Загадки пирамиды. Проект.
Египетские пирамиды – одно из семи чудес света.… Меня всегда восхищали эти строения! Когда я пошла в десятый класс, мы начали изучать стереометрические фигуры и затронули тему «Пирамида». Мне стало очень интересно, и я решила изучить свойства этой необычной фигуры немного подробнее.
Скачать:
| Вложение | Размер |
|---|---|
 drygina_zagadki_piramidy.pptx | 1.93 МБ |
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Выполнила Ученица 10-3 класса МОУ лицея № 18 Дрыгина Мария г.Калининград, 2008 г.
Введение Египетские пирамиды – одно из семи чудес света.… Меня всегда восхищали эти строения! Когда я пошла в десятый класс, мы начали изучать стереометрические фигуры и затронули тему «Пирамида». Мне стало очень интересно, и я решила изучить свойства этой необычной фигуры немного подробнее. Пирамиды представляют интерес для математиков, историков, физиков, биологов, медиков, философов.
Чем больше мы узнаем о пирамидах, тем больше у нас возникает вопросов. Хотя не стоит забывать и о том, что пирамиды таят в себе ответы на огромное количество вопросов, которыми сейчас задается наука. Пирамиды, несмотря на свою древность, могут многому нас научить. Исследованием пирамид с использованием новейших приборов занимались американцы, японцы. Пирамиды снимали со спутников. Американская станция "Маринер"' передала фотографии с Марса, на которых изображены такие же пирамиды, что наводит на мысль об их внеземном происхождении. Так что же такое пирамиды?
Цель: Познать тайны пирамид и разгадать некоторые особенности этого неизвестного нам пока мира.
Задачи: 1. Исторические сведения о пирамиде. 2. Различные трактовки определения пирамиды 3. Основные элементы 4. Сечения пирамиды 5. Виды пирамид правильная пирамида усеченная пирамида 6. Площадь пирамиды 7. Измерение объема 8. Тетраэдр – простейшая пирамида основные элементы виды тетраэдров свойства тетраэдра 9. Задачи 10. Решение задач
Исторические сведения о пирамидах.
Усыпальницы египетских фараонов. Крупнейшие из них — пирамиды Хеопса, Хефрена и Микерина в Эль-Гизе в древности считались одним из Семи чудес света. Возведение пирамиды, в котором уже греки и римляне видели памятник невиданной гордыни царей и жестокости, обрекшей весь народ Египта на бессмысленное строительство, было важнейшим культовым деянием и должно было выражать, по всей видимости, мистическое тождество страны и ее правителя. Ряд текстов свидетельствует о том внимании и заботе, которые сами цари (правда, более позднего времени) уделяли возведению своей гробницы и ее строителям. Известно также об особых культовых почестях, которые оказывались самой пирамиде.
Пирамиды выстроены на левом — западном берегу Нила (Запад — царство мертвых) и возвышались над всем городом мертвых — бесчисленными гробницами, пирамидами, храмами.
Самая большая из трех — пирамида Хеопса. Ее высота была изначально 147 м, а длина стороны основания — 232 м. Для ее сооружения потребовалось 2 млн. 300 тыс. огромных каменных блоков, средний вес которых 2,5 т. В древности пирамиды были облицованы отполированными плитами белого известняка, вершины их были покрыты медными листами, сверкавшими на солнце (известняковую обшивку сохранила только пирамида Хеопса, покрытие других пирамид арабы использовали при строительстве Белой мечети в Каире). Близ пирамиды Хефрена возвышается одна из крупнейших статуй древности и нашего времени — высеченная из скалы фигура лежащего сфинкса с портретными чертами самого фараона Хефрена.
Великие пирамиды были окружены рядом небольших усыпальниц жен фараонов и их приближенных. В такие комплексы обязательно входили святилища Верхнего и Нижнего Египта, большие дворы для проведения праздника хеб-су, заупокойные храмы, служители которых должны были поддерживать культ умершего царя. Пространство вокруг пирамиды, окруженное стенами, посредством длинного крытого перехода соединялось с храмом на берегу Нила, где встречали тело фараона и начинались погребальные церемонии.
Все пирамиды точно сориентированы по сторонам света, что свидетельствует о высоком уровне астрономических знаний древних египтян, расчет углов наклона граней совершенно безукоризнен. В пирамиде Хеопса угол наклона таков, что высота пирамиды равна радиусу воображаемой окружности, в которую вписано основание пирамиды.
Сооружения в Эль-Гизе своей грандиозностью и видимой бесполезностью поражали воображение уже в древности, что лучше всего передает арабская пословица: «Все на свете боится времени, но время боится пирамид».
Различные трактовки определения пирамиды
Пирамиду Евклид оределяет как телесную фигуру, ограниченную плоскостями, которые от одной плоскости (основания) сходятся в одной точке (вершине).
Это определение подвергалось критике уже в древности, например, Героном, предложившим следующее определение пирамиды: это фигура, ограниченная треугольниками, сходящимися в одной точке, и основанием которой служит многоугольник.
Важнейшим недостатком этого определения является использование неопределенного понятия основания. Тейлор определил пирамиду как многогранник, у которого все грани, кроме одной, сходятся в одной точке.
Лежандр в “Элементах геометрии” так определяет пирамиду: “Телесная фигура, образованная треугольниками, сходящимися в одной точке и заканчивающаяся на различных сторонах плоского основания” . После этой формулировки разъясняется понятие основания. Определение Лежандра является явно избыточным, т.е. содержит признаки, которые можно вывести из других .
