Линейные функции вокруг нас

VIII городская научно-практическая конференция школьников «Открытие»

СЕКЦИЯ ЭКОНОМИКО- МАТЕМАТИЧЕСКИХ НАУК

ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ РАБОТА

ЛИНЕЙНЫЕ ФУНКЦИИ ВОКРУГ НАС

Выполнена учеником

7 класса Г МБОУ «СОШ №3 с УИОП»

Кубановым Павлом Владимировичем

Научный руководитель:

учитель математики

МБОУ "СОШ"№3 с УИОП»

Кобзева Лариса Васильевна

Котовск, 2015

Содержание

Введение………………………………………………………………………….2

 Глава I  Поиск линейных зависимостей в различных  областях знаний

1.1 Линейные зависимости в математике………………………………..4

1.2. Линейные зависимости в физике…………………………………….4

1.3. Линейные зависимости в биологии, экологии и медицине………...5

1.4. Линейные зависимости в литературе………………………………..5

 Глава II Поиск линейных зависимостей в повседневной жизни

 2.1. Зависимость  цены букета от количества роз………………………6

2.2. Зависимость калорийности молочного продукта от его жирности..7

2.3. Зависимость цены билета от зоны пункта назначения…………….9

2.4. Зависимость цены доставки посылки от её массы…………………10

2.5. Зависимость стоимости поездки в такси от расстояния…………..11

Заключение………………………………………………………………………12

Источники………………………………………………………………………..13

Введение

«Рано или поздно всякая правильная

 математическая идея находит применение

 в том или ином деле».

 А.Н. Крылов

Математика – один из наших самых любимых предметов. Я  считаю, что ни одно явление,  ни один процесс в окружающем мире не могут быть изучены без  математического описания. Одним из инструментов  описания реального  мира  является функция. 

      На уроках алгебры в этом учебном году мы  познакомились с понятием линейной функции, ее графиком и свойствами, узнали, от чего зависит взаимное расположение графиков линейных функций.   На уроках математики были рассмотрены частные случаи линейной функции, понятие линейного уравнения с двумя переменными, способы решения систем уравнений.

Актуальность  

     Мне  стало интересно: с какими реальными ситуациями связано понятие «линейная функция», то есть между какими величинами можно установить линейные зависимости? Каким образом устанавливается зависимость между величинами? Как установленную зависимость можно записать или  изобразить и, каким образом использовать установленные зависимости?

Гипотеза: Я предположил, что в окружающем мире есть величины, которые связаны между собой линейными зависимостями.

Объект исследования:  функциональные зависимости величин.

Цель:  Изучить функциональные зависимости между величинами  и выявить среди них линейные зависимости.

Задачи:

1.   Обобщить имеющиеся знания о линейной функции;
2. Добыть новые знания по теме  из различных источников информации;
3. Выяснить, находит ли применение линейная функция в других областях знаний, в повседневной жизни;
4. Провести исследования  по выявлению линейных зависимостей;
5. По результатам исследования выявить линейные зависимости.

Новизна работы

       В своей работе я постарался найти на практике подтверждение существования линейной функциональной зависимости между величинами и установил связь между теоретическим материалом и реальными ситуациями окружающего мира.

Практическая ценность.

      Работа  будет полезна учащимся 6-7 классов, желающим расширить свои знания о линейных функциях и их приложениях.

Методы исследования:

Работа с литературой, работа в сети Интернет, сбор информации, экскурсии, наблюдение, анализ, обобщение.

Глава I  Поиск линейных зависимостей в различных  областях знаний

1.1. 1Линейные зависимости в математике

С применением линейной функциональной зависимости для описания различных реальных процессов мы столкнулись уже на уроках математики. Достаточно вспомнить, что расстояние, пройденное пешеходом, поездом, автомашиной при постоянной скорости движения, - линейные функции от  времени движения. Можно привести  пример математической задачи.

Задача. Автомобиль, выехавший из пункта А в настоящее время находится от него в 35 км. На каком расстоянии S от пункта А будет находиться автомобиль через t часов, если он будет двигаться в том же направлении со скоростью 60 км/ч?

Ответ : S=60t+35 – линейная функция.    

1.1.2.Зависимость длины окружности от длины её радиуса

Опытным путём на уроке математики было установлено, что длина окружности зависит от её радиуса. Эта зависимость выражается формулой C=2πR и является прямой пропорциональной зависимостью с угловым коэффициентом равным к=2 π.

1.1.3. Зависимость между градусными мерами смежных углов

На уроке геометрии мы познакомились со свойством смежных углов. Можно заметить, что зависимость их градусных мер является линейной зависимостью  у= 180 - х,  где k= -1, b=180.

1.2. Линейные зависимости в физике

1.2.1.Скорость распространения звука в воздухе в зависимости от температуры может быть найдена по формуле: v=330 + 0,6t, v – скорость в м/с, t – температура в градусах Цельсия.

1.2.2. Длина рельсов является линейной функцией температуры: l=l0(1+at) –линейное расширение твердых тел.

1.2.3. Зависимость давления жидкости на дно сосуда (P) от высоты столба жидкости (h) – линейная зависимость и задаётся формулой: P=gρh, где ρ – плотность жидкости,  g≈10    .   Эта зависимость – линейная.

1.3. Линейные зависимости в биологии, экологии и медицине

1.3.1. В биологии тоже встречаются линейные функции. Так, например, из энциклопедии я узнал, что   волосы на голове у человека растут примерно со скоростью 0,4 мм в сутки. Таким образом, имеет место формула:         l=l0+0,4t, где l – длина в мм, l0 – первоначальная длина волос в мм, t – количество дней.

