Элементы топологии локальных сетей

Учебно-исследовательская работа

по предмету: геометрия

По теме: Элементы топологии локальных сетей

                                                  (тезисы)

Выполнила: ученица 9-б кл.

Гимназии № 205

Яковлева Ульяна

Руководитель: Коровашкова

Алла Дмитриев

Санкт-Петербург

2012-2013 уч. год

1.Введение (топология и я)

Я заинтересовалась топологией буквально недавно, увидев ленту Мебиуса. Для меня показалось это маленьким чудом, которое сейчас редко встретишь. Ловкость рук, обман зрения, фикция. Позже, сделав ленту собственными руками, я  почувствовала обиду. Все ведь понятно, вот  я её сделала! Но почему такое происходит я так и не поняла. С этого момента и началось мое увлечение топологией.  Как будто сидела в темноте и вдруг кто-то  включил свет. Я с удивлением осознала, что топология она везде: в школе, дома, на улице, в метро. Нужно только увидеть ее! И я увидела. Когда передо мной  встал выбор темы проекта, я не долго думая выбрала  тему топологии, но с небольшой поправкой. Топология проникает не только во все области математики, но и во многие другие науки. Топологию нельзя заключить ни в какие рамки проекта и поэтому я взяла наиболее интересующую меня на сегодняшний момент тему. Дело в том, что недавно  я изучила новый раздел топологии -  топология локальных сетей и в этом проекте я расскажу о нескольких  видах топологии локальных сетей.

Целью моей работы является написание автореферата, в котором я хотела бы ответить на следующие вопросы:

Что за наука - топология?

1. Как зародилась топология?
2. Понять классификацию видов топологического пространства.
3. Что такое  топология локальных сетей?
4. Имеет ли будущее топология?
5. Где она используется?

Задачи:

1. Найти значение слова топология.

2. Разобрать свойства топологии и топологического пространства.

3. Рассмотреть некоторые виды топологии .

4. Сравнить несколько видов топологии (рассказать о преимуществах  и недостатках).

5. Найти примеры применения  топологии локальных сетей в окружающем пространстве.

2.Исторические аспекты топологии

«Не многие ветви геометрии развивались в последнее время так быстро и плодотворно, как топология; редко случается, чтобы незаметный вначале отдел какой–нибудь науки приобрёл такое основное значение для большого ряда совершенно различных областей знания, как топология».

Д. Гильберт

Топология начала развиваться как самостоятельная область математики сравнительно недавно, ее становление относят к началу XX века.Она образовалась из потребности анализа, но ни в коем случае не является отделом анализа, а принадлежит геометрии (хотя содержит теоремы, связанные с алгеброй). Однако интересно то, что идеи топологии проникают почти во все области математики. Одни из первых предпосылок в изучении топологии были получены ещё в 18-19 веках. К этому периоду принадлежат: теорема Эйлера о выпуклых многогранниках, теорема Журдена о том, что лежащая в плоскости простая замкнутая линия разбивает плоскость на две части. Первые сведения по топологии можно отыскать в работах Карла Вейерштрасса в 60-е годы XIX века. Он даёт понятия пределу функции и реконструирует систему действительных чисел. Далее идут исследования Георга Катора (немецкого математика) по теории точечных множеств (1874-1895годы).Первое направление топологии (называемое теоретико-множественной топологией) было утверждено Ф. Хаусдорфом и другими математиками в начале ХХ века.Второе направление топологии (называемое комбинаторной или алгебраической топологией) начало развиваться в 90-х годах прошлого столетия. В этом направлении имеются работы А. Пуанкре, которые посвящены интегральному исчислению для высших размерностей.

