Проект по математике на тему "Способы умножения натуральных чисел"

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

средняя общеобразовательная школа №35 городского округа Самара

Проект на тему:

«Способы умножения

 натуральных чисел»

Работу выполнили: ученицы  5 «А» класса

Третьякова Анастасия,

Тёмкина Алина.

Научный руководитель:

учитель математики

Рузанова И.М.

Самара, 2014г.

Цель и задачи проекта:

Цель: ознакомление с различными способами умножения натуральных чисел, не используемых на уроках, и их применение при вычислениях числовых выражений.

Задачи:

1. Найти и разобрать различные способы умножения.
2. Научиться демонстрировать некоторые способы умножения.
3. Рассказать о новых способах умножения и научить ими пользоваться учащихся.
4. Развить навыки самостоятельной работы: поиск информации, отбор и оформление найденного материала.

Гипотеза: «Знания лишь тем открываются.

                    Кто с разными числами знается!!!»  

                                                           Пифагор.

Содержание:

1. Введение.                                                                     4 стр.
2. Основная часть.                                                          5 – 13 стр.

1.  Русско-крестьянский способ умножения.        5 – 6 стр.
2.  Квадрат  Пифагора.                                             6 – 7 стр.
3.  Таблица Оконешникова.                                     7 – 9 стр.
4.  Индийский способ умножения.                          9 – 11 стр.
5.  Египетский способ умножения.                         11 – 12 стр.
6.  Китайский способ умножения.                           12 стр.
7.  Японский способ умножения.                            13 стр.

3. Заключение.                                                                 14 стр.
4. Литература.                                                                  14 стр.

1. Введение.

…..Вы не сможете выполнить умножения многозначных чисел - хотя бы даже двузначных - если не помните наизусть всех результатов умножения однозначных чисел, т. е. того, что называется таблицей умножения. В старинной «Арифметике» Магницкого необходимость твердого знания таблицы умножения воспета в таких - надо сознаться, чуждых для современного слуха - стихах:

Аще кто не твердит

таблицы и гордит,

Не может познати

числом что множати

И во всей науки, несвобод от муки,

Колико не учиттуне ся удручит

И в пользу не будет аще ю забудет.

Сам Магницкий, автор этих стихов, очевидно, не знал или упустил из виду, что существуют способы перемножать числа и без знания таблицы умножения. Способы эти, не похожи на наши школьные приемы, некоторые употреблялись  в обиходе великорусских крестьян и унаследованы ими от глубокой древности, некоторые используются и в наше время.

 В школе изучают таблицу умножения, а затем учат детей умножать числа в столбик. Разумеется, это не единственный способ умножения. На самом деле, существует несколько десятков способов умножения  многозначных чисел. В данной работе мы приведём несколько способов умножения, возможно они покажутся более простыми и вы будете ими пользоваться.

2. Основная часть.

1. Русско-крестьянский способ умножения.

Сущность его в том, что умножение любых двух чисел сводится к ряду последовательных делений одного числа пополам при одновременном удвоений другого числа.  Пример: 32 х 13 

 Таблица 1. 

Деление пополам (см. левую половину Табл.1) продолжают до тех пор, пока в частном не получится 1, параллельно удваивая другое число (правая часть Табл.1). Последнее удвоенное число и дает искомый результат.

Нетрудно понять, на чем этот способ основан: произведение не изменяется, если один множитель уменьшить вдвое, а другой вдвое же увеличить. Ясно поэтому, что в результате многократного повторения этой операции получается искомое произведение: ( 32 х 13 ) = ( 1 х 416 )

Особо внимательные  заметят "А как быть с нечетными числами, которые не кратны 2-м?".

Итак, пусть нам необходимо умножить два числа: 987 и 1998. Одно запишем слева, а второе - справа на одной строчке. Левое число будем делить на 2, а правое - умножать на 2 и результаты записывать в столбик. Если при делении возникнет остаток, то он отбрасывается.

Операцию продолжаем, пока слева не останется 1. Затем вычеркнем те строчки, в которых слева стоят четные числа и сложим оставшиеся числа в правом столбце. Это и есть искомое произведение.  Дана графическая иллюстрация по данному описанию. ( см. Таблицу 2.)

Таблица 2.

2. Квадрат  Пифагора.

1   2   3

4   5   6

7   8   9

Это всем известный Квадрат Пифагора, отражающий мировую систему счисления, состоящую из девяти цифр: от 1 до 9. Выражаясь современным языком – это девяти разрядная числовая матрица, в которой цифры, являющиеся основой для дальнейших вычислений любой сложности расположены в порядке возрастания. Квадрат Пифагора называют и Эннеадой, а тройку цифр - триада. Можно рассматривать тройки цифр расположенные по горизонтали (123, 456, 789) и по вертикали(147, 258, 369). Причем, записанные таким образом, тройки цифр начинают обозначать уже особые числа, подчиняющиеся законам математической пропорции и гармонии.

