XII  Региональный конкурс молодых исследователей

«СТУПЕНЬ В НАУКУ»

Секция: математика

Тема: «Мир цифр и чисел»

Автор работы:

Тадтаева Диана Ильинична

Место выполнения работы:

МАОУ ДОД центр «Интеллект»

г. Владикавказ

Научный руководитель:        

Ерёменко Оксана Андреевна

педагог дополнительного образования

Владикавказ, 2014-2015

Оглавление

Введение.        

ГЛАВА 1.  Происхождение математики.        

ГЛАВА 2. Происхождение цифр.        

ГЛАВА 3. О числе.        

Простые числа        

1.        Простые числа. Решето Эратосфена        

2.  Числа – близнецы        

3.        Проблема Гольдбаха        

Фигурные числа        

1.        Фигурные числа        

2.        Многоугольные числа        

Дружественные, совершенные, компанейские числа        

1.        Дружественные числа        

2.        Совершенные числа        

3.        Компанейские числа        

Числовые суеверия и мистические представления чисел        

1.        Число зверя 666        

2.        Число Шахиризады        

3.        Число на гробнице        

ГЛАВА 4. Нумерология.        

Основы нумерологии. Первое знакомство с числами.        

Исходные данные для нумерологического расчета        

Квадрат Пифагора        

ГЛАВА 5. Исследовательская работа.        

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.        

Библиография:        

«С помощью цифр доказать можно все что угодно».

ТомасКарлейль

Введение.

Возникновение чисел в нашей жизни не случайность. Невозможно представить себе общение без использования чисел. История чисел увлекательна и загадочна. Человечеству удалось установить целый ряд законов и закономерностей мира чисел, разгадать кое-какие тайны и использовать свои открытия в повседневной жизни. Без замечательной науки о числах – математики – немыслимо сегодня ни прошлое, ни будущее. А сколько ещё неразгаданного!

"Самые древние по происхождению числа – натуральные. "Ручейки" натуральных чисел, сливаясь, порождают безбрежный океан вещественных и разного рода особых специальных чисел", так писал о числах Б.А.Кордемский в своей книге "Удивительный мир чисел".

С самого детства нас всех учили считать. 0123456789 - эти цифры знакомы каждому человеку. Для чего же нужны цифры? Как мы ими пользуемся? Когда они появились? Все эти вопросы сильно меня заинтересовали и поэтому в этой работе я хочу подробней  изучить этот удивительный мир чисел.

Предметом моего исследования являются цифры и числа, а такжеих происхождение и влияние на нашу жизнь.

Цель работы:рассказать как можно больше о числах и цифрах, установить их происхождение и влияние чисел на нашу жизнь, а также историю происхождения математики.

Предлагаемая работа является результатом поиска удивительных и необычных чисел, проведенного по литературным источникам.

Основными методами исследования видов чисел являются изучение и обработка литературных источников, систематизация данных и обработка полученных результатов исследования.

Задачи исследования:

Рассмотреть основные этапы развития математики, а также цифр и чисел.

Выделить интересные виды удивительных натуральных чисел: простые, числа - близнецы, фигурные, совершенные, дружественные и другие.

Установить целый ряд свойств, законов и закономерностей этих чисел.

Раскрыть таинственную магию и суеверие о некоторых числах.

ГЛАВА 1.  Происхождение математики.

Математика, как и все другие науки, появилась из потребностей человека. У человека возникла необходимость считать, он больше не мог сказать много, ведь ему нужно было вести счет времени, определять вместимость сосудов, измерять какие либо земельные участки. И это дало толчок началу арифметики и геометрии.

Все мы знаем, сколько будет 2*2, но ведь сколько лет ли даже тысячелетий люди думали над этим примером.

Люди научились считать еще в каменном веке. На первых этапах существования человеческого общества числа, открытые в процессе практической деятельности, служили для примитивного счета предметов, дней, шагов и т.п. В первобытном обществе человек нуждался лишь в нескольких первых числах. Но с развитием цивилизации ему потребовалось изобретать все большие и большие числа. Этот процесс продолжался на протяжении многих столетий и потребовал напряженного интеллектуального труда.

С зарождением обмена продуктами труда у людей появилась необходимость сравнивать число предметов одного вида с числом предмета другого вида. На этом этапе возникли понятия «больше», «меньше», «столько же» или «равно». Знания постепенно росли, и чем дальше, тем больше увеличилась потребность в умении считать и мерить.Первоначально люди считали на пальцах, а измеряли при помощи частей тела.

Прежде чем человек научился считать или придумал слова для обозначения чисел, он, несомненно, владел наглядным, интуитивным представлением о числе, позволявшим ему различать одного человека и двух людей или двух и многих людей. Любой предмет можно было увидеть и потрогать. Число потрогать нельзя, и вместе с тем числа реально существуют, поскольку все предметы можно посчитать. Эта странность заставила людей приписывать числам сверхъестественные свойства.

То, что первобытные люди сначала знали только «один», «два» и «много», подтверждается тем, что в некоторых языках, например в греческом, существуют три грамматические формы: единственного числа, двойственного числа и множественного числа. Позднее человек научился делать различия между двумя и тремя деревьями и между тремя и четырьмя людьми. Счет изначально был связан с вполне конкретным набором объектов. У некоторых племен Австралии и Полинезии до самого последнего времени было только два числительных: «один» и «два», а все числа больше двух, получали названия в виде сочетаний этих двух числительных: число 3 – это «два и один», 4 – «два и два», 5 – «два, два, один».

Жизнь заставляла племена учиться быстрее, поэтому у земледельческих народов математика из наборов отдельных простейших правил постепенно стала превращаться в науку.

Постепенно человеку стали нужны более быстрые и конкретные приемы счета и этими приемами перестали пользоваться.

В средние века математика развивалась в исламских странах, в Китае, Вавилоне, Египте.

Чуть позже арифметика появилась и в Западной Европе. Людей очень заинтересовали цифры, способы счета и в общем мир цифр и чисел.

Арифме́тика (древне-греческий ἀριθμητική от ἀριθμός — число) — раздел математики, изучающий числа, их отношения и свойства.

Геоме́трия (от др.-греч. γῆ — Земля и μετρέω — «измеряю») — раздел математики, изучающий пространственные структуры, отношения и их обобщения.

ГЛАВА 2. Происхождение цифр.

