"Геометрия архитектурной гармонии"

Муниципальное образовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа №4»

Реферат

Геометрия архитектурной гармонии

                                                             Выполнила: Прямоносова Анастасия

                                                                                   Александровна

                                                                                   ученица 9 Б класса

                                                             Преподаватель: Ельцева

                                                                                  Татьяна Викторовна,

                                                                                  учитель математики

г. Шадринск

2007 год

Содержание

ВВЕДЕНИЕ…………………………………………………. 3

1.Золотая пропорция…………………………………………5

1.1.Символ бессмертия или золотая пропорция……………5

1.2.Прочность, польза, красота – формула архитектурного

Целого по Витрувию…………………………………………8

1.3. Арки, купола, фасады и…иррациональности………...11

2. Геометрия храмов………………………………………...11

2.1. Геометрия купола храма……………………………….14

2.2.Геометрия «горящей свечи»……………………………16

2.3Геометрия  известных храмов……... …………………..17

ЗАКЛЮЧЕНИЕ……………………………………………..19

Список литературы…………………………………………21

Приложения……………………………………………….....22

Введение

Тема «Геометрия архитектурной гармонии» выбрана не случайно. Ведь математика - это не только стройная система законов, теорем и задач, но и уникальное средство познания красоты. Воспитание чувства прекрасного – одна из важнейших задач современной школы, и при её решении обойтись без применения математических знаний нельзя.

Многие математические теории нередко кажутся искусственными, оторванными от реальной жизни, просто не понятными. Если же подойти к этим проблемам  с позиции исторического развития, то станет виден их глубокий жизненный смысл, их необходимость.

Известный теоретик архитектуры Леон-Баттиста Альберти, написавший десять книг  зодчестве, говорил: «Есть нечто большее, слагающееся из сочетания  и связи этих трёх вещей (числа, ограничения и размещения), нечто, чем чудесно озаряется весь лик красоты. Это мы называем гармонией, которая, без сомнения, источник всякой прелести и красоты. Ведь назначение и цель гармонии – упорядочить части, вообще говоря, различные по природе, неким совершенным соотношением так, чтобы они одна другой соответствовали, создавая красоту… Она охватывает всю жизнь человеческую, пронизывает всю природу вещей. Ибо всё, что производит природа, всё это  соизмеряется законом гармонии. И нет у природы большей заботы, чем та, чтобы произведённое ей было вполне совершенным. Этого никак не достичь без гармонии, ибо без неё распадается высшее согласие частей».

Основной целью данного реферата является формирование представления о прикладных возможностях математики, её месте в общественной культуре, а также о практической значимости геометрических знаний.

      Главная же цель работы над рефератом с точки зрения математического образования: получение новых математических знаний, развитие логического мышления и пространственного воображения, формирование представлений о прикладных возможностях геометрии, получение сведений об истории развития науки, знаний, необходимых для применения в быту и некоторых специальностей.

Предлагаемый реферат состоит из двух разделов и приложения. В него включены математические аспекты возведения архитектурных шедевров прошлого: храм Покрова во рву в Москве, дворец Разумовского в Батурине, храм Вознесения в Москве, Успенская церковь Елецкого монастыря, храм Покрова Богородицы на Нерли, собор Василия Блаженного, а также египетские пирамиды, Парфенон, амфитеатр Флавиев и римский Колизей.

Приведены геометрические задачи, сформированные как следствие решения архитектурных проблем: защита города от ветров, строительство арок и алтарей, проектирование храма.

В первом разделе говорится об  основных законах гармонии, об универсальности математических закономерностей, произведениях искусства и математических открытиях. Также там можно найти информацию о загадочных пирамидах Египта, о геометрических отношениях и пропорциях, которые скрыты в памятниках. Можно вспомнить определение и свойства правильных многоугольников. Предлагаются решения градостроительных проблем  в Древнем Риме и Греции. В продолжении можно познакомиться с некоторыми  геометрическими приёмами, которые использовались древними и средневековыми зодчими при разработке конструкций различных типов арок и куполов. Наглядным примером может послужить памятник древней архитектуры - римский Колизей, внешняя стена которого построена в виде четырёх ярусов арок.

       Во втором разделе можно узнать о некоторых геометрических зависимостях, которые положены в основу построения русских православных храмов и куполов. Также здесь можно рассмотреть эскиз плана построения одного из куполов православной церкви. При анализе плана следует подчеркнуть, что  основой для таких разработок служили  такие геометрические фигуры, как квадрат и треугольник.

И ознакомиться с последовательностью геометрических преобразований, которые были положены в основу архитектурных проектов при построении крестово-купольных храмов. При ознакомлении стоит отметить, что в основе архитектурного плана такой церкви, как Успенская, лежит прямоугольник, стороны, и диагонали которого  составляют числа, выражающие золотую пропорцию. И нельзя не сказать, что  появление  таких храмов на Руси  в XI в. было большим событием  в истории мировой архитектуры.

В приложении можно найти  краткие справки о храмах и их местоположении, о древних учёных, таких как Фридрих Гаусс и Пифагор. Также можно узнать, что в Древней Руси основной единицей длины, использовавшейся при строительстве, была сажень. Кроме того, вся система строительных размеров в саженях, применявшаяся русскими зодчими, основана на пропорциях человеческого тела. А в приложении 3 можно найти решение некоторых  архитектурных и  строительных задач, которые интересны своей необычностью, индивидуальностью и единостью.  

     Вопросы, рассматриваемые в реферате, выходят за пределы объёма обязательных знаний, но вместе с тем они тесно примыкают к основным вопросам программного материала.

При работе над данным рефератом использовались различные источники информации - от старинных книг до журналов и газет. Но наиболее меня заинтересовала книга Николая Ивановича Васютинского «Золотая пропорция».

 В своих статьях Николай Иванович стремится найти критерии гармонии и красоты в природе и искусстве как основу совершенства и самоорганизации. Эта прекраснейшая книга повествует о красоте человека и природы, опираясь на объяснение этого с точки зрения геометрии. «Искусство не противник, а союзник науки» - эти слова, можно сказать, являются основой для этой книги. Неудивительно, что при изложении некоторых мыслей и выводов  поэтическая форма оказалась  предпочтительной, и автор использовал в книге свои стихотворения, относящиеся к рассматриваемой теме.

 Таким образом, данный реферат – это, своего рода, маленький учебник, собравший в себя много, на мой взгляд, интересного материала. По содержанию статей ученики могут подготовиться к урокам геометрии или просто узнать для себя, что такое золотая пропорция и чем она связана со строительством египетских пирамид и древних храмов.

ГЛАВА 1. Золотая пропорция

1.1. Символ бессмертия или золотая пропорция

Все на свете страшится времени, время страшится пирамид.

Арабская пословица.

В поисках истоков золотой пропорции следует, прежде всего, направиться в Древний Египет к его загадочным пирамидам – хранилищам многих неразгаданных тайн.

Пирамиды – фантастические фигуры из камня, устремленные к Солнцу. Своими громадными размерами, совершенством геометрической формы они поражают воображение. Недаром эти творения рук человеческих считали одним из чудес света.

Почему из всех геометрических тел именно пирамиду выбрали древнеегипетские зодчие, для того чтобы в веках прославить своих фараонов? Скорее всего, причина кроется в том, что такая конструкция – одна из самых устойчивых. Ведь с увеличением высоты пирамиды масса ее верхней части уменьшается, а это – главный принцип надежности постройки. Они служили символами величия и могущества фараонов, свидетельством могущества страны.

Среди грандиозных пирамид Египта особое место занимает великая пирамида фараона Хеопса. С ней и сейчас связано много таинственного. Обнаружено, например, что пирамида способствует возникновению у человека особого психического возбуждения. В литературе описано много невероятных явлений, связанных с пребыванием рядом с пирамидой Хеопса. Нас, правда, больше интересует загадки геометрии, которые скрыты в великом памятнике древней архитектуры.

