Задача о трёх рыбаках

Слайд 1

ФКГОУ Санкт-Петербургский Кадетский корпус Министерства Обороны Российской Федерации Задача о трёх рыбаках Задание выполнил кадет 6 «г» класса Н. Воронюк Научный руководитель: п реподаватель математики высшей квалификационной категории Л.М. Меладзе Консультант: преподаватель информатики высшей квалификационной категории Г.В. Меньших Санкт-Петербург 2012 г.

Слайд 2

Трудно найти более простой и изящный пример, который бы так же хорошо иллюстрировал дерзость идей и веру в «непостижимую эффективность математики в естественных науках».

Слайд 3

Задача о трёх рыбаках хорошо известна среди математиков и физиков. А вошла она в историю благодаря знаменитому английскому физику Полю Дираку (1902-1984), который предсказал существование не только античастиц, но и « антирыб ». То ли это просто легенда, то ли так было в действительности, но физики любят рассказывать, как Дирак удивил всех на рождественском конкурсе, ежегодно организуемом Кембриджским студенческим математическим обществом. Участникам конкурса была предложена, казалось, простенькая задачка. Ее, возможно, давно забыли бы и участники конкурса и сам Дирак, если бы она не послужила косвенной причиной открытия антимира. От участников конкурса требовалось найти число рыб, которое удовлетворяло бы условиям этой задачи. Каково же было изумление жюри, когда оно прочло ответ студента Дирака. По его решению, рыбаки выловили минус две рыбы! Но этот несуразный ответ удовлетворял всем условиям задачи!

Слайд 4

Условие задачи Три рыбака, наловив рыбы, легли спать, решив разделить улов следующим утром. Первый рыбак проснулся раньше других и решил забрать свою долю улова, не дожидаясь, когда проснуться остальные. Он разделил улов на три равные по количеству рыбок части, но одна рыбка оказалась лишней. Тогда он выпустил лишнюю рыбку в реку, забрал свою долю улова и ушёл. Затем проснулся второй рыбак. Он не заметил, что первого рыбака уже нет, и решил забрать свою долю улова, не дожидаясь, когда проснуться остальные. С ним получилось то же, что и с первым рыбаком: разделил улов, выпустил лишнюю рыбку, забрал свою долю, ушел. То же произошло и с последним рыбаком. Сколько рыбок было в улове? Сколько рыбок было в улове, если рыбаков было четверо? Пусть теперь изначально рыбаков было N , и каждый из рыбаков проделал то же, что проделали рыбаки в первом случае. Сколько рыбок было в улове?

Слайд 5

Переведём условие задачи на язык уравнений . Пусть было поймано у рыб, тогда: ( у – 1) : 3 (рыб) – доля первого рыбака, 2( у – 1) : 3 (рыб) – осталось от первого дележа, ((2 у – 2) : 3 –1) : 3 = (2 у – 5) : 9 (рыб) – доля второго рыбака, 2(2 у – 5) : 9 = (4 у – 10) : 9 (рыб) – осталось после второго дележа, ((4 у – 10) : 9 – 1) : 3 = (4 у – 19) : 27 (рыб) – доля третьего рыбака. Обозначим буквой х долю третьего рыбака: ( 4 у –19) : 27 = х и запишем уравнение: 4 у – 27 х = 19. (1) Выразим из уравнения (1) у, получим : у = (19 +27х):4 , где у ∈ N , х ∈ N . (2)

Слайд 6

Это уравнение с двумя переменными у и х имеет бесконечно много решений. Но по условию задачи у и х должны быть натуральными числами. Решим задачу перебором: будем подставлять вместо х натуральные числа 1, 2, 3, … и вычислять соответствующие значения у . Если у окажется натуральным числом, то соответствующая пара является решением задачи Получили пары чисел: ( 3; 25), (7; 52), (11; 79), (15; 106), (19; 133), (23; 160) и т.д. Отсюда вывод : если доля третьего рыбака составила 3 рыбы, то весь улов – 25 рыб; если – 7 рыб, то – 52 рыбы; если – 11 рыб, то – 79 рыб; если – 15 рыб, то – 106 рыб; если – 19 рыб, то – 133 рыбы; если – 23 рыбы, то – 160 рыб и т.д. Можно заметить, что доля третьего рыбака выражается числами 3, 7, 11, 15, 19, 23, …, то есть его долю можно найти из равенства х = 4 k – 1 при k = 1, 2, 3, ... В таком случае, подставив вместо Х во второе уравнение выражение 4 k – 1 , получим и формулу для вычисления всего улова: у = 27 k – 2 при k = 1, 2, 3,…