Ци́фры (от ср.-лат. cifra от араб. صفر‎‎ (ṣifr) «пустой, нуль») — система знаков («буквы») для записи чисел («слов») (числовые знаки). Слово «цифра» без уточнения обычно означает один из следующих десяти («алфавит») знаков: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 (т. н. «арабские цифры»). Сочетания этих цифр порождают дву-(и более) значные коды и числа.

Первым способом записи чисел были зарубки на палке. Хорошо если были десятки или сотни, но что делать, если были тысячи? Что бы прочесть все эти зарубки требовалось большое количество времени. Это был очень неудобный способ. И примерно пять тысяч лет назад появились  цифры. Почти одновременно они появились в трех странах Китае, Вавилоне и Египте, но раньше всего они появились в Египте. У всех этих стран цифры обозначались по-разному.

Египетские цифры

Цифры Вавилона

Цифры Китая

У китайцев нечетные числа – это Ян (небо – благоприятность), четные числа – инь (земля, изменчивость и не благоприятность). Нечетность символизирует незавершенность, непрекращающийся процесс, постоянное продолжение, то есть все то, что не имеет конца, относятся к области вечного. Поэтому в орнаментах, в украшениях архитектурных или скульптурных сооружений используется обычно нечетное число черт или элементов. Числа – символ порядка. Реки, деревья и горы представляют собой материализованные числа.

Уметь считать было важно во II в. до н.э., и в высокотехнологичном ХХI столетии. В Древнем Египте сформировалось скорописное иероглифическое письмо, месопотамские писцы использовали клинопись. Первые египетские цифры своей формой передавали природу всех окружающих предметов: животные, растения, предметы быта и т.д. В Египте писали на папирусе, который совершенно не долговечный, и поэтому до нас дошли мало сведений о цифрах  Египта.

Сейчас мы пользуемся арабскими цифрами это такие цифры как 1,2,3,4,5,6,7,8,9,0, но до сих пор некоторые племена аборигенов не знают и не пользуются цифрами.

Но мы не можем существовать без цифр и чисел!

ГЛАВА 3. О числе.

Число является одним из основных понятий математики. Понятие числа развивалось в тесной связи с изучением величин; эта связь сохраняется и теперь.

Существует большое количество определений понятию "число". О числах первый начал рассуждать Пифагор. Пифагору принадлежит высказывание "Всё прекрасно благодаря числу". По его учению число 2 означало гармонию, 5 – цвет, 6 – холод, 7 – разум, здоровье, 8 – любовь и дружбу. А число 10 называли "священной четверицей", так как 10 = 1 + 2 + 3 + 4. Оно считалось священным числом и олицетворяла всю Вселенную.

Первое научное определение числа дал Эвклид в своих "Началах": "Единица есть то, в соответствии, с чем каждая из существующих вещей называется одной. Число есть множество, сложенное из единиц". Так определял понятие числа и русский математик Магницкий в своей "Арифметике" (1703 г.).

Считается, что термин "натуральное число" впервые применил римский государственный деятель, философ, автор трудов по математике и теории музыки Боэций (480 – 524 гг.), но еще греческий математик Никомах из Геразы говорил о натуральном, то есть природном ряде чисел.

Понятием "натуральное число" в современном его понимании последовательно пользовался выдающийся французский математик, философ-просветитель Даламбер (1717-1783 гг.).

Первоначальные представления о числе появились в эпоху каменного века, при переходе от простого собирания пищи к ее активному производству, примерно 100 веков до н. э. Числовые термины тяжело зарождались и медленно входили в употребление. Древнему человеку было далеко до абстрактного мышления, хватило того, что он придумал числа: "один" и "два". Остальные количества для него оставались неопределенными и объединялись в понятии "много". Росло производство пищи, добавлялись объекты, которые требовалось учитывать в повседневной жизни, в связи, с чем придумывались новые числа: "три", "четыре"… Долгое время пределом познания было число "семь".

О непонятном говорили, что эта книжка "за семью печатями", знахарки в сказках давали больному "семь узелков с лекарственными травами, которые надо было настоять на семи водах в течение семи дней и принимать каждодневно по семь ложек".

Познаваемый мир усложнялся, требовались новые числа. Так дошли до нового предела. Им стало число 40. Запредельные количества моделировались громадным по тем временам числом "сорок сороков", равным 1600.

Большой интерес вызывает история числа "шестьдесят", которое часто фигурирует в вавилонских, персидских и греческих легендах как синоним большого числа. Вавилоняне считали его Божьим числом: шестьдесят локтей в высоту имел золотой идол из храма вавилонского царя Навуходоносора. Позже с тем же самым значением (неисчислимое множество) возникли числа, кратные 60: 300, 360. Со временем число 60 в Вавилоне легло в основу шестидесятеричной системы исчисления, следы которой сохранились до наших дней при измерении времени и углов.

Следующим пределом у славянского народа было число "тьма", (у древних греков – мириада), равное 10 000, а запределом – "тьма тьмущая", равное 100 миллионам. У славян применяли также и иную систему исчисления (так называемое "большое число" или "большой счет").

В Античном мире дальше всех продвинулись Архимед (III в. до н.э.) в "исчислении песчинок" - до числа , и Зенон Элейский (IV в. до н. э.) в своих парадоксах – до бесконечности ∞.

Долго и трудно человечество добиралось до 1-го уровня обобщения чисел. Сто веков понадобилось, чтобы выстроить ряд самых коротких натуральных чисел от единицы до бесконечности:1, 2, … ∞ . Натуральных потому, что ими обозначались реальные неделимые объекты: люди, животные, вещи… Самое трудное было придумать нуль. Его придумали на много веков позже, чем другие цифры. Первая точно датированная запись, в которой встречается знак нуля, относится к 876 г.

Простые числа

1. Простые числа. Решето Эратосфена

Каждое натуральное число, большее единицы, делится, по крайней мере, на два числа: на 1 и на само себя. Если ни на какое другое натуральное число оно нацело не делится, то называется простым, а если у него имеются ещё какие-то целые делители, то составным. Единичка же не считается ни простым числом, ни составным.

Небольшую "коллекцию" простых чисел можно составить старинным способом, придуманный ещё в 3 в. до н. э. Эратосфеном Киренским, хранителем знаменитой Александрийской библиотеки.

