Вневписанная окружность

Министерство образования  и науки Российской Федерации.

МУНИЦИПАЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

 КИРОВСКАЯ СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА.

Адрес: 347789, Ростовская область, Веселовский район, п. Средний Маныч,

ул. Просвещения 22А, тел. (8 633) 69 4 43.

Секция «Математика»

 исследовательский проект  на тему:

«Вневписанная окружность»

Выполнила: ученица  9 класса

 МБОУ КИРОВСКАЯ СОШ

Маломагомедова Людмила Султанбеговна

Руководитель: учитель математики

МБОУ КИРОВСКАЯ СОШ

Качула Наталья Николаевна.

п. Средний Маныч

2013г.

1. Содержание

1. Введение        2
2. Вневписанная окружность  и её свойства         3

1. 2.1 Определение вневписанной окружности
2. 2.2 Свойства вневписанной окружности

3. Вневписанная окружность в задачах        10

3. 3.1 Задачи на доказательство……………………………………10
4. 3.2 Задачи на построение………………………………………… 12
5. 3.3 Задачи на вычисление………………………………………… 13

4. Задачи ГИА и ЕГЭ на применение свойств  вневписанных окружностей        16
5. Заключение        19
6. Список использованной литературы        20

Введение

              Чем же геометрия выделяется среди других разделов математики? Прежде всего, геометрия, наверное, самая древняя наука. Более того сам термин «математика» возник сравнительно недавно, так что ученые древности и отчасти средневековья, занимавшиеся в нашем понимании математикой, называли себя геометрами. Некоторые теоремы геометрии являются одними из древнейших памятников мировой культуры. Они старше самой Библии.

Один мудрец сказал: «Высшее проявление духа – это разум. Высшее проявление разума – это геометрия. Клетка геометрии – треугольник. Он так же неисчерпаем, как и Вселенная. Окружность – душа геометрии. Познайте окружность, и вы не только познаете душу геометрии, но и возвысите душу свою».

         Моя  работа посвящается одному из интереснейших понятий геометрии, которое обычно остаётся в стороне от выбранного нами пути построения геометрической теории.

            Во-первых, речь   пойдёт о треугольнике. За этой, казалось бы, простейшей геометрической фигурой, скрывается богатый мир.

В своём учебнике геометрии Игорь Фёдорович Шарыгин написал: "каждый треугольник определяет семейство окружностей, помогающих глубже и полнее понять "устройство" треугольника"  

Рассмотрим одно из таких "семейств". Оказывается, что у каждого треугольника имеется четыре  окружности, касающиеся всех трех прямых, образующих этот треугольник. Одна из них - это известная вам вписанная окружность. Три другие называются вневписанными окружностями.

 Цель исследования:

 1. Ввести определение вневписанной окружности треугольника.

    2. Рассмотреть свойства вневписанных окружностей треугольника.

    3. Показать применение  свойств  вневписанной окружности при решении задач на доказательство, построение и вычисление.

 Актуальность исследования: Показать практическую направленность науки геометрии

Методы исследования:

• метод теоретического анализа учебной литературы;
• метод обобщения справочных и познавательных материалов первоисточников;
• практическое применение при решении задач ГИА и ЕГЭ.

2. Вневписанная окружность  и её свойства.

6. 2.1 Определение вневписанной окружности.

         Рассмотрим треугольник АВС .  Продолжим его стороны за точки В и С. Проведём биссектрисы внешних углов В и С. Они пересекутся в точке Ка. Эта точка равноудалена от лучей АВ и ВС и от лучей АС и СВ. Значит, Ка равноудалена от всех трех прямых АВ, ВС и СА, поэтому существует окружность с центром в точке Ка, касающаяся стороны ВС и продолжений сторон АВ и АС. Расстояния от Ка до ВС, ВК1 и СК2 - это радиусы построенной окружности. Заметим, что через Ка проходит и биссектриса угла А треугольника АВС  

Аналогично можно построить окружности, касающиеся двух других сторон. Всего у треугольника имеется три вневписанных окружности.  

Итак, определение:

            Вневписанной окружностью треугольника называется окружность, касающаяся одной из его сторон и продолжений двух других.

