Старинные задачи на дроби

Муниципальное образовательное учреждение

Красноборская средняя общеобразовательная школа

«Старинные задачи

 на дроби»

                                                                   Автор работы: ученица 6 класса

                                       Кузнецова Яна

                                                                       Руководитель: учитель математики

                                                              Якушина Елена Вячеславовна

Адрес: Нижегородская область, Шатковский район,

с. Красный Бор, ул. Молодежная, д. 5.

2014 год

Математика – древнейшая наука.

О, математика, ты вечна!

Гордись, прекрасная, собой!

Твоё величье бесконечно,

Так предначертано судьбой!

Всегда овеяна ты славой,

О, светоч всех земных светил!

Тебя царицей величавой

Недаром Гаусс окрестил!

           Особый раздел математики -  старинные задачи. Они часто встречаются в олимпиадах , иногда в обычных учебниках математики и считаются особо сложными. В древних рукописях и старинных учебниках арифметики разных стран встречаются много интересных задач на дроби. Решение каждой из таких задач требует немалой смекалки, сообразительности и умения рассуждать.

Историческая справка

Древний Египет
           Математика в Древнем Египте представляла собой совокупность знаний, между которыми ещё не существовало чётких границ. Это были правила для решения конкретных задач, имевших практическое значение. И лишь постепенно, очень и очень медленно, задачи начали обобщаться. Уровень древнеегипетской математики был довольно высок. Источников, по которым можно судить об уровне математических знаний древних египтян, совсем немного. Самый большой, сохранившийся до наших дней, древнеегипетский математический текст – это так называемый папирус Ахмеса XVIII-XVII вв. до н. э., он же папирус Райнда , названный так по имени своего первого владельца. Он был найден в 1858 г., расшифрован и издан в 1870 г. Рукопись представляла собой узкую

(33 см) и длинную (5,25 м) полосу папируса, содержащую 84 задачи. Теперь одна часть папируса хранится в Британском музее в Лондоне, а другая находится в Нью-Йорке. Во-вторых, так называемый Московский папирус - его в декабре 1888 г. приобрёл в Луксоре русский Египтолог Владимир Семёнович Голенищев. Сейчас папирус принадлежит Государственному музею изобразительных искусств имени А. С. Пушкина. Этот свиток длиной 5,44 м и шириной 8 см включает 25 задач. И наконец, "Кожаный свиток египетской математики", с большим трудом расправлённый в 1927 г. и во многом проливший свет на арифметические знания египтян. Ныне он хранится в Британском музее. Подобные папирусы, по-видимому, служили своего рода учебниками. В папирусах есть задачи на вычисление - образцы выполнения арифметических операций, задачи на раздел имущества, на нахождение объёма амбара или корзины, площади поля и т. д. 
          Все правила счёта древних египтян основывались на умении складывать и вычитать, удваивать числа и дополнять дроби до единицы. Умножение и деление

сводили к сложению при помощи особой операции - многократного удвоения или раздвоения чисел. Выглядели такие расчёты довольно громоздко. Для дробей были специальные обозначения. Египтяне использовали дроби вида 1/n, где n - натуральное число. Такие дроби называются аликвотными. Иногда вместо деления m:n производили умножение m*(1/n). Надо сказать, что действия с дробями составляли особенность египетской арифметики, в которой самые простые вычисления порой превращались в сложные задачи. 
          Древние египтяне умели точно находить площадь поля прямоугольной, треугольной и трапециевидной формы. Известно, что в середине І тысячелетия до н. э. для построения прямого угла египтяне использовали верёвку, разделённую узлами на 12 равных частей. Концы верёвки связывали и затем натягивали её на 3 колышка. Если стороны относились как 3:4:5, то получался прямоугольный треугольник. И это - единственный прямоугольный треугольник, который знали в Древнем Египте. Важным достижением геометрической науки египтян было очень хорошее приближение числа π, которое получается из формулы для площади круга диаметра d. Этому правилу из 50-ой задачи папируса Райанда соответствует значение π ≈ 3,1605.