Выпишем несколько подряд идущих чисел, начиная с 2. Двойку отберём в свою коллекцию, а остальные числа, кратные 2, зачеркнем. Ближайшим незачёркнутым числом будет 3. Возьмём в коллекцию и его, а все остальные числа, кратные 3, зачеркнем. При этом окажется, что некоторые числа уже были вычеркнуты раньше, как, например, 6, 12 и др. Следующее наименьшее незачёркнутое число – это 5. Берем пятерку, а остальные числа, кратные 5,зачеркиваем. Повторяя эту процедуру снова и снова, в конце концов добьемся того, что незачеркнутыми останутся одни лишь простые числа – они словно просеялись сквозь решето. Поэтому такой способ и получил название "решето Эратосфена".

Простых чисел бесконечное множество.

2.  Числа – близнецы

Два простых числа, которые отличаются на 2, как 5 и 7, 11 и 13, 17 и 19, получили название "близнецы". В натуральном ряду имеется даже "тройня" - это числа 3, 5, 7. Ну а сколько всего существует близнецов - современной науке неизвестно.

В пределах первой сотни близнецы – это следующие пары чисел: (3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43), (59, 61), (71,73). По мере удаления от нуля близнецов становится все меньше и меньше. Близнецы могут собираться в скопления, образуя четверки, например, (5, 7, 11, 13) или (11, 13, 17, 19). Как много таких скоплений – тоже пока неизвестно.

3. Проблема Гольдбаха

В 1742 г. член Петербургской Академии наук Гольдбах в письме к Эйлеру высказал предложение, что любое целое положительное число, большее пяти, представляет собой сумму не более чем трех простых чисел.

50 = 47 + 3, 46 = 43 + 3, 32 = 29 + 3.

Гольдбах испытал очень много чисел и ни разу не встретил такого числа, которое нельзя было бы разложить на сумму двух или трех простых слагаемых. Но будет ли так всегда, он не доказал. Долго ученые занимались этой задачей, которая названа "проблемой Гольдбаха" и сформулирована так, требуется доказать или опровергнуть предложение:

Всякое число, большее единицы, является суммой не более трех простых чисел.

Л. Эйлер ответил Х. Гольдбаху, что он высказывает (без доказательства) еще более интересную догадку: "Всякое четное натуральное число, большее двух, представляет собой сумму двух простых чисел".

12 = 5+ 7; 64 = 59 + 5 = 41 +23 = 47 +17; 28 = 11 + 17 = 23 + 5;

162 = 157 + 5 = 151 + 11 = 139 + 23 = 131 + 31.

Почти 200 лет выдающиеся ученые пытались разрешить проблему Гольдбаха – Эйлера, но безуспешно.

Фигурные числа

1. Фигурные числа

Давным-давно, помогая себе при счете камушками, люди обращали внимание на правильные фигуры, которые можно выложить из камушков. Можно просто класть камушки в ряд: один, два, три. Если класть их в два ряда, чтобы получались прямоугольники, то получаются все четные числа. Можно выкладывать камни в три ряда: получатся числа, делящиеся на три.

Фигурные числа — общее название чисел, связанных с той или иной геометрической фигурой.

Различают следующие виды фигурных чисел:

Линейные числа — числа, не разлагающиеся на множители, то есть их ряд совпадает с рядом простых чисел, дополненным единицей: 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, …

Плоские числа — числа, представимые в виде произведения двух сомножителей, то есть составные: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, …

Телесные числа — числа, представимые произведением трёх сомножителей: 8, 12, 16, 18, 20, 24, 27, 28, …

2. Многоугольные числа

Выкладывая различные правильные многоугольники, можно получить разные классы многоугольных чисел. Предположительно от фигурных чисел возникло выражение: "Возвести число в квадрат или в куб".

Последовательность треугольных чисел: 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 4 и т.д. (1, 1+2=3, 1+2+3=6, 1+2+3+4=10, 1+2+3+4+5=15 и т. д.)

Квадратные числа представляют собой произведение двух одинаковых натуральных чисел, то есть являются полными квадратами: 1, 4, 9, 16, 25, 36, и т.д. (1+3=4, 1+3+5=9, 1+3+5+7=16).

Пятиугольные числа 1, 5, 12, 22, 35, 51, 70, 92, 117, 145

Пирамидальные числа возникают при складывании круглых камушков горкой так, чтобы они не раскатывались. Получается пирамида. Каждый слой в такой пирамиде - треугольное число. Наверху один камушек, под ним - 3, под теми - 6 и т.д.: 1, 1+3=4, 1+3+6=10, 1+3+6+10=20, ...

Кубические числа возникают при складывании кубиков: 1, 2·2·2=8, 3·3·3=27, 4·4·4=64, 5·5·5=125... и так далее.

Дружественные, совершенные, компанейские числа

1. Дружественные числа

Дружественные числа – это два натуральных числа, для которых сумма всех делителей первого числа (кроме него самого) равна второму числу и сумма всех делителей второго числа (кроме него самого) равна первому числу. По свидетельству античного философа Ямвлиха, великий Пифагор на вопрос, кого считать своим другом, ответил: "Того, кто является моим вторым Я, как числа 220 и 284".

История дружественных чисел теряется в глубине веков. Эти удивительные числа были открыты последователями Пифагора. Правда пифагорейцы знали только одну пару дружественных чисел – 220 и 284. Проверим эту пару чисел на свойство дружественных чисел:

1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284,

1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220.

Долго считалось, что следующую пару дружественных чисел 17296 и 18416 открыл в 1636 году знаменитый французский математик Пьер Ферма. Но недавно в одном из трактатов арабского ученого Ибн аль-Банны (1256-1321) были найдены строки: "Числа 17296 и 18416 являются дружественными. Аллах всеведущ".

А задолго до Ибн аль-Банны другой арабский математик абу-Хасан Сабит ибн Курра (836-901) сформулировал правило, по которому можно получить некоторые дружественные числа:

если для некоторого n числа p=3·2n-1-1, q=3·2n-1 и r=9·22n-1-1 простые, то числа A=2npq и B=2nr - дружественные.

При n=2, числа p=5, q=11, r=71 простые, и получается пара чисел Пифагора: 220 и 284.

При n=4, числа p=23, q=47, r=1151 простые, и получается пара чисел Ибн аль-Банны и Ферма 17296 и 18416.

При n=7 получается пара чисел, найденная в 1638 году французским математиком и философом Рене Декартом.

