Прикладная математика в жизни села

Слайд 1

Слайд 2

Анализ и применение математических соотношений в практической деятельности Цель работы:

Слайд 3

Изучить литературу по данной теме; Рассмотреть экстремальное свойство шестиугольных пчелиных сот; Проверить опытным путем коэффициент полнодревесности; Исследовать зависимость объема желоба от угла наклона прибиваемых досок; Показать применение формул площади и объема; Установить зависимость площади испарения в цистерне от глубины наполнения; Рассчитать количество краски для ремонта; Выполнить практический расчет необходимого количества плитки для облицовки стен. Задачи работы

Слайд 4

Методы исследования : Моделирование; Анализ и синтез; Сравнение.

Слайд 5

« Странные общественные привычки и геометрические дарования пчёл не могли не привлечь внимание и не вызвать восхищение людей, наблюдавших плоды их деятельности». Герман Вейль «Далее этой ступени совершенства в архитектуре, естественный отбор не мог вести, потому что соты пчёл,- насколько мы в состоянии судить, абсолютно совершенны с точки зрения экономии труда и воска». Чарльз Дарвин Геометрия пчелиных сот

Слайд 6

Пчелиные соты представляют собой часть плоскости, покрытой правильными шестиугольниками . Какими же правильными многоугольниками можно замостить плоскость? Пусть плоскость замощена правильными n -угольниками, причём правильная вершина является общей для x таких же многоугольников. Тогда имеем . Находим,что Учитывая, что x -целое число, получаем n=3,4,6. Почему же пчёлы используют шестиугольник? Пользуясь формулой находим периметры данных многоугольников.

Слайд 7

Профиль пчелиной ячейки - правильный шестиугольник, и он из всех возможных многоугольников с данной площадью имеет наименьший периметр, поэтому в результате эволюции сложилось так, что пчелы используют шестиугольник

Слайд 8

Для наиболее рационального использования леса необходимо знать закономерности увеличения древесной массы в дереве с течением времени. В лесоведении различают два вида прироста: средний и текущий. Текущим приростом в возрасте n лет называют величину z n =V n -V n-1 ; где V n и V n-1 - объём дерева соответственно в возрасте n и n-1 лет. Средним приростом в возрасте n лет называют величину t n =V n /n . При нормальных условиях средний прирост в первый период жизни возрастает(у хвойных-до 50-60 лет), а затем убывает. Математика в лесу

Слайд 9

Коэффициент полнодревесности штабелей Под коэффициентом полнодревесности (Δ) понимается отношение объёма древесины в штабеле( V др ) к геометрическому объёму штабеля( V шт ). Δ= V др / V шт . Найдём Δ, считая все брёвна одинаковыми цилиндрами R=40 см.; h( Длина брёвен)=4 м.; m (количество брёвен в ряду)=4; n (количество рядов)=3. V др =π R 2 h ; V др =3,14•0,4 2 •4=5,024 м.; V шт = mn•(2R) 2 •h ; V шт =4•3•4•0,4 2 •4=30,72 м 3 ; Δ=12•5,024/19,2•4=0,785.

Слайд 10

Границы коэффициента полнодревесности Поленница, которую мы рассматриваем, представляет собой «лежащую на боку» правильную треугольную призму. Если в первом ряду поленницы уложено n чурок, то во втором ряду их n -1, в третьем n -2, в последнем 1. Общее количество чурок в поленнице k=n+(n-1)+…+1=n(n+1)/2. Δ=kπr 2 l/Sl=n(n+1) πr 2 /2S , где l -длина, r- радиус чурки, S -площадь поперечного сечения поленницы. Так как АВ=А D+DE+BE , а AD=BE=r•ctg30°= , DE=2(n-1)r , то АВ=2r(n-1+ ). Следовательно, и Значит, Δ не зависит от радиуса чурок, а зависит от количества, определяемого числом n чурок в 1-ом ряду. Пусть Δ n - коэффициент полнодревесности, соответствующий данному n . Покажем, что последовательность( Δ n ) возрастающая. >0, откуда и вытекает, что Δ n+1 > Δ n . Для возрастающей последовательности верно соотношение Δ n Δ 1 . У нас Δ 1 = = >0,60. Мы получили для Δ оценку снизу: Δ >0,60. Для получения оценки сверху заметим, что предел a возрастающей последовательности, очевидно, больше любого члена последовательности: Δ n

Слайд 11

Объём леса долготьём 1-й способ: брёвна грузят в кузов машины, измеряют длину, ширину и высоту кузова и находят объём кузова по формуле V=a·b·c , где a-длина, b -ширина, c -высота. Для более точного объёма умножают найденный объём на коэффициент 0,8. 2-й способ: существует множество таблиц, по которым, зная длину бревна, диаметр в верхнем и нижнем спиле можно найти объём бревна.

Слайд 12

Объём поленицы Объём поленицы можно найти по формуле: V=a·c·h. Задача. Найти объём поленицы, если известно, что a=1,5,b=2,3, h=1 метр. Решение. V= 1,5·2,5·1=3,75(м 3 ). Ответ. V=3.75 кубических метров.

Слайд 13

Вывод: Брёвна и дрова на складах лесоматериалов укладываются в штабеля различной формы. Учёт уложенных в штабеля лесоматериалов ведётся с помощью коэффициента полнодревесности штабеля, который зависит от вида штабеля и от количества брёвен.