Древний Китай

          Возникновение китайской цивилизации на берегах реки Хуанхэ относится к началу II тыс. до н. э. Сохранились обозначения цифр на гадательных костях животных XIV в. до н. э. На обломках посуды XIII—XII вв. до н. э. имеются изображения геометрических орнаментов с правильными 5-, 7-, 8-, 9-угольниками.

Китайский способ записи чисел изначально был мультипликативным. Например, запись числа 1946, используя вместо иероглифов римские цифры, можно условно представить как 1М9С4Х6. Однако на практике расчёты выполнялись на счётной доске, где запись чисел была иной — позиционной, как в Индии, и, в отличие от вавилонян, десятичной.

         Вычисления производились на специальной счётной доске суаньпань, по принципу использования аналогичной русским счётам. Нуль сначала обозначался пустым местом, специальный иероглиф появился около XII века н. э.

       К эпохе, когда «расцвели сто цветов, соперничали сто школ ученых», относится деятельность Конфуция

(551—479 до н. э.), выработавшего основы учения о «добродетельном поведении». В это время появились первые книги по математике, которые составили основы «Математики в девяти книгах» (III в. до н. э.).

        Для забвения прежних традиций император Цинь Шихуанди в 221 г. до н. э. приказал сжечь все книги. Но уже вскоре, во II в. до н. э., была изобретена бумага и началось восстановление древних книг. В XVIII в. была создана китайская энциклопедия «Полное собрание книг, карт, чертежей и рисунков с древности до нынешнего времени» в 5163 томах.

           Среди важнейших достижений китайской математики отметим: правило двух ложных положений, введение отрицательных чисел, десятичных дробей, методов решения систем линейных уравнений, алгебраических уравнений высших степеней и извлечения корней любой степени.

    Древняя Индия

         Развитие математики в Древней Индии шло своим оригинальным путем и достигло высокого развития . В I тысячелетии н. э. индийские учёные изобрели знакомую нам десятичную систему записи чисел. Ими были предложены символы для 10 цифр, заложены основы комбинаторики, разнообразных численных методов, в том числе тригонометрических расчётов. Уже в этих древних манускриптах содержатся богатые математические сведения: действия с дробями, извлечение корней, решение уравнений, точные и приближённые методы для нахождения площади треугольника, параллелограмма и трапеции, объёма цилиндра, призмы, усечённой призмы. В Индии было введено новое число - нуль. Первый код нуля обнаружен в записи от 876 г. н. э., он имеет вид привычного нам кружочка. Также индийские математики были знакомы с дробями. Дроби записывались вертикально, как делаем и мы, только вместо черты дроби заключали в рамку. Действия с дробями ничем не отличались от современных. Индийцы использовали счётные доски. Они разработали полные алгоритмы всех арифметических операций, включая извлечение квадратных и кубических корней. Сам термин «корень» появился из-за того, что индийское слово «мула» имело два значения: основание и корень (растения); арабские переводчики ошибочно выбрали второе значение, и в таком виде оно попало в латинские переводы.

        Выдающиеся математики Древней Индии: Чандрагупта, Брахмагупта, Бхаскара, Магавира.

Страны Ислама

        Математика Востока всегда носила практичный характер. Наибольшее значение имели вычислительные и измерительные аспекты: ведь основными областями ее применения являлись торговля, строительство, география, астрономия, механика,  оптика и др.  Многие достижения арабской математики связаны с исследованиями в астрономии. В частности, были разработаны вычислительно-алгоритмические проблемы и методы, а большинство названий звезд и астрономических терминов арабского происхождения. Значительных успехов

достигли арифметика и геометрия. Алгебра и тригонометрия впервые сформировались в самостоятельные науки.

        Крупнейшие ученые средневековья – ал-Хорезми, Авиценна, ал-Бируни, Омар Хайям, ал-Каши писали свои сочинения на арабском языке. Употребляемые нами термины «арабские цифры», «корень», «алгебра», «алгоритм», «синус» сформировались под влиянием науки стран Ислама.