7. 2.2 Свойства вневписанной окружности.

  Выясним, как связаны радиусы вневписанных окружностей с другими элементами треугольника.

 Свойство 1.Центр вневписанной окружности в треугольник есть точка пересечения биссектрисы внутреннего угла треугольника, противолежащего той стороне треугольника, которой окружность касается, и биссектрис двух внешних углов треугольника (1)

Дано:                                                            

    АВС

Окр. (О; r)

М, N, К – точки касания

Доказать (1)

Решение:

      Т. к. окружность касается сторон угла САК, то центр окружности О равноудален от сторон этого угла, следовательно, он лежит на биссектрисе угла САК. Аналогично, точка О лежит на биссектрисе угла АСN. Т. к. окружность касается прямых ВА и ВС, то она вписана в угол АВС, а значит её центр лежит на биссектрисе угла АВС. Ч.т. д.

Свойство 2.Расстояние от вершины угла треугольника до точек касания вневписанной окружности со сторонами этого угла равны полупериметру данного треугольника
                                    АВ1 = АС1 = p

 Дано:                                                  

∆АВС ,  Вневписанная окр. (Оа; ra )

Доказать, что  АВ1 = АС1 = p

Доказательство:

Т.к. Оа  - центр вневписанной окружности. Касательные, проведенные к окружности из

одной точки, равны между собой,

поэтому  ВВ1 = ВА1 , СА1 = СС1 , АВ1 = АС1.

Значит, 2p = (AC + СА1) + (AB + ВА1) = (AC + CC1) + (AB + BB1) = AC1 + AB1 = 2AC1 = 2AB1.  т.е.   АВ1 = АС1 = p.

Теорема1. Радиус вневписанной окружности, касающейся сторон данного внутреннего угла треугольника, равен произведению полупериметра треугольника на тангенс половины этого угла, т. е.   ra = p·tg     , rb = p·tg     ,

 rc = ptg        

Теорема 2. Радиус вневписанной окружности, касающейся данной стороны треугольника, равен отношению площади треугольника к разности полупериметра и этой стороны. т.е.

          ra =              ,  rb =               ,   rc =              

               Доказательство. Легко видеть, что

                           Т.е.   ra =            

Теорема3. Сумма радиусов вневписанных окружностей равна сумме радиуса вписанной окружности и удвоенного диаметра описанной окружности, т. е.
 

Доказательство:

Выразим все радиусы через стороны, площадь и полупериметр треугольника:

r =         , R =       , ra =               ,    rb =          , rc =

Значит,

      ra + rb + rc – r =             +             +           -          =

=                                                                                                                       =

=                  =             = 4R

Т.е.            ra +  rb + rc = r + 4R .

Теорема 4. Сумма величин, обратных радиусам вневписанных окружностей, равна величине, обратной радиусу вписанной окружности, т. е.

Доказательство:

Используем выражения радиусов через стороны и площадь треугольника:

r =          , R =  ,   ra =              , rb =             , rc =      

        Значит,

Теорема 5. Сумма всех попарных произведений радиусов вневписанных окружностей равна квадрату полупериметра треугольника, т. е.
                                    rarb + rbrc + rcra = p2

Доказательство:

Воспользуемся формулами ранее доказанных радиусов через стороны и площадь треугольника:

r =          , ra =            , rb =            , rc =                    

Подставим

Из формулы Герона следует

(p – a)(p – b)(p – c) =               , поэтому  

Теорема 6. Произведение всех трех радиусов вневписанных окружностей равно произведению радиуса вписанной окружности на квадрат полупериметра треугольника, т.е.
                                                rarbrc = rp2

Доказательство:

Из ранее доказанных формул для радиусов и формулы Герона

ra =             , rb =              , rc =               ,  

Тогда  

Следствие 1. Площадь треугольника равна отношению произведения всех трех радиусов вневписанных окружностей к полупериметру треугольника, т.е.  

Доказательство:

             Из  rarbrc = rp2 = rp × p = Sp.