Несомненно, основным, исходным элементом, определяющим главные пропорции пирамиды, является треугольник.

SMN в ее осевом сечении (рис. 1). Установлено, что отношение катетов SM и MN равно отношению гипотенузы SN к катету SM. Причем SN: MN= Ф

Если мы примем меньший катет MN за Х, то SN : x  = Ф. Получим, что SN = Ф. * Х. Тогда пропорция SM : MN = SN: SM дает SM: x = (Ф * Х): SM или SM2 = Фх2, т.е. . Тогда

Итак, стороны треугольника SMN  составляют геометрическую прогрессию: Х, х, х *Ф, знаменатель которой равен .

В знаменитой пирамиде обнаруживаются и другие геометрические зависимости. В древнеегипетских мерах длина стороны квадрата, лежащего в основании пирамиды, равна 1000 локтям. Тогда SM = ≈ 1,26 * 500 = 630 (локтей). На рис. 1 х = 500 локтей.

Вычислив отношение удвоенной стороны основания квадрата ABCD к высоте пирамиды, найдем: 2000 : 630 ≈ 3,17, что весьма близко к числу π, которое египтяне принимали равным (16/9)2, т.е. 3,16.

Многие математические закономерности, как говорят, «лежали на поверхности», их нужно было увидеть человеку с аналитическим умом, мыслящему логически. А в этом нельзя было отказать философам древнего мира; ведь все их научное познание строилось на анализе предметов и явлений, установлении связи между ними. В наше время даже трудно представить, что возможно развитие науки совершенно без использования эксперимента, а ведь таковой была наука древнего мира.

Нетрудно доказать, что существует только один прямоугольный треугольник, стороны которого (x, y, z) образуют геометрическую прогрессию: z / y = y / x. В этом треугольнике отношение гипотенузы к малому катету равно золотой пропорции Ф, а два других отношения сторон (z / y и y / x) отвечают корню квадратному из золотой пропорции. Это – удивительный «золотой» треугольник, он является ярким выражением золотой пропорции. С ним мы еще не раз будем встречаться. Можем убедиться, что красивы, могут быть не только произведения искусства, творения Природы, но и геометрические фигуры, даже математические формулы.

Интересен еще один замечательный треугольный, в котором проявляется золотая пропорция. В этом треугольнике углы равны 90°, 54° и 36°, а их отношение составляет 5 : 3 : 2. В этом прямоугольном треугольнике отношение большого катета к гипотенузе равно половине золотой пропорции Ф / 2. Это отношение отвечает равенству Ф / 2 = Cos 36°. Отсюда вытекает формула, связывающая золотую пропорцию с число π:

Эта простая  и по-своему красивая формула связывает число «пи» с золотой пропорцией. Не свидетельствует ли это о фундаментальности золотой пропорции, о ее родстве с таким универсальным числом, как «пи»? характерно, что в рассмотренном треугольнике отношение углов отвечает отношению небольших целых чисел 5 : 3 : 2 (где величина одного угла равна сумме двух других), а отношения сторон несоизмеримы. Что кроется в этой «таинственности числовых соотношений»?

В формуле  дважды встречается число «пять». И угол 36° является углом при вершинах пятиконечного звездчатого многоугольника. Очевидно, не случайно число «пять» у пифагорейцев считалось священным, а пятиугольная звезда – символом союза пифагорейских философов и математиков. Оно же считалось в древности символом жизни, и мы увидим в дальнейшем рассказе, как часто это число встречается в строении различных растений и животных.

Геометрию пятигранника и звездчатого пятиугольника изучали многие математики. Мы не будем излагать их изыскания, отметим лишь, что эти фигуры буквально «нашпигованы» золотой пропорцией; она проявляется здесь в десятках различных соотношений. В изображенном рис. 3 среди отрезков HJ, EH, EJ, EB отношение каждого последующего к предыдущему равно золотой пропорции. Пачоли нашел в пяти Платоновых телах – отрезков EB / EA, AJ / JK, AK / AJ. Здесь же содержится треугольник с углами 90°, 54° и 46°, который мы рассмотрели выше. Нет, неспроста пифагорейцы выбрали пятиугольник символом своего научного сообщества!

Таким образом, золотая пропорция проявляется в геометрии пяти правильных многогранников, которые, по представлениям ученых древности, лежат в основе мироздания. Платон считал, что атомы четырех элементов, из которых построен мир (огня, земли, воздуха, воды), имеют форму правильных выпуклых многогранников – тетраэдра, куба, октаэдра и икосаэдра, а весь мир в целом построен в форме додекаэдра.

Еще одна геометрическая фигура широко распространена в живой природе – это спираль. Спираль присутствует во многих живых организмах, растениях и животных. Гете считал спираль математическим символом жизни и духовного развития. Если в логарифмической спирали из центра О провести прямую, то образующиеся отрезки ОА, ОВ, ОС, ОД и т.д., полученные при пересечении прямой с витками спирали, образуют геометрическую прогрессию. Сохраняется справедливым соотношение:     ОА / ОВ = ОВ / ОС = ОС / ОД = …= m, где m – постоянное число.

Отрезки радиуса, заключенного между последовательными завитками спирали, также образуют прогрессию с отношением АВ/ВС=ВС/СД= …= n. Частным случаем спирали является такая, которая отвечает значению n, равному Ф, то есть золотой пропорции. Такая спираль обнаружена в образцах ионийской валюты. Ее назвали «кривой гармонического возрастания».

Золотая пропорция встречается и в других геометрических фигурах. Так, для квадрата, вписанного в полукруг, точка В делит отрезок АС в золотой пропорции: АС / ВС = ВС / АВ = Ф = 1,618… (рис. 4).

Сторона правильного десятиугольника, вписанного в окружность радиуса R, равна радиусу, деленному на золотую пропорцию.

Мы рассмотрели проявление золотой пропорции в самых различных геометрических фигурах, начиная от простого прямоугольного треугольника

Эстафета знаний древности ведет от Греции к Египту, а от него к Вавилону. Но ведь и знания народов Двуречья не возникли на пустом месте, их корни также уходят в другие эпохи и другие страны.

1.2. Прочность, польза, красота – формула архитектурного                      целого по Витрувию

Рассказав о математических закономерностях египетских пирамид, мы начали путешествие по истории архитектуры, богатой самыми разными стилями, формами и, конечно, геометрическими закономерностями.

Наследниками древнеегипетских математических знаний оказались греки. Но они более увлекались «чистой» наукой, а на ее приложения смотрели свысока. Другое дело – римляне, унаследовавшие у египтян и греков знания по математике. Их интересовала прежде всего практическая польза приложения математики к разным областям практической деятельности человека, и в частности к архитектуре.

Может быть, в силу указанных причин большинство древнегреческих трактатов, содержащих расчеты скульпторов, архитекторов, художников, не сохранились. Но хорошо известен более поздний источник, относящийся к I в. до н.э. – книга древнеримского зодчего Марка Витрувия Поллиона «Десять книг по архитектуре».

В древности архитектура включала в себя строительство, конструирование часов, создание машин, изготовление кораблей. О том, какая ответственность лежала на представителях этой профессии, дает представление один древнеримский закон. Он гласит, что если новый дом развалился, но никто при этом не пострадал, то архитектор, ответственный за строительство этого сооружения, должен быть казнен. Если же были пострадавшие, то архитектора полагалось казнить вместе с его семьей. Стоит ли удивляться, что Витрувий требовал от зодчих весьма обширных знаний?! архитектору следовало разбираться в специальных строительных вопросах, арифметике, оптике, истории (необходимой для понимания архитектурных форм), медицине (в целях гигиеничности зданий), праве, музыке (для обеспечения хорошей акустики), астрономии, географии (чтобы расположить здание в соответствии с розой ветров и подведение к нему воды).