А вот еще одно определение, которое фигурировало в учебниках XIX века: пирамида - телесный угол, пересеченный плоскостью.
Пирами́да (от греч. pyramis, род. п. pyramidos), многогранник, основание которого многоугольник, а остальные грани — треугольники, имеющие общую вершину.
Чаще всего учащиеся сталкиваются со следующим определением, которое я считаю самым объективным: Пирамидой называется многогранник, который состоит из плоского многоугольника, – основания пирамиды , точки, не лежащей в плоскости основания, – вершины пирамиды и всех отрезков, соединяющих вершину пирамиды с точками основания.
Поверхность пирамиды состоит из основания и боковых граней . Каждая боковая грань – треугольник. Одной из его вершин является вершина пирамиды, а противолежащей стороной – сторона основания пирамиды. Высотой пирамиды называется перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на плоскость основания.
У пирамиды, изображенной на рис. 1, основание – многоугольник ABCD , вершина пирамиды – S , боковые ребра – SA , SB, SC, SD , боковые грани – ∆ ASB , ∆ BSC , ∆ CSD , ∆ ASD , высота SO .
Чтобы получить пирамиду, достаточно какой-нибудь многогранный угол S пересечь произвольной плоскостью ABCD и взять отсеченную часть SABCD (рис. 2).
По числу углов основания различают пирамиды треугольные, четырехугольные и т. д. Неправильная шестигранная пирамида.
Сечения пирамиды.
Сечения пирамиды плоскостями, проходящими через ее вершину, представляют собой треугольники (рис. 3). В частности, треугольниками являются диагональные сечения. Это сечение плоскостями, проходящими через два несоседних боковых ребра пирамиды. ∆ CEF – сечение пирамиды SABCD
Плоскость, проведенная через вершину пирамиды и через какую-нибудь диагональ основания, называется диагональной плоскостью (рис. 4). ∆ SDB –диагональное сечение пирамиды S ABCD
Правильная пирамида
Определение: Пирамида называется правильной, если ее основанием является правильный многоугольник и вершина пирамиды проектируется в центр основания.
Очевидно, у правильной пирамиды боковые ребра равны; следовательно, боковые грани – равные равнобедренные треугольники. Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины, называется апофемой.
Пусть SABCDE – правильная пятиугольная пирамида (рис. 6). Тогда по определению ее основание ABCDE – правильный плоский пятиугольник; центр основания пирамиды O – основание высоты пирамиды SO .
Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из вершины пирамиды, называется апофемой. Например, SK – апофема правильной пирамиды. При повороте вокруг прямой OS на правильный многоугольник ABCDE каждый раз совместится с собой, тогда совместится с собой и пирамида. Значит, прямая, на которой лежит высота правильной n -угольной пирамиды, есть ее ось симметрии n -го порядка. 5 360 °
Отсюда следует, что у правильной пирамиды: боковые ребра равны боковые грани равны апофемы равны двугранные углы при основании равны двугранные углы при боковых ребрах равны каждая точка высоты равноудалена от всех вершин основания каждая точка высоты равноудалена от всех боковых граней
Теорема: Если в пирамиде все боковые ребра равны, то вершина проектируется в центр описанной около основания окружности.
Дано: SABCDE – правильная пирамида; SA = SB = SC = SD = SE ; SOABCDE Доказать: O – центр описанной окружности
S – точка, равноудаленная от всех вершин многоугольника ABCDE . Т.к наклонные равны, значит и проекции будут равны O – центр окружности, описанной около многоугольника.
Теорема: Если в пирамиде все двугранные углы при основании равны, то вершина проектируется в центр вписанной в основание окружности.
Дано: SABCDE – правильная пирамида AB = BC = CD = DE = AE ; SOABCDE Доказать: O – центр вписанной окружности
Проведем OK AB , OL BC , OM CD , ON ED , OP AE , тогда по теореме о трех перпендикулярах SKAB , SLBC , SMCD , SNED , SPAE , значит, SKO , SLO , SMO , SNO , SPO – линейные углы двугранных углов при основании пирамиды.
По условию двугранные углы равны, значит и соответствующие линейные углы будут равны. Поэтому ∆ SKO = ∆ SLO = ∆ SMO = ∆ SNO = ∆ SPO как прямоугольные треугольники, в которых катет SO общий, а острые углы равны. Из равенства треугольников следует, что OK = OL = OM = ON = OP точка O равноудалена от всех сторон многоугольника ABCDE . Значит, она – центр вписанной окружности.
Симметрия правильной пирамиды
1. Плоскости симметрии: при четном числе сторон основания — плоскости, проходящие через противолежащие боковые ребра; и плоскости, проходящие через медианы, проведенные к основанию противолежащих боковых граней (рис. 9).
2. Ось симметрии: при четном числе сторон основания — ось симметрии, проходящая через вершину правильной пирамиды и центр основания (рис. 10).
Усеченная пирамида
Теорема: Плоскость, пересекающая пирамиду и параллельная ее основанию отсекает подобную пирамиду.
Пусть S – вершина пирамиды, A – вершина основания и A 1 – точка пересечения секущей плоскости с боковым ребром SA . Подвергнем пирамиду преобразованию гомотетии (фр. homoth e tie греч. homos равный, одинаковый, общий + thetos расположенный) относительно вершины S с коэффициентом гомотетии: k = SA 1 SA
При этой гомотетии плоскость основания переходит в параллельную плоскость, а следовательно, вся пирамида – в отсекаемую этой плоскостью часть. Так как гомотетия есть преобразование подобия, то отсекаемая часть пирамиды является пирамидой подобной данной.