Вспомним главное правило древнеегипетской математики, в котором сказано, что умножение производится при помощи удвоения и сложения полученных результатов; то есть каждое удвоение есть сложение числа с самим собой. Поэтому интересно посмотреть на результат подобного удвоения цифр и чисел, но полученному современным методом складывания « в столбик», известному даже в начальных классах школы. Это будет напоминать египетскую систему счисления,  по сути, с разницей в том, что все цифры либо числа записываются в один столбик (без указания того или иного действия в соседнем столбике - как у египтян).

Начнем с цифр, составляющих Квадрат Пифагора: от 1 – до 9.

1           2                3            4             5             6             7            8               9

2           4                6            8           10           12           14          16             18

3           6                9           12          15           18           21          24             27

4           8               12          16          20           24           28          32             36

5          10              15          20          25           30           35          40             45

6          12              18          24          30           36           42          48             54

7          14              21          28          35           42           49          56             63

8          16              24          32          40           48           56          64             72

9          18              27          36          45           54           63          72             81

10        20              30          40          50           60           70          80             90

Цифра 1: обычный последовательный ряд цифр.

Цифра 9: левый столбик - четкий восходящий ряд («поток»).

правый столбик - четкий нисходящий ряд последовательных цифр. Условимся называть восходящим ряд, значения чисел в котором увеличиваются сверху вниз ; в нисходящем же –  наоборот: уменьшаются значения чисел сверху вниз.

Цифра 2:  в правом столбике повторяются четные цифры 2,4,6,8 («в периоде»).

Цифра 8: такой же повтор - только в обратном порядке- 8,6,4,2.

Цифры 4 и 6: четные цифры «в периоде» 4,8,2,6 и 6,2,8,4.

Цифра 5: подчиняется правилу сложения цифры 5- чередование 5 и 0.

Цифра 3: правый столбик - нисходящий ряд уже не цифр, а чисел, образующих  тройки вертикальных рядов в квадрате Пифагора- 369, 258, 147. Причем, отсчет идет «из правого угла квадрата» или справа налево. Здесь также действует принятое выше правило восходящего - нисходящего ряда. Но восходящий ряд – это движение от тройки чисел 147 до тройки 369; нисходящий - от 369 до 147.                                      

Цифра 7: восходящий ряд чисел  147,258,369 из «левого угла» или слева направо.  Впрочем, все зависит от того, как изображена сама девятиразрядная числовая матрица - где поставить цифру 1.

3. Таблица Оконешникова.

Школьники смогут  научиться устно складывать и умножать миллионы, биллионы и даже секстиллионы с квадриллионами. А поможет им в этом кандидат философских наук Василий Оконешников, по совместительству изобретатель новой системы устного счёта. Учёный утверждает, что человек способен запоминать огромный запас информации, главное – как эту информацию расположить.  
   По мнению самого учёного, наиболее выигрышной в этом отношении является девятеричная система – все данные просто располагают в девяти ячейках, расположенных, как кнопочки на калькуляторе.

По мысли учёного, прежде чем стать вычислительным «компьютером», необходимо вызубрить созданную им таблицу. Цифры в ней распределены в девяти клетках непросто. Как утверждает Оконешников, глаз человека и его память так хитро устроены, что информация, расположенная по его методике, запоминается во-первых, быстрее, а во-вторых – намертво .
       Таблица разделена на 9 частей. Расположены они по принципу мини калькулятора: слева в нижнем углу «1», справа в верхнем углу «9». Каждая часть – таблица умножения чисел от 1 до 9 (опять же в левом нижнем углу на 1, рядом правее на 2 и т.д., по той же «кнопочной» система). Как ими пользоваться?
      Например, требуется умножить 9 на 842. Сразу вспоминаем большую «кнопку» 9 (она вверху справа и на ней мысленно находим маленькие кнопочки 8,4,2 (они также расположены как на калькуляторе). Им соответствуют числа 72, 36, 18. Полученные числа складываем особо: первая цифра 7 (остаётся без изменения), 2 мысленно складываем с 3, получаем 5 – это вторая цифра результата, 6 складываем с 1, получаем третью цифру -7, и остаётся последняя цифра искомого числа – 8. В результате получилось 7578.
Если при сложении двух цифр получается число, превосходящее девять, то его первая цифра прибавляется к предыдущей цифре результата, а вторая пишется на «своё» место.
С помощью матричной таблицы Оконешникова по утверждению самого автора, можно изучать и иностранные языки, и даже таблицу Менделеева. Новая методика была опробована в нескольких российских школах и университетах. Минобразования РФ разрешило публиковать в тетрадях в клеточку вместе с привычной таблицей Пифагора новую таблицу умножения – пока просто для знакомства.

Пример: 15647 х 5

4. Индийский способ умножения.

В древней Индии применяли два способа умножения: сетки и галеры. На первый взгляд они кажутся очень сложными, но если следовать шаг за шагом в предлагаемых упражнениях, то можно убедиться, что это довольно просто.

