работа
Геометрия конфигурации «треугольник – окружность».
Соловьева Юлия, 10 класс
Направляющая организация:
МБОУ «Шеморданский лицей
Сабинского муниципального района РТ»
Научный руководитель:
учитель математики высшей
категории Закирова И.С.
Казань 2014
Оглавление.
Введение ………………………………………………… 3 стр.
Глава I. Некоторые предварительные факты и теоремы из
геометрии треугольников
П.1.1. Окружность девяти точек ……………………….. 5 стр.
П.1.2 Теоремы Чевы и Менелая ……………………… 7 стр.
Глава II. Точки Жергона, Нагеля и Лемуана ………… 13 стр.
Глава III. Прямые Эйлера и Нагеля …………………. 16 стр.
Заключение ……………………………………………. 20 стр.
Литература…………………………………………….. 21 стр.
Введение
Школьный курс планиметрии содержит не так много информации по геометрии конфигурации треугольников и окружностей. А тема эта очень интересна. Многие великие ученые, такие как Гаусс, Эйлер, Лейбниц, Чева, Симпсон занимались решением задач связанных с комбинацией треугольника и окружности. С древнейших времен окружность и треугольник считали совершенными фигурами, в некоторых странах их наделяли и наделяют магическими смыслом и не случайно. Казалось бы, каждая из них изучена досконально, вдоль и поперек, но вот они в паре. В сотрудничестве они подарили множество открытий миру математики и принесли всемирную известность К. Фейербаху и многим другим ученым.
Цель данной работы – рассмотреть ту часть геометрии, которая не изучается в школе, но является ее естественным продолжением. Речь идет о геометрии конфигурации «треугольник – окружность».
В ходе выполнения работы решались следующие задачи:
1) Формирование навыков самостоятельной работы с различными источниками информации;
2) Развитие математической культуры, углубление и расширение знаний о замечательных точках и линиях треугольника; комбинации «треугольник – окружность»;
3) Формирование умений использования теоретических знаний при решении задач.
В ходе выполнения данной работы были изучены ряд новых понятий и фактов из геометрии на плоскости, таких как теоремы Менелая, Чевы, Жергонна, Нагеля и др., а также некоторые специальные преобразования (изотомическое и изогональное), с помощью которых легко получать новые замечательные свойства.
Также в данной работе я рассмотрела такие интересные факты геометрии, как окружность девяти точек (окружность Эйлера) и её свойства, точки Жергонна, Нагеля и Лемуана, прямые Нагеля и Эйлера. Так же приведены решения нескольких задач.
Напомню о некоторых хорошо знакомых из школьного курса замечательных точках треугольника:
М – точка пересечения медиан (центр тяжести) или центроид (рис. 1), Н — точка пересечения высот (ортоцентр) (рис.2), F – точка пересечения биссектрис, О — центр описанной окружности (рис. 3), I — центр вписанной окружности (рис. 4).
Рис. 1
Рис.2
Рис.3
Рис. 4
При исследовании этих замечательных точек были получены красивые результаты для окружности и прямой Эйлера, а так же найдены и другие замечательные точки, такие как точки Жергонна, Нагеля и Лемуана. Но обо всем по порядку.
Некоторые предварительные факты и теоремы из геометрии треугольников
П.1.1. Окружность девяти точек
У каждого треугольника есть окружность девяти точек, притом единственная.
Определение. Окружность девяти точек – это окружность, проходящая через следующие три тройки точек, положение которых определено для треугольника: основания его высот D1, D2 и D3 , основания его медиан D4, D5 и D6, и середины D7, D8 и D9 отрезков прямых от точки пересечения его высот H до его вершин.
Рис.6
Эта окружность была открыта великим ученым Л. Эйлером в XVIII веке, поэтому её часто называют окружностью Эйлера. Прошло столетие, и окружность заново открыл учитель провинциальной гимназии в Германии Карл Фейербах (родной брат известного философа Людвига Фейербаха). Он сформулировал следующую теорему
Теорема Фейербаха. Окружность девяти точек касается вписанной в треугольник окружности и всех вневписанных окружностей.