По теореме плоскость, параллельная плоскости основания пирамиды и пересекающая ее боковые ребра, отсекает от нее подобную пирамиду. Другая часть представляет собой многогранник, который называется усеченной пирамидой. Грани усеченной пирамиды, лежащие в параллельных плоскостях, называются основаниями ; остальные грани называются боковыми гранями . Основания усеченной пирамиды подобные многоугольники, их стороны попарно параллельны, поэтому боковые грани – трапеции.
Высотой усеченной пирамиды называется перпендикуляр, проведенный из какой-нибудь точки одного основания на плоскость другого основания. Сечение плоскостью, проходящей через два боковых ребра усеченной пирамиды, не лежащих в одной грани, называется диагональным.
Например, многогранник ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 – усеченная пирамида. Плоский многоугольник ABCDE и сечение A 1 B 1 C 1 D 1 – основания усеченной пирамиды. Трапеции A 1 E 1 EA , E 1 D 1 DE , C 1 D 1 DC , B 1 C 1 CB , A 1 B 1 BA – боковые грани. HH 1 – высота. E 1 C 1 CE – диагональное сечение усеченной пирамиды.
Теорема: Если пирамида пересечена плоскостью, параллельной основанию, то: боковые ребра и высота пирамиды делятся этой плоскостью на пропорциональные части; Сечение – это многоугольник, подобный основанию; Площади сечения и основания относятся как квадраты их расстояний от вершины;
Следствие: Площадь сечения параллельного основанию пирамиды – квадратная функция расстояния его плоскости от вершины (или основания) пирамиды.
Чтобы построить усеченную пирамиду, сначала намечают карандашом полную пирамиду, проводят сечение, параллельное основанию, проводят ребра усеченной пирамиды, а верхнюю часть стирают.
Правильная усеченная пирамида
Усеченная пирамида называется правильной , если она составляет часть правильной пирамиды.
Высота боковой грани правильной усеченной пирамиды называется апофемой . Например, KK 1 – апофема правильной усеченной пирамиды. Прямая OO 1 называется осью правильной усеченной пирамиды.
Площадь поверхности пирамиды
Боковая поверхность правильной пирамиды равна произведению полупериметра основания на апофему.
Площадь полной поверхности пирамиды вычисляется по формуле: S полн = S бок + S осн
Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему пирамиды. S бок = p 1 2
Площадь боковой и полной поверхности усеченной пирамиды Теорема: Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды равна произведению полусуммы периметров оснований на апофему.
Объем усеченной пирамиды
Объем усеченной пирамиды равен V = h /3∙( S + S 1 +√ SS 1 )
Дано: ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 – усеченная пирамида (рис. 15), S и S 1 – площади оснований, h – высота. Доказать : V = =h/3∙(S+S 1 +√SS 1 )
В усеченной пирамиде площадь сечения плоскостью, параллельной основанию, есть квадратная функция от расстояния сечения до этого основания. Значит, применима формула Симпсона: V = h /6∙( S н + 4 Sc + S в) S н = S , S в = S 1 . Найдем Sc .
Пусть A 2 B 2 C 2 D 2 – среднее сечение. Примем AB = a , A 1 B 1 = a 1 , A 2 B 2 = x . Основания и среднее сечение – подобные многоугольники, и потому S : Sc : S 1 = a 2 : x 2 : a 12 отсюда a : x : a 1 = √S : √S c : √S 1
AA 1 B 1 B – трапеция, x – ее средняя линия, значит, (3) = ( a + a 1 )/2 Из (2) следует, что a = m √ S , x = m √ Sc , a 1 = m √ S 1 , где m – общая мера. Подставим эти значения в (3): m √ Sc = ( m √ S + m √ S 1 )/2, значит, √ Sc = (√ S + √ S 1 )/2 Sc = (√ S + √ S 1 )2/4. Подставим значения S н, S в и Sc в (1): V = h/6∙[S + (√S + √S 1 )2 + S 1 ] = h/6[S + S + 2√SS 1 + S 1 + S 1 ], т . е . V = h/3∙(S+S1+√SS 1 )
Тетраэдр
Изо всех рассмотренных пирамид наибольший интерес у меня проявляется к простейшей пирамиде, называемой тетраэдром. Я постараюсь более подробно рассмотреть тетраэдр и его свойства.
Слово «тетраэдр» образовано из двух греческих слов: tetra – «четыре» и hedra – «основание, грань». Тетраэдр ABCD задается четырьмя своими вершинами – точками A , B , C , D , не лежащими в одной плоскости: грани тетраэдра – четыре треугольника; ребер у тетраэдра шесть. В отличие от произвольной пирамиды ( n – угольной пирамиды, n ≥4) в качестве основания тетраэдра может быть выбрана любая его грань.
Как треугольник – простейший многоугольник, так тетраэдр, или треугольная пирамида – простейший многогранник. Геометрия тетраэдра ничуть не менее богата, чем геометрия его плоского собрата – треугольника, многие свойства которого в преображенном виде мы находим у тетраэдра. Немало общего имеет тетраэдр с четырехугольником – ведь у обоих по четыре вершины.