В своих работах Витрувий руководствовался тремя принципами: прочность, польза, красота. Он усматривал их, прежде всего в конструкции человеческого тела, призывая учиться у природы при создании архитектурной гармонии. Например, зодчий рассказывает, что при определении размеров колонн так называемого дорического ордера древнегреческие строители измерили след мужской ступни и нашли, что он составляет 1/6 часть роста человека. Тогда и колонны храма они построили так, чтобы их высота вместе с капителью (от лат. Capitellum – головка – самая верхняя часть колонны) была в 6 раз больше ширины колонны у основания. Колонны дорического ордера Парфенона сужаются кверху. Этим создается иллюзия их большей высоты. Глядя на это сооружение, устоявшее под воздействием всеразрушающего времени, как не вспомнить о союзе прочности и красоты!

Витрувий сообщает, что, когда грекам захотелось построить в новом стиле храм богини Артемиды (Дианы), они повторили в его колоннах пропорции стройной женщины. В колоннах нового типа, так называемого ионийского ордера, толщина у основания составляет 1/8 части их высоты. Из-за этого все сооружение кажется более высоким и изящным. Венчает колонну ионического ордера спираль, напоминающая уложенные с двух сторон волосы в женской прическе.

Много внимания Витрувий уделяет пользе, целесообразности, особенно когда речь идет о планировании городов. Он рекомендует выбирать направление улиц  так, чтобы вдоль них не могли дуть ветры, господствующие в данной местности.

Теперь представим себя архитекторами и сформулируем сами себе градостроительную проблему. В какой-то местности (на рис.6 она показана в виде круга) регулярно в разные времена года и часы суток дуют ветры по десяти строго определенным направлениям. Покажем эти направления стрелками и 'обозначим буквами А, В, С, D, Е, F, G, К9 L, М. Следует загородить домами эти направления. Но прежде чем строить дома, надо иметь пиан строительства, который естественно начать с проведения равных хорд, перпендикулярных направлениям ветров. Итак, архитектурная проблема привела нас к чисто геометрической задаче: вписать в данный круг правильный десятиугольник, которую мы будем решать с помощью древнейших инструментов: циркуля и линейки.

Докажем сначала одно важное свойство правильного вписанного десятиугольника: его сторона равна большей части радиуса описанной окружности, разделенного в среднем и крайнем отношении, т.е. в отношении золотого сечения.

Доказательство.

Пусть хорда АВ на рис. 7 есть сторона правильного вписанного десятиугольника. Тогда 0« 360°: 10-36°;

A = B = (180° - 36°) : 2 = 72°.

Проведем АС — биссектрису треугольника ОАВ. Поскольку CAO = O = 36° и BCA =B = 72°, треугольники ACO и АСВ равнобедренные. Следовательно, АВ = АС = ОС.

Известно, что биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам, т.е. имеет место пропорция:

АО : АВ = ОС : СВ или ВО : ОС = ОС : ВС.

Мы уже знаем, как с помощью циркуля и линейки разделить отрезок в среднем и крайнем отношении. Способ построения можно вспомнить по рис. 8. В основе построения — прямоугольный треугольник РОО1 у которого один катет вдвое больше другого. Окружность с центром в точке О1 и радиусом отсекает от гипотенузы Р01 на рис. 8 отрезок РР1 который равен отрезку ОС на рис. 7.

Итак, геометрическая задача решена, требуемый десятиугольник построен. Теперь легко предложить один из архитектурных проектов города. В нем с запада на восток проходит большой проспект, пересекающий круглую площадь, и к ней сходятся четыре улицы, обозначенные на рис. 9 штриховыми линиями. Разумеется, это не единственное решение, могут быть и другие архитектурные варианты.

Придуманную нами градостроительную проблему каждый может сам усложнить и упростить, выбрав иное число ветров. Но если их направления будут рассекать окружность на равные дуги, то планировщик сразу же столкнется с более общей математической задачей, чем та, которая была выбрана выше. Сформулируем ее:

Какой правильный n-угольник можно вписать в окружность, т.е. на какое число равных дуг можно поделить окружность с помощью циркуля и линейки?

Все умеют вписывать в окружность правильный треугольник или квадрат, а затем, деля стягиваемые дуги на две части, удваивать число сторон многоугольника и получить шестиугольник, двенадцатиугольник... или восьмиугольник, шестнадцатиугольник и т. д.

В школе учатся вписывать в окружность правильные n-угольники, у которых п равно:

3, 3 * 2, 3 * 2 * 2, ..., вообще 3 * 2п;

4, 4 * 2, 4 * 2 * 3,..., вообще 4 * 2п;
5, 5 * 2, 5 * 2 * 2, ..., вообще 5 * 2п

А вот можно ли, например, построить правильные n-угольники при n = 7? 11? 13? Оказывается, что в данных случаях точные построения циркулем и линейкой невозможны.

Почему? Напрашивается ответ: «Потому что n — простое». Ответ неточен. Точный ответ дал великий немецкий математик Карл Фридрих Гаусс (1777-1855).

Он доказал, что если n — простое, то окружность можно поделить на n  равных частей только тогда, когда n = 2k +1, где k = 1, 2, .... Например, можно разделить окружность на 17 равных частей, так как 17 — простое число и 17 = 24+ 1. Но на 33 равные части окружность разделить не удастся, хотя 33 = 25+ 1, ведь число 33 непростое: 33 = 3-11.

Доказано также, что с помощью циркуля и линейки окружность можно разделить на такое составное число частей, в состав которого не входят никакие иные простые множители, кроме: множителей вида 2k + 1, множителя 2 в какой угодно степени.

Например, пятнадцатиугольник вписать в окружность можно, так как 15 = 3 * 5 = (21 + 1)(22 + 1). Можно вписать и правильный 102-угольник, так как 102 = 23 * 17=2 (2! + 1)(24 + 1).

Как видим, практическая проблема заставила нас перескочить почти на 2 тысячи лет вперед, чтобы показать ее математическое решение от зарождения до обретения полного ответа. Вернемся снова в эллинистический мир, поскольку гам мы встретим еще много вопросов, над которыми математики ломали головы не одну сотню лет.

1.3. Арки, купола, фасады и … иррационалисты

Шло время, постепенно усложнялись математические задачи архитектуры. Уже в Древнем Риме были широко распространены арки, придающие сооружениям особую привлекательность. Типичен в этом отношении римский Колизей, высота которого составляет 48,5 м. В то же время поднять сооружение на подобную высоту можно было, только используя несколько ярусов. Поэтому внешняя стена Колизея представляет собой четыре яруса арок. Шаблоном для вычерчивания схемы этих арок проектировщику явно послужил круг. Это так называемые полуциркульные арки.

Сооружение предназначалось для цирковых представлений и первоначально называлось так: амфитеатр Флавиев. О том, какое впечатление оно производило на современников, говорит его название, закрепившееся в истории — Колизей, или Колоссий (от лат. colloseus — громадный, колоссальный).

На одном фасаде старинного здания можно увидеть следующий рисунок. В полуциркульную арку вписаны две окружности — маленькая и большая (последняя внутренним образом касается другой полуокружности, которая вместе с первой полуокружностью образует полукольцо, рис. 490). Измерения показали, что диаметр большей полуокружности равен 12 м. Возникают вопросы: Какие геометрические зависимости положены в основу этой композиции? Как связаны между собой радиусы двух вписанных окружностей? Попробуем разгадать замысел средневековых архитекторов.

Из точек Р и Q — концов диаметра малой полуокружности — восстановим перпендикуляры до пересечения их с большей полуокружностью в точках М и N (рис. 10). Соединим полученные точки отрезком. Дальнейшие измерения показывают, что отношение сторон получившегося прямоугольника MNPQ равно 2:1. Тогда ОР = NP. А так как радиус ON большей полуокружности равен 6, то из треугольника ONP по теореме Пифагора имеем: ОР =, OD = OP = .