              Следовательно:      

Следствие 2. Площадь треугольника равна квадратному корню из произведения всех трех радиусов вневписанных окружностей и радиуса вписанной окружности, т.е.  

Доказательство:

Из следствия 1, что                  и равенства S = pr,

           получаем, перемножая их почленно,

             Значит

Следствие 3. Величина, обратная высоте треугольника, опущенной на его данную сторону, равна полусумме величин, обратных радиусам вневписанных окружностей, касающихся двух других сторон треугольника, т.е.

                                          ,                              ,                             .

Доказательство:

   Воспользуемся формулами                            ,                    .

 Значит,

                               .  

                                                                               .

3. Вневписанная окружность в задачах

3.1 Задачи на доказательство.

Отметим, что условия следующих задач не содержат термина «вневписанная окружность». Она появляется в решении как вспомогательная фигура.

Задача 1. Из точки А к данной окружности проведены касательные АТ1 и АТ2. К окружности проведена касательная, пересекающая отрезки АТ1 и АТ2 в точках ВиС. Докажите, что периметр треугольника ABC не зависит от положения касательной.

Решение. По теореме 2, независимо от положения касательной, периметр треугольника ABC равен удвоенной длине отрезка АТ1.

Задача 2. К двум непересекающимся окружностям проведены две общие внешние касательные и общая внутренняя касательная. Докажите, что отрезок внутренней касательной, заключенный между внешними касательными, равен отрезку внешней касательной, заключенному между точками касания.

Решение. Пусть O1 и O2 - данные окружности, а точки касания окружностей с первой внешней касательной - А и B, со второй - С и D (рис.4). Пусть также внутренняя касательная пересекает внешние в точках М и N. Продолжим прямые АВ и CD до их пересечения в точке К. Тогда окружность O2 является вписанной в треугольник MNK, а окружность O1 - вневписанной. Обозначим сторону MN треугольника MNK через а и его полупериметр через р. Тогда АК = р и ВК = р - а. Значит, АВ = а, т.е. АВ = = MN.

Задача 3. Докажите формулу Герона для площади треугольника:

Решение. Воспользуемся обозначениями данного рисунка. Треугольники CJaT1 и СОК подобны. Значит, СТ1/rа = r/СК.

Но СК = р - с, а СТ1 = р-АС = р - b.

Откуда (p-b)/ra = r/(р - c), или rra = (р-с)(р-b).

Но ra = S/(p-а)(теорема 3), а r = S/p, значит,

Отсюда и следует формула Герона. 

Задача 4. Докажите, что прямая, проходящая через середину стороны ВС и точку пересечения биссектрис треугольника ABC, отсекает на высоте, проведенной к стороне ВС, отрезок, равный радиусу вписанной в этот треугольник окружности.

Решение. Обозначим середину стороны ВС через М1, центр вписанной окружности через О, а точку пересечения прямой М1О с высотой АН1 через Е. Через точку К1 касания вписанной окружности со стороной ВС проведем диаметр вписанной окружности K1R. По теореме 4 точки А, R и Т1 лежат на одной прямой. Отрезок СТ1 равен р - b (см. решение задачи 2). Но и отрезок ВК1 также равен р - b. Значит, точка М1 является серединой отрезка Т1K1. Следовательно, М1О - средняя линия треугольника T1RK1. Значит, М1О || RТ1 . А поскольку АН1 || RK1, то RAEO - параллелограмм. Т.е. отрезок АЕ равен радиусу вписанной окружности, что и требовалось доказать.

Задача 5. Докажите формулу для площади треугольника:

S = R • pH,

где R - радиус описанной окружности, а pH - полупериметр треугольника, образованного основаниями высот данного треугольника.

Решение. Известно, что углы Н1Н2Н3 равны 180° - 2А, 180° - 2В, 180° - 2С и что высоты треугольника ABC являются биссектрисами углов  Н1Н2Н3. Угол ТН2Н3 - смежный с углом H3H2H1, Н2В - биссектриса угла Н3Н2Н1, а угол ВН2А - прямой; следовательно, Н2А - биссектриса угла ТН2Н3. А значит, точка А - центр вневписанной окружности треугольника Н1Н2Н3. Следовательно, отрезок Н1Т равен рH. Из прямоугольного треугольника АН1Т имеем:

pH = ha cosAH1T = ha cos(90° - A) = ha sin A

где ha  - высота к стороне ВС, a - длина стороны ВС, А - величина угла ВАС. Отсюда и следует доказываемая формула S = RpH.