Треугольники принято классифицировать по степени их симметричности: правильные или равносторонние треугольники имеют три оси симметрии, равнобедренные – одну. Самый симметричный тетраэдр правильный, ограниченный четырьмя правильными треугольниками. Он имеет 6 плоскостей симметрии – они проходят через каждое ребро перпендикулярно противолежащему ребру и 3 оси симметрии, проходящие через середины противолежащих ребер. Менее симметричны правильные треугольные пирамиды (т.е. тетраэдры с равными гранями – 3 оси симметрии).
Правильная пирамида переходит сама в себя при поворотах вокруг высоты на 120˚ и 240˚, а также при симметриях относительно плоскостей, проходящих через ось и боковые ребра. По сложившейся не очень логичной традиции, термин «правильный тетраэдр» обозначает частный случай правильной треугольной пирамиды – тетраэдр, у которого все ребра равны, т.е. все грани – равносторонние треугольники. Такой тетраэдр обладает наибольшим набором самосовмещений. Имеется 12 поворотов, переводящих его в себя, 6 симметрий относительно плоскостей и еще 6 движений, сочетающих поворот с симметрией.
Правильный тетраэдр – не что иное, как «стереометрический близнец» самого симметричного треугольника – правильного.
Тетраэдр и сферы
Любой треугольник имеет единственную вписанную и описанную окружности. Точно также у любого тетраэдра есть единственная вписанная (касающаяся всех граней) и единственная описанная (проходящая через все вершины) сферы. Доказательства этих свойств повторяют соответствующие планиметрические: центр вписанной сферы равноудален от всех вершин и лежит на пересечении перпендикуляров, восстановленных к граням из центров их описанных окружностей (т.е. четыре перпендикуляра пересекаются в одной точке). Но кроме граней и вершин тетраэдр имеет еще и ребра. Возникает вопрос: можно ли провести сферу, касающуюся всех его шести ребер (ее называют полувписанной; рис. 16)? D
Иногда. Здесь тетраэдр ведет себя, как четырехугольник, и условия существования полувписанной сферы повторяет признак описанного четырехугольника: такая сфера существует тогда и только тогда, когда суммы длин каждой пары противоположных ребер тетраэдра равны между собой: AB + CD = AC + BD = AD + BC D
Тетраэдры, имеющие полувписанную сферу, называются каркасными . По сути дела, это все тот же планиметрический признак, но примененный к пространственным четырехугольникам – в данном случае четырехугольникам, образованным двумя парами противоположных ребер тетраэдра. Но еще большие неожиданности обнаруживаются при исследовании вневписанных сфер тетраэдра, т.е. сфер, касающихся плоскостей всех четырех его граней, но лежащих вне тетраэдра. Как известно, у любого треугольника имеется три вневписанные окружности
Оказывается, из двух «чердаков» при противоположных ребрах только у одного может быть вписанная сфера. Таким образом, у правильного тетраэдра – а у него все «чердаки» одинаковы – «чердачных» сфер вообще нет, иначе они присутствовали бы во всех «чердаках». Итак, тетраэдр имеет не менее четырех и не более семи вневписанных сфер, причем все промежуточные случаи возможны.
Медианы тетраэдра
Для любого тетраэдра справедлив аналог теоремы о пересечении медиан треугольника в одной точке, в которой они делятся в отношении 2:1. Так, 6 плоскостей, проведенных через ребра тетраэдра и середины противолежащих ребер, пересекаются в одной точке – в центроиде тетраэдра.
Медианами в тетраэдре называются отрезки, соединяющие его вершины с центроидами противоположных граней. Эти четыре отрезка всегда пересекаются в одной точке M и делятся в ней в отношении 3:1, считая от вершин (рис. 18). Через ту же точку проходят и бимедианы – отрезки, соединяющие середины противоположных ребер тетраэдра , причем они делятся точкой M пополам.
Центроид тетраэдра, как и центроид треугольника, является центром равных масс, помещенных в его вершины, – обстоятельство, которое можно использовать для доказательства приведенных выше свойств. Чисто геометрически их можно доказать с помощью следующей полезной конструкции.
Проведем через каждое ребро тетраэдра плоскость, параллельную противоположному ребру (рис. 19). Получим три пары параллельных плоскостей, ограничивающих параллелепипед, называемый описанным параллелепипедом тетраэдра. Ребра тетраэдра являются диагоналями граней параллелепипеда, середины ребер – их центроидами. Отсюда следует, что все бимедианы проходят через центр O параллелепипеда и делятся им пополам. Нетрудно увидеть, что медианы тетраэдра лежат на диагоналях граней параллелепипеда и также проходят через точку O .
Ортоцентрический и прямоугольный тетраэдры
Медианы тетраэдра «ведут себя примерно» – как и в треугольнике, они всегда проходят через одну и ту же точку. Иначе обстоит дело с высотами – перпендикулярами, опущенными из вершин тетраэдра на противоположные грани. Высоты треугольника пересекаются в одной точке – ортоцентре. То же верно и для правильных тетраэдров, в частности для правильных треугольных пирамид. Но, например, у тетраэдра ABCD , вписанного в куб, как показано на рис. 20, ребра AB и DC сами являются высотами и не пересекаются.