Следовательно, радиус малой окружности равен . Отсюда отношение радиусов 01D и О2С окружностей равно:

Полуциркулярная арка была характерна для классической архитектуры Древней Греции и Древнего Рима. Ее можно увидеть и в постройках более позднего времени, в частности, в средневековых романских соборах. ,

В Древней Риме был известен секрет создания еще одного вида арки — стрельчатой. По сравнению с полуциркулярной стрельчатая арка оказалась более совершенной конструкцией, так как благодаря ней происходит меньший боковой распор стен, а значит, и меньший расход камня.

Стрельчатая арка образуется пересечением двух частей окружностей (здесь мы, конечно, говорим об эскизе стрельчатой арки). На рис. 11 показана стрельчатая арка, в которую вписана окружность и две равные полуокружности. Измерив ширину арки, Мы сможем найти не только радиус большой окружности, но и длину отрезка OD, который входит в центральную часть фасада. Обозначим радиус большой окружности через x. Тогда OO2= x + 5; DO2 = 5; OB = 20 - х; DB = 10. Дважды воспользовавшись теоремой Пифагора для треугольников ODO2 и ODB, составим уравнение (х + 5)2 - 52 = (20 - х)2—102. Откуда х = 6 (м) и OO2 = 6 + 5 = 11 м. А длина общего катета OD этих треугольников равна:

И мы вновь пришли к иррациональному результату.

Невозможно описать все многообразие геометрических приемов, которыми владели среднеазиатские зодчие. Рассмотрение лишь некоторых способов применение математики для создания гармоничных архитектурных зависимостей заставляет удивляться и восхищаться мастерством и талантом древних зодчих. Они открывают новые формы арок, среди которых особый интерес представляет подковообразная (рис. 12.).

Для построения такой арки соединяют верхние концы проема - точки А и В. Далее делят полученный отрезок точками О1, О2, О3 на четыре равные части.

Из точек O1 и 03 как из центров проводят окружности радиусом О1А. Их общая касательная MN перпендикулярна отрезку АВ.
От луча O3B откладывают угол BO3С, равный 60°, и продолжают прямую О3С до пересечения с прямой MN в точке О4.

Из точек О1 и О3 проводят две малые окружности радиусом О4А, а из точки О4 — большую окружность радиусом О4В, которая пересекает малые окружности в точках D и D’.

Линия ADD’ составляет подковообразную арку, которая завершает проем.

Нетрудно догадаться, что в этой арке скрыта иррациональность. Действительно, ели принять радиус 01А малой окружности за 1, то длины дуг AD' и BD равны.

Треугольник О1О3О4 — равносторонний, в котором сторона равна 2. Тогда радиус О4D большей окружности равен 3, поэтому длина дуги DD' равна . Длина всей линии ADD’В выражается иррациональным числом  

Воплощение оригинальных архитектурных замыслов потребовало от зодчих решения целого ряда геометрических задач, приводящих к иррациональностям.

В качестве еще одного примера рассмотрим рис. 13, на котором изображен вид сверху одной из среднеазиатских мечетей. Ее главная часть имеет форму прямоугольного параллелепипеда. Он перекрыт шестигранным сводом, который помещается на 6 арках.

Правильное и устойчивое положение купола над вытянутым прямоугольным помещением стало возможным благодаря верно выбранному отношению сторон прямоугольника: 2:. Тем самым обеспечивается равенство сторон двух треугольников, пересечение которых образует шестигранную основу купола (сторона каждого треугольника равна ).

Среднеазиатские архитекторы широко использовали иррациональные числа. Свои чертежи они часто начинали с построения квадрата, стороны которого принимали за 1, а потом переходили к другим частям постройки, длины которых выражались уже иррациональными числами. Такую последовательность архитектурных решений можно наблюдать на рис. 14, где представлен фасад среднеазиатской постройки. Нижняя часть фасада представляет собой квадрат ABCD со стороной 1. В нем проведены диагонали AC=BD=.

Далее из точки D как из центра проведена окружность радиусом. Она пересекает продолжение стороны AD в точке N. Таким образом, высота «второго этажа» меньше высоты «первого» (чем, как мы знаем, обеспечивается надежность строения):

Из точки С как из центра проведена окружность радиусом 1, которая пересекает продолжение стороны ВС  в точке Е,

Завершает конструкцию полуокружность, радиус которой равен , а длина окружности равна

ГЛАВА 2. Геометрия храма

2.1. Геометрия купола храма

Начнем с построения эскиза «луковичного» купола. Проследим, какие закономер-

ности положены в его основу.

Существуют разные виды куполов. Рассмотрим некоторые из них: Самый простой эскиз купола строится таким образом: В квадрате ABCD отмечаются середины E, F, К его сторон AD, DC и CB соответственно. Из точек А, В, С, D как из центров проводят дуги радиусом, который составляет половину стороны квадрата. Продолжение стороны АВ квадрата пересекают двое из дуг в точках М и N (рис. 15).

Для построения более сложных эскизов вспомним о золотой пропорции, которую мы ранее обозначали через Ф, установив, что. Допустим: АВ : О1С ≈ 1,6. Как построить отрезки AB и O1C? Прежде всего, выберем единицу измерения – отрезок е на рис. 16. Затем выполним преобразованияАВ:О1=1,6 = 16 : 10 = 8 : 5.Это значит, что АВ = 8е, а О1С = 5е. Представим себе, что нам следует построить равнобедренный треугольник ABC, у которого основание АВ и высота О1С составляют золотую пропорцию. Тогда мы строим отрезок АВ = 8е, делим его пополам точкой О1 и проводим перпендикуляр к АВ через точку О1, на которой откладываем отрезок О1С = 5е. Треугольник АСВ (рис. 16) послужит основой для нового эскиза купола православной церкви.

План построения.        

1.  Проведем перпендикуляр О1К к стороне ВС (рис. 16)
2.  На высоте С01 отметим точку  М так, чтобы СМ == О1В, и через точку М проведем прямую, перпендикулярную прямой С01, которая пересекает отрезок О1К в точке О2.
3.  Проведем окружность с центром в точке О2 и радиусом 02К.
4.  Разделим отрезок О1В точкой S и через нее проведем прямую SP, перпендикулярную АВ. Она пересекает построенную окружность в точке L, через которую проведем прямую, параллельную АВ. В пересечении с осью С0 получится точка L.
5.  На прямой СЕ от точки С отложим отрезок CG = 2e. Из точки О1 как из центра проведем окружность, радиусом O1G, которая пересечет предыдущую окружность в точке N, и окружность радиусом О1К, пересекающую высоту С01 в точке F (рис. 17).

6. Через точки Е и N проведем прямую. Из точки С как из центра проведем окружность радиусом EF, которая пересечет прямую EN в точке О3.

7. Затем из 03 проведем дугу радиусом 03N до ее пересечения с точкой С.

Линия, составленная из двух построенных дуг LKN и NC, образует половину эскиза купола. Вторая половина получается при выполнении симметрии относительно оси СО1 (рис. 18). От купола перейдем к самому зданию храма. Его сооружение трепало знания геометрии, правил создания гармонических архитектурных пропорций и продуманной системы мер, в частности эталонов длины. 

2.2. «Геометрия горящей свечи»

В русском церковном искусстве проявилось  стремление   эстетику чувств сочетать с эстетикой чисел, красоту свободно льющегося ритма с красотой правильного геометрического тела

М.В. Алпатов

Русская красота. Русская духовность. Когда мы слышим эти слова, перед глазами возникают образы куполов православного храма, слышится колокольный звон, призывающий к вере, единству, добру, жертвенности и стойкости. Созерцая храмы — эти творения русской души, соединяешься с ними в едином порыве к красоте и духовному свету.

Какой мерой ценить простоту и гармонию созданий русских мастеров? Чем подтвердить вынесенные в эпиграф слова, которые принадлежат историку искусства, мастеру художественного анализа Михаилу Владимировичу Алпатову?

