Замечательные свойства треугольника

Содержание

Введение                                                                                              стр.3

Гл.1. Замечательные точки и линии треугольника                  стр.5

1.1. Точка пересечения серединных перпендикуляров

к сторонам треугольника                                                                    стр.5

1.2. Точка пересечения биссектрис треугольника                           стр. 7

1.3. Точка пересечения медиан треугольника                                  стр.9

1.4. Точка пересечения высот  треугольника                                    стр.9

Гл.2. Площадь треугольника                                                          стр. 10

2.1. Равновеликие треугольники                                                        стр.10

2.2. Пропорциональность площадей                                                 стр.11

2.3. Площадь треугольника и медиана                                             стр.12

2.4. Площадь треугольника и подобие                                              стр.13

2.5. Площадь треугольника и биссектриса                                       стр.14

Заключение                                                                                         стр.15

Список литературы                                                                             стр.16

Введение

Многие известные мыслители  и писатели прошлого обращались к темам о замечательных точках и линиях треугольника, о площадях различных геометрических фигур. Достаточно упомянуть  знаменитую теорему Пифагора, которая встречалась в вавилонских текстах еще за 1200 лет до Пифагора. А связана она с  его именем, по-видимому, потому, что Пифагор  нашел доказательство этого соотношения и в честь своего открытия принес в жертву богам быка.

На протяжении многих веков были найдены различные формулы для площади треугольника. С замечательными точками треугольника и теоремой о площади треугольника я познакомилась в 8 классе. Так же мы узнали что такое «египетский треугольник». Особенностью такого треугольника, известной ещё со времён античности, является то, что все три стороны его целочисленны, а по теореме Пифагора он прямоуголен. Египетский треугольник является простейшим (и первым известным) из Героновых треугольников — треугольников с целочисленными сторонами и площадями.

Общепринято мнение, что египетский треугольник с соотношением сторон 3:4:5 активно применялся для построения прямых углов египетскими землемерами и архитекторами, например, при построении пирамид. Однако некоторые историки науки, например, голландский математик Ван дер Варден, считают, что это только укоренившееся заблуждение, гипотеза немецкого математика Кантора. В архитектуре средних веков египетский треугольник применялся для построения схем пропорциональности.

Для построения прямого угла использовался шнур или верёвка, разделённая отметками (узлами) на 12 (3+4+5) частей: треугольник, построенный натяжением такого шнура, с весьма высокой точностью оказывался прямоугольным и сами шнуры-катеты являлись направляющими для кладки прямого угла сооружения.

Знакомство с такими интересными фактами из глубины веков привело меня к идее исследования различных свойств треугольника. Возникла  проблема: есть ли взаимосвязь между замечательными точками треугольника и формулами площадей треугольника, как свойства площади треугольника можно применить к другим геометрическим фигурам, как связаны свойства площади треугольника с другими свойствами линий в треугольнике.

Цель данной работы – провести систематизацию и обобщение материала по теме «Треугольники», изучаемого в разные годы обучения, показать его целостность, выявить взаимосвязь треугольников со свойствами других геометрических фигур.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

1. Свойство точки пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника
2. Свойство точки пересечения биссектрис треугольника
3. Свойство точка пересечения медиан треугольника
4. Свойство точки пересечения высот треугольника

1. Равновеликие треугольники
2. Пропорциональность площадей
3. Свойство площади треугольника, связанные с    медианой
4. Площадь треугольника и подобие
5. Площадь треугольника и свойство биссектрисы

Объектом исследования являются треугольники, применение свойств площадей треугольников к исследованию свойств площадей четырехугольников.

В геометрии любой четырехугольник можно разбить на треугольники. Поэтому, если разбить  четырехугольник на треугольники, то  для решении задачи нахождения площади  четырехугольника можно применять свойства площадей треугольников.

 Какова эта взаимосвязь я постаралась выяснить в ходе выполнения этой работы. В ходе выполнения работы, использовались различные методы исследования:

теоретические – анализ, синтез,  моделирование и проектирование; эмпирические  - метод наблюдений, а так же специальные методы – статистическая обработка данных.

Можно выделить два  основных этапа исследования:

1. Теоретическое изучение материала, синтез информации из различных источников
2. Практическое применение приобретенных  знаний  в ходе  решения исследовательских  задач и выявления новых свойств геометрических фигур.

Глава I. Замечательные точки  и линии треугольника

1. . Точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника

        Серединный перпендикуляр – это прямая, проходящая через середину отрезка, перпендикулярно к нему.  В восьмом классе мы изучили и доказали теорему, характеризующую свойство серединного перпендикуляра:

каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от его концов и обратно, если точка равноудалена от концов отрезка, то она лежит на серединном перпендикуляре.