После Декарта первым получил новые дружественные числа Леонард Эйлер. Он открыл 59 пар дружественных чисел, среди которых были и нечетные числа, например, 9773505 и 11791935. Он предложил пять способов отыскания дружественных чисел. Эту работу продолжили математики следующих поколений. В настоящее время известно около 1100 пар дружественных чисел. В 1867 году шестнадцатилетний итальянец Никколо Паганини потряс математический мир сообщением о том, что числа 1184 и 1210 дружественные! Эту пару, ближайшую к 220 и 284, проглядели все знаменитые математики, изучавшие дружественные числа.

Пару чисел 220 и 284 стали считать символом дружбы. В Средние века имели хождение талисманы с выгравированными на них числами 220 и 284, якобы способствующими укреплению любви.

Дружественные числа продолжают скрывать множество тайн. Например, есть ли пары, в которых одно число четное, а другое - нечетное? Конечно или бесконечно число пар дружественных чисел? Существует ли общая формула, позволяющая описать все пары дружественных чисел?

2. Совершенные числа

Иногда частным случаем дружественных чисел считаются совершенные числа: каждое совершенное число дружественно себе. НикомахГерасский, знаменитый философ и математик, писал: "Совершенные числа красивы. Но известно, что вещи редки и немногочисленны, безобразные встречаются в изобилии. Избыточными и недостаточными являются почти все числа, в то время как совершенных чисел немного" Но, сколько их, Никомах, живший в первом столетии нашей эры не знал.

Совершенным называется число, равное сумме всех своих делителей (включая 1, но исключая само число).

Первым прекрасным совершенным числом, о котором знали математики Древней Греции, было число "6". На шестом месте на званном пиру возлежал самый уважаемый, самый почетный гость. В библейских преданиях утверждается, что мир был создан в шесть дней, ведь более совершенного числа, среди совершенных чисел, чем "6", нет, поскольку оно первое среди них.

Рассмотрим число 6. Число имеет делители 1, 2, 3 и само число 6. Если сложить делители, отличные от самого числа 1 + 2 + 3 то мы получим 6. Значит, число 6 дружественно самому себе и является первым совершенным числом.

Следующим совершенным числом, известным древним, было "28". Мартин Гарднер усматривал в этом числе особый смысл. По его мнению, Луна обновляется за 28 суток, потому что число "28" – совершенное. В Риме в 1917 году при подземных работах было открыто странное сооружение: вокруг большого центрального зала расположены двадцать восемь келий. Это было здание неопифагорейской академии наук. В ней было двадцать восемь членов. До последнего времени столько же членов, часто просто по обычаю, причины которого давным-давно забыты, полагалось иметь во многих ученых обществах. До Евклида были известны только эти два совершенных числа, и никто не знал, существуют ли другие совершенные числа и сколько таких чисел вообще может быть.

Благодаря своей формуле, Евклид сумел найти еще два совершенных числа: 496 и 8128.

Почти полторы тысячи лет люди знали только четыре совершенных числа, и никто не знал, могут ли существовать еще числа, которые можно представить в евклидовской формуле, и никто не мог сказать, возможны ли совершенные числа, не удовлетворяющие формуле Евклида.

Формула Евклида позволяет без труда доказывать многочисленные свойства совершенных чисел.

– Все совершенные числа треугольные. Это значит, что, взяв совершенные число шаров, мы всегда сможем сложить из них равносторонний треугольник.

– Все совершенные числа, кроме 6, можно представить в виде частичных сумм ряда кубов последовательных нечетных чисел 13 + 33 + 53…

– Сумма обратных всем делителям совершенного числа, включая его самого, всегда равна 2.

Кроме того, совершенство чисел тесно связано с двоичностью. Числа: 4=2Ч2, 8 = 2· 2· 2, 16 = 2 · 2 · 2 · 2 и т.д. называются степенями числа 2 и могут быть представлены в виде 2n, где n – число перемноженных двоек. Все степени числа 2 чуть-чуть "не достают" до того, чтобы стать совершенными, так как сумма их делителей всегда на единицу меньше самого числа.

– Все совершенные числа (кроме 6) заканчиваются в десятичной записи на 16, 28, 36, 56, 76 или 96.

3. Компанейские числа

Понятия совершенных и дружественных чисел часто упоминаются в литературе по занимательной математике. Однако почему-то мало говорится о том, что числа могут дружить и компаниями. Понятие компанейских чисел хорошо раскрывается в англоязычных источниках.

Компанейскими называется такая группа из k чисел, в которых сумма собственных делителей первого числа равна второму, сумма собственных делителей второго – третьему и т.д. А первое число равно сумме собственных делителей k-го числа.

Есть компании по 4, 5, 6, 8, 9 и даже 28 участников, а вот по три не найдено. Пример пятёрки, пока единственной известной: 12496, 14288, 15472, 14536, 14264.

Числовые суеверия и мистические представления чисел

1. Число зверя 666

Число зверя 666— число Смита, сумма его цифр равна сумме цифр его простых сомножителей: 2 + 3 + 3 + (3 + 7) = 6 + 6 + 6 = 18.

666 является суммой квадратов первых семи простых чисел:

22 + 32 + 52 + 72 + 112 + 132 + 172 = 666.

666 равно разности и сумме шестых степеней первых трёх натуральных: 16 − 26 + 36 = 666.

666 равно сумме своих цифр и кубов своих цифр:

6 + 6 + 6 + 63 + 63 + 63 = 666.

666 можно записать девятью различными цифрами двумя способами в их возрастающем порядке и одним в убывающем:

1 + 2 + 3 + 4 + 567 + 89 = 666

123 + 456 + 78 + 9 = 666

9 + 87 + 6 + 543 + 21 = 666

Сумма всех целых от 1 до 36 включительно — 666. Это означает, что 666 — это 36-е треугольное число.

2. Число Шахиризады

Число Шахиризады - число 1001, которое фигурирует в заглавии бессмертных сказок "Тысяча и одна ночь". С точки зрения математики число 1001 обладает целым рядом интереснейших свойств: это самое маленькое натуральное четырёхзначное число, которое можно представить в виде суммы кубов двух натуральных чисел:1001=103+13; число 1001 состоит из 77 злополучных чертовых дюжин (1001=13· 77); или из 91 числа 11, или из 143 семёрок; далее, если будем считать, что год равняется 52 неделям, то 1001 - количество ночей в течение 1+ 1+ + года или по- другому: 1001= 52 · 7 +26 . 7+13· 7. В числе Шахиризады литература переплетается с математикой.