Православный храм, символизирующий землю, с куполом — символом неба — осмысляется как модель мироздания, которое согласно религиозным воззрениям - творение Божие. К небу, Богу верующий устремляет свои мысли. Поэтому «луковичная» форма купола выбрана неслучайно. Она напоминает заостряющееся кверху пламя, горящую свечу, которую зажигают во время обращенной к Богу молитвы. Такая форма купола символизирует духовный подъем и стремление к совершенству. Когда верующие выходят из храма и видят настоящий небесный свод, они понимают, что высшее благо на земле еще не достигнуто. Для его воплощения нужны новый подъем и новое духовное горение.

Конечно, люди нерелигиозные могут не согласиться с описанной трактовкой формы куполов. Прагматики скажут, что «луковичная» форма служит тому, чтобы на куполе не залеживался снег, не задерживалась влага. По-своему они правы, поскольку красота и духовность всегда идут рука об руку с целесообразностью. Именно это сочетание и рождает гармонию. Но если человек видит только целесообразность и не хочет замечать духовности, то противоречить ему нет смысла. Нельзя объяснить слепому, что такое пламя, если от него он чувствует только ожог. Конечно, можно было бы заметить, что кроме «луковичного» купола архитектура знает немало других способов помешали влаге скапливаться на крыше здания. Но в архитектуре храма есть что-то еще, что выше житейских забот о сохранности строения.

Попытаемся приблизиться к возвышенному с помощью геометрии.

2.3.Геометрия известных храмов

Начиная с XI в. в России все более распространяются так называемые крестово-купольные храмы. Основа такого храма — прямоугольный параллелепипед (его основание — квадрат), расчлененный четырьмя столбами. Примыкающее к подкупольному пространству прямоугольные ячейки образуют архитектурный крест.

Появление крестово-купольных храмов было событием в истории мировой архитектуры. Их конструкция и композиция представляют завершенную структуру, не восприимчивую к изменениям. Эта завершенность, конструктивная стабильность, сохранение полной гармоничности постройки при всех изменениях архитектурной формы предполагают, по мнению архитектора Е.Ф. Желоховцевой, существование какой-то общей системы построения этой формы, позволявшей зодчему охватывать основные закономерности пропорций храма и варьировать его параметры, не нарушая их общей гармонии и не выходя за пределы, гарантирующие прочность постройки.

Геометрическое описание крестово-купольного храма состоит из определенной последовательности (рис. 20б).

1. Строим главный квадрат ABCD. Из середин его сторон как ив центров проводим окружности радиусов, равных половине стороны квадрата. Эти окружности в пересечении образуют четырехлепестко-вую розетку. Из центра О квадрата проводим окружность тем же радиусом, которая пересекает розетку в возьми точках: F, Е, L, Р, Q, R, S, Т. На  рис. 20а эти точки выделены.

2; Квадрат А1В1С1D1 стороны, которого содержат полученные точки (рис. 20б), моделирует внутренние границы плана. Внешние границы дает окружность, проведенная из центра квадрата. Через точки Q и Е, S и Р, R и F, L и  T проводим прямые. Пересекаясь, они образуют центральный квадрат.

Рис.21. сс.21с.21

3.  Определим выступ центральной апсиды (место в восточной части храма, где находится алтарь (рис. 21)). Для этого проведем окружности из точек A1 и В1,  радиусы которых равны диагонали А1С1 внутреннего квадрата. В выступ от пересечения дуг D1G и C1Q впишем полуокружность с центром в точке О, и радиусом О1Р.

4. Для нахождения западной границы храма проведем из точек С1, и D1, дуги радиусом, равным диагонали А1С1 и продолжим отрезки AD и ВС до пересечения с дугами в точках М и N.

Описанное выше построение можно варьировать для создания иных проектов. Например, на рис. 22 основание MN равнобедренного треугольника МО1N лежит на западной границе плана. Но можно поместить его на восточной границе. Тогда вершина O1 окажется в западной части плана (рис. 22), Но нельзя просто поменять местами конструкции восточной и западной стен, поскольку центральная апсида всегда должна находиться в восточной части. Приходится находить новые варианты, которые вносят разнообразие в архитектуру храмов, оставляя незыблемыми основные принципы их построения.

Таким образом, построение плана расчленяется на несколько этапов, каждый из которых охватывает особое архитектурное звено. Эти построения создают непрерывную цепочку зависимостей между звеньями. А четырехлепестковая розетка, лежащая в основе построений, дает возможность варьировать соотношения между длиной и шириной плана.

Один из наиболее интересных крестово-купольных храмов, схемы которых мы рассмотрели, — Успенский собор во Владимире, построенный в 1158—1.161 гг. Князем Андреем Боголюбским. Как былинный богатырь на высоком берегу реки: защитник города и его гордость. В этом творении зодчие владимиро-суздальской школы показали и эпическую мощь, и покоряющую простоту.

Крестово-купольная схема лежит и в основе храма Покрова на Нерли. Для него характерно спокойное равновесие, основанное на симметрии. Храм кажется удивительно легким и устремленным ввысь. В основе архитектурного плана этой церкви лежит прямоугольник со сторонами 1 и. Тогда его диагональ равна. В этих числах мы узнаем все составляющие, с помощью которых выражается золотая пропорция.

Заключение

Красота спасет мир.

Ф. Достоевский

Струя расплавленной стали заполняет изложницу. Здесь металлический расплав остынет, затвердеет и превратится в стальной слиток. Соприкоснувшись с холодными стенками изложницы, сталь остывает быстро — образуются первые зародыши кристаллов, от них стремительно растут тонкие иглы металла, обрастают отростками, ветвятся, и вот уже вырос в расплаве ажурный ветвистый кристалл, удивительно похожий на ветку растения. Не случайно такие кристаллы называют «дендритами» — древовидными. Что это — случайность? Какое отношение имеет дерево к кристаллам стали?

Посмотрите в зимний день на морозные узоры на окнах. Как похожи они на листья папоротника! Тоже случайное совпадение или закономерность? Больной профессор А. Любищев прикован к постели. Долгие месяцы он вынужден лежать и смотреть в окно... и думать. Он, ученый, всю свою сознательную жизнь задавал вопросы природе и искал на них ответа. Он шел непроторенным путем, создавал основы новой биологии. Его статьи не печатали, а не работать, не писать он не мог. Писал — и на полку. После его смерти осталось 350 неопубликованных научных работ.

Профессор смотрит в окно на морозные узоры. Мысль будоражит все тот же назойливый вопрос: почему морозные узоры так похожи на листья растений? Что общего между мертвой и живой природой? Профессор пишет свою последнюю статью «Морозные узоры на стеклах», которая была опубликована в журнале «Знание — сила». Имя автора в траурной каемке.

Живое могло возникнуть в конечном итоге только из неживой материи, в ней нужно искать корни жизни. И форма дендритов является подтверждением этого. Дендриты стали, дендриты магнетита, дендриты льда! И здесь же, рядом, аналогичные по форме растения, дендриты нервных окончаний и, наконец, мозг человека, имеющий структуру дендрита. Преемственность структур очевидна, а ведь все это — формы роста, формы жизни. В глинистых отложениях встречаются сростки кристаллов гипса напоминающие цветы розового куста. Их так и называют: «гипсовые розы».

Неудивительно поэтому, что закономерности золотой пропорции и чисел Фибоначчи так широко распространены в природе, проявляются на самых различных уровнях -  от атомных сочетаний  до строения тел  высших животных. Эти  закономерности не только отражают основные особенности развитии различных систем, но и являются критериями их гармонической организации. В золотой пропорции и числах Фибоначчи — ключ к гармонии систем, волшебный золотой ключик, открывающий дверь в страну гармонии и красоты. И все это закодировано в сочетаний целых чисел 1, 2, 3, 5, ... 13, ... 34, ... 144, ... . Как здесь не вспомнить - пифагорейцев, увидевших  в числах сущности вещей, строение Вселенной.

