Реферат по теме «Геометрия Лобачевского»

Министерство общего образования 

Муниципальная средняя общеобразовательная школа №12                                  

Реферат по теме

«Геометрия Лобачевского»

Выполнила: Чунова Александра, 11 «Б»

Руководитель: Быкова Елена Анатольевна

Оглавление

1. Введение…………………………………………… 2
2. Геометрия Лобачевского………………………….. 3
3. Заключение………………………………………… 9
4. Список литературы………………………………. 10

Введение

Геометрия Лобачевского (гиперболическая геометрия) — одна из неевклидовых геометрий, геометрическая теория, основанная на тех же основных посылках, что и обычная евклидова геометрия, за исключением аксиомы о параллельных, которая заменяется на аксиому о параллельных Лобачевского.

В конце прошлого века в работах Пуанкаре и Клейна была установлена прямая связь геометрии Лобачевского с теорией функций комплексной переменной и с теорией чисел (точнее, арифметикой неопределенных квадратичных форм). С тех пор аппарат геометрии Лобачевского стал неотъемлемым компонентом этих разделов математики. В последние 15 лет значение геометрии Лобачевского еще более возросло благодаря работам американского математика Тёрстона (лауреата Филдсовской медали 1983 г.), установившего ее связь с топологией трехмерных многообразий. Десятки работ ежегодно публикуются в этой области. Современные исследования все больше требуют делового владения геометрией Лобачевского.

Я выбрала данную тему по нескольким причинам:

1. Теория геометрии Лобачевского помогает взглянуть по-другому на окружающий нас мир.
2. Это интересный, необычный и прогрессивный раздел современной геометрии.
3. Она дает материал для размышлений – в ней не все просто, не все ясно с первого взгляда, чтобы ее понять, нужно обладать фантазией и пространственным воображением.

Я поставила перед собой такие задачи, как рассмотреть историю возникновения неевклидовой геометрии, познакомиться с личностью Лобачевского и его работой и определить значение геометрии Лобачевского в современной науке.

Геометрия Лобачевского

Был мудрым Евклид,

Но его параллели,

Как будто бы вечные сваи легли.

И мысли его, что как стрелы летели,

Всегда оставались в пределах Земли.

А там, во вселенной, другие законы,

Там точками служат иные тела.

И там параллельных лучей миллионы

Природа сквозь Марс, может быть, провела.

Геометрия, как наука, впервые сформировалась в Древней Греции, когда геометрические закономерности и зависимости, найденные ранее опытным путем, были приведены в надлежащую систему и доказаны.

«Начала» - величайший памятник деятельности Евклида, в котором он собрал воедино всё то, что сделали его предшественники в области геометрии и «словесной алгебры». Но не только в этом его заслуга. Он также внёс много своего, нового, оригинального. Вплоть до XX века геометрию в школах преподавали по учебникам, в которые были включены евклидовы «Начала», переведённые и литературно обработанные.

Однако не всё написанное Евклидом удовлетворяло живших после него математиков. Он сделал попытку дать аксиоматическое изложение геометрии, т.е. сформулировать небольшое количество аксиом, из которых логически выводятся все теоремы геометрии. Список аксиом сразу же подвергся критике, некоторые из них оказались совсем не нужными, например, что «все прямые углы равны между собой».

Так называемый пятый постулат Евклида вызвал особые нарекания математиков. Именно эта аксиома, как показала историческое развитие науки, содержала в себе зародыш другой, неевклидовой геометрии.

Вот о чём говорится в пятом постулате: если две прямые a и b образуют при пересечении с третьей прямой односторонние внутренние углы α и β, сумма величин которых меньше двух прямых углов (т.е. меньше 180˚), то эти две прямые обязательно пересекаются, причём именно стой стороны от третьей прямой, по которую расположены углы α и β (составляющие вместе не менее 180˚).

Данное утверждение заметно сложнее остальных аксиом, поэтому пятый постулат часто заменяют равносильной аксиомой параллельности: через точку, лежащую вне данной прямой, можно провести не более одной прямой, лежащей с данной в одной плоскости и не пересекающей ее.