3. Число на гробнице

В одной из египетских пирамид ученые обнаружили на каменной плите гробницы выгравированное иероглифами число 2520. трудно точно сказать, за что выпала такая честь на долю этого числа. Может быть, за то, что оно без остатка делится на все без исключения целые числа от 1 до 10. действительно, нет числа, меньшего, чем 2520, обладающего указанным свойством. Нетрудно убедится в том, что это число является наименьшим общим кратным целых чисел первого десятка. Это минимальное число, которое делится без остатка на 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10.

ГЛАВА 4. Нумерология.

Нумерология - это древняя паранаука, исследующая связь чисел с окружающими объектами. Слово «нумерология» происходит от латинского «numerus», которое означает число, и греческого «logos», которое означает «изучать, познавать».

Базис нумерологии - гипотеза о связи комбинации цифр, получаемой из даты рождения человека с его судьбой. Числовой портрет, построенный по нумерологическим методикам, отражает характер человека, его сильные и слабые стороны, природные способности, мотивации и жизненные цели. Нумерологические расчеты можно использовать для понимания того, что предопределено человеку и корректировки его жизненного пути.

Любая нумерологическая система основана на строгом соответствии определенного качества конкретной цифре и более того – конкретному количеству данных цифр в той или иной последовательности. Именно различными способами нахождения различных наборов (комплектов) цифр и отличается одна нумерологическая система от другой. Примеров можно привести достаточно много. Так, каббалистическая нумерология имени, фамилии и отчества человека, где каждой букве алфавита соответствует конкретная цифра, страдает тем, что имена не всегда даются обоснованно или по желанию родителей (в честь кого либо, по близости праздника или именинника, иногда по прихоти бабушек или других людей). Китайская система устанавливает соответствия между цифрами и конкретными органами, которые, в свою очередь, ставят соответствие с конкретными эмоциями, но орган может быть поражен внешним воздействием (однако именно такую возможность поражения органа и предсказывает комбинация цифр, тем более что китайская нумерология также опирается на дату рождения человека, трансформируя ее в системеУСин.

Нумерология — это мистическое знание, содержащее в себе (возможно) тайну сотворения мироздания. Это утверждение впервые озвучили пифагорейцы, опиравшиеся на египетские и восточные корни нумерологии. До сих пор остается до конца не выясненным, из какой страны пришло в современный мир древнее знание. Некоторые нумерологи настаивают, что из Индии, кто-то уверяет, что из Египта, в разных источниках называются разные страны. Да, что и говорить, мнения сильно различаются. К сожалению, эта книга не сможет вместить и сотой доли интереснейших нумерологических теорий и практик.

Нумерология как система знаний об окружающем нас мире включает понятия, которые соответствуют материальному миру, энергетике и духовному развитию человека, то есть отвечает на любой вопрос, который может у него возникнуть. Что, впрочем, неудивительно, ведь числа — явно или скрыто — окружают нас от самого рождения до конца жизненного пути.

Нумерологические приемы можно сравнить с гладкой поверхностью зеркала: пристально всматриваясь в него, человек может разглядеть в себе все достоинства и дополнительные возможности, не замеченные им до этого.

Жизнь каждого человека определяют несколько чисел, а их комбинаций — невероятное множество. И наука нумерология, ее прогнозы и предсказания индивидуальны для каждого. Нумерология может поведать не только о важных событиях в вашей жизни, но и рассказать о подходящей для вас диете, способе лечения средствами народной медицины. Для себя я определяю нумерологию как алгебру судьбы. На четко поставленный вопрос можно получить такой же четкий ответ. Итак, начнем?..

Основы нумерологии. Первое знакомство с числами.

В нумерологии есть общие для любых расчетов принципы и понятия. Например, понятие базовых чисел. Базовыми в нумерологии считаются числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Все они имеют собственные значения (в разных расчетах разные). Если же в процессе расчета вы получаете число, следующее за девяткой, это число не базовое и необходимо складывать дальше (10 = 1 + 0 = 1). Но числа 11 и 22 — исключения. В нумерологии они имеют особое значение и называются мастер-числами. Мастер-число — это число высшего порядка. Человек, в расчетах которого появляется 11 или 22, должен обязательно об этом знать и сделать для себя соответствующие выводы. Правда, на практике человек, получивший в расчетах 11 или 22, редко полностью соответствует понятию мастер-числа, поэтому можно произвести сложение далее (1 + 1 = 2, 2 + 2 = 4). Однако присутствие этих чисел даже в промежуточных расчетах оказывает сильнейшее влияние на его жизнь.

Единица

Единица — символ уверенности в себе. Она подчеркивает такие качества человека, как независимость, лидерство, амбициозность. Для этого числа характерно стремление идти к цели своим собственным путем, не рассчитывая ни на чью помощь, и желание быть во всем первым.

Двойка

Самое главное для Двойки — отношения с окружающим миром. От того, насколько они гармоничны и прочны, зависит ее благополучие. Характеристики Двойки можно выразить словами: дружелюбность, контактность, уступчивость, объективность. Двойка обладает даром поддерживать отношения с людьми в любой обстановке и при любых условиях.

Тройка

Тройка — великолепный рассказчик и такой же великолепный слушатель. Область ее талантов не ограничена, но чаще всего проявляется в литературе. Тройка способна превратить скучные будни в постоянный праздник. Не унывает ни при каких обстоятельствах. Вечный оптимист.

Четверка

Четверка, на первый взгляд, кажется неудачным числом. Это число связано не с трудностями, а с трудолюбием. Да, Четверке ничего не достается даром, зато и удовлетворение от полученного результата гораздо больше, чем у других. Найти точку опоры, чтобы перевернуть мир, удается не каждому, но Четверка на такое способна. Надежность, искренность, жизненная стойкость — вот основные черты этого числа.

Пятерка

Пятерка — это парад возможностей. Фестиваль способностей и интересов. Всегда полные энтузиазма, люди этого числа предпочитают находиться в движении. Многообразие интересов позволяет ей общаться с самыми разными людьми и получать от этого не только удовольствие, но и пользу.

Шестерка

Ключевое понятие для Шестерки — поддержание равновесия во всем: это и отношения с людьми других чисел, и материальное благополучие. Этому числу для полного счастья недостаточно только получать, нужно и отдавать, причем это относится ко всему: дружбе, любви, знаниям.