Аристотель писал» что у пифагорейцев «число есть сущности всех вещей, и организация Вселенной в ее определениях представляет собой вообще гармоническую систему чисел и их отношениям. После Алкмеона (ок. 480 - 470 лет до h. э.) в системе пифагорейцев «число выступает в качестве универсального ключа к объяснению мира». Отсюда появилось » крылатое выражение, которое приписывают либо Пифагору, либо  пифагорейцам: «Числа правят миром».

Пройдут века и тысячелетия после Пифагора, наука вырастет в необъятного колосса,  будут открыты тысячи важнейшие законов и закономерностей, и окажется, что многие из них описываются целыми числами и их отношениями.

Рациональные и иррациональные числа являются своеобразными противоположностями. Но природа едина, и ее противоположности не только находятся в противодействии, борьбе, но и в единстве. И неудивительно, что многие иррациональные числа выражаются через совокупность целых чисел. Все три числа: π, е и Ф — связаны между собой простыми отношениями и могут быть выражены в виде пределов бесконечных дробей. Кроме того, на примере золотой пропорции показано, что целые числа натурального ряда: 1, 2, 3,.. 5,.. 15 и т. д., могут быть выражены через иррациональное число Ф. Кроме того, число Ф с любой степенью точности может быть выражено через отношение целых чисел. Разве эти примеры не свидетельствуют о единстве рационального и иррационального в природе?!

Мы так часто говорим о единстве и борьбе противоположностей, что это понятие стало тривиальным, само собой разумеющимся и не требующим исследования. Может быть, поэтому этот фундаментальный закон природы так мало исследован и углублен и, что характерно, почти совершенно не математизирован. А между тем он достоин самого пристального изучения и развития - ведь это один из основных, наиболее общих законов мироздания.

Но если всякая сущность является единством противоположностей, то в каком же отношении находятся эти противоположности? В любом или предпочтительном?

Очевидно, первое отвечает непрерывному изменению состава и свойств, а второе — дискретному. Но непрерывные и дискретные изменения состава и свойств любой системы также являются диалектическими противоположностями и находятся в единстве. При наличии в системе двух противоположностей А и В их соотношения должны меняться непрерывно и дискретно, отражая диалектику изменения состава и свойств. Следовательно, на шкале А - В должны существовать некоторые особые соотношения А / В, которые отвечают особым состояниям, дискретным составам, переломам на графиках «состав — свойство». Каковы же эти соотношения А и В?

Очевидно, впервые дал ответ на этот вопрос Э. Сороко, об отдельных выводах которого уже упоминалось в книге. Математизация принципов диалектики открывает новые возможности изучения природы; трудно переоценить актуальность и перспективность этого направления. В аспекте этого подхода золотая пропорция выглядит лишь частным случаем, лишь одним из многих дискретных соотношений.

На протяжении многих столетий человек в своем творчестве учился у природы, постигая законы ее гармонии, ее красоту. Он жил в духовном единстве с гармонией природы, и это создавало благодатную почву для его творчества. Сегодняшний человек слишком далеко ушел от природы, потерял духовную связь с ней. Созданная им «окружающая среда» — это мир дисгармонии, мир, чуждый естественной природе человека. Очевидно, в этом следует искать причину внутренней дисгармонии человека, дисгармонии его духовной жизни, проявляющейся в самых различных (формах - от создания примитивных художественных форм до эксцессов вандализма и насилия.

Но времена меняются. Люди вновь возвращаются к природе, ищут единства с ней, начинают ценить ее как наивысшую ценность (мы всегда начинаем ценить то, что теряем). Возврат к природе неизбежен, человек должен научиться жить в единстве с природой, найти духовное родство с природой, но уже на новой, более высокой основе, не на интуитивной, а на научной. И тогда человек придет к новому уровню гармонии, новому витку эволюционной спирали развития!

Список  литературы

1. Азевич А.И. Двадцать уроков гармонии//Математика в школе. 1998. №7
2. Атанасян Л.С. / Геометрия  7-9.
3. Васютинский Н. «Золотая пропорция». M., 1990
4. Гладкий А.В., Крейдлин Г.Е. Математика в гуманитарной школе// Математика в школе. 1991. №6
5. Груденов Я.И. Совершенствование методики работы учителя математики. М., 1990
6. Перли С.С., Перли Б.С. Страницы русской истории на уроках математики. М., 1994
7. Пидоу Д. Геометрия и искусство. М., 1979
8. Шевелев И. Логика архитектурной гармонии. М., 1973
9. Советский Энциклопедический словарь. М.,1984
10. Краткая Российская энциклопедия. М., 2003

                                                                                                                                    Приложение 1.

                         Библиографическая справка

Марк Витрувий Поллион (Vitruvius) – римский архитектор и инженер второй половины I в. до н.э. Известен как автор «Десяти книг об архитектуре» - единственного полностью дошедшего до нас античного трактата. В своем трактате рассматривал градостроительство, инженерно-технические и художественные вопросы, обобщал теоретический и практический опыт, накопленный зодчеством эллинистического Рима и Греции. Большую ценность имеют изложенные Витрувием представления о единстве технических, функциональных и эстетических аспектов архитектуры, требование «прочности, пользы и красоты» сооружений. Почти забытый в средние века, трактат Витрувия с XV века внимательно изучался и переводился на множество языков и сыграл в XVII – XVIII веках большую роль в выработке канонических форм архитектурного ордера.

               Карл Фридрих Гаусс (1777-1855) - величайший немецкий математик, астроном и физик родился в городе Брауншвейге – столице одного из многочисленных германских герцогств, княжеств и королевств того времени. Его отец, садовник и фонтанный мастер, славился искусством быстро и легко считать. Эта способность перешла к сыну, говорившему позднее, что он «умел считать раньше, чем говорить».

Первый успех пришел к Гауссу в 9  лет. Школьный учитель велел ученикам найти сумму чисел от одного до сорока. Он рассчитывал надолго занять учеников этой задачей. Но Гаусс мгновенно сообразил, как сгруппировать слагаемые, и выдал ответ:

1 + 40 + 2 + 39 + …+  20 + 21 = 41 * 20 = 820. С 1791 года Гаусс, ученик гимназии, бывает во дворце герцога Брауншвейгского, развлекая придворных искусством счета. В 1795 году герцог помогает Гауссу поступить а Геттингенский университет. Гаусс чаще посещает лекции по филологии, чем по математике – однако самостоятельно, на досуге, много считает и с удивительной легкостью переоткрывает многие результаты теории чисел, с трудом доказанные другими математиками XVIII века, в том числе великим Эйлером.

В конце XVIII века Гаусс алгебраическим методом решил задачу о построении правильных многоугольников циркулем и линейкой. Еще древние греки знали, как строить правильные треугольники, пятиугольники и пятнадцатиугольники. Знали и то, что имея правильный многоугольник, можно построить новый, с удвоенным числом сторон, но как быть, если число сторон 7 или 17?

Проводя свои арифметические опыты, Гаусс заметил, что числа 3, 9, 27, …, 316 не имеют одинаковых остатков при делении на 17. Это наблюдение позволило ему построить правильный 17 – угольник. Рассуждая о произвольных n – угольниках, Гаусс свел задачу к случаю простого n, доказал, что она разрешима, если n =22k + 1. Для k = 0 и k = 1 получаются уже известные треугольник и пятиугольник. Семнадцатиугольник соответствует k=2. Число сторон следующего многоугольника этой серии равно 257. А вот правильных семи- и одиннадцатиугольников при помощи циркуля и линейки построить нельзя.

                                                                                                                                    Приложение 2.

«Мерный «Вавилон» в Древней Руси

Основной строительной единицей длины в Древней Руси была сажень. Слово сажень происходит от слов «сягать», «досягать», т.е. «доставать». Сажень определялась расстоянием, до которого могут дотянуться руки человека. На Руси было несколько саженей, значительно отличающихся по размерам. Раcстояние от земли до конца пальцев вытянутой вверх руки человека среднего роста определяло размер большой сажени, равный примерно 216 см. Расстояние между концами пальцев простертых я стороны рук давало размер мерной, или маховой, сажени, т.е. около I76 см. Расстояние от концов пальцев простертой в сторону руки до земли, примерно равное двум шагам, или 5/6 роста человека, называли прямой саженью. Перечисленные сажени, как видим, определялись пропорциями человеческого тела.