1.3.2.  Зависимость численности сине-зелёных водорослей от концентрации общего фосфора в воде выражается следующей формулой: р=0,983р+50,6, где а – численность сине-зелёных водорослей, р – концентрация общего фосфора. Эта зависимость – линейная, и её можно использовать для прогнозирования качества воды. Показателем качества воды служит количество сине-зелёных водорослей. Чем их больше, тем хуже качество воды. На численность сине-зелёных водорослей влияет концентрация фосфорного удобрения, попадающего в водоёмы вместе с талой водой.

1.3.3.Медиками установлено, что для нормального развития ребёнок или подросток, которому Т лет (Т18) должен спать t часов.  Зависимость продолжительности сна t (ч) от возраста человека T (лет) задаётся формулой t=17 - .Таким образом, после рождения ребёнок должен спать не менее 17 часов.

1.4. Линейные зависимости в литературе

   Есть ли линейные функции в устном народном творчестве, например, в поговорках? Вот как, на мой  взгляд, можно изобразить некоторые из них с помощью графиков линейных функций.

- Долго думал, да ничего не выдумал (линейная функция, к=0).

- Много снега - много хлеба  (прямая пропорциональность, к – больше нуля).

- Дальше в спор - больше слов (прямая пропорциональность, к – больше нуля).

- Больше почёт, больше хлопот (прямая пропорциональность, к – больше нуля).

- Как аукнется – так и откликнется (y=x).

- Светит, но не греет (ось абсцисс).

-Тише едешь – дальше будешь (прямая пропорциональность, к – меньше нуля).

- Чем дальше в лес, тем больше дров  (прямая пропорциональность, к – больше нуля) .

Глава II  Поиск линейных зависимостей в повседневной жизни  

   Открытия, сделанные в первой части  работы, подтолкнули  к мысли, что линейные зависимости окружают нас и в повседневной жизни.  Эта работа оказалась увлекательной и интересной. Она побудила  к творческому процессу:  захотелось  найти линейные зависимости в нашей реальной жизни, вывести их задающие формулы, построить графики этих зависимостей.

    Так же  можно  заметить, что скорость развития общества находится в прямо пропорциональной зависимости от скорости обмена информации.

2.1. Зависимость  цены букета от количества роз

Мое  первое исследование должно ответить на вопрос: «Как зависит цена букета (у)  от количества роз (х)?»  Была собрана информация, произведены подсчёты, составлена формула зависимости,  по полученным данным построены диаграмма и график зависимости.

После чего  был сделан вывод: «Зависимость цены букета от количества роз – линейная зависимость».        

2.2. Зависимость калорийности молочного продукта от его жирности

Чтобы ответить на вопрос «Как зависит калорийность молочного продукта от его жирности?»  я отправился  в магазин «Магнит». После сбора информации  оказалось, что с увеличением процента жира в сметане   калорийность продукта увеличивается.

Тогда можно  предположить, что эта зависимость линейная и сделать подсчёты.

После чего сделал проверку остальных значений по формуле и построил точки в координатной плоскости.  

Сделал вывод: эта зависимость линейная.  

Такие же расчеты я  провел для молока.

Хотя в последнем случае точки достаточно разбросаны, всё же можно провести  аппроксимирующую (приближённую) прямую, вдоль  которой они расположены. Учитывая, что некоторые собранные данные о калорийности продуктов были округлены мной  до целых, можно считать такое приближение вполне разумным. Таким образом, зависимость калорийности молочного продукта от его жирности является линейной функцией.

2.3. Зависимость калорийности молочного продукта от его жирности

Для проведения следующего исследования мне пришлось отправиться на железнодорожный вокзал города Тамбова и познакомиться со схемой расположения остановочных пунктов в пригородных направлениях. Так я выяснил, что стоимость проезда одной зоны составляет 15 рублей. Не трудно было заметить, что:

Зависимость цены билета от зоны пункта назначения – линейная зависимость.

2.4.  Зависимость цены доставки посылки от её массы

При отправлении посылки сам собой возник вопрос: «Как зависит цена доставки посылки от  её массы?» В филиале ФГУП «Почта России г. Котовска » я  узнал, что  подсчёты для трёх магистральных поясов:

Итак, зависимость цены доставки посылки от количества дополнительных 500 г  её веса – линейная.

2.5. Зависимость стоимости поездки в такси от расстояния

Как зависит стоимость поездки в такси от расстояния?

Для ответа на этот вопрос достаточно знать, что:

Тогда,

Таким образом, зависимость стоимость поездки в такси (у) от расстояния (х) – линейная функция.

Заключение

          Конечно,  проведенные  исследования нельзя считать исчерпывающими. Остается много вопросов о линейности и нелинейности окружающих величин.   Но, можно считать, что цель  работы достигнута и выдвинутая  гипотеза о том, что в окружающем мире есть величины, которые связаны между собой линейными зависимостями,  нашла свое подтверждение. Надеюсь, что данная работа будет полезна  моим сверстникам, желающим расширить свои знания о линейных функциях и их приложениях.

Источники

1. Виленкин Н.Я. Функции в природе и  технике - М.: Просвещение, 1985 г.

2.Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике - М.: Наука, 1973 г.

3. Муравин Г. К., Исследовательские работы в школьном курсе алгебры, журнал «Математика в школе» №1, 1990 г.

4.Пичурин Л.Ф. За страницами учебника алгебры /  Книга для учащихся./ - М.: Просвещение, 1990 г.

5. Савин и др. Я познаю мир:  Математика: детская энциклопедия: математика – М.: АСТ, 1995 г.

6. Савин А. П.. Энциклопедический словарь юного математика – М.: Педагогика, 1989 г.