«Проценты в нашей жизни»

                                                 Выполнила ученица 7в класса Даниленко Ирина

Научный руководитель Захарова Ю.В., учитель математики

Место выполнения работы:  ГБОУ школа №1392 имени Д.В.Рябинкина

Содержание

ВВЕДЕНИЕ        

ИСТОРИЯ ВОЗНИКНОВЕНИЯ ПОНЯТИЯ «ПРОЦЕНТ»        

Понятие процента        

ТИПЫ ЗАДАЧ НА ПРОЦЕНТЫ        

1)        Нахождение процента от данного числа        

2)        Нахождение числа по процентам        

3)        Нахождение процентного отношения чисел        

4)        Прикидка вместо точных подсчетов        

5)        Сложные проценты        

6)        Проценты от процентов целого        

7)        Выражение остатка процентами целого        

8)        Проценты в диаграммах        

ПРОЦЕНТЫ В ПОВСЕДНЕВНОЙ ЖИЗНИ        

ЗАКЛЮЧЕНИЕ        

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ        

ПРИЛОЖЕНИЕ _        

ВВЕДЕНИЕ

Выбранная мною тема очень актуальна. Ведь почти во всех областях человеческой деятельности встречаются проценты. Без понятия «процент» нельзя обойтись ни в бухгалтерии, ни в финансовом деле, ни в статистике. Чтобы начислить зарплату работнику, нужно знать процент налоговых отчислений; чтобы открыть счёт в сбербанке или взять кредит, наши родители интересуются размером процентных начислений на сумму вклада и процентом по кредиту; чтобы знать приблизительный рост цен в будущем году, мы интересуемся  процентом инфляции. В торговле понятие «процент» используется наиболее часто. Мы очень часто можем слышать о скидках, наценках, уценках, прибыли, кредитах, и т.д. – всё это проценты. Современному человеку необходимо хорошо ориентироваться в большом потоке информации, принимать правильные решения в разных жизненных ситуациях. Для этого необходимо хорошо производить процентные расчёты.

В школьной программе проценты являются не очень лёгкой темой для восприятия, мало выучить основные свойства процентов, надо уметь применять это в решении задач.

Цель: Рассмотреть понятие процента и решение задач на проценты, для того, чтобы выработать основные способы решения задач на проценты.

        Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

1. рассмотреть и проанализировать литературу по данному вопросу
2. рассмотреть понятие процента и решение задач на проценты
3. выработать основные способы решения задач на проценты
4. научиться составлять основные задачи на проценты
5. создать буклет по данной теме

Данная работа может быть использована на уроках математики не только в 5 классе, но и в других классах, например, при подготовке к ГИА и ЕГЭ по математике, так как в экзамен входят задачи на проценты.

ИСТОРИЯ ВОЗНИКНОВЕНИЯ ПОНЯТИЯ «ПРОЦЕНТ»

Знак «%» происходит, как полагают, от итальянского слова cento (сто), которое в процентных расчетах часто писалось сокращенно cto. Отсюда путем дальнейшего упрощения в скорописи буквы t в наклонную черту произошел современный символ для обозначения процента.

Существует и другая версия возникновения этого знака. Предполагается, что этот знак произошел в результате нелепой опечатки, совершенной наборщиком. В 1685 году в Париже была опубликована книга – руководство по коммерческой арифметике, где по ошибке наборщик вместо cto напечатал %.

В некоторых вопросах иногда применяют и более мелкие, тысячные доли, так называемые «промилле» (от латинского pro mille – «с тысячи»), обозначаемые по аналогии со знаком %. Изобретение математических знаков и символов значительно облегчило изучение математики и способствовало дальнейшему ее развитию.

Долгое время под процентами понимались исключительно прибыль или убыток на каждые 100 рублей. Они применялись только в торговых и денежных сделках. Затем область их применения расширилась, проценты встречаются в хозяйственных и финансовых расчетах, статистике, науке и технике. Ныне процент – это частный вид десятичных дробей, сотая доля целого (принимаемого за единицу).

Увеличить в 2 раза - это значит увеличить на 100%, уменьшить в 2 раза - это значит уменьшить на 50%. Современная нам жизнь снова делает задачи на проценты актуальными, так как сфера практического приложения процентных расчетов расширяется.