3.2 Задачи на построение

Задача 1. Внутри угла с вершиной А дана точка М. Через точку М проведите прямую так, чтобы она отсекала треугольник наименьшего периметра.

Решение. Проведем через точку М произвольную прямую, пересекающую стороны угла в точках В и С. Построим вневписанную окружность треугольника ABC, касающуюся прямой АС в точке Т. Тогда периметр треугольника ABC  равен 2AT (теорема 2). Для того чтобы построить треугольник с наименьшим периметром, надо прямую ВС провести так, чтобы отрезок  AT, а значит и радиус вневписанной окружности, имел наименьшее значение. Это будет тогда, когда вневписанная окружность проходит через точку М. Итак, для построения треугольника с наименьшим периметром необходимо построить окружность, проходящую через точку М и касающуюся сторон угла (это - известная задача, решаемая с помощью гомотетии), затем провести к окружности касательную в точке М. Проведенная касательная - искомая прямая.

Задача 2. Постройте треугольник, если дана сторона, противолежащий ей угол треугольника и сумма двух других сторон.

Решение. Пусть дана сторона a, угол А и сумма сторон b + с. Тогда известна длина полупериметра искомого треугольника р = (а + b + с)/2. Значит, известны положения точек Т1 и Т2 на сторонах угла А. Восставив перпендикуляры в этих точках к сторонам угла А, на их пересечении получим центр вневписанной окружности, а значит, вневписанная окружность построена. Расстояние от точки Т1 до точки касания вписанной окружности равно а. Следовательно, мы можем найти точки касания вписанной окружности искомого треугольника со сторонами угла A и построить саму вписанную окружность. Общая внутренняя касательная к построенным окружностям отсекает на сторонах угла искомый треугольник.

3.3 Задачи на вычисления: 

Задача 1. Дан квадрат ABCD со стороной а. На сторонах ВС и CD даны точки М и N такие, что периметр треугольника CMN равен 2а. Найдите угол MAN.

Решение. Расстояния от вершины С треугольника CMN до точек В и D равны его полу периметру. Значит, В и D - точки касания вневписанной окружности, а ее центр находится в вершине А квадрата ABCD. Тогда AM и AN - биссектрисы углов BMN и MND соответственно.

Далее, CMN + CNM = 90°,  значит,

AMN + MNA = 180° - (CMN + CNM)/2 = 135°. Откуда

MAN = 180° - (AMN + MNA) = 45°.

Задача 2. В прямой угол с вершиной С вписаны две окружности, которые не пересекаются. К этим окружностям проведена общая касательная, которая пересекает угол в точках А и В. Найдите площадь треугольника ABC, если радиусы окружностей равны R1 и R2.

Решение. Отрезок СТ1 (Т1 — точка касания прямой СВ и окружности радиуса R2) равен R2. Но окружность радиуса R2 является вневписанной окружностью треугольника АВС. Значит, СТ1 - полупериметр треугольника ABC. Его площадь находим как произведение радиуса вписанного круга на полупериметр:

S = rp = R1R2

Задача 3. В равносторонний треугольник вписана окружность. Этой окружности и сторон треугольника касаются три малые окружности. Найдите сторону треугольника, если радиус малой окружности равен r.

Решение. Обозначим через а длину стороны треугольника. Тогда радиус окружности, вписанной в данный треугольник ABC, равен . Проведем общую касательную MN к большому и малому кругам. Очевидно, что MN || АВ. Тогда треугольники MNC и ABC подобны. А значит, отношение радиусов вписанных в них окружностей равно отношению их периметров, т. е.

    откуда    

Задача 4. В треугольнике ABC проведены биссектрисы AL1 и BL1. Найдите угол A, если известно, что L1L2 - биссектриса угла AL1C.