Попытки доказательства пятого постулата предпринимались в течение более чем двух тысячелетий сначала в Древней Греции, затем на средневековом Востоке, а позже в Западной Европе. Но неудачные попытки прямого доказательства направили ход мыслей ученных в иное русло. Пятый постулат  решили заменить противоположным утверждением. Двери в новую геометрию приоткрыли такие ученые, как Джованни Саккери и Иоганн Ламберт, а их работу продолжили уже другие ученые, среди которых был выдающийся русский математик Николай Иванович Лобачевский.

Н. И. Лобачевский родился 20 ноября (1 декабря) 1792 года в Нижнем Новгороде. Окончил Казанскую гимназию в конце 1806 года, показав хорошие знания, особенно по математике и языкам — латинскому, немецкому, французскому. В проявившемся уже тогда его интересе к математике — большая заслуга преподавателя гимназии Г. И. Карташевского. В 15 лет поступил на физико-математический факультет Казанского университета. В это время там читал лекции по математике профессор И. Бартельс (1769-1836). Он обратил внимание на одаренного мальчика и начал заниматься с Лобачевским. В 19 лет Николай Иванович получил степень магистра, а в 23 года стал профессором. В течение 40 лет преподавал в Казанском университете, в том числе 19 лет руководил им в должности ректора; его активность и умелое руководство вывели университет в число передовых российских учебных заведений.

Еще до открытия неевклидовой геометрии Лобачевский написал в 1823г. учебное руководство, озаглавленное «Геометрия». В нем впервые со всей четкостью отражена так называемая теперь фузионистская точка зрения, согласно которой планиметрию не следует по евклидовой манере отрывать от стереометрии; наоборот, обе эти части геометрии нужно по возможности объединить, т.е. аналогичные начала планиметрии и стереометрии следует преподавать параллельно. Так рядом с кругом Лобачевский рассматривал шар и сферу; взаимное расположение прямых на плоскости он рассматривает совместно с взаимным расположением плоскостей в пространстве, почти одновременно трактует многоугольники и многогранники. Лишь в конце позапрошлого столетия итальянский математик Г. Веронезе также стал проводить в своих учебных руководствах по элементарной геометрии идею фузионизма.

Хотя Лобачевский занимался различными вопросами математики, мировую известность он получил как создатель новой геометрии. Лобачевский был с юношеских лет заинтересован аксиомой параллельных прямых. Сначала он пытался доказать пятый постулат, но постепенно пришел к выводу, что этого сделать нельзя, исходя из остальных аксиом. Тогда он заменил его на противоположное утверждение, которое сейчас называют аксиомой Лобачевского: через точку, не лежащую на данной прямой, проходят по крайней мере две прямые, лежащие с данной прямой в одной плоскости и не пересекающие её.

В разработанной Лобачевским новой геометрии  многие утверждения звучат неожиданно. Вот некоторые из них:

1. Через точку А, не лежащую на прямой а, проходит бесконечное множество прямых, не пересекающих  прямую а и лежащих  с ней в одной плоскости.
2. Геометрическое место точек, равноудаленных от данной прямой, есть кривая линия.
3. Сумма углов треугольника – величина переменная. Она зависит от размера треугольника, но всегда меньше π. 
4. Площадь треугольника вычисляется по формуле S = r2(π – A – B –C), где r – радиус кривизны пространства, а A, B, C – величины углов треугольника, выраженные в радианах

Остальные аксиомы Лобачевский оставил без изменения и на основе новой системы построил новую геометрию, отличную от евклидовой.

Можно считать, что неевклидова геометрия родилась в феврале 1826 года. Лобачевский выступил с докладом о своем открытии, но поддержки не нашёл. Математики его времени ещё не были подготовлены к мысли о возможности существования иной, неевклидовой геометрии. Учёный умер, так и не добившись признания своих идей. Впрочем, один человек понимал и поддерживал его работы.