Процентами очень удобно пользоваться на практике, так как они выражают части целых чисел в одних и тех же сотых долях. Это дает возможность упрощать расчеты и легко сравнивать части между собой и с целыми. Идея выражения частей целого постоянно в одних и тех же долях, вызванная практическими соображениями, родилась еще в древности у вавилонян, которые пользовались шестидесятеричными дробями. Уже в клинописных табличках вавилонян содержатся задачи на расчет процентов. До нас дошли составленные вавилонянами таблицы процентов, которые позволяли быстро определять сумму процентных денег. Были известны проценты и в Индии. Индийские математики вычисляли проценты, применяя так называемое тройное правило, т.е. пользуясь пропорцией. Они умели производить  и более сложные вычисления с применением процентов.

Денежные расчеты с процентами были особенно распространены в Древнем Риме. Римляне называли процентами деньги, которые платил должник заимодавцу за каждую сотню. Даже римский сенат вынужден был установить максимально допустимый процент, взимаемый с должника, так как некоторые заимодавцы усердствовали в получении процентных денег. От римлян проценты перешли к другим народам. В средние века в Европе в связи с широким развитием торговли особенно много внимания обращали на умение вычислять проценты. В то время приходилось рассчитывать не только проценты, но и проценты с процентов, т.е. сложные проценты, как называют их в наше время. Отдельные конторы и предприятия для облегчения труда при вычислениях процентов разрабатывали свои особые таблицы, которые составляли коммерческий секрет фирмы.

Фламандский ученый, военный инженер Симон Стивен не был по профессии математиком, но его трудолюбие и талант позволили ему занять достойное место среди выдающихся европейских математиков. Он первым в Европе открыл десятичные дроби. Симон Стивен опубликовал таблицу для вычисления сложных процентов, которая использовалась в торгово-финансовых операциях.

Понятие процента

Процент - это одна сотая часть от числа. Процент записывается с помощью знака %.

Чтобы перевести проценты в дробь, нужно убрать знак % и разделить число на 100.

        Чтобы перевести десятичную дробь в проценты, нужно дробь умножить на 100 и добавить знак %.

Чтобы перевести обыкновенную дробь в проценты, нужно сначала превратить её в десятичную дробь, а потом умножить на 100 и добавить знак %.

Как вы поняли, проценты тесно связаны с обыкновенными и десятичными дробями. Поэтому стоит запомнить несколько простых равенств. В повседневной жизни нужно знать о числовой связи дробей и процентов. Так, половина - 50%, четверть - 25%, три четверти - 75%, одна пятая - 20%, а три пятых - 60%.

Знание наизусть соотношений из таблицы внизу облегчит вам решение многих задач.

1 = 100%

В банковских операциях проценты бывают:

1)        процент кредитный — плата, которую заемщик должен вносить за пользование кредитом, деньгами или материальными ценностями;

2)        процент депозитный — плата вкладчику банка за предоставление банку денег по вкладу на определенный срок.

Проценты бывают простые и сложные.

Простые проценты – проценты, начисляемые на фактическую сумму за фактический период ее нахождения на депозите.

Сложные проценты - начисление процентов на проценты, расчет процентов на два или большее число периодов, проводимый таким образом, что процент начисляется не только на исходную сумму, но и на процент, начисленный в предыдущем периоде.

ТИПЫ ЗАДАЧ НА ПРОЦЕНТЫ

1. Нахождение процента от данного числа

Задача: За неделю туристы проехали 50% пути на поезде и 35% пути на автобусе. Остальную часть пути они прошли пешком. Сколько километров туристы прошли пешком, если весь туристский маршрут составил 300 км?

Решение. Выразим в процентах путь, пройденный пешком.

Сколько процентов пути туристы прошли пешком:

100%-50%-35%=15%

Выразим в километрах:

15%*300:100=45(км)

Ответ: 45 км.

2. Нахождение числа по процентам

Задача: Летом на дачу с детским садом выехали 180 детей.Известно,что10% детей не поехали на дачу. Сколько всего детей в детском саду?

Решение: Выразим в процентах число детей, которые поехали на дачу: 100% 10%=90%, тогда

180 детей составляют 90% ,т.е.0,9 всех детей, найдём целое по его части:180:0,9=200(д.).

Ответ: 200 детей.

3. Нахождение процентного отношения чисел

Задача: В школе 400 учащихся, 12 из них учатся на «5». Сколько  процентов учащихся школы учится на «5»?

Решение: 12:400*100=3%

 Ответ: 3%

4. Прикидка вместо точных подсчетов

Задача: Во время распродажи масляные краски для  рисования стоимостью 213 р. за коробку продавали на 19% дешевле. Сколько примерно денег сэкономит художественная студия, если она купит партию в 150 коробок?