Из теоремы вытекает, что окружность девяти точек имеет ещё четыре точки D10, D11, D12 и D13 тесно связанных с геометрией любого данного треугольника. В честь открывателя эти точки называются точками Фейербаха. Таким образом, окружность девяти точек на самом деле является окружностью тринадцати точек.
Окружность девяти точек очень легко построить, если знать два её свойства.
Свойство 1о: Центр окружности лежит в середине отрезка, соединяющего центр описанной около треугольника окружности с точкой H – его ортоцентром.
Свойство 2о: Радиус окружности девяти точек для данного треугольника равен половине радиуса описанной около него окружности.
Рис. 7
П.1.2 Теоремы Чевы и Менелая
Большинство замечательных точек треугольника могут быть получены при помощи следующей процедуры.
Пусть имеется некоторое правило, согласно которому можно выбрать определенную точку A1, на стороне BC (или её продолжении) треугольника ABC (например, выберем середину этой стороны). Затем построим аналогичные точки B1, C1 на двух других сторонах треугольника (в нашем примере еще две середины сторон). Если правило выбора удачное, то прямые AA1 , BB1 , CC1 пересекутся в некоторой точке Z (выбор середин сторон в этом смысле, конечно, удачный).
Поэтому хотелось бы иметь какой-нибудь общий метод, позволяющий по положению точек на сторонах треугольника определять, пересекается ли соответствующая тройка прямых в одной точке или нет.
Универсальное условие, «закрывшее» эту проблему, нашёл в 1678 г. итальянский инженер Джованни Чева.
Определение. Отрезки, соединяющие вершины треугольника с точками на противолежащих сторонах, называют чевианами. Можно сказать, что эта теорема служит фундаментом всей геометрии треугольника.
Прямая теорема Чевы (случай внутренней точки). В произвольном треугольнике АВС на сторонах ВС, СА, АВ взяты соответственно точки А1, В1, С1, (рис. 10) тогда выполняются следующие два равносильных утверждения:
а) прямые АА1, ВВ1, СС1 пересекаются в некоторой внутренней точке Z треугольника АВС;
б) (условие Чевы).
Рис. 10
Доказательство:
Доказать прямую теорему Чевы (аб) проще всего, заменив отношения отрезков в условии Чевы на отношение площадей:
.
Следовательно,
.
Точно так же получим, что
,
Теперь осталось только перемножить эти три равенства:
.
Обратная теорема Чевы. Пусть АА1 и ВВ1 пересекаются в точке Z. Пусть прямая СZ пересекает сторону АВ треугольника в точке С2. Для точек А1, В1, С2 выполняется условие Чевы:
.
Сопоставив это соотношение с заданным равенством, приходим к выводу, что
,
откуда следует, что С1=С2.
Замечание. А как запомнить, произведение каких именно отношений входит в условие Чевы? Обойдем, все три вершины треугольника, стартовав из точки В. По дороге в точку С мы наткнёмся на точку А, и образуем дробь, в числителе которой будет стоять ВА1, а в знаменателе — СА1. Далее идём из С в А, записываем второе отношение, и далее, идём из А в В.
Эта процедура не зависит от выбора «отправной» вершины и направления обхода, т. е. что всегда будет получаться, по сути, одно и то же равенство.
Теорема Чевы: случай внешней точки. Бесконечно удалённые точки плоскости.
Теорема Чевы остаётся справедливой и для внешней точки Z треугольника и точек А1, В1 , С1, одна из которых принадлежит стороне треугольника, а две другие — продолжениям сторон. (Разумеется, и «правило обхода» остаётся в силе. Следует только помнить, что при составлении отношений, выходя из вершины, мы сначала идём в точку деления — она может теперь быть расположена вне стороны, а потом к очередной вершине.)
Для внешней точки Z рассуждение аналогично.