Умножаем, например, числа 6827 и 345:

1. Вычерчиваем квадратную сетку и пишем один из номеров над колонками, а второй по высоте. В предложенном примере можно использовать одну из этих сеток.

Сетка 1                                                         Сетка 2

2. Выбрав сетку, умножаем число каждого ряда последовательно на числа каждой колонки. В этом случае последовательно умножаем 3 на 6, на 8, на 2 и на 7. Посмотри на этой схеме, как пишется произведение в соответствующей клетке.

Сетка 1

3. Посмотри, как выглядит сетка со всеми заполненными клетками.

Сетка 1

4. В заключение складываем числа, следуя диагональным полосам. Если сумма одной диагонали содержит десятки, то прибавляем их к следующей диагонали.

Сетка1

Посмотри, как из результатов сложения цифр по диагоналям (они выделены жёлтым фоном) составляется число 2355315, которое и является произведение чисел 6827 и 345, то есть 6827 х 345 = 2355315.

5. Египетский способ умножения.

Древнеегипетское умножение является последовательным методом умножения двух чисел. Чтобы умножать числа, им не нужно было знать таблицы умножения, а достаточно было только уметь раскладывать числа на кратные основания, умножать эти кратные числа и складывать. Египетский метод предполагает раскладывание наименьшего из двух множителей на кратные числа и последующее их последовательное перемножение на второй множитель (см. пример). Этот метод можно и сегодня встретить в очень отдаленных регионах.

 Разложение. Египтяне использовали систему разложения наименьшего множителя на кратные числа, сумма которых составляла бы исходное число.

Чтобы правильно подобрать кратное число, нужно было знать следующую таблицу значений:  

1 x 2 = 2                                                                                                                       2 x 2 = 4                                                                                                                         4 x 2 = 8                                                                                                                           8 x 2 = 16                                                                                                                      16 x 2 = 32

Пример разложения числа 25:    Кратный множитель для числа «25» — это 16;     25 — 16 = 9. Кратный множитель для числа «9» — это 8;   9 — 8 = 1.     Кратный множитель для числа «1» — это 1;  1 — 1 = 0. Таким образом «25» — это сумма трех слагаемых: 16, 8 и 1.

Пример:  умножим «13» на «238» .  Известно, что 13 = 8 + 4 + 1. Каждое из этих слагаемых нужно умножить на 238. Получаем:                                                                        ✔         1 х 238  = 238                                                                                                 ✔         4 х 238  = 952                                                                                                 ✔         8 х 238  = 1904                                                                                                13 × 238 = (8 + 4 + 1) × 238 = 8 x 238 + 4 × 238 + 1 × 238 =                   1904 + 952 + 238 = 3094.

6. Китайский способ умножения.

А теперь представим метод умножения, бурно обсуждаемый в Интернете, который называют китайским.  При умножении чисел считаются точки пересечения прямых, которые соответствуют  количеству цифр каждого разряда обоих множителей.

Пример: умножим 21 на 13. В первом множителе 2 десятка и 1единица, значит строим 2 параллельные прямые и поодаль 1 прямую.

Во втором множителе 1 десяток и 3 единицы. Строим параллельно 1 и поодаль 3 прямые, пересекающие прямые первого множителя.

Прямые пересеклись в точках, количество которых и есть ответ, то есть   21 х 13 = 273 

Забавно и интересно, но проводить 9 прямых при умножении на 9 как-то долго и неинтересно, а потом еще точки пересечения считать… В общем, без таблицы  умножения не обойтись!

7. Японский способ умножения.

Японский способ умножения – это графический способ с использованием кругов и линий. Не менее забавный и интересный чем китайский.  Даже чем-то на него похож.

Пример: умножим  12 на  34. Так как второй  множитель двузначное число, а первая цифра первого множителя 1, строим  два одиночных круга в верхней строке и два двоичных круга в нижней строке, так как вторая цифра первого множителя равна 2.

 12    х   34

Так как первая цифра второго множителя 3, а вторая 4, делим круги первого столбца на три части, второго столбца на четыре.

    12     х     34

 Количество частей, на которые разделились круги и является  ответом, то есть  12 х 34 = 408.

3. Заключение.

Работая над этой темой мы узнали, что существует много различных, забавных и интересных способов умножения. Некоторыми в различных странах пользуются до сих пор. Но не все способы удобны в использовании, особенно при умножении многозначных чисел. В общем, таблицу умножения все-таки знать нужно!

Данная работа может быть использована для занятий на математических кружках, дополнительных занятиях с детьми во внеурочное время, как дополнительный материал на уроке  по теме «Умножение натуральных чисел». Материал изложен доступно и интересно, что привлечёт внимание и интерес учащихся к предмету математика.

4. Литература.

1. И.Я. Депман, Н.Я. Виленкин  “За страницами учебника математики”.
2. Л.Ф. Магницкий  «Арифметика».
3. Журнал «Математика» №15 2011г.
4. Интернет-ресурсы.