Семерка

Удел Семерки — уединение, исследование, стремление к совершенству. Люди этого числа обожают все таинственное, стремятся к познанию сути всех явлений. Накапливать опыт и знания Семерка предпочитает самостоятельно, не доверяя суждениям других людей. Стремление к уединению становится особенно сильным в сложных жизненных ситуациях.

Восьмерка

Законченный материалист. Ничего не принимает на веру, всему требует доказательств. Положительным признает только реальный, ощутимый, практический результат. Сущность этого числа составляют: решительность, неустрашимость, ответственность, компетентность. Иногда Восьмерку называют «числом бизнесмена».

Девятка

Определяющая задача для Девятки — служение людям. Главная трудность при выполнении этой миссии состоит в том, чтобы научиться отдавать то, что уже имеешь, и не требовать при этом ничего взамен.

Мастер-число. Одиннадцать

Мастер-число. Представители этого числа обычно обладают повышенной интуицией и умением пользоваться недоступными другим людям внутренними резервами. Они могут совершать различные открытия и постигать вещи, скрытые для большинства. Однако возможности этого мастер-числа не так уж и часто используются в обычной жизни. Зачастую число 11 просто сводится к Двойке.

Мастер-число. Двадцать два

Еще одно мастер-число, еще более сильное, нежели 11. Человек с этим мастер-числом может проявлять экстрасенсорные способности, стать в прямом смысле Творцом и Созидателем. Эти люди обладают харизмой, талантом организатора, могут подчинять и увлекать за собой людей. Однако в обычной жизни свойства числа 22 реализуются очень нечасто и, как правило, 22 сводится к обычной Четверке.

Исходные данные для нумерологического расчета

Для того чтобы начать любой нумерологический расчет, нам нужны всего лишь два параметра — это дата рождения (день, месяц, год) и полное имя, которое вы получили при рождении. Это имя, даже если вы потом сменили его или редко используете, имеет особую важность для нумерологического исследования, поскольку оно представляет собой основу для дальнейшего развития.

Нумерологическое сложение (свертывание)

Нумерологическое сложение (иногда его называют свертыванием) сделать очень просто.

Вам нужно сложить все цифры того или иного рассматриваемого числа. Если в результате получено одно из базовых чисел (1, 2… 11, 22), сложение прекращается, если нет — выполняется еще раз.

Например, возьмем 1967 год.

Складываем: 1 + 9 + 6 + 7 = 23

23 не относится к базовым числам, поэтому продолжаем сложение:

2 + 3 = 5.

Таким образом, результат нумерологического сложения числа 1967 — это число 5.

Если в сложении участвуют несколько чисел — скажем, день, месяц и год, то сначала мы выполняем свертывание каждого из чисел в отдельности, и лишь потом складываем полученные базовые числа. А затем, если нужно, выполняем свертывание результирующей суммы.

Например: 16.11.2000.

Складываем так:

Сначала день: 1 + 6 = 7.

Потом месяц: 1+1 = 2.

Затем год: 2 + 0 + 0 + 0 = 2.

Теперь все вместе: 7 + 2 + 2 = 11. Вот оно мастер-число! Складывать ли дальше до 2 (1+1=2) – решайте сами.

Другой пример: 09.06.1967.

Складываем так:

Сначала день: 0 + 9 = 9 (ноль в нумерологии не используется или используется в очень редких случаях, которые заранее оговариваются).

Потом месяц: 06 = 6 (ноль в нумерологии не используется).

Затем год: 1 + 9 + 6 + 7 = 23 = 2 + 3 = 5

Теперь все вместе: 9 + 6 + 5 = 20 = 2 + 0 = 2.

Числовые соответствия букв алфавита

Для того чтобы вычислить число своего имени, нужно разобраться с числовыми соответствиями букв алфавита. Расчет производится по таблице.

Для английского алфавита соответствия такие:

Для примера, рассчитаем число имени Диана. Складываем, используя таблицу.

 5 + 1+ 1 + 6 +  = 13 = 5. Итог нумерологического сложения для имени Диана — число 5.

Если нужно вычислить число полного имени, то сначала делается сложение для имени, потом — для отчества, потом — для фамилии. Затем полученные числа складываются и приводятся к базовому числу.

Квадрат Пифагора

Существуют и другие способы «работы» с датой рождения, но предпочтение отдается именно расчету по числовой системе Пифагора, так как ее простота и обоснованность дают надежду на ее гениальность («все гениальное – просто»).

Основоположником современной нумерологии считается древнегреческий математик Пифагор, разработавший нумерологическую методику, известную как "Квадрат Пифагора".

Квадрат Пифагора - это отдельное направление нумерологии. По сути это учение берет свое начало от египетских жрецов. Именно они одни из первых начали сопоставлять качества характера человека в зависимости от чисел. Пифагор взял за основу эти знания о числах и применил к ним математический аспект, основанный на гармонии квадрата.
Пифагор и его последовали расширили возможности египетской системы, дополнив значения отдельных цифр значениями целевых линий квадрата Пифагора. Таким образом новое учение помогало выявить возможную цель жизни человека.

Трудно найти человека, у которого имя Пифагора не ассоциировалось бы с теоремой Пифагора. Даже те, кто в своей жизни далек от математики, продолжают сохранять воспоминания о «пифагоровых штанах» - квадрате на гипотенузе, равновеликом двум квадратам на катетах. Причина такой популярности теоремы Пифагора ясна: это простота - красота - значимость.

Числа всегда представляли интерес не только для математиков, но и для мистиков; если первых интересует исключительно количественное значение чисел, то вторые уделяют внимание оккультному, метафизическому. Последователи Пифагора изучали свойства чисел, поднимаясь на первую ступень эзотерического знания; исламские мыслители рассматривали их как первооснову всех наук, искусства и культуры, а адепты учения Каббалы считали их лежащими в основе мира.

Даже люди, далекие от оккультизма и не принимающие всерьез гадания и предсказания, порой упоминают о своих «счастливых» и «несчастливых», «любимых» и «нелюбимых» числах. Игроки, азартные и по-своему суеверные, пускаются в мудреные вычисления в надежде предсказать, на какое число укажет стрелка, или какая лошадь придет первой, и даже студенты технических вузов перед экзаменами обращаются к невесть кем изобретенным методам, чтобы узнать, какой билет им достанется.