Теорема Менелая. Пусть пересечен прямой, не параллельной стороне АВ и пересекающей две его стороны АС и ВС соответственно в точках В1 и А1, а прямую АВ в точке С1 тогда
Рис. 11.
Теорема обратная теореме Менелая. В треугольнике АВС точки А1, В1, С1 принадлежит прямым ВС, АС, АВ соответственно, тогда если
,
то точки А1, В1, С1 лежат на одной прямой.
Рис. 12
Задачи к пункту 1.2.
1.2.1. Пусть AD - медиана треугольника ABC. На AD взята точка K так, что AK:KD=3:1. В каком отношении прямая BK делит площадь треугольника ABC?
Рис. 13
Решение:
Применяя теорему Менелая к треугольнику ACD и секущей BP, получим
1.2.2. Три окружности разных радиусов расположены на плоскости так, что ни одна из них не лежит целиком в круге, ограниченном другой. Каждой паре окружностей сопоставим точку пересечения внешних двойных касательных. Докажите, что полученные три точки лежат на одной прямой.
Решение:
Рис. 14
Пусть радиусы окружностей с центрами О1, О2, О3 равны r1, r2, r3 соответственно. Тогда
,
так как окружности с центрами О1 и О2 гомотетичны относительно точки С, а отношение радиусов
– коэффициент гомотетии. Аналогично,
.
Таким образом,
По теореме, обратной к теореме Менелая, точки принадлежат одной прямой.
Точки Жергона, Нагеля и Лемуана
Определение. Точкой Жергонна G называется точка пересечения прямых, проходящих через точки касания вписанной окружности и противолежащие вершины.
Рис. 15
Определение. Точкой Нагеля N называется точка пересечении прямых, проходящих через точки касания вневписанных окружностей со сторонами треугольника и противолежащие вершины.
Рис. 16
Чтобы ввести понятие точки Лемуана нам понадобится понятие изогонального сопряжения. Выберем в плоскости треугольника АВС любую точку Р и проведем через вершины треугольника и эту точку три прямые. Затем каждую из этих прямых симметрично отразим относительно биссектрисы соответствующего угла. Заметим, что при этом каждая пара симметричных прямых будет образовывать одинаковые углы с биссектрисой, а также и с парой сторон треугольника. Оказывается, новая тройка прямых всегда будет пересекаться в одной точке, которую и называют изогональным образом точки Р.
Теорема Матье. Для пары изогонально сопряженных точек произведение соответственных расстояний от этих точек до сторон постоянно:
Рис. 17
Определение. Точка Лемуана L— точка, изогонально сопряжённая центроиду (точке пересечения медиан).
Рис. 18
Т. е. точка Лемуана получена пересечением прямых, симметричных медианам относительно соответствующих биссектрис треугольника.
Определение. Симедианами называют чевианы точки Лемуана.
Дадим ещё одно важное определение.
Определение. Опустим из некоторой точки Р перпендикуляры на прямые, проходящие через стороны треугольника АВС и отметим основания этих перпендикуляров. Они являются вершинами треугольника, который называется педальным треугольником точки Р.
Рис. 19
Кстати, окружность, описанная около педального треугольника, называется педальной окружностью.
Теорема Лемуана. Точка Лемуана К является центроидом своего педального треугольника.
Прямые Эйлера и Нагеля
Теорема. (Прямая Эйлера) В любом треугольнике его ортоцентр H, центроид M и центр описанной окружности O лежат на одной прямой, при чем
.
Рис. 20
Рассмотрим гомотетию с центром в точке пересечения медиан и коэффициентом
.
Она переводит исходный треугольник в серединный (вершины этого треугольника – основания медиан исходного треугольника), причем, являясь преобразованием подобия, должна соответственные точки переводить в соответственные, то есть ортоцентр, например, должен переходить в ортоцентр. Но ортоцентр серединного треугольника совпадает с центром описанной около исходного треугольника окружности.
Теорема (прямая Нагеля). В любом не равностороннем треугольнике его точка Нагеля N, центроид M и центр вписанной окружности I лежат на одной прямой, причем
.