Решение. Точка L2 по условию лежит на пересечении биссектрисы внутреннего угла AВС и биссектрисы внешнего угла AL1C треугольника ABL1. Значит, точка L2 является центром вневписанной окружности треугольника ABL1. Следовательно, AL2 - биссектриса внешнего угла А треугольника ABL1. Несложно заметить, что в этом случае угол А равен 120°.

4.   Задачи ГИА и ЕГЭ на применение свойств  вневписанных окружностей.

ЗАДАЧА №1
(сборник «Подготовка к ЕГЭ-2010, под редакцией Ф.Ф.Лысенко)

«Найдите произведение радиусов всех вневписанных окружностей треугольника со сторонами 4,5,6».

Решение:

Согласно следствию 2, произведение радиусов  можно найти по формуле

rarbrc = rp2.

  Где r-радиус вписанной в треугольник окружности, а р – полупериметр треугольника. Р = 4+5+6=15, р = 15/2. r  = S/p. Площадь найдем по формуле Герона: S =√р(p−a)(p−b)(p−a). S = √7,5(7,5-4)(7,5-5)(7,5 -6) = 3,75√7;    r =3,75 √7 : 7,5=√7/2.  Отсюда rarbrc    = (√7/2) :(15/2)² =225 √7/8

Ответ: 225 √7  .

                   8

ЗАДАЧА №2
(сборник «Подготовка к ЕГЭ-2010, под редакцией Ф.Ф.Лысенко)

«Найдите  произведение сторон треугольника, если известно, что радиусы его вневписанных окружностей равны 9,18 и 21».

Решение:

Для решения задачи воспользуемся формулой площади треугольника через радиус описанной окружности.

 S=abc/4R , следовательно  abc=S·4R.    4R=ra+rb+rc-r;  S = rarbrc/p;  

р2 = rarb+rarc+rbrc;         p²=9·18+9·21+18·21=27²;     S=9·18·21/27=126;  

4R = ra + rb + rc - r;    r = ra·rb·rc/p²;         r  = 9·18·21/27² = 14/3;

4R =  9+18+21- 14/3 = 130/3;     abc = 126·130/7=5460

Ответ: 5460.

ЗАДАЧА №3
(сборник «Подготовка к ГИА-2013», под редакцией Д.А. Мальцева)

«Основание АС равнобедренного треугольника равно 10. Окружность радиуса 7,5 с центром вне этого треугольника касается продолжения боковых сторон  треугольника и касается основания АС в его середине. Найдите радиус окружности вписанной в треугольник АВС».

Решение:

Сделаем чертеж к данной задачи. Так как   окружность касается стороны треугольника и продолжения двух других сторон, то – это вневписанная окружность.

Так как центр вписанной окружности и вневписанной окружности лежит в точке пересечения биссектрис, то AF-биссектриса угла ВАС, а AO – биссектриса угла CAD.

∆FAO – прямоугольный треугольник, так как биссектрисы смежных углов образуют прямой угол. АК – высота, проведенная к гипотенузе. AK²=FK·KO, 5²=FK·7,5;   FK=25:7,5=10/3.

FK – радиус вписанной в ∆АВС окружности, следовательно r = 10/3.

Ответ: 10/3

ЗАДАЧА №4

« Найдите радиус вневписанной окружности треугольника, если радиусы двух других вневписанных окружностей равны 2002 и 4004, а радиус вписанной окружности равен 1001».

Решение:

На основании  Теоремы 4 «Сумма величин, обратных радиусам вневписанных окружностей, равна величине, обратной радиусу вписанной окружности, т. е.                                       »

Составим равенство:       1    +  1   +    1   =    1 

                                         2002   4004     rc       1001,

  1  =     1   -     1    -     1  ,     следовательно  1  = 1      , rc  = 4004.    

rc         1001   2002   4004                                 rc    4004

Ответ: 4004    

ЗАДАЧА 5.

(Сборник  « Математика. Все для ЕГЭ  2011». Часть I. Автор  Д. А. Мальцев)

« Точка О1 - центр вписанной окружности треугольника АВС, а точка О2 – центр окружности, касающейся стороны ВС и продолжений сторон  АВ и АС. Найдите расстояние между точками О1 и  О2 , если радиус описанной окружности  треугольника АВС равен 6, а sin ∟ВО1С = √5/3.