И все же ортоцентр существует у достаточно широкого класса тетраэдров. Они так и называются – ортоцентрические тетраэдры. Любой из них можно получить, взяв в качестве основания произвольный треугольник и соединив его вершины с любой точкой на перпендикуляре к его плоскости, восстановленном из его ортоцентра (рис. 21). И обратно, основания всех высот ортоцентрического тетраэдра – ортоцентры его граней. Приведем еще несколько критериев (т.е. необходимых и достаточных условий) ортоцентричности: тетраэдр является ортоцентрическим тогда и только тогда, когда его противоположные ребра перпендикулярны; или середины всех шести ребер лежат на одной сфере; или все ребра описанного параллелепипеда равны .
Некоторые свойства треугольника, связанные с ортоцентром, например теорема о прямой Эйлера и об окружности девяти точек в соответственно измененном виде, можно найти и у ортоцентрического тетраэдра. Центроид ортоцентрического тетраэдра лежит на отрезке между ортоцентром H и центром описанной сферы O и делит этот отрезок пополам, а точка, которая разбивает отрезок OH в отношении 1:2 является центром «сферы 12 точек» – на ней лежат ортоцентры и центроиды всех граней, а также точки, делящие отрезки от H до вершин в отношении 1:2. Доказательства этих теорем не так уж и сложны, хотя и требуют пространственного воображения.
Об одном виде ортоцентрических тетраэдров стоит сказать отдельно – о тетраэдре, в вершине которого сходятся три взаимно перпендикулярных ребра (рис. 22). Очевидно, эта вершина M и будет его ортоцентром. Такой тетраэдр называется прямоугольным. Для него выполняется своего рода «теорема Пифагора»: если S 1 , S 2 , S 3 – площади его прямоугольных граней («катетов»), а S – площадь четвертой грани («гипотенузы»), то: S 2 = S 12 + S 22 + S 32
В самом деле, проекции трех «катетов» на «гипотенузу» разбивают ее на три треугольника. Поскольку при проекции площадь фигуры умножается на косинус угла между ее плоскостью и плоскостью проекции, то: (*) S=S 1 ∙cos α 1 +S 2 ∙ cos α 2 +S 3 ∙cos α 3 где α 1 – угол между плоскостями «гипотенузы» и соответствующего «катета». В то же время каждый из «катетов» совпадает с проекцией «гипотенузы» на его плоскость, поэтому cos α i = S i / S . Остается подставить выражение косинусов через площади в уравнение (*).
Равногранный тетраэдр
Как мы определяем правильный, или равносторонний, треугольник? Естественно, как треугольник, все стороны которого равны. А что такое «стороны» тетраэдра? Если считать, что это ребра, то аналогичное стереометрическое определение приведет к понятию правильного тетраэдра? Но может быть «сторонами» тетраэдра следует считать его грани? Тогда мы приходим к следующему определению: тетраэдр, все грани которого равны (т.е. являются равными треугольниками), называется равногранным. На первый взгляд равногранный тетраэдр – это правильный тетраэдр, и никакой другой. В действительности гранью равногранного тетраэдра может быть любой остроугольный треугольник.
Перечислим важнейшие свойства равногранных тетраэдров. Первые два свойства указывают и общий способ их построения: описанный параллелепипед равногранного тетраэдра – прямоугольный (рис. 23); развертка тетраэдра, полученная при разрезании его по трем сходящимся в одной вершине ребрам, – треугольник (рис. 24; этот треугольник должен быть остроугольным, потому что тупоугольный или прямоугольный при сгибании по соседним линиям не сложится в тетраэдр). Набор самосовмещений произвольного равногранного тетраэдра не так богат, как у правильного тетраэдра. у него имеется три оси симметрии (это общие перпендикуляры, проведенные к противоположным ребрам, они же бимедианы; рис. 23). Однако этих симметрий хватает, чтобы можно было совместить любые две указанные грани или вершины, но не ребра.
Пользуясь свойствами 1 – 3 и непосредственно определением, легко вывести, что у равногранного тетраэдра: все трехгранные углы равны; все медианы равны; все высоты равны; центры вписанной и описанной сфер и центроид совпадают; радиусы описанных окружностей граней равны; периметры граней равны;
Некоторые из этих свойств настолько очевидны, что на первый взгляд даже не заслуживают упоминания. Замечательно другое: все эти свойства равносильны друг другу и каждое из них в отдельности обеспечивает равногранность тетраэдра. Более всего впечатляет свойство 10: Для равенства граней тетраэдра достаточно, чтобы были равны между собой их площади!
Итак, все десять перечисленных условий являются одновременно и свойствами и признаками равногранного тетраэдра. Чтобы вывести равногранность из какого-нибудь условия, надо выстроить целую цепочку промежуточных условий, в которой каждое последующее – прямое следствие предыдущего.
Задача 1. Одно из самых грандиозных сооружений древности – пирамида Хеопса – имеет форму правильной четырехугольной пирамиды с высотой ≈ 150 м и боковым ребром ≈ 220 м. Найдите объем и площадь боковой поверхности этой пирамиды.
Дано: S ABCD – правильная четырехугольная пирамида; SO – высота; SO = 150 м; SA – боковое ребро; SA = 220 м; Найти: V SABCD = ? ; S бок = ?