Слайд 7

Таким образом , условию задачи (без слова «наименьшее») удовлетворяет бесконечный ряд исходных количеств рыб: ..., 79, 52, 25, -2, -29, -56, -83, ... У этого ряда ( его иногда называют рыбным рядом Дирака ) есть симметрия относительно -2 и период, равный 27. Если бы рыбаков было не трое, а четверо , то перед отходом ко сну им нужно было бы выловить ..., 509, 253, -3, -259, -515, ... рыб (период 256 ). У пятерых рыбаков план улова был бы еще сложнее : ..., 6246, 3121, -4, -3129, -6254, ...рыб (период 3125 ).

Слайд 8

Поль Дирак был мастер давать различным существительным приставку “анти” - античастица, например. И в этой задаче он, по-видимому, не изменил своей привычке, оригинально решив ее: минус две рыбы. Выбрасываем одну - получаем минус три, забираем треть - останется минус две и т.д . Неполное решение задачи о рыбаках и рыбке Дираком можно объяснить, наверное, только тем, что у него не было компьютера, который можно использовать как средство для вычислений и обработке результатов этих вычислений.

Слайд 9

Решение этой задачи с использованием компьютера. ФКГОУ Санкт-Петербургский Кадетский корпус Министерства О бороны Российской Федерации г. Петергоф - 2012 -

Слайд 10

Три рыбака 1 способ: S – рыбок было в улове; А – досталось рыбок 1 рыбаку; В – досталось рыбок 2 рыбаку; С – досталось рыбок 3 рыбаку; n – количество рыбаков.

Слайд 11

Три рыбака 1 способ:

Слайд 12

Три рыбака 1 способ: – досталось рыбок 1 рыбаку; – досталось рыбок 2 рыбаку; – рыбок было в улове; С – подбирается значение от 0 до 50 с помощью цикла FOR – (досталось рыбок 3 рыбаку). Вычисляется по формуле:

Слайд 13

Три рыбака 1 способ: Решение:

Слайд 14

Три рыбака 2 способ: S – рыбок было в улове; А – досталось рыбок 1 рыбаку; В – досталось рыбок 2 рыбаку; С – досталось рыбок 3 рыбаку; n – количество рыбаков.

Слайд 15

Три рыбака 2 способ:

Слайд 16

Три рыбака 2 способ: – досталось рыбок 1 рыбаку; – досталось рыбок 2 рыбаку; – досталось рыбок 3 рыбаку; S – подбирается значение от 1 до 50 0 с помощью цикла FOR – (рыбок было в улове). Вычисляется по формуле:

Слайд 17

Три рыбака 2 способ: Решение:

Слайд 18

Четыре рыбака А – досталось рыбок 1 рыбаку; В – досталось рыбок 2 рыбаку; С – досталось рыбок 3 рыбаку; D – досталось рыбок 4 рыбаку; S – рыбок было в улове; n – количество рыбаков.

Слайд 19

Четыре рыбака

Слайд 20

Четыре рыбака – досталось рыбок 1 рыбаку; – досталось рыбок 2 рыбаку; – досталось рыбок 3 рыбаку; – досталось рыбок 4 рыбаку; S – подбирается значение от 1 до 100 0 с помощью цикла FOR – (рыбок было в улове). Вычисляется по формуле:

Слайд 21

Четыре рыбака Решение:

Слайд 22

Пять рыбаков

Слайд 23

Анализируя все решения задач Нашли закономерность!

Слайд 24

Пришли к выводу Для N количества рыбаков минимальное количество рыбок в улове S 1 можно подсчитать по формуле: А каждое следующее возможное количество рыбок в улове S 2 , S 3 , S 4 и т.д. можно получить, прибавляя N N :

Слайд 25

N количество рыбаков Значение N количества рыбаков – вводится с клавиатуры.

Слайд 26

N количество рыбаков S1 – минимально возможное количество рыбок в улове; S2 – второе возможное количество рыбок в улове; S3 – третье возможное количество рыбок в улове; N - количество рыбаков.

Слайд 27

Решение: и т.д. N количество рыбаков

Слайд 28

Ответ: 1) если рыбаков было трое, то рыбок в улове могло быть 25; 52; 79;… (период 27); 2) если рыбаков было четверо, то рыбок в улове могло быть 253; 509; 763; … (период 256); 3) если рыбаков было N , то рыбок в улове: N N - (N – 1) .