Применение производной к решению математических задач практического содержания

Слайд 1

Слайд 2

Введение Математические задачи с практическим содержанием – это такие задачи, которые связаны с применением математики в технике, химии, экономике, медицине, экологии, а так же в быту. Мы рассмотрим задачи, которые можно решить с помощью производной . Эти задачи не совсем обычны как по форме изложения, так и по применяемым методам решения. Одним из важнейших понятий математического анализа является производная функции. Производная характеризует скорость изменения функции по отношению к изменению независимой переменной. В геометрии производная характеризует крутизну графика, в механике – скорость неравномерного прямолинейного движения, в биологии – скорость размножения колонии микроорганизмов, в экономике – отзывчивость производственной функции (выход продукта на единицу затрат), в химии – скорость химической реакции. В приложениях математики к решению конкретных задач приходится иметь дело с величинами, числовые значения которых получены путем измерений и, следовательно, точное их значение неизвестно. Если исходные данные содержат погрешности измерений, то применение точных методов измерения не целесообразно. Для упрощения и облегчения вычислений в таких случаях лучше использовать приближенные методы. Теоретической основой одного из простейших приемов приближенных значений вычислений является понятие дифференциала. Приближенное значение приращение функции называется дифференциалом функции и обозначается dy , причем dy =y'(x) dx . Среди многих задач, решаемых с помощью производной, наиболее важной является задача нахождения экстремума функции и связанная с ней задача нахождения наибольшего (наименьшего) значения соответствующих функций. Рассмотрим некоторые из них.

Слайд 3

Задача № 1. Докажите, что уравнение имеет только один действительный корень . Решение : Рассмотрим функцию и найдем её интервалы монотонности. Имеем : Производная f’(x) обращается в нуль в четырех точках: -2, -1, 1, 2. Эти точки разбивают числовую прямую на пять промежутков: (- ∞; -2), (-2; -1), (-1; 1), (1; 2), (2; +∞). На каждом из указанных промежутков производная сохраняет постоянный знак. Отсюда заключаем, что на каждом из этих промежутков функция y = f(x) монотонна, т.е. или возрастает или убывает. Тогда график функции на каждом из указанных промежутков может пересекать ось абсцисс не более ∞ чем в одной точке. Это значит, что функция y = f(x) на каждом из рассматриваемых промежутков может иметь не более одного корня, причем корни функции могут быть в тех и только тех промежутках, на концах которых функция имеет разные по знаку значения. Имеем: Так как f(x) имеет различные знаки только на концах промежутка (-1; 1), то заданное уравнение имеет лишь один действительный корень, лежащий внутри этого интервала.

Слайд 4

Задача №2. При извержении вулкана камни горной породы выбрасываются перпендикулярно вверх с начальной скоростью 120 м/ с. Какой наибольшей высоты достигнут камни, если сопротивлением ветра пренебречь? Решение : Вещество выбрасывается перпендикулярно вверх. Высота камня h, функция времени: Откуда следует : Следовательно , 0= 120-9,8t и t≈13 сек. Тогда h=745м, т.е. камни горной породы достигают уровня 720 м от края вулкана.

Слайд 5

Задача №3. Расход горючего легкового автомобиля (литр на 100 км) в зависимости от скорости х км/ч при движении на четвертой передаче приблизительно описывается функцией f(x )=0,0017х-0,18х+10,2; х>30. При какой скорости расход горючего будет наименьший ? Решение : Исследуем расход горючего с помощью производной: f'(х)=0,0034х-0,18.Тогда f'(х)=0 при х≈53. Определим знак второй производной в критической точке: f''(х)=0,0034>0, следовательно, расход горючего при скорости 53 км/ч будет наименьшим. f(53)≈5,43 л.

Слайд 6

Задача №4. Реакция организма на введенное лекарство может выражаться в повышении кровяного давления, уменьшения температуры тела, изменении пульса или других физиологических показателей. степень реакции зависит от назначенного лекарства, его дозы. Предположим, что Х обозначает дозу назначенного лекарства, У - функция степени реакции. У=f(x)=x²(a-x), где а - некоторая положительная постоянная. При каком значении Х реакция максимальна? Решение : 0

Слайд 7

Задача № 5 Автомобиль приближается к мосту со скоростью 72 км/ч. У моста висит дорожный знак "36км/ч". За 7 сек до въезда на мост, водитель нажал на тормозную педаль. С разрешаемой ли скоростью автомобиль въехал на мост, если тормозной путь определяется формулой s=20t-t²? Решение: u`(s)= 20 – 2t Вычислим скорость авто, которое оно приобретёт через 7 секунд: u`(7)= 20- 14 = 6 ( м/с) 6 м/с = 21,6 км/ч. Ответ: Да , с разрешаемой.

Слайд 8

Производная в электротехнике В наших домах, на транспорте, на заводах : всюду работает электрический ток. Под электрическим током понимают направленное движение свободных электрически заряженных частиц. Количественной характеристикой электрического тока является сила тока. В цепи электрического тока электрический заряд меняется с течением времени по закону q=q (t). Сила тока I есть производная заряда q по времени. В электротехнике в основном используется работа переменного тока. Электрический ток, изменяющийся со временем, называют переменным. Цепь переменного тока может содержать различные элементы: нагревательные приборы, катушки, конденсаторы. Получение переменного электрического тока основано на законе электромагнитной индукции, формулировка которого содержит производную магнитного потока.

Слайд 9

Задача № 6. Заряд , протекающий через проводник , меняется по закону q=sin*(2t-10) Найти силу тока в момент времени t=5 cек . Решение: (q)`= cos *(2t-10)*2= 2* cos *(2t-10) Согласно условиям задачи, t равно 5 секундам , откуда следует: (q)`= 2* cos *(2*5 – 10) = 2* cos 0 = 2 ( А) Ответ: I = 2 (А).