Древняя Греция

         Если от математики Древнего Востока до нас дошли отдельные задачи с решениями и таблицы, то в Древней Греции рождается наука математика, основанная на строгих доказательствах. Этот важнейший скачок в истории науки относится к VI-V вв. до н. э.

        Вплоть до VI века до н. э. греческая математика ничем не выделялась. Были, как обычно, освоены счёт и измерение. Греческая нумерация ( запись чисел ), как позже римская, была аддитивной, то есть числовые значения цифр складывались. Соответственно была устроена и счётная доска ( абак ) с камешками. Поэтому, термин калькуляция ( вычисление ) происходит от «калькулюс» - камешек. Особый дырявый камешек обозначал нуль. Известные математики: Пифагор, основатель школы. Именно он выдвинул тезис

 « Числа правят миром ». Популярность учения возросла. Пифагорейские школы появились в Афинах, на островах и в греческих колониях. Пифагорейцы занимались астрономией, геометрией, арифметикой ( теорией чисел ), создали теорию музыки. Так же всем известны такие выдающиеся математики как : Платон – ( древнегреческий философ ) основатель Академии в Афинах. Евклид – ( древнегреческий математик ) один из великих геометров древности. Главный труд Евклида – « Начала » вершина античной геометрии и античной математики вообще.

Россия

         Первые сведения о развитие математики на Руси относится к IX – XII вв. (древнерусская нумерация, метрология, первые системы дробей и др.). Рассвет математики и механики в России связано с основанием Петербургской академии наук (XVIII в.) и с именами великих ученых: М. В. Ломоносова, Леонарда Эйлера, П. Л. Чебышева, Н. И. Лобачевского, С. В. Ковалевской и др.

        Первый российский учебник по математике  — «Арифметика»

Л. Ф. Магницкого, изданный в 1703 году. Эта книга, являющаяся национальным достоянием России, уникальна как своей историей, так и содержанием. Текст книги набран славянским шрифтом. Печать в две краски — черной и красной, страницы в рамках из наборных украшений.  На ней воспитывались целые поколения деятелей физико-математических наук. По ее содержанию можно составить представление о направлении и характере преподавания арифметики в России в первой половине XVIII столетия и о качестве знаний, полученных в результате такой методики  преподавания.

Сборник задач

Задача 1. Из папируса Ахмеса (Египет, ок. 2000 лет до н.э.).

Приходит пастух с 70 быками. Его спрашивают: «Сколько приводишь ты из своего многочисленного стада?»   Пастух  отвечает: «Я привожу две трети от трети скота». Сочти, сколько быков в стаде?

Решение:                       

   70 быков составляют  от

1)  ·  =  составляют 70 быков.  

   2) 70 :   = 315(быков) составляют стадо.            

   Ответ: 315 быков

Задача 2. Китайская задача.

Дикая утка от южного моря до северного моря летит 7 дней. Дикий гусь от северного моря до южного моря летит 9 дней. Теперь утка и гусь вылетают одновременно. Через сколько дней они встретятся?

Решение:                          

  утка    7 дней   9раз  (63 дня)                    

  гусь    9 дней   7раз  (63 дня )                      

1)7+9=16 раз                      

2) 63:16= 3  ( дней)    

3) 1:7= пути утка 1 день.

4) 1:9= пути гусь 1 день.    

5)  + = вместе

6)  1: = 3 дней – через столько дней они встретятся.

Ответ: через 3  дней.

Задача 3.  Брахмагупта, Индия, около 600 г.

Слон, слониха и слонёнок пришли  к озеру, чтобы напиться воды. Слон может выпить озеро за 3ч, слониха - за 5ч, а слонёнок - за 6ч. За сколько времени они все вместе выпьют озеро?

Решение: 

Слон -        1 озеро    за     3 ч.  

                   10 озёр    за     30 ч.

Слониха-   1 озеро    за     5 ч.

                    6 озёр     за     30 ч.

Слонёнок- 1 озеро    за     6 ч.

                    5 озёр     за     30 ч.  

НОК(3,5,6)=30

1)10+6+5=21(озеро) выпьют слон, слониха и слонёнок за 30часов,

2)30:21=1  (ч) они вместе выпьют озеро. 