Решение:

         Так как О2 –центр вневписанной окружности, то он лежит на пересечении биссектрис внешних углов к  углам   В и С треугольника АВС и биссектрисы угла А. Выразим ∟ВО1С через ∟А. Рассмотрим ∆ ВО1С.

 ∟ВО1С = 1800 - ½( ∟В +∟С) = 1800 - ½(1800 - ∟А)= 900 + ½∟А.

sin ∟ВО1С = sin (900 + ∟А) = cos(½∟А) = √5/3.

Т.к. sin2(½∟А) + cos2(½∟А) =1, следует, что sin (½∟А)=⅔.

       К – точка  пересечения  биссектрисы угла ВАС с окружностью описанной около треугольника АВС.

      Т.к. ВО1 и ВО2 биссектрисы смежных углов, то ∟О2ВО1 =900. Следовательно,  О1О2 гипотенуза прямоугольного треугольника О1ВО2.

Поскольку ∟СВК =∟КАС(как вписанные углы опирающиеся на одну  дугу), то ∟О1ВК =∟СВК + ∟СВО1 = ½∟А + ½∟В.

 А поскольку ∟ВО1К = ½∟А + ½∟В,  то  О1ВК = ∟ВО1К, и, значит ∆ВО1К – равнобедренный, ВК=О1К.

 Из равенства углов ∟О1ВК= ∟ВО1К, следует, ∟О2ВК = ∟ВО2К (∟О2ВК=900 - ∟О1ВК, ∟ВО2К = 900 - ∟ВО1К). Поэтому ∆ВО2К также равнобедренный, ВК=О2К.

    Из равенств ВК=О1К и ВК=О2К получаем, что О1О2 = 2ВК. Длину отрезка ВК найдем   из треугольника АВК по теореме синусов: ВК=2Rsin∟BAK. Т.к sin∟BAK = sin (½∟А)=⅔, а R=6(по условию), то ВК=2·6·⅔=8, О1О2=2ВК=16.

Ответ: 16

5. Заключение.

Изучив свойства вневписанной окружности, я в своей работе кратко изложила задачи, приводящие к понятию вневписанной окружности, доказала ее свойства, показала ее связь с элементами треугольника и применила их к решению геометрических задач. Изученные свойства были применены при решении задач на доказательство, вычисление и построение. Работая над данной темой, я научилась лучше рассуждать, анализировать и систематизировать и надеюсь, что опыт выполнения этой работы пригодится мне в будущем. Данный материал выходит за рамки школьной программы и будет полезен учащимся при подготовке к итоговой аттестации.

Изящество и красота применения окружности создают ощущение элитарности. В учебнике «Геометрия 7-9» автора И. Ф. Шарыгина окружностям уделяется большое внимание. К сожалению, во многих учебниках этой фигуре уделяется незначительное время и внимание, а про вневписанную окружность и не упоминается. Поэтому я считаю, что мою работу можно использовать на уроках геометрии при рассмотрении темы «Вписанные и описанные окружности»

6. Список использованной литературы.

1. Билецкий, Ю.  ж. «Квант»   // О пользе вневписанной окружности. -2001г. - №2. – С.28-30.

2. Березин  В.И. Сборник задач для факультативных и внеклассных занятий по математике   – Москва: Просвещение, 1985 год.

3. Гнеденко  Б.Г. Энциклопедический словарь юного математика. –Москва: Просвещение, 1985 год

4. Лысенко Ф.Ф. «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2010» Ростов-на-Дону, «Легион-М» 2009г.

5. Мальцев Д.А. « Математика. Все для ЕГЭ-2011» НИИ школьных технологий , 2010г.

6. Понарин  Я.П. Элементарная геометрия / Я.П. Понарин. – Москва: МЦНМО, 2004 год.

7. Шарыгин И.Ф. « Геометрия 7-9» . учебник для общеобразовательных учреждений, - Москва. Дрофа. 2010г. (п. 8.1)