Решение: 213 р. — это примерно 200 р., 19% — это  примерно 20%, т.е. пятая часть цены. Следовательно коробка красок стоит на 200 : 5 = 40 р. дешевле, а 150 коробок на 40 • 150 = 6000 р. дешевле.

Ответ: примерно 6 тыс. р.

5. Сложные проценты

Задача: Из 550 учащихся школы в референдуме по вопросу о введении Ученического совета участвовали 88%всех учащихся. На вопрос референдума 75%  учащихся, принявших участие в голосовании, ответили «да». Какой процент от числа всех учащихся школы составили те, которые ответили положительно?

Решение: Выразим проценты дробями и вычислим число  учащихся, утвердительно ответивших на вопрос  референдума. Имеем 550 • 0,88 • 0,75 = 363 (уч.). Теперь найдем ответ на вопрос задачи:

 363 : 550 = 0,66 — это 66%.

Ответ: 66%

6. Проценты от процентов целого

Задача: Среди участников кросса 35% студенты,  остальные — старшеклассники, причем их на 252  человека больше, чем студентов. Сколько спортсменов участвует в кроссе?

Решение: Найдем, на сколько процентов больше  старшеклассников, чем студентов: (100% - 35%) - 35% = 30%. Эти 30% составляют 252 человека. Имеем 252 : 0,3 = = 840 (чел.).

Ответ: 840 человек.

7. Выражение остатка процентами целого

Задача: В библиотеке несколько тысяч книг. Книги об искусстве составляют 48% всех книг, а о  политике 37% всех книг. Остальные 6600 книг  составляют словари. Сколько всего словарей в этой  библиотеке?

Решение: Найдите, сколько процентов числа всех книг библиотеки составляют словари.

Ответ: 44 тыс. книг.

8. Проценты в диаграммах

В современном мире статистические исследования проводятся как на промышленных и сельскохозяйственных предприятиях  для  контроля за выпуском и качеством производимой продукции, так и в социальной сфере для улучшения жизни и деятельности человека. Объектами статистического изучения являются население,  его состав и численность (по полу,  возрасту,  национальностям, занятиям, образованию и пр.), перемены в нем.,  так называемом  движение населения (рождаемость, брачность, смертность, болезни, самоубийство, эмиграция), деятельность населения (сельское хозяйство, промышленность, торговля, кредит, движение на путях сообщения,  страхование,  преступность и пр.). Часто полученные данные представляют в виде таблиц, графиков и диаграмм, где указывается процентное соотношение. Рассмотрим основные виды задач:

а) анализ диаграммы

На диаграмме представлены результаты опроса студентов «Для чего Вы покупаете велосипед?» Каждый выбрал один из вариантов ответа:

1) чтобы ездить в городе,

2) чтобы кататься за городом,

3) чтобы ездить на рыбалку,

4) чтобы научиться ездить на велосипеде.

Найдите на диаграмме недостающие данные и  вычислите, сколько студентов дали каждый из ответов, если было опрошено 600 студентов.

Решение: Круговые диаграммы получают с помощью  распределения площади круга на сектора, площади  которых отвечают величинам данных, выраженных в процентах. Так как площадь всего круга принимается за 100%, то на сектор 1 приходится 100% - (48% + + 10% + 16%) = 26%. Найдем 26% от 600, получим, что 156 студентов купят велосипед, чтобы ездить в городе.

Ответ: 1) 26%, 156 студентов; 2) 48%, 288  студентов; 3) 10%, 60 студентов; 4) 16%, 96 студентов.

б) построение диаграммы

Представьте в виде круговой диаграммы состав лекарственного сбора трав:

1) листьев шалфея — 14,4%;

2) корней солодки — 27%;

3) корней алтея — 29,8%;

4) плодов аниса — 14,4%;

5) почек сосны — 14,4%.

Решение: В расчетах для построения диаграммы используем калькулятор. Результаты округлим до целых.  Например, чтобы выделить сектор 1) надо найти 14,4% от 360°, т.е. 0,144 от 360. Получим 360° • 0,144 = 51,84° • 52°.

О т в е т: 1) 52°, 2) 97°, 3) 107°, 4) 52°, 5) 52°.

в) интерпретация диаграммы

На диаграмме показано, как распределились  мнения учащихся о просмотренном спектакле:

1) понравился,

2) не очень понравился,

3) не понравился.

Сколько примерно процентов учащихся высказали мнение «спектакль понравился»? А сколько — «не понравился»?