Похоже, что и при созданий системырусских саженей, описанных А, Пилецким, был выбран модуль 1,059. При этой величине модуля каждая из семи саженей отличается от соседней на 1/17 часть длины. Нетрудно заметить, что число 1,059 очень близко к .

 Расположим все сажени — от самой маленькой до самой большой — на чертеже, на равном расстоянии одна от другой. Получилось три группы мер длины, ограниченных прямыми линиями. При таком отношении размеров саженей практически очень легко и просто производить их проверку, изготовление, конструирование новых образцов: по двум точкам на прямой всегда можно найти третью.

Графическое изображение саженей наглядно иллюстрирует их закономерное расположение в системе. Отношение длин саженей в каждой группе равно 1,059, отношение крайних саженей в группах равно 1,102, четыре пары саженей связаны отношением половины золотой пропорции, а три пары — золотой пропорции. В этой системе саженей просматривается и еще одна закономерность: отношение ряда саженей укладывается в числа 17/16; 18/16; 19/16. Известно, что в русской метрологии было принято деление сажени на 2, 4, 8, 16 частей, что удобно производить сложением шнура пополам. Так, русский вершок ровно 32 раза укладывается в малой сажени.

Известно, что темперированный звукоряд в современной музыке состоит из 12 интервалов, которые выражаются числами; 1, 21/12, 2 2/12; 23/12; 24/12 и т. д. - до 2 12/12 = 2. Каждый отдельный звуковой интервал, называемый в музыке малой секундой, — это = 1,059. Естественно, напрашивается вывод, что система мерных русских саженей построена по такому же принципу, что и темперированный звукоряд в музыке, и величина пропорционального модуля 1,059 равна малой секунде звукоряда. Трудно допустить, что выбор русскими зодчими размерного модуля равным 1,059 и его соответствие секунде звукоряда является случайным совпадением. Слишком высока точность соблюдения отношения 1,059 в системе русских саженей!

Очевидно, в истории русского зодчества в этот период произошел «переход к новой системе мер и пропорций», который и привел к новому стилю в зодчестве, поднял гармонию творений архитектуры на качественно новый, более высокий уровень. Характерно, что три пары новых саженей обеспечивали золотую пропорцию — критерий гармонии и красоты. Подобно тому, как в истории музыки простая гамма, существовавшая со времён Пифагора, уступила место темперированному звукоряду, так и в эволюции архитектуры одна система пропорции, существовавшая со времен греческой классики, уступила место другой системе русской  архитектуры XVII—XVIII веков.

Создав новую систему саженей, то есть систему мер и пропорций, русские зодчие получили богатейший инструмент для тонкого архитектурного варьирования, передачи в пропорциях сооружений целой гаммы всевозможных оттенков, тонких нюансов, что и обеспечивало создание архитектурных произведений более высокого эстетического уровня. Недаром архитектуру издавна называют застывшей музыкой. Гармоническое сочетание пропорциональных частей в целом, их соразмерность, органическое единство в архитектуре рождает эмоциональное удовлетворение, эстетическое наслаждение, такое же, как и гармоническое сочетание соразмерных звуков в музыке.

Французский архитектор Огюст Перре однажды сказал: «Искусство архитектуры заключается в том, чтобы заставить звучать опоры...» Подобно оркестру, звучат и русские храмы, но для их звучания была нужна система пропорций своеобразный размерный   звукоряд.  Его и обеспечивала существовавшая система саженей.

В Древней Руси с XI по ХVI вв. существовали семь видов сажени, применявшихся одновременно:

•  прямая — 152,76 см;
•  мерная — 176,4 см;
•  морская — 183 см;
•  рубная — около 197 см;
•  сажень без чети—197,2см;
•  косая — 216см;
•  великая — 249,46 см

Во многих Случаях измерение одного и того же храма производилось одновременно разными видами саженей. Кроме того, наличие нескольких различных мер было подчинено математически обоснованным принципам. 

Для построения мерного «вавилона» в качестве исходной длины берется мерная сажень, т.е. отрезок длиной примерно 176 см. На нем строится квадрат АВСD (рис. 19), в котором проводится диагональ АС. Длина отрезка АС соответствует великой сажени, т.е. составляет около 249 см. Если поделить квадрат ABCD на два равных прямоугольника прямой EF, то длина диагонали АЕ составляет сажень без чети, т.е. примерно 197 см. Поделим теперь стороны AD и ВС на три равные части точками К, L и Р, N соответственно, тогда прямую сажень можно найти как диагональ прямоугольника ALMF. А диагональ прямоугольника AKNB позволяет вычислить трубную сажень.

Сопряженность русских мер была основой гармоничных решений в архитектурных сооружениях. Создал систему саженей, соответствующую пропорциям человеческого тела, русские зодчие получили мощный инструмент для тонкого архитектурного варьирования, передачи в пропорциях целой гаммы оттенков.

                                                                                                                                      Приложение 3.

Задачи и их решения

1. Используя основные отношения элементов пирамиды Хеопса (рис. 1), доказать, что Ф2 = Ф +1.

Ответ: Высота пирамиды Хеопса равна, где х – половина стороны основания, х = MN (см. рис. 1), SN = Фх. Из треугольника SMN имеет: SN2 = SM2 + MN2, или Ф2х2 = Фх2 + х2, т.е. Ф2 = Ф + 1.

2. Известны следующие отношения элементов пирамиды Хеопса:  (рис. 1). Установить зависимость между двумя знаменитыми числами Ф и π.

Ответ: если , то  и ; отсюда

3. В папирусе Ахмеса приводится следующее указание для построения квадрата, равновеликого кругу: «Отбрось от диаметра его девятую часть и построй квадрат со стороной, равной остальной части, будет он равновелик кругу». С помощью такого построения найти, чему равно число π и его приближенного значения 3,1415926.

Ответ: обозначим радиус круга через R и выполним описанные в папирусе действия:

, Sквадрата =

В папирусе утверждается, что квадрат данной площади равновелик кругу, т.е. выполняется отсюда

Разность 3,1604938 – 3,1415926 = 0,0189012.

                                                                                                                             Приложение 4.

Застывшая музыка русских храмов

А если это так, то, что есть красота

И почему ее обожествляют люди,                                                                                   Сосуд она, в котором пустота,

Или огонь, мерцающий в сосуде.

                Н.Заболоцкий

Шедеврами архитектуры являются многие русские храмы, которые строились на протяжении нескольких столетий. В плане стены храмов или опорные колонны обычно вписываются в квадрат или прямоугольник  со сторонами 1:2. В квадрат вписываются и многие фасады древних храмов (например, Георгиевский собор в Юрьеве-Польском, 1230-1234гг.) Однако встречаются и другие соотношения габаритов храмов в плане и в фасаде. Членение же целого на части подчинено еще малоизученным законам гармонии, секретам и архитектуры которыми владели русские зодчие и которые еще предстоит открыть. Давно уже пытаются раскрыть тайны гармонии русских храмов, их непреходящей  красоты.

Строительство храма на устье Нерли у «ворот» Владимирской земли преследовало несколько целей. Храм служил как бы символом «архитектурным прологом»к архитектурным ансамблям города Владимира.

 Архитектурная мысль владимирских зодчих проявила здесь свою широту и углубленную философскую мудрость»    

 Для храма Покрова характерно спокойное равновесие, основанное на симметрии и в то же время – удивительная легкость, устремленность ввысь. Создается впечатление невесомости храма, парящего над поймой реки.