Число – это самая простая для понимания абстракция, и едва ли не самая загадочная. Нумерологи изучают вибрации, свойственные каждому числу, и оказывающие влияние на характер и судьбу человека. Информация об этих вибрациях, отличающихся числом колебаний в секунду, необходима каждому из нас для создания в гармонии – другими словами, для того, чтобы обрести счастье.

Западные нумерологии, которых можно считать наследниками пифагорейцев, оперируют однозначными числами, которые получают с помощью так называемого «естественного сложения» - суммирования цифр, составляющих число. Например, чтобы оценить вибрации числа 13, столь нелюбимого многими, следует сложить 1 и 3; результатом этих вычислений будет 4; если перед нами не менее зловещее число 666, производим следующие расчеты: 6+6+6=18, а затем 1+8 =9.

«Естественное сложение» применяется для вычисления чисел, влияющих на наше место в мире, стремления и открывающиеся возможности; а также расчета вибраций, под влиянием которых каждый из нас находится в определенный день, год и месяц своей жизни.

Поняв, какое влияние оказывают на вас вибрации, вы сможете избавить себя от ошибок, связанных с непониманием себя и окружающего мира, отличить вредное влияние от полезного и выбрать тот жизненный путь, который подходит именно вам.

Для того, чтобы понять, что такое магический квадрат Пифагора и как подсчитываются его показатели, сделаю его расчет на своем примере. А чтобы убедиться, что результаты подсчета действительно соответствуют реальному характеру той или иной личности, вначале я проверю его на себе. Для этого я буду делать расчет по своей дате рождения. Итак, моя дата рождения 16.11.2000. Сложим цифры дня, месяца и года рождения (без учета нулей): 1 + 6 + 1 + 1 + 2 = 11. Далее складываем цифры результата: 1 + 1 = 2. Затем из первой суммы вычитаем удвоенную первую цифру дня рождения: 11 – 2 = 9.

Осталось сделать последние сложения – 1-й и 3-й и 2-й и 4-й сумм. Получили числа 16.11.2000,11,2,9, 1, 9 и составляем магический квадрат так, чтобы все единицы этих чисел вошли в ячейку 1, все двойки – в ячейку 2 и т. д. Нули при этом во внимание не принимаются. В результате мой квадрат будет выглядеть следующим образом:

Ячейки квадрата означают следующее:

Ячейка 1 – целеустремленность, воля, упорство, эгоизм.

1 – законченные эгоисты, стремятся из любого положения извлечь максимальную выгоду.

11 – характер, близкий к эгоистическому.

111 – «золотая середина». Характер спокойный, покладистый, коммуникабельный.

1111 – люди сильного характера, волевые. Мужчины с таким характером подходят на роль военных – профессионалов, а женщины держат свою семью в кулаке.

11111 – диктатор, самодур.

111111 – человек жестокий, способный совершить невозможное; нередко попадает под влияние какой – то идеи.

Ячейка 2 – биоэнергетика, эмоциональность, душевность, чувственность. Количество двоек определяет уровень биоэнергетики.

Двоек нет – открыт канал для интенсивного набора биоэнергетики. Эти люди воспитаны и благородны от природы.

2 – обычные в биоэнергетическом отношении люди. Такие люди очень чувствительны к изменениям в атмосфере.

22 – относительно большой запас биоэнергетики. Из таких людей получаются хорошие врачи, медсестры, санитары. В семье таких людей редко у кого бывают нервные стрессы.

222 – знак экстрасенса.

Ячейка 3 – точность, конкретность, организованность, аккуратность, пунктуальность, чистоплотность, скупость, наклонность к постоянному «восстановлению справедливости».

Нарастание троек усиливает все эти качества. С ними человеку есть смысл искать себя в науках, особенно точных. Перевес троек порождает педантов, людей в футляре.

Ячейка 4 – здоровье. Это связано с экгрегором, то есть энергетическим пространством, наработанным предками и защищающим человека. Отсутствие четверок свидетельствует о болезненности человека.

4 – здоровье среднее, необходимо закалять организм. Из видов спорта рекомендуются плавание и бег.

44 – здоровье крепкое.

444 и более – люди с очень крепким здоровьем.

Ячейка 5 – интуиция, ясновидение, начинающееся проявляться у таких людей уже на уровне трех пятерок.

Пятерок нет – канал связи с космосом закрыт. Эти люди часто ошибаются.

5 – канал связи открыт. Эти люди могут правильно рассчитать ситуацию извлечь из нее максимальную пользу.

55 – сильно развита интуиция. Когда видят «вещие сны», могут предугадывать ход событий. Подходящие для них профессии – юрист, следователь.

555 – почти ясновидящие.

5555 – ясновидящие.

Ячейка 6 – заземленность, материальность, расчет, склонность к количественному освоению мира и недоверие к качественным скачкам и тем более к чудесам духовного порядка.

Шестерок нет – этим людям необходим физический труд, хотя они его, как правило, не любят. Они наделены неординарным воображением, фантазией, художественным вкусом. Тонкие натуры, они тем не менее способны на поступок.

6 – могут заниматься творчеством или точными науками, но физический труд является обязательным условием существования.

66 – люди очень заземлены, тянутся к физическому труду, хотя как раз для них он не обязателен; желательна умственная деятельность либо занятия искусством.

666 – знак Сатаны, особый и зловещий знак. Эти люди обладают повышенным темпераментом, обаятельны, неизменно становятся в обществе центром внимания.

6666 – эти люди в своих предыдущих воплощениях набрали слишком много заземленности, они очень много трудились и не представляют свою жизнь без труда. Если в их квадрате есть

девятки, им обязательно нужно заниматься умственной деятельностью, развивать интеллект, хотя бы получить высшее образование.

Ячейка 7 – количество семерок определяет меру таланта.

7 – чем больше они работают, тем больше получают впоследствии.

77 – очень одаренные, музыкальные люди, обладают тонким художественным вкусом, могут иметь склонность к изобразительному искусству.

777 – эти люди, как правило, приходят на Землю ненадолго. Они добры, безмятежны, болезненно воспринимают любую несправедливость. Они чувствительны, любят мечтать, не всегда чувствуют реальность.

7777 – знак Ангела. Люди с таким знаком умирают в младенчестве, а если и живут, то их жизни постоянно угрожает опасность.

Ячейка 8 – карма, долг, обязанность, ответственность. Количество восьмерок определяет степень чувства долга.

Восьмерок нет – у этих людей почти полностью отсутствует чувство долга.

8 – натуры ответственные, добросовестные, точные.