Решение: Диаграмма имеет три почти одинаковых сектора. Если целое (круг) разделить на 3, то получим — целого, т.е. примерно его 0,33, что соответствует 33%. Можно рассуждать иначе: целое, т.е. 100%, разделим на 3, получим примерно 33%. Теперь можно ответить на вопросы.

Ответ: примерно 33% учащихся спектакль  понравился и 33% — не понравился.

ПРОЦЕНТЫ В ПОВСЕДНЕВНОЙ ЖИЗНИ

Рассмотрим несколько задач из моей жизни.

Задача 1. В салоне мебели «Престиж» гостиная стоила 30 000руб., а сейчас 28 500 руб. На сколько  % понизилась  стоимость гостиной?

Решение: Пусть х % - стала стоить гостиная  30 000 руб. – 100%

28 500 руб. – х

(28 000*100) : 30 000 = 95% - стала стоить гостиная.

100% - 95%=5% - на столько понизилась цена

Ответ: цена понизилась на 5% .

Задача 2. Бабушке прибавили пенсию. В СМИ говорилось, что пенсия поднимется на 10%. Я решила проверить соответствует ли это действительности. Первоначально пенсия бабушки была 6000 руб. Прибавка составила 600 руб.  

Решение: Применив   формулу  процентного отношения двух чисел, я получила:

600 : 6000 * 100% = 10%;

Информация оказалась верной.

Задача 3.Зонт стоит 360 руб. В ноябре цена зонта была снижена на 15% , а в декабре – ещёна10%. Какой стала стоимость зонта в декабре?

Решение: Найдём стоимость зонта в ноябре: она составляет 85% от360 руб. Имеем: 360*0,85=306(руб.) Второе снижение цены происходило относительно новой цены зонта; теперь следует находить 90% от306 руб. Имеем: 306*0,9=275,4(руб.)

Ответ: зонт стал стоить 275,4 руб.

Задача 4. Задача по вкладу или кредиту.  За хранение денег Сбербанк начисляет вкладчику 8% годовых. Вкладчик положил на счет в банке 5000 р. и решил в течение года не снимать деньги со счета и не брать процентные  начисления.

Решение:  Подсчитаем, сколько денег будет на счете вкладчика через год. Так как 8% от 5000 р. составляют 400 р., то через год на счете окажется 5000 + 400 = 5400 (р.).

 Ответ: через год  денег будет 5400 руб.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Исходя из вышеизложенного, можно сказать, что задачи на проценты очень разнообразны,  а  понятие  процента  используется  в различных областях:

• строительстве,
•  торговле,
•  пищевой промышленности,
• медицине,
• образовании,
• земледелии,
•  растениеводстве,
• животноводстве,
• в повседневной жизни и т.д.

Тема процентов мне очень понравилась, я считаю что «Проценты» одна из интереснейших и увлекательных тем в математике.

В своей работе я показала применение понятия процента при решении реальных задач из повседневной жизни человека и пришла к выводу, что проценты помогают нам:

• Решать математические задачи;
• Грамотно разбираться в большом потоке информации
• Правильно вкладывать деньги
• Совершать выгодные покупки, экономя на скидках

Трудно назвать область, где бы ни использовались проценты. Применение в жизни процентных расчетов полностью рассмотреть очень сложно, так как проценты применяются во всех сферах жизнедеятельности человека. Данная тема оставляет широкое поле для дальнейших исследований.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Глейзер Г.И., История математики в школе: IV – VI кл. Пособие для учителей.   – М.: Просвещение, 1981. – 239 с.
2. Минаева С.С., Дроби и проценты. 5 – 7 классы /С.С. Минаева. – М.: Издательство «Экзамен», 2012. – 125 с.
3. Шевкин А.В., Текстовые задачи по математике: 5 – 6. – М.: ИЛЕКСА, 2011. – 106 с.

ПРИЛОЖЕНИЕ

ПРАКТИЧЕСКИЕ СОВЕТЫ

1. В задачах на проценты – переходим от процентов к конкретным величинам. Или, если надо – от конкретных величин к процентам. Внимательно читаем задачу!

2. Очень тщательно изучаем, от чего нужно считать проценты. Если об этом не сказано прямым текстом, то обязательно подразумевается. При последовательном изменении величины, проценты подразумеваются от последнего значения. Внимательно читаем задачу!

3. Закончив решать задачу, читаем её ещё раз. Вполне возможно, вы нашли промежуточный ответ, а не окончательный. Внимательно читаем задачу.