Рис. 21
Прямые Эйлера и Нагеля ведут себя почти как близкие родственники поэтому не случайно был доказан факт об эквивалентности этих прямых.
Теорема. Существование прямой Эйлера эквивалентно существованию прямой Нагеля.
Задачи к параграфу 3
3.1. Докажите, что центр окружности Эйлера лежит на прямой Эйлера данного треугольника, причем делит пополам отрезок, соединяющий ортоцентр с центром описанной окружности.
Доказательство.
По определению прямая Эйлера проходит через ортоцентр, центройд и центр, описанной около данного треугольника окружности. Но по свойству 1о центр окружности Эйлера лежит на прямой, проходящей через центр описанной около треугольника окружности с его ортоцентр. Следовательно, центр окружности Эйлера лежит на прямой Эйлера.
Из свойства 1о также следует, что центр окружности Эйлера делит пополам отрезок, соединяющий ортоцентр с центром описанной окружности.
3.3. (Прямая Эйлера.) В произвольном треугольнике точка пересечения высот (ортоцентр Н), точка пересечения медиан (центройд М), центр описанной окружности О и центр окружности Эйлера О1 лежат на одной прямой – прямой Эйлера, при этом
НО1:О1М:МО=3:1:2.
Доказательство.
Рис. 22
(См. рис. 22.) Рассмотрим гомотетию с центром в точке М и коэффициентом
.
При этой гомотетии точка Н пересечения высот большого треугольника отобразится в точку О, являющуюся с одной стороны точкой пересечения серединных перпендикуляров большого треугольника, а с другой стороны (смотри пример 2) – точкой пересечения высот меньшего треугольника. Заметим также, что точки М, О и Н лежат на одной прямой. Заметим также, что рассматриваемая гомотетия отобразит точку О – центр описанной окружности большого треугольника, в точку Эйлера О1- центр описанной окружности малого треугольника. При этом точки О, М и О1 будут также лежать на одной прямой. Из сказанного выше следует, что точки О1 и Н лежат на прямой МО, что и требовалось доказать.
Заметим далее, что отрезок ОМ равен 2О1М, а отрезок НО1=НМ - О1М=2ОМ -
- О1М=4 О1М - О1М =3О1М. Из этого вытекает, что НО1:О1М:МО=3:1:2.
Заключение
Задачи включающие в себя решение и разбор тем по комбинации треугольника и окружности в школьной программе раскрываются не полностью и большая часть остается неизученной (непройденой ). Такие задачи для учеников являются сложными и непривычными, в течение изучения данной темы по школьной программе не вырабатываются необходимые навыки по решению таких задач. Данная тема может частично раскрыться лишь на внеклассных занятиях или с помощью самостоятельного обучения. Эта проблема меня очень заинтересовала, и я постарались в ней разобраться.
В ходе выполнения данной работы были изучены ряд новых понятий и фактов из геометрии на плоскости, таких как теоремы Менелая, Чевы, Жергонна, Нагеля и др., а также некоторые специальные преобразования (изотомическое и изогональное), с помощью которых легко получать новые замечательные свойства.
В рассмотренных задачах показано практическое применение рассмотренных понятий и свойств для их решения. Следует отметить, что это позволяет решать сложные математические задачи просто, красиво, понятно. В данной работе сделан упор на аналитический и логический способ решения задач. В ходе изучения данной темы я сформировала навыки решения геометрических задач, а также приобрела навыки организаторской деятельности, самостоятельного поиска необходимого научного материала из различных источников информации.
Считаю, что данная работа может использоваться на факультативных занятиях для 8-11 классов , а так же в профильном обучении старших классов.
Литература:
6. Энциклопедический словарь юного математика./ Составитель А.П. Савин, М.: «Просвещение», 1989.
Мастер-класс "Корзиночка"
Снег своими руками
Будьте как солнце!
Хитрость Дидоны
О чем поет Шотландская волынка?