88 – у этих людей развитое чувство долга, их всегда отличает желание помочь другим, особенно слабым, больным, одиноким.

888 – знак великого долга, знак служения народу. Правитель с тремя восьмерками добивается выдающихся результатов.

8888 – эти люди обладают парапсихологическими способностями и исключительной восприимчивостью к точным наукам. Им открыты сверхъестественные пути.

Ячейка 9 – ум, мудрость. Отсутствие девяток - свидетельство того, что умственные способности крайне ограничены.

9 – эти люди должны всю жизнь упорно трудиться, чтобы восполнить недостаток ума.

99 – эти люди умны от рождения. Учатся всегда неохотно, потому что знания даются им легко. Они наделены чувством юмора с ироничным оттенком, независимые.

999 – очень умны. К учению вообще не прикладывают никаких усилий. Прекрасные собеседники.

9999 – этим людям открывается истина. Если у них к тому же развита интуиция, то они гарантированы от провала в любом из своих начинаний. При всем этом они, как правило, довольно приятны, так как острый ум делает их грубыми, немилосердными и жестокими.

Итак, составив магический квадрат Пифагора и зная значение всех комбинаций цифр, входящих в его ячейки, вы сможете в достаточной мере оценить те качества вашей натуры, которыми наделила матушка – природа.

Разберем количественные характеристики цифр в системе Пифагора. Нас будет интересовать, как меняются качественные характеристики цифр с их количественным изменением. Запишем следующую шкалу:

• цифр нет – это означает, что качество, за которое они отвечают, отсутствует у человека;
• одна цифра – качество очень слабо развито, что говорит о необходимости развивать его и совершенствовать;
• две цифры – считается, что качество дано в норме, т.е. оно развито, но не доминирует над другими, при желании можно заняться его совершенствованием;
• три цифры – это особый знак, человек включает это качество экстренно, случайно, вдруг;
• четыре цифры – качество развито сильно;
• пять цифр – качество развито максимально сильно, предел;

шесть и более цифр – наступает перегрузка качества, когда оно начинает меняться на противоположное, т. е. из сильного превращается в слабое.

ГЛАВА 5. Исследовательская работа.

Так как я уже сказала, без цифр и чисел людям было бы совершенно неудобно и интересно жить. Мы бы всегда жили, в спешке боясь, что-то не успеть или опоздать. Сейчас математику учат и в школе, и в институте (в зависимости от профессии).  И мне очень хочется провести опрос” Что вы знаете о цифрах и числах”

В этом опросе будут представлены такие вопросы:

1. Что такое арифметика?

1) Арифме́тика (др.-греч. ἀριθμητική от ἀριθμός — число) — раздел  геометрии, изучающий числа, их отношения и свойства.

2) Арифме́тика (др.-греч. ἀριθμητική от ἀριθμός — число) — раздел математики, изучающий числа, их отношения и свойства.

3) Арифме́тика (др.-греч. ἀριθμητική от ἀριθμός — число) — раздел  математики изучающий отношения и свойства

2. Когда зародилась геометрия?

1) к концу 7в. до н. э.

2) в начале 5

3) в середине 4

3. Как называются цифры, которыми мы пользуемся?

1) арабскими

2) русскими

3)греческими

4. Кто и откуда привез нам эти цифры?

1) египтяне из Египта

2) арабы из Китая

3) арабы из Индии

5. Какую роль в вашей жизни  играют числа?

1) никакую

2)Очень огромную, вся наша жизнь это сложные математические формулы.

3) важную

6. Знаете ли вы, что означает число вашего рождения?

1) да

2) нет

3) не знаю

7. Вы знаете, что определяет число судьбы, и как его посчитать?

1) знаю

2) не знаю

3) догадываюсь

8. Какие числа вы знаете?        

1) простые                                4) дружественные

2) составные                                5) компанейские

3) совершенные                                6) многоугольные

9. Хотите ли вы связать свою жизнь с числами?

1) да

2) нет

3) не знаю

10. Напишите дату своего рождения.

Результаты опроса будут обработаны и представлены в работе в виде таблиц и диаграмм.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.

Потребность в счете, измерениях, и желании проследить за изменением количественной характеристики, послужило толчком в зарождении математики и основными математическими действиями над числами. История показывает, как тяжел был путь выбора наиболее удобного варианта действий над числами. И не в последнюю очередь от этого зависит дальнейшее распространение и развитие математики как науки. Изучая исторические процессы развития общества и математики, видно, что понятие числа прошло длинный исторический путь развития и наука о числах и действиях над ними необходима для прогрессивного развития человеческого общества. Числа составляют часть человеческого мышления и мы порой не отдаем себе отчета, насколько важны они в нашей жизни.

При исследовании истории возникновения чисел была установлена зависимость между возникновением чисел и необходимостью выражения всех чисел знаками. Эта зависимость повлияла на появление знаков-цифр, которые заменили другие не совсем удобные способы обозначения. Самым ценным вкладом в сокровищницу математических знаний человечества является употребляемый нами способ записи при помощи десяти знаков чисел: 1,2,3,4,5,6,7,8,9,0.

Нередко одно и тоже открытие происходило в разных точках земного шара, довольно часто повторялось несколько раз, совершенствовалось, а позже распространялось и становилось достоянием всех народов, в частности это касается дружественных и совершенных чисел. Математика невольно связывает единой нитью народы мира. Она заставляет их сотрудничать и общаться между собой.

Мир полон тайн и загадок. Но разгадать их могут только пытливые.

Современная наука встречается с величинами такой сложной природы, что для их изучения приходится изобретать все новые виды чисел. И мне бы хотелось продолжить изучение чисел, ведь я только познала мир натуральных чисел.

Библиография:

1. М.Л. Выгодский. Арифметика и алгебра в древнем мире. М. 1967 г.
2. И. Депман. Истории Арифметики М. 1965г.

3. И. Депман. Мир чисел М.1966г.

4. Г.И. Гейзер. История математики в школе. Пособие для учителей. – М.: Просвещение, 1981.

5. Г.Н. Берман Число и наука о нем. Общедоступные очерки. Москва: Гос. издание технико – технической литературы 1984.

6. Е.Карпеченко Тайны чисел .Математика /Прил. К газете "Первое сентября" №13 2007.

7. http://www.km.ru/referats/6E86D6A3497742C7B4C854FF291F71E.

8. http://www.astrocentr.ru/index.php?przd=pif.