V = 1/3 S ABCD SO ; S бок = p ∙ SK /2 ∆ SOC ( O = 90˚) OC = √ SC 2 – SO 2 = √2202 – 1502 = =√48400 – 22500 = √25900 ( м ) ≈ ≈ 161 м (п о теореме Пифагора) т.к. ABCD – правильный прямоугольник, то AB = OC √2= = √25900*2 = √51800 ( м ) ≈ 228 ( м ) ∆ SCD ( SC = CD = SD ) CK = ½ * CD ; CK = 228/2 = 114 ( м )
∆ SKC ( K = 90˚) SK = √ SC 2 – CK 2 ; SK = √2202 – 1142 = √48400 – 12996 = √35404 ≈ 188 ( м ) ( по теореме Пифагора) Периметр основания: P = 4∙228 = 912 ( м ) S бок = 4∙228∙114/2 = 51984 ( м2 ) S осн = AB 2 ; S осн = 2282 = 51984 ( м 2 ) V = 1/3 S ABCD SO = 1/3∙51984∙150 = 2599200 ( м3 ) Ответ: 51984 м2 ; 2599200 м3 .
Задача Крыша имеет форму пирамиды с квадратным основанием 4,5 м × 4,5 м и углом наклона грани к основанию в 45˚. Сколько листов железа размером 70 см × 140 см нужно для покрытия крыши, если на отходы нужно добавить 10% площади крыши?
Дано: SABCD – Правильная четырехугольная пирамида. AB = BC = 4,5 м SCO = 45˚; размеры листа: 70 см × 140 см ; отходы: 10% Найти: N
N = (S бок + S отх ) / S листа S бок = 4∙ S ∆ CSD =4 ½ CD ∙ SK = 2 CD ∙ SK ∆ SOC ( O = 90˚; С = 45˚) т.к. сумма углов в треугольнике равна 180˚, то S = 180˚ – 90˚ – 45˚ = 45˚ → SO = OC т.к. ABCD – правильный четырехугольник, то OK = CD /2 = 4,5/2 = 2, 25 ( м )
∆ OKC ( K = 90˚; OK = CK ) По теореме Пифагора : OC = √2OK2 = √2∙5, 0625 ≈ 3, 2 ( м ) → SO = 3, 2 ( м ) ∆ SOK ( O = 90˚) По теореме Пифагора: SK = √ SO 2 + OK 2 = √10, 24 + 5, 0625 = √15, 3 ≈ 3, 9 ( м ) S бок = 2∙4, 5∙3, 9 = 35, 1 ( м2 ) S отх = S бок∙0, 1 = 35, 1∙0, 1 = 3, 51 ( м2 ) S листа = 0, 7∙1, 4 = 0, 98 ( м2 ) N = (35, 1 + 3, 51)/0, 98 = 40 Ответ: 40 листов
А теперь я бы хотела рассказать о некоторых интересных фактах, связанных с пирамидой.
Геометрические пропорции Египетских Пирамид.
Семиугольная геометрическая сеть линий является универсальной фигурой, которая в течении развития человеческой цивилизации использовалась для измерения пропорциональных соотношений и создания объектов окружающего мира, в которых люди стремились зафиксировать принципы гармонии. Либо можно сказать, что люди стремились в созданных объектах человеческой культуры зашифровать знания об окружающем мире, для чего использовали пропорциональные соотношения семиугольника, который выражал абсолютное знание.
В числе многих других объектов мира наиболее значительным памятником человеческих знаний являются Египетские Пирамиды, и в частности пирамида Хеопса. Я не могу привести подробный анализ всех Египетских Пирамид, и поэтому привожу описание только пирамиды Хеопса, поскольку эта пирамида наиболее знаменательная. Но всё же анализ геометрических пропорций остальных Египетских Пирамид может быть сделан в сравнении с пирамидой Хеопса.
Согласно разным источникам основными размерами пирамиды Хеопса являются: длина стороны основания 500 локтей, высота 318 локтей, угол наклона боковых граней 51 градус 50 минут (египетский локоть приблизительно равен 466 миллиметров). Согласно перечисленным размерам главные пропорции пирамиды Хеопса заключаются в соотношениях линий треугольника, который образован высотой (ОР), половиной длины основания (PR) и апофемой (OR), которая является длиной боковой грани, что показано на рисунке:
В соотношениях линий OR/PR зашифрована величина золотого сечения, а в соотношениях линий PR/PO зашифровано число «пи». Угол PRO с вершиной в точке R является углом наклона боковых граней, а угол PSO с вершиной в точке S является углом наклона диагональных ребер. Угол наклона боковых граней и угол наклона диагональных рёбер пирамиды имеют разную величину. Угол PRO и угол PSO являются основными параметрами пирамиды Хеопса, которые позволяют сопоставить пропорции пирамиды с пропорциями семиугольника.
Многие исследователи Пирамиды Хеопса предполагают, что строителям Египетских Пирамид были известны число золотого сечения и число «пи», но в действительности в этих знаниях нет необходимости, хотя очевидно, что строители пирамид знали о золотых числах, которые зашифрованы в пирамидах. Для строительства пирамид достаточно знать пропорции семиугольника и использовать соотношения линий, которые существуют в геометрической фигуре семиугольника, что показано на следующем рисунке:
На рисунке треугольник АЕК является приблизительным силуэтом боковых граней пирамиды Хеопса. Показанный силуэт боковых граней является приблизительным, поскольку угол семиугольника ЕКА с вершиной в точке К равен 360 / 7 = 51,429 градусов (51 градус 25,71 минут), а угол наклона граней пирамиды 51 градус 50 минут.