Многоугольник называется вписанным в окружность, если все его вершины принадлежат окружности. Окружность при этом называется описанной около многоугольника.  

Теорема 1. Около всякого треугольника можно описать окружность. Ее центром является точкой пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

Пусть точка О – точка пересечения серединных перпендикуляров  к сторонам треугольника АВ и ВС.

Вывод: таким образом, если точка О- точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника, то ОА=ОС=ОВ, т.е. точка О равноудалена от всех вершин треугольника АВС, значит, она является центром описанной окружности.

Далее  следует отметить, что центр описанной окружности внутри треугольника, если треугольник остроугольный, вне треугольника, если он тупоугольный, середина гипотенузы, если он прямоугольный.

Следствия

Обозначим углы треугольника  АВС буквами α, β, γ, а стороны а, в, с. 

1. Угол АСВ – вписанный, он равен половине дуги, на которую опирается, т.е. дуга АВ=2 γ.
2. О- точка серединного перпендикуляра, значит, О – центр описанной окружности, тогда ОА=ОВ, т.е. ∆АОВ – равнобедренный. АОВ – центральный => АОВ = 2 γ.
3. Из  ∆АОК: АОК= ½ АОВ = γ =>sin γ= АК/ R=c/2:R=c/2R =>        sin γ = c/2R  => с/sin γ =2R.

Аналогично доказывается   а / sin α =2R, b/ sin β =2R. Таким образом:

Это свойство называют теоремой синусов.

Если провести высоту h к стороне b, то из формулы S= ½bh, учитывая, что sin γ=  h/a => h=a· sin γ, получим еще одну формулу для площади треугольника:  S= ½·a·b· sin γ.

5. В математике часто бывает, что объекты, определенные совсем  по- разному, оказываются совпадающими.

Пример.  Пусть А1, В1, С1 – середины сторон  ∆АВС  ВС, АС, АВ   соответственно. Показать, что окружности, описанные около  треугольников АВ1С1, А1В1С, А1ВС1 пересекаются в одной точке. Причем  эта точка центр описанной около ∆АВС  окружности.

Обобщение. Если на сторонах ∆АВС  АС, ВС, АС взять произвольные точки А1, В1, С1, то  окружности описанные около треугольников АВ1С1, А1В1С, А1ВС1 пересекаются в одной точке.

2. Точка пересечения биссектрис треугольника

1. Характеристические особенности точек лежащих на биссектрисе угла: точка, лежащая на биссектрисе угла равноудалена от его сторон, обратно, если точка равноудалена от сторон угла, то она лежит на его биссектрисе.
2.  Утверждение: в любой треугольник можно вписать окружность.

Полезно отметить половины одного угла одинаковыми буквами:

OAF=OAD= α, OBD=OBE= β, OCE=OCF= γ.

Рисунок 1

 Пусть точка О- точка пересечения биссектрис углов А и В. По свойству точки, лежащей на биссектрисе угла А, OF=OD=r. По свойству точки, лежащей на биссектрисе угла В, OЕ=OD=r. Таким образом, OЕ=OD= OF=r=>  точка О равноудалена от всех сторон треугольника АВС, т.е. О- центр вписанной окружности. ( Точка О – единственная).

Вывод: таким образом, если точка О- точка пересечения биссектрис углов треугольника, то OЕ=OD= OF=r, т.е. точка О равноудалена от всех сторон треугольника АВС, значит, она является центром вписанной окружности. Точка О-  пересечения биссектрис углов треугольника – замечательная точка треугольника.

Следствия

1. 2α+ 2β+ 2γ= 180º =>α+ β+ γ= 90º.
2. Центр вписанной окружности всегда внутри треугольника.
3. Вписанный угол, опирающийся на хорду, равен углу между хордой и касательной, проходящей через конец хорды. 

4. Из равенства треугольников АОF и AOD (рисунок 1) по гипотенузе и острому углу, следует, что AF=AD. Из равенства треугольников OBD и OBE  следует, что BD=BE, Из равенства треугольников COE и COF следует, что СF=CE.  Таким образом, отрезки касательных, проведенных  к окружности из одной точки равны.

AF=AD=z,      BD=BE=y,            СF=CE=x

а=х+у (1),            b= х+z (2),                     с= х+у (3).

1. + (2) – (3), то получим: а+b-с= x+y+x+z-z-y => а+b-с= 2 x  =>

 х= (b + c - а)/2

Аналогично: (1) +(3) – (2), то получим:   у = (а + с – b)/2.

Аналогично: (2) +(3) – (1), то получим:   z= (а + b - c)/2.

6. Биссектриса угла треугольника разбивает противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам.