 В основе композиции храма лежит крестовокупольная схема. Вертикальное членение храма преобладает над горизонтальной. Узкие окна подчеркивают устремленность храма ввысь. Строение завершено стройной, слегка приподнятой  на прямоугольном постаменте главой со шлемовидным покрытием.

 Знакомство с храмом Покрова создает образ гармонии, архитектурной красоты. И невольно возникает вопрос, какими «секретами» владели русские зодчие, творившие восемь веков назад? Уловили  ли они гармонические пропорции архитектурной композиции интуитивно  или действовали по строго определенному «научно обоснованному» плану?

 Изучая архитектуру церкви Покрова на Нерли, И.Ш.Шевелев пришел к выводу, что в нем с «удивительной чистотой» появляется пропорция 2:, равна 0,894, которая представляет собой отношение большей стороны  к диагонали в прямоугольнике с отношением 1:2 (прямоугольник «два квадрата»). Это простое соотношение и явилось основой дальнейших построений.

По данным И.Шевелева, основной размер в плане храма определяется прямоугольником со сторонами, равными 1 и 2 :  = 0,894. Центр плана делит сторону основания на два отрезка с размерами 0,528 и 0,472, а их отношение равно 2:. Подкупольные столбы храма вписаны в окружность радиусом 0,326, а подкупольный прямоугольник имеет большую сторону, равную 0,292; их соотношение близко к 2 : . Подобные соотношения отмечаются и в других соотношениях частей храма, что дало основание И.Шевелеву для вывода о господстве пропорции 2 :  в архитектурной схеме, которые образуют ряд 0,528; 0,472; 0,326 и 0,292. Интересно, что эти числа ряда связаны также и золотой пропорцией, например, 0,528 : 0,326; 0,472 : 0,292.

Таким образом, основные элементы архитектуры церкви Покрова на Нерли взаимосвязаны пропорциями и определяют геометрическую гармонию и красоту этого сооружения.

«Поразительная красота и гармоничность архитектуры храма Покрова Богородицы на Нерли, - пишет теоретик архитектуры К.Н.Афанасьев,- оформляется цепью взаимосвязанных отношений «золотого сечения». Мы знакомимся не просто с теми или иными отношениями и даже не с пропорциями, а со своего рода цепью гармонических  закономерностей или «мелодией» взаимосвязанных архитектурных форм.

Золотая пропорция обнаружена и в архитектуре церкви Вознесения в Коломенском (1532г.). В основу пропорций этого храма положен прямоугольник со сторонами 1 и -1, который состоит из двух прямоугольников золотого сечения. Все элементы церкви, по данным И.Ш.Шевелева, от плана до любого членения фасада подчинены двум отношениям: повторению размеров (1 : 1) и отношению 1 : (-1) = 0,809 = 0,447 : 0,553.

Трудно найти человека, который бы не знал и не видел собора Василия Блаженного на Красной площади  Москвы.

 В соответствии с этой композиционной идеей построены и пропорции собора. Исследуя его, Б.Смоляк пришел к выводу о преобладании в нем ряда золотого сечения. Если принять высоту собора за единицу, то основные пропорции, определяющие членение целого на части, образуют ряд золотого сечения: где равно 0,618. В этом членении и заключена основная архитектурная идея создания собора, единая для всех восьми куполов, объединяющая  их в одну соразмерную композицию.

Едва ли правомерно утверждать, что зодчие собора Василия Блаженного золотой пропорции  и ее математическом выражении 1,618 или 0,618 и сознательно пользовались этой величиной в своих построениях. Но они могли интуитивно прийти к этой пропорции, пользуясь системой квадрата и прямоугольника «два квадрата», отношением их сторон и диагоналей, а также используя пропорциональные циркули. При рассмотрении храма Василия Блаженного в Москве невольно возникает вопрос: случайно ли число куполов в нем равно восьми (вокруг центрального собора)? Существовали ли какие-либо каноны, определяющие число куполов храмах? Очевидно, существовали. Случаен ли такой рост числа куполов (1, 2, 3, 5, 8, 13, 21) или здесь появляется ряд чисел Фибоначчи, отражается естественный закон роста – от простого к сложному? Трудно ответить на этот вопрос, но трудно и не обратить внимания на эту совокупность чисел.

Анализ пропорций многих русских храмов показал наличие золотой пропорции в членении целого на части. Особенно преуспел в таких исследованиях И.Шевелев. В пропорциях Успенской церкви Елецкого монастыря он установил преобладание здесь золотой пропорции и отношений в квадрате и «двух квадратах», то есть 1:1 и 2: . Ширина и высота храма, высота ярусов, купола, подкупольного пространства и многие другие размеры частей связаны между собой золотой пропорцией или ее половиной.

Присутствие двух основных пропорций в Елецкой церкви обусловлено замыслом ее создателя, его представлением о гармонии и красоте. Для осуществления этого замысла при строительстве церкви, по мнению И.Шевелева, применяли два эталона длины - маховую или большую сажень (191,6см) и малую сажень, равную парному шагу (154,9см). Их отношение равно 0,809, или половине золотой пропорции. Очевидно при создании архитектурных храмовых сооружений, в стремлении создать  непревзойденные шедевры гармонии и красоты древнерусские мастера опирались не только на интуицию, но и на осознанную систему пропорций и в том числе и на золотое сечение. Это и определило непреходящую эстетическую ценность созданных ими храмов.

Наглядным примером такого анализа могут служить известные опыты психологов с прямоугольниками различных отношений сторон. Опыты показали, что при осмотре таких прямоугольных листов картона большинство испытуемых предпочли те фигуры, в которых отношение сторон были равны золотой пропорции. Почему при зрительном восприятии этой пропорции она оказалась предпочтительной? Не потому ли, что при таком соотношении сторон длительность оценки их длин равнялась золотой пропорции? Ведь соотношение длительностей восприятия, который может соответствовать, а может и не соответствовать ритмам, господствующим в организме человека, в частности, в его нервной системе. К этому вопросу мы еще вернемся при дальнейшем рассмотрении.

Но обратимся к архитектуре. Нет ли здесь в соотношениях частей сооружения некоторого сходства с закономерностями построения музыкальных произведений? Серьезных исследований в этом направлении еще нет, отсутствует прежде всего методологическая основа, неясно еще, что следует искать. Но попытки такого рода уже имеются.

Ю.А.Артемьев при анализе некоторых архитектурных сооружений определял степень совершенства формы путем сравнивания высоты основных архитектурных частей здания с пропорциями чисел музыкальной октавы(1/2; 3/5; 2/3; 3/4; 4/5; 8/9; 16/17; 1). При этом высота здания от основания до купола принималась равной ½. Расчетные пропорции частей здания сравнивались  с пропорциями музыкального ряда, определялась сходимость (расчетных и фактических размеров), и по ее величине, выраженной в процентах, автор судил о степени совершенства формы.

Для дома Пашкова (Москва, В.И.Баженов) сходимость указанных величин составила по расчетам Ю.А.Артемьева, 94,2%. Замеры других сооружений (храм Покрова во рву в Москве, дворец Разумовского в Батурине, Михайловский дворец в Ленинграде, храм Вознесения в Москве) показали сходимость 93,3-85%. Конечно, сходимость производственных замеров с «музыкальной моделью» Ю.И.Артемьева не очень велика, а 85% и вовсе низка. Выделение в архитектурном сооружении частей также несколько условно, и полученные результаты скорее можно отнести  к смелой гипотезе, чем к установленному факту. Характерно, что приведенному анализу был, подвергнут и храм покрова во рву, в пропорциях которого другие исследователи  находят совершенно другие закономерности, в частности золотую пропорцию («кто что хочет, то и находит») подобное положение сложилось и с изучением Парфенона.

Создание религиозных храмов и других произведений архитектуры  требовало от зодчих и строителей хорошего знания геометрии, принципов и правил создания гармонических пропорций, обладание прекрасным художественным вкусом и, кроме всего прочего, требовало наличие продуманной системы мер, эталонов длины.