Ответ: 1 часа.

Задача 4.Задача из сказки “1001ночь”

В знаменитой книге «1001 ночь» мудрец задаёт юной деве следующую задачу:

Одна женщина отправилась в сад собирать яблоки. Чтобы выйти из сада, ей нужно было пройти через четыре двери, у каждой из которых стоял стражник. Стражнику у первых дверей женщина отдала половину сорванных ею яблок. Дойдя до второго стражника, женщина отдала ему половину оставшихся. Так же она поступила и с третьим стражником, а когда она поделилась яблоками с четвёртым стражником, у неё осталось 10 яблок. Сколько яблок она собрала в саду?

Решение:  I способ:

1. = (ч) осталась
2.  -  = (ч) осталась
3. - = (ч) осталась
4. - = (ч) осталась
5.  составляет 10 яблок
6. 10*16=160(яблок)    

 IIспособ:

1)2*2*2*2=16 (раз)

2)10*16=160 (яблок)

III способ:

10*2=20 (яблок)

20*2=40 (яблок)

40*2=80 (яблок)

80*2=160 (яблок) 

Ответ: 160 яблок.    

Задача 5.   Из  Акмимского папируса (VI в.)

Некто взял из сокровищницы .   Из того, что осталось, другой взял . Оставил же в сокровищнице 192. Мы хотим узнать, сколько было в сокровищнице первоначально?

Решение: 

1)1-=(ч) сокровищ осталось.

2) -= (ч) сокровищ осталось

 составляет 191

3)191:191*221=221          Ответ: 221 было первоначально.

Задача 6. Древняя Греция, Герон  Александрийский, I в. до н.э.

Бассейн может заполняться через четыре фонтана. Если открыть только первый фонтан, бассейн наполнится за день, только второй- за два дня, только третий- за три дня, только четвёртый- за четыре дня. За какое время наполнится бассейн, если открыть все четыре фонтана?

Задача 7.  Из «Арифметики» Магницкого (Россия, XVIII в.)

Лошадь съедает воз сено за месяц, коза- за два месяца, овца- за три месяца. За какое время лошадь, коза и овца вместе съедят такой же воз сена?

Решение:

Лошадь-   1 воз 1 месяц          6 возов-  6месяцев

Коза-        1 воз  2 месяца        3 воза-    6 месяцев

Овца-       1 воз  3 месяца         4 воза-    6 месяцев

НОК(1,2,3) = 6

1)6 + 3 + 4 =11(возов) лошадь, коза и овца за 6 мес.

2)6 : 11=(месяца) они съедят 1 воз.

Ответ: месяца.

Задача 8. Из «Арифметики» Магницкого (Россия, XVIII в.)

Четыре плотника хотят построить дом. Первый  плотник  может построить дом за год, второй- за 2 года, третий- за три года, четвёртый- за 4 года. За сколько лет они построят дом при совместной работе?

   Решение:

Число 12 –делители 1, 2, 3, 4.                                                                                                       1) 12:1=12 ( домов) 1 плотник за 12 лет                                                                                                                                 2) 12:2=6( дом)    2 плотник  за 12 лет                                                                                                                       3) 12:3=4( дом)   3  плотник  за 12 лет                                                                                                          4) 12:4=3( дом)    4  плотник  за 12 лет                                                                                                             5) 12+6+4+3=25( домов)  вместе за  12 лет                                                                                                                        6)  12 : 25 = ( года)  1 дом  вместе.                            

 Ответ: примерно  6  месяцев.

Задача 9. Задача Л. Ф. Магницкого (из «Арифметики»).

Спросил некто учителя, скажи, сколько у тебя в классе учеников, так как хочу отдать к тебе в учение своего сына. Учитель ответил если придет еще учеников столько же, сколько имею, и полстолько, и четвертая часть, и твой сын, тогда будет у меня учеников 100. Спрашивается, сколько было у учителя учеников?

Да, надо математику любить

И не считать ученье за мученье!

Всё в жизни пригодится, ты учись,

Учись и не жалей на то мгновенья!