Существующую разницу строители компенсировали добавлением к высоте треугольника АЕК величины человеческого роста АХ. То есть строители пирамиды Хеопса поместили в вершине треугольника фигуру человека и в результате получили угол ЕКХ с вершиной в точке К равный 51 градус 50 минут, что отличалось от точного угла семиугольника 51 градус 25,71 минут. А именно если высота треугольника ЕКХ 318 локтей, то высота треугольника ЕКА приблизительно 314 локтей при условии, что высота человеческого роста чуть больше 4 локтей (подробную информацию о величине египетских локтей смотрите в конце этой страницы).
Строители пирамиды увеличили правильный угол семиугольника, будто бы на вершине пирамиды находится человек, и в результате в соотношениях линий ЕК/КХ было зашифровано число золотого сечения, а в пропорциях пирамиды были заложены пропорции человеческого тела, что было проектом будущей пирамиды. По существу строители пирамиды вписали семиугольную сеть линий в живую окружность, в которой величина вертикального диаметра отличалась от величины горизонтального диаметра относительной величиной человеческого роста, что показано на следующем рисунке:
Компьютер-пирамида от MainGear
Компания Maingear начала выпуск компьютеров в форме пирамид. Разных расцветок, пирамидальные корпусы поставляются с готовой начинкой и готовы шокировать если не своим видом, то хотя бы ценой.
В базовую комплектацию подобной “пирамиды” входит процессор Pentium D 920 Dual Core 2.8Ггц, память 512 Мбайт, жесткий диск на 80Гб, звуковая карта 7.1 Intel HD Audio, гигабитная Ethernet-карточка и интегрированный видеочипсет. Компьютер можно оснастить и более мощным железом, но обойдется это, естественно, намного дороже. Отметим, что сама форма системного блока в виде пирамиды – далеко не новое изобретение. В той или иной форме ее самостоятельно воплощали многие моддеры. Будут ли успешными пирамидальные компьютеры с фабрики - покажет время.
55 Великих пирамид подвесят в небе мегагород
Один из самых амбициозных градостроительных проектов принадлежит перу японских инженеров. Его реализуемость призрачна. Как из-за технологических проблем, так и по причине колоссальной стоимости. Но когда-нибудь в будущем этот колосс на бетонных ногах инопланетяне непременно внесут в краткий справочник достопримечательностей планеты Земля. После пирамид Гизы. "Пирамиду Мега-сити" (Mega-City Pyramid) — пирамидальный город на 750 тысяч человек — мечтает возвести когда-нибудь в Токийской бухте японская строительная корпорация Shimizu. По разным данным, высота пирамиды должна составить приблизительно от 700 до 2004 метров (кстати, ещё одно название проекта — TRY 2004). Хотя, если верить Discovery Channel, реально всё же первое число. Но это не так уж и важно. Так или иначе, Mega-City Pyramid будет в несколько раз выше Великой пирамиды в Гизе.
Разные значения высоты могут быть вызваны как различными по времени вариантами проекта (более сложными для реализации и более простыми), так и тем фактом, что пирамида-город должна возвышаться над водой, опираясь на дно 36-ю высокими и очень массивными бетонными колоннами. Соответственно полная высота сооружения окажется куда больше той, что будет доступна взору. Разночтения, впрочем, не могут поколебать впечатление от проекта, интересного не только размерами. На просторных квадратных километрах пирамиды могут разместиться жилые районы, офисы, культурные центры и вся прочая инфраструктура, свойственная обычному городу. Только по плотности "упаковки народа" эта пирамида превзойдёт обычный город – за счёт значительной экспансии вверх. Если эта суперпирамида будет построена — она станет самым крупным искусственным сооружением планеты. Но что размеры. В отличие от многих гигантских зданий-городов (к примеру, можно вспомнить японский Sky City 1000 высотой в километр) данная пирамида (она же "Город в воздухе"), является не одним большим зданием, но действительно городом.
Его улицами должны стать огромные трубы, соединяющиеся в шарообразных узлах. Внутри наклонных труб — лифты и эскалаторы, а в горизонтальных — бегущие дорожки. Так что узлы послужат не только соединению конструкции в прочную систему, но станут также и пересадочными станциями. Внутри же города должны расположиться многоэтажные здания и небоскрёбы как вполне обычного — прямоугольного вида, так и в облике пирамид. Причём они должны быть подвешены внутри несущей структуры на кабелях из углеродных нанотрубок (сразу вспоминается нереальный, но желанный, космический лифт). Очевидно, такая система должна амортизировать толчки при землетрясении. Также весь каркас рассчитан на устойчивость к цунами и ураганам. И хотя отдельные стены строений могут быть повреждены во время стихийных бедствий – вся пирамида в целом сохранит устойчивость. Всю несущую структуру города можно представить в виде 55 пирамид (составленных вместе в пять слоёв; по другому варианту, пирамид будет ещё больше, а слоёв — восемь). Каждая из пирамид будет значительно превосходить по размаху знаменитый пирамидальный отель-казино Luxor в Лас-Вегасе (106-метровое здание из чёрного стекла, славящееся, кстати, самым большим в мире атриумом).