3.  Точка пересечения медиан треугольника

4.  Точка пересечения высот треугольника

Глава II. Площадь треугольника

1. Равновеликие треугольники

       Фигуры называются равновеликими, если их площади равны.

Если а||b , то равновеликие Δ АСВ, Δ АDB, Δ AFB с основание АВ, их высоты, проведенные к АВ равны (как расстояния между параллельными прямыми). 

 Равновеликие треугольники:

Задача. 

а) Перед решением задачи полезно повторить формулы площадей треугольника, свойства параллельных прямых, определение равновеликих треугольников.

б) Решение. Треугольники АСК и АСМ равновеликие (имеют общую сторону и равные высоты, проведенные к этой стороне), следовательно,  

SАСК = SAСМ = ½ АС ·СМ· sin 60º = ½· 8 ·2·√3/2 = 4√3.(Ответ: 4√3.)

2. Пропорциональность площадей

Утверждение.  

Площади треугольников АОВ и DOС, образованных при пересечении диагоналей трапеции АС и ВD в точке О, равны.

Следствие.

        Если в  произвольной  трапеции проведены диагонали, то образуются четыре пары треугольников с пропорциональными площадями:

3. Площадь треугольника и медианы

Следствие 1: диагонали параллелограмма делят его на четыре  равновеликих треугольника.

Следствие 2: медианы треугольника делят его на шесть равновеликих треугольников.

Следствие 3: средняя линия треугольника отсекает от данного треугольник, площадь которого    равна      ¼ площади исходного треугольника.

Далее, следует повторить теорему о точке пересечения медиан.

Задача. 

Медианы треугольника ВСЕ  ВК и ЕМ пересекаются в точке О. Найти SMOK:SCMK. 

4. Площадь треугольника и подобие

Задача. Диагонали AC и BD трапеции ABCD пересекаются в точке O. Площади треугольников AOD и BOC равны соответственно 16 и 9.  Найдите площадь трапеции.

Решение.

5. Площадь треугольника и биссектриса

Задача.

В параллелограмме АВСD АВ=4см, ВС=6см, ÐА=30°. Биссектриса угла В пересекает диагональ АС в точке К. Найдите площадь треугольника АВК.

Заключение

В этой работе была поставлена цель – провести систематизацию и обобщение материала по теме «Треугольники», изучаемого в разные годы обучения, показать его целостность, выявить взаимосвязь треугольников со свойствами других геометрических фигур.

Исследуя  замечательные точки треугольника, такие как точка пересечения биссектрис, точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника, точка пересечения медиан, удалось выявить новые формулы  нахождения площадей треугольников, а именно через радиусы вписанной и описанной окружности.  Используя  свойства замечательных точек и линий треугольника, удалось вывести теорему синусов, которую можно широко применять при решении треугольников.  

 Во второй главе рассматривались практические задачи с применением выше изложенного  материала и удалось выявить  много новых интересных фактов.

Таким образом, выявлено, что свойства равновеликих треугольников можно широко применять при решении задач на площади.

Получен результат:

• площади треугольников, имеющих равные высоты, относятся как основания, к которым проведены эти высоты;
• площади треугольников АОВ и DOС, образованных при пересечении диагоналей трапеции АС и ВD в точке О, равны;
• если в  произвольной  трапеции проведены диагонали, то образуются четыре пары треугольников с пропорциональными площадями;
• медиана треугольника делит его на два равновеликих треугольника;
• медианы треугольника делят его на шесть равновеликих треугольников;
• диагонали параллелограмма делят его на четыре  равновеликих треугольника;
• средняя линия треугольника отсекает от данного треугольник, площадь которого    равна      ¼ площади исходного треугольника.

Список литературы

1. Федеральный компонент государственного стандарта общего образования. Математика. Основное общее образование; среднее (полное) общее образование. 2004 г. (Приказ МО РФ от 05. 03. 04 № 1089).
2. Гордин Р. К. ЕГЭ 2014. Математика. Задание С4. Планиметрия. – М.: МЦНМО, 2014.
3. Ланских Е. В. Презентация «Обучение геометрии в свете ГИА и ЕГЭ».- Краснодар: ФГКОУ «Краснодарское ПКУ», 2014.
4. Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов . – Геометрия. 7-9 классы: учебник для общеобразовательных учреждений, 2002 г.
5. «Википедия»  - версия энциклопедии на русском языке http://ru.wikipedia.org
6. Лысенко Ф. Ф. Математика. Подготовка к ЕГЭ. – Ростов – на –Дону: «Легион М», 2012.
7. А. Л. Семенов, И. В. Ященко. Математика.  ЕГЭ 2014. Типовые тестовые задания. – М. :«Экзамен». 2014.