Объединил теоретико-множественное и комбинаторное направления топологии Л.Брауэр (1908). Он же изучил понятие размерности. Дальнейшее развитие объединённой теории было продолжено Д. Лефшецом (С. Левшец первый использовал термин «топология») и другими. С 1930 года топология двигалась ускоренным шагом. Огромнейший вклад внесли в эту науку М. Морс (теория критических точек), Х. Уитни( расслоенное пространство), Ж. Де Рама (дифференциальные формы).Топология дала новый толчок дифференциальной геометрии и развила новую ветвь алгебры (называемой гомологической алгеброй) и алгебраическую геометрию. Советские математики, начиная с 20-х годов, тоже внесли большой вклад в топологию. Особенно важные результаты принадлежат П.С. Александрову, А.Н. Колмогорову, Л.С. Понтрягину, П.С. Урысону.В последние годы успешно работают в этой области математики В.А.Рохлин, М.М. Постников, С.П. Новиков, А.В.Чернавский и другие.Топология превратилась в одну из основных граней математики и стала необходимой для многих её областей.

3.Определение топологии.

ТОПОЛОГИЯ – это часть геометрии, посвящённая изучению феномена, непрерывности. Разнообразности проявления непрерывности в математике и широкий спектр различных подходов к её изучению привели к распадению единой топологии на ряд отделов, различных по предмету и методу изучения.

Топология - это раздел математики, занимающийся изучением свойств фигур (или пространств), которые сохраняются при непрерывных деформациях. В научно-популярной литературе топологию часто называют "геометрией на резиновом листе", поскольку ее наглядно можно представлять себе как геометрию фигур, нарисованных на идеально упругих резиновых листах, которые подвергаются растяжению, сжатию или изгибанию.

Топологическое пространство — основной объект изучения топологии. Понятие топологического пространства можно рассматривать как обобщение понятия геометрической фигуры, в котором мы отвлекаемся от свойств наподобие размера или точного положения частей фигуры в пространстве, и сосредотачиваемся только на взаимном расположении частей. Топологические пространства возникают естественно почти во всех разделах математики.

4. Свойства топологии:

а) МЕТРИЧЕСКИЕ – зависят от размеров и формы фигур.

Сохраняются при изотермических преобразованиях (сохранение расстояний, длин линий) или при преобразованиях подобия (неизменные углы и пропорции частей фигуры).

б) ПРОЕКТИВНЫЕ – (более качественные свойства) прямолинейность или искривлённость, выпуклость или невыпуклость.

Сохраняются при деформациях, не искривляющих прямых линий.

в) ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ – гладкость или негладкость.

Сохраняются при любых преобразованиях.

г) БЛИЗОСТИ – ограниченность или неограниченность.

Сохраняются при любых равномерно-непрерывных преобразованиях.

В математике имеются свойства, которые не нарушаются ни при каких непрерывных деформациях фигур. Это и есть ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА.

Топологию называют резиновой геометрией. Чтобы это хорошо понять, нужно представить, что некоторая фигура сделана из резины. Её можно растягивать, сжимать, закручивать, но не разрывать и не склеивать.

Например, маленький шарик можно раздуть в большой, потом его можно превратить в эллипс, потом в гантель. Также можно поверхность шара превратить в поверхность куба, тетраэдра, призмы, пирамиды, конуса и т.д.

Но никак нельзя из шара сделать непрерывной деформацией бублик. Аптечную резинку можно представить как окружность, эллипс, многоугольник, любую замкнутую кривую, но при этом резинка не должна разрываться или склеиваться. Разрывание и склеивание не являются топологическими преобразованиями.

Множества, которые можно деформировать друг в друга без разрывов и склеивания называются топологически-эквивалентными. Так как эти множества имеют в точности одни и те же свойства, то тополог считает их одинаковыми, неразличимыми топологически. Тополог – это тот человек, который не видит разности между шаром и призмой, бубликом и кружкой…

Фигуру можно мять, пропускать через игольное ушко, как угодно искривлять. С точки зрения топологии спелая груша равносильна сухой.

Какими бы жестокими ни казались нам эти преобразования, каким бы чудовищным деформациям ни подвергали мы тела и фигуры, всё – таки есть такие геометрические свойства, которые остаются неизменными.

Все топологические свойства у фигур, которые могут быть топологически преобразованы друг в друга, одинаковы. Для тополога все гомеоморфные фигуры представляют собой одну и ту же фигуру.

С гомеоморфными фигурами мы встречаемся ежедневно и ежечасно. Например, на уроке геометрии учитель изобразил на доске призму:

В тетрадях учеников появляются топологически преобразованные призмы:

Также любые два треугольника топологически эквиваленты; любая окружность эквивалентна любому эллипсу:

И ещё нужно сказать, что как бы ни расплющивать, ни раскатывать ком пластилина, не имеющую толщины, т.е. он сохранит свою размерность. А тот факт, что запрещено разрывать этот ком или склеивать, даёт связность.

Размерность и связность – одни из наиболее фундаментальных свойств геометрических фигур.

Связанность. Теоремы связанности.

Связность – это одно из важных топологических свойств замкнутого промежутка.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Пространство, не допускающее никакого разбиения, называется связным.

К свойствам топологического пространства так же можно отнести Ориентированность, Непрерывность и Компактность .

В своей работе я остановилась на рассмотрении вопросов связанных с применением топологии в современном мире, в частности связи между несколькими объектами. К таким связям относится  Сетевая топология.

5. История развития локальной сети

Связь на небольшие расстояния в компьютерной технике существовала еще задолго до появления первых персональных компьютеров.
К большим компьютерам (mainframes), присоединялись многочисленные терминалы (или "интеллектуальные дисплеи"). Правда, интеллекта в этих терминалах было очень мало, практически никакой обработки информации они не делали, и основная цель организации связи состояла в том, чтобы разделить интеллект ("машинное время") большого мощного и дорогого компьютера между пользователями, работающими за этими терминалами. Это называлось режимом разделения времени, так как большой компьютер последовательно во времени решал задачи множества пользователей. Достигалось совместное использование самых дорогих в то время ресурсов - вычислительных.
Затем были созданы микропроцессоры и первые микрокомпьютеры. Появилась возможность разместить компьютер на столе у каждого пользователя, так как вычислительные, интеллектуальные ресурсы подешевели. Но зато все остальные ресурсы оставались еще довольно дорогими. А что значит голый интеллект без средств хранения информации и ее документирования? Не будешь же каждый раз после включения питания заново набирать выполняемую программу или хранить ее в маловместительной постоянной памяти. На помощь снова пришли средства связи. Объединив несколько микрокомпьютеров, можно было организовать совместное использование ими компьютерной периферии (магнитных дисков, магнитной ленты, принтеров).Вся обработка информации проводилась на месте, но ее результаты передавались на централизованные ресурсы. Такой режим получил название режима обратного разделения времени. Как и в первом случае, средства связи снижали стоимость компьютерной системы в целом.
Затем появились персональные компьютеры, которые отличались от первых микрокомпьютеров тем, что имели полный комплект достаточно развитой для полностью автономной работы периферии: магнитные диски, принтеры, не говоря уже о более совершенных средствах интерфейса пользователя (мониторы, клавиатуры, мыши и т.д.). Периферия подешевела и стала по цене вполне сравнимой с компьютером. Казалось бы, зачем теперь соединять персональные компьютеры? Что им разделять, когда и так уже все разделено и находится на столе у каждого пользователя? Интеллекта на месте хватает, периферии тоже. Что же может дать сеть в этом случае?
Самое главное — это опять же совместное использование ресурса. То самое обратное разделение времени, но уже на принципиально другом уровне. Здесь уже оно применяется не для снижения стоимости системы, а с целью более эффективного использования ресурсов имеющихся в распоряжении компьютеров. Например, сеть позволяет объединить объем дисков всех компьютеров, обеспечив доступ каждого из них к дискам всех остальных как к собственным.
Но нагляднее всего преимущества сети проявляются, в том случае, когда все пользователи активно работают с единой базой данных, запрашивая информацию из нее и занося в нее новую (например, в банке, в магазине, на складе). Никакими дискетами тут уже не обойдешься: пришлось бы целыми днями переносить данные с каждого компьютера на все остальные, содержать целый штат курьеров. А с сетью все очень просто: любые изменения данных, произведенные с любого компьютера, тут же становятся видными и доступными всем. В этом случае особой обработки на месте обычно не требуется, и в принципе можно было бы обойтись более дешевыми терминалами (вернуться к первой рассмотренной ситуации), но персональные компьютеры имеют несравнимо более удобный интерфейс пользователя, облегчающий работу персонала. К тому же возможность сложной обработки информации на месте часто может заметно уменьшить объем передаваемых данных.
Без сети также невозможно обойтись в том случае, когда необходимо обеспечить согласованную работу нескольких компьютеров. Эта ситуация чаще всего встречается, когда эти компьютеры используются не для вычислений и работы с базами данных, а в задачах управления, измерения, контроля, там, где компьютер сопрягается с теми или иными внешними устройствами. Примерами могут служить различные производственные технологические системы, а также системы управления научными установками и комплексами. Здесь сеть позволяет синхронизовать действия компьютеров, распараллелить и соответственно ускорить процесс обработки данных, то есть сложить уже не только периферийные ресурсы, но и интеллектуальную мощь.
Именно указанные преимущества локальных сетей и обеспечивают их популярность и все более широкое применение, несмотря на все неудобства, связанные с их установкой и эксплуатацией.

Топология – это конфигурация соединения элементов.  Сетевая топология описывает способ сетевого объединения различных устройств. Топология во многом определяет такие важнейшие характеристики сети, как ее надежность, производительность, стоимость, защищенность и т.д.  
  

6.Виды локальных сетей 

 Одним из подходов к классификации топологий локальных вычислительных сетей является выделение двух основных классов топологий: широковещательных и последовательных.

Все компьютеры в локальной сети соединены линиями связи. Геометрическое расположение линий связи относительно узлов сети и физическое подключение узлов к сети называется  физической топологией. В зависимости от топологии различают сети: шинной, кольцевой, звездной, иерархической (древовидной) и произвольной структуры.

Различают физическую и логическую топологию. Логическая и физическая топологии сети независимы друг от друга.

Логическая топология сетей
Двумя основными типами логической топологии являются широковещательная топология и топология, использующая передачу маркера. Использование широковещательной топологии означает всего лишь то, что каждая рабочая станция направляет по сетевой среде свои данные на конкретный адаптер NIC по адресу многоадресатной рассылки или по широковещательному адресу. Порядок передачи по сети данных отдельными станциями при этом не устанавливается. Как гласит известная поговорка, ‘‘первым пришел — первым обслужили’’.
Вторым типом логической топологии является топология с передачей маркера. Передача маркера управляет доступом к сети путем последовательного предоставления электронного маркера всем рабочим станциям. Когда станция получает маркер, она может отправить в сеть свои данные. Если у станции нет данных для передачи, она передает маркер другой, следующей за ней, станции, и процесс повторяется. Двумя примерами сетей, использующих передачу маркера, являются сети Token Ring и FDDI.

 Физическая топология - это геометрия построения сети, а логическая топология определяет направления потоков данных между узлами сети и способы передачи данных.

В настоящее время в локальных сетях используются следующие физические топологии:

• Шинная
• Кольцевая
•  Звезда
•  Расширенная звезда
•  Иерархическая
• Полносвязная (меш)

7.Сравнительная характеристика

Рассмотрим основные топологии - звезда, кольцо и шина. Сравнение этих топологий представлено в таблице.

 Сравнительные характеристики основных топологий

Вывод

Подведем итог с помощью следующей таблицы:

Многие фирмы реализуют распределенный подход  к  иерархической  сети, при котором  в  системе  подчиненных  станций  каждая  станция  обеспечивает непосредственное управление станциями,  находящимися  ниже  в  иерархии.  Из станции B производится управление станциями C и D.  Это  уменьшает  нагрузку на центральную станцию А.

И в заключение я могу с точностью сказать, что наукой будущего является топология локальных сетей, так как она связывает между собой новые технологии и старые прописные истины математики. Прошлое и будущее.

Топология вокруг нас и в нас самих.