Все вместе эти пирамиды напоминают по виду атомарную кристаллическую решётку. Они и сформируют величественную трёхмерную основу, внутри которой даже смогут летать вертолёты. Если их пилоты осмелятся. Интересно, что в качестве базовых строительных элементов этого пирамидального каркаса японские инженеры предложили использовать гигантские трубы, выполненные на основе сверхпрочного и лёгкого материала, составленного, в свою очередь, из углеродных нанотрубок. Такую ткань мог бы плести огромный робот-паук, ползающий по натянутым тросам и оставляющий за собой каркас несущей системы – мечтают разработчики Mega-City Pyramid. Слишком фантастично на первый взгляд. Но кто знает, не окажется ли это реальностью лет через 20. Впрочем, итальянский архитектор Данте Бини (Dante N. Bini) и его компания BiniSystems предлагают для висячего города собственную концепцию возведения каркаса, которой предусматривается создание временных надувных сфер в качестве удобных опор для монтируемых гигантских труб. В любом случае инженеры предполагают сначала возвести решётчатую пирамиду, а затем уже собирать внутри неё отдельные небоскрёбы города
Насколько будут уютно чувствовать себя его жители – можно только гадать. Ведь привычных площадей и открытых улиц там не будет: только парящие здания с сеткой транспортных труб, в конечном счёте, соединяющих город-пирамиду с "большой землёй". Конечно, там можно ещё озеленить крыши и устроить множество атриумов-садов, как в Звезде смерти. И всё же человек, выросший в такой пирамиде, будет совсем другими глазами смотреть на обычные города. Но, спрашивается, а на что ещё рассчитывать японцам, чья родная столица уже сейчас представляет собой переполненный улей? Чтобы представить себе это смелый замысел подробнее, стоит посмотреть ролик от Discovery Channel, выложенный на YouTube. Он продолжительный (почти 9 минут), но весьма впечатляющий. Тут нужно добавить, что город должен быть снабжён солнечными батареями, ветровыми электростанциями и прочими "зелёными" элементами. Также здесь задумана система автоматических беспилотных капсул-такси, передвигающихся внутри тех же труб. В общем, его обитатели смогут по праву гордиться одним из самых необычных мест проживания на Земле...
Если только технологи когда-нибудь предоставят архитекторам достаточные по прочности материалы. Ведь общий чудовищный вес десятков небоскрёбов, закреплённых внутри гигантской решётчатой пирамиды, не оставит каркасу города никаких шансов на жизнь, вздумай строители выполнить последний из стали. С другой стороны, если не без таких вместительных городов внутри города, то без подобных конструкций точно через десяток-другой лет "жизни" не будет для самих токийцев.
Лувр
Лувр - это не только архитектурный памятник, как дворец французских королей, но и один из самых известных музеев мира. В нем собрана богатейшая коллекция разнообразных экспонатов. Здесь можно найти барельефы из ассирийских дворцов, египетскую живопись и многое другое.
Пирамида Лувра
История Через 200 лет после Французской революции президент Франсуа Миттеран предложил проект «Большого Лувра». Миттеран хотел превратить дворец, построенный в XIII веке, в самый большой музей в мире. Его идеей было также продление историческо оси Парижа — девятикилометровой перспективы, проходящей по Елисейским Полям. Так называемый Триумфальный путь берёт своё начало от конной статуи Людовика XIV, расположенной у пирамиды Лувра, проходит через Триумфальную арку и заканчивается Большой аркой в современном квартале Парижа Дефанс.
С 1985 по 1989 по проекту знаменитого архитектора Йо Минг Пея, американца китайского происхождения, была построена пирамида, полностью состоящая из стеклянных сегментов, которая кроме всего прочего обеспечивает оптимальное освещение подземного холла. Пирамида была окружена фонтанами и тремя пирамидами поменьше. Сначала проект стеклянной пирамиды подвергся критике, но пирамида ничуть не испортила роскошный императорский дворец, придав ансамблю нотку современности. Проект освещения разрабатывал американский светодизайнер Клод Энгл, установивший галогенные лампы по внутреннему периметру пирамиды. Через 15 лет руководство Лувра заменило прежние лампы металлогалогенными, обладающими меньшей мощностью и большей светоотдачей. Так пирамиде был придан более современный облик благодаря «холодному» освещению. Дизайнерское решение Энгла осталось нетронутым.
Числа и факты. Пирамида Лувра состоит из 603 ромбовидных и 70 треугольных стеклянных сегментов толщиной 21 мм Высота пирамиды — 21,65 м, длина стороны основания — 35 м, угол наклона — 52°. Вес пирамиды — около 180 тонн. Прототипом послужила пирамида Хеопса.
Вывод Я рассмотрела большую тему о пирамидах, прочитала массу литературы об этих замечательных фигурах. Эта тема вызвала у меня неподдельный интерес. Я подробно рассмотрела элементы пирамиды, изучила основные свойства, решила множество задач на нахождение площади боковой поверхности и объема пирамиды.… Пирамида имеет широкое применение в строительстве домов, различных сооружений. Я думаю, что я в жизни столкнусь еще не раз с этой фигурой, и круг моих знаний будет расширен. Советую учащимся интересоваться не только элементарными сведениями о пирамиде, но и изучать их глубже, что и сделала я.
Список использованной литературы Аксёнова М.Д. Энциклопедия для детей. М.: «Аванта +», 2000. Антонов В.Ф. Биофизика. М.: «Владос», 2000. Барыбин Н.А. Геометрия: Учебник для 10 – 11, М.: Просвещение, 1986. Савин А.П. Энциклопедический словарь юного математика. М.: Просвещение, 1985. Л.С. Атанасян Геометрия: Учебник для 10 – 11
Сказка "Узнай-зеркала"
Стрижонок Скрип. В.П. Астафьев
Что общего у травы и собаки?
Сочини стихи, Машина
Если хочется пить...