Вспомогательная окружность

Слайд 1

Лицей «Дубна» Тема работы: Метод Вспомогательной окружности Выполнил: Джавадзаде Джавид Руководитель: Рычкова Татьяна Викторовна – учитель математики МОУ Лицей «Дубна» г. Дубны Московской области»

Слайд 2

Цели и задачи Изучение необходимой теории 1 Приобретение знаний и умений по применению метода вспомогательной окружности. 2 Рассмотреть задачи из проекта ЕГЭ 2011- 201 2 года С4. 3 Разработать тест , способствующий развитию геометрической изобретательности и интуиции 4

Слайд 3

Вспомогательная окружность – одно из наиболее эстетичных дополнительных построений. Скорее всего, это связано с тем, что «увидеть» окружность там, где ее нет, уже само по себе нетривиально. Однако мы надеемся, что после знакомства с нашей работой, у любителей геометрии чаще будут возникать «круги перед глазами.» В огромном саду геометрии каждый найдет себе букет по вкусу». Д. Гильберт.

Слайд 4

По мере изучения геометрии мы познакомились с различными методами решения задач: векторный, координатный, аналитический, геометрический. Убеждались не раз, что для решения нестандартных геометрических задач наиболее эффективным и красивым является чисто геометрический, т. е. такой, где необходимо применить вспомогательное построение. С его помощью решаемую задачу обычно удаётся свести к элементарным задачам, решения которых известны или легко могут быть получены.

Слайд 5

Вспомогательные построения иногда напрашиваются сами собой. Например, если в задаче говорится о прямой, касающейся окружности, то естественно провести радиус в точку касания и воспользоваться тем, что он перпендикулярен касательной. При решении же нестандартных задач найти удачное вспомогательное построение не так – то просто. Требуется большой опыт, изобретательность, геометрическая интуиция, чтобы догадаться, какие дополнительные линии следует провести.

Слайд 6

3 2 1 Доказательство: Опишем около данного треугольника окружность . По свойству вписанного угла: ے 1 = ½ AnC ے 2 = ½ ClB ے 3 = ½ BkN AkB+BlC+CnA = 360 ° => ے 1+ ے 2+ ے 3=180°, что и требовалось доказать. А В С l k n Доказать: сумма углов треугольника равна 180 °

Слайд 7

B A C M Доказательство: Опишем около треугольника АВС окружность, ے АСВ=90 ° = > АВ – диаметр, МС – радиус, следовательно МС равно ½ АВ, что и требовалось доказать. Доказать: в прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе равна ее половине ∠ C=90 ° , CM -медиана

Слайд 8

A M K B A M B K Если для четырех точек плоскости А, В, М, К выполняется одно из следующих условий: а) точки М и К расположены по одну сторону от прямой АВ и при этом ∠ АМВ = ∠ АКВ ; б) точки М и К расположены по разные стороны от прямой АВ и при этом ∠ АМВ + ∠ АКВ = 180 ° , то точки А, В, М, К лежат на одной окружности Теорема о принадлежности точек одной окружности

Слайд 9

А В С М О Доказательство: зам е тим, что точки А,В,С лежат на одной окружности с диаметром ОМ, по теореме о принадлежности точек одной окружности. ∠ ACB= ∠ AOB( опираются на одну дугу) = 60 ° , Аналогично ∠ ABC= ∠ BAC=60° => тр-к ABC - равносторонний. Через некоторую точку плоскости, проведены 3 прямые так, что Угол между любыми 2 из них равен 60 ° . Докажите, что основания перпендикуляров, опущенных на эти прямые из любой точки плоскости, служат вершинами правильного треугольника . Доказать

Слайд 10

C A 13 N В Q M 5 1 3 Известно, что BM и CN – высоты треугольника АВС, при этом MN=10, BC=26 . Найдите расстояние между серединами отрезков MN и BC. Пусть P и Q – середины отрезков BC и M N соответственно. Точки B,N,M,C – лежат на одной окружности С диаметром ВС. Точка Р – центр окружности, а Q – середина хорды MN , поэтому PQ перпендикулярно MN PM=PC( как радиусы)=13 ; Из прямоугольного треугольника PQM находим, что PQ = 12 Задача С4 Р

Слайд 11

A B C D E F G H Дано: АВС DEFGH – правильная восьмиконечная звезда Найти: сумму углов звезды. Опишем около звезды АВС DEFGH окружность, ∠ FAD = ½ дуги FD = дуге FE аналогично с другими углами. Следует сумма углов равна 360 º . Тест Итак, подведем некоторые итоги. На мой взгляд, геометрические задачи, в которых требуется выполнить дополнительные построения, самые интересные, поскольку отгадка не лежит на поверхности. Но для умения их решать нужна геометрическая интуиция, изобретательность и, конечно, тренировка. Я хочу предложить вам небольшой тест.

Слайд 12

тест В Н А С Р ∠ C=90 ° C Н - высота Доказать: СН ² =АН*НВ Построим описанную окр. около Δ АВС, продолжим высоту СН до Р, СН=РН ; т. к. АВ перпендикулярно СР, отсюда: СН²=АН*НВ по свойству хорд. Тест

Слайд 13

C D B A O E Дано: ∠ А=50 ° ; ∠ B=60 ° ; ∠ DCA = ∠ EAC=30 ° О - центр описанной окружности . Найти : ∠ CDE -? Решение : ∠ DOE= ∠ AOC = 120° около четырехугольника ODBE можно описать окружность. 50 ° 30 ° 60 ° 30 ° Задача Заметим, что ∠ CDE= ∠ ODE= ∠ OBE , т.к. они опираются на одну дугу. Из треугольника OAB : OA=OB , отсюда: ∠ OBA= ∠ OAB = ∠ A- ∠ OAC=20° ∠ OBE = ∠ B- ∠ OBA =40° = ∠ CDE Ответ: ∠ CDE = 40 °

Слайд 14

С D С 1 A B p p p p q q Основание BD и боковая сторона AD трапеции ABCD равны p . Боковая сторона BC равна q. Найдите диагональ AC. Задача С4

Слайд 15

Задача С4 C 1 B А C D α Дан прямоугольный треугольник АВС С прямым углом И углом α при вершине А. Точка D – середина гипотенузы. Точка C 1 симметрична точке С относительно прямой BD. Найдите угол AC 1 B- ? Описав окружность, докажем, что DC=DA=DB=DC 1

Слайд 16

Не хотелось бы утомить вас обилием кругом, боюсь, что теперь круги перед глазами не только у меня, но и у вас =) но тем не менее настоятельно рекомендую вам, выбирая метод решения, отдавать предпочтение геометрическому, в частности методу вспомогательной окружности. Не хотелось бы утомить вас обилием кругов, боюсь, что теперь круги перед глазами не только у меня, но и у вас =) но тем не менее настоятельно рекомендую вам, выбирая метод решения, отдавать предпочтение геометрическому, в частности методу вспомогательной окружности.

Слайд 17

Спасибо за внимание!