Гениальный Гаусс, «король математиков» (судя по архиву, разобранному уже после смерти), ещё в 1815 г., за девять лет до сообщения Лобачевского, размышлял над аналогичными идеями. И тем не менее Гаусс, к мнению которого прислушивались все, не решился опубликовать свои работы. Однако Гаусс добился того, что Лобачевского избрали иностранным членом – корреспондентом Геттингенского учёного общества. Это единственная почесть, возданная Лобачевскому при жизни.

Кроме Гаусса был ещё один человек, который вместе с Лобачевским делит заслугу открытия неевклидовой геометрии. Венгерский математик Янош Бойяи очень интересовался проблемой пятого постулата. Янош не послушал совета отца, который сказал, что эта проблема выше человеческих сил. И вскоре он добился успеха. Он сумел построить неевклидову геометрию, такую же, как и у Лобачевского, хотя и менее глубокую и последовательную.

Позже для планиметрии Лобачевского была найдена реальная модель. Итальянский математик, профессор римского университета Эудженио Бельтрами (1835-1900) нашел модель для неевклидовой геометрии, показав в своей работе «Опыт интерпретации неевклидовой геометрии»(1868г.), что наряду с плоскостями, на которых осуществляется евклидова геометрия, и сферическими поверхностями, на которые действуют формулы сферической геометрии, существуют и такие реальные поверхности, названные им псевдосферами, на которых частично осуществляется планиметрия Лобачевского.

Псевдосфера

В 1871 году Клейн предложил первую полноценную модель плоскости Лобачевского. Плоскостью служит внутренность круга, прямой — хорда круга без концов, а точкой — точка внутри круга. «Движением» назовём любое преобразование круга в самого себя, которое переводит хорды в хорды. Соответственно, равными называются фигуры внутри круга, переводящиеся одна в другую такими преобразованиями. Тогда оказывается, что любой геометрический факт, описанный на таком языке, представляет теорему или аксиому геометрии Лобачевского.

Модель Клейна

Другую модель геометрии Лобачевского построил в 1882г. французский математик Анри Пуанкаре (1854-1912), применивший ее к решению некоторых важных задач теории функций комплексного переменного.  За плоскость Лобачевского принимается внутренность круга, прямыми считаются дуги окружностей, перпендикулярных окружности данного круга, и его диаметры, движениями — преобразования, получаемые комбинациями инверсий относительно окружностей, дуги которых служат прямыми.

Модель Пуанкаре

Заключение

Любая теория современной науки считается единственно верной, пока  не создана следующая. Это своеобразная аксиома развития науки.

Заслуга Лобачевского состоит в том, что он не только высказал идею, но действительно построил и всесторонне развил новую геометрию, логически столь же совершенную и богатую выводами, как евклидова, несмотря на её несоответствие обычным наглядным представлениям. Лобачевский рассматривал свою геометрию как возможную теорию пространственных отношений

Создание геометрии Лобачевского оказало огромное влияние на все науки. Ее результаты используются внутри математики – в теории чисел, в математическом анализе. В частности сам Лобачевский с помощью своей  геометрии вычислили около 200 интегралов. Но наиболее широкое применение она нашла в современной физике – общей и специальной теории относительности, в квантовой механике и других областях.

Одним из важнейших результатов открытия геометрии Лобачевского было развитие новых неевклидовых геометрий, в первую очередь, геометрии Римана, называемой так же эллиптической геометрией.

Непреходящее значение открытия геометрии Лобачевского для науки состоит в том, что оно разрушило приобретенные веками традиционные взгляды на окружающий мир, вывело ученых из узких рамок созданных ими стереотипов мышления. Они стали более восприимчивы к новым неожиданным научным открытиям.

Все! Перечеркнуты “Начала”.

Довольно мысль на них скучала,

Хоть прав почти во всем Евклид,

Но быть не вечно постоянству:

И плоскость свернута в пространство,

И мир

Иной имеет вид...  

Список литературы

1. За страницами учебниками математики: Н.Я. Виленкин, Л.П Шибасов. – М.: Просвещение: 1996 – 320с.
2. История математики в школе: Г.И. Глейзер. – М.: Просвещение, 1983. – 351с.

Интернет ресурсы

1. ru.wikipedia.org
2. pereplet.ru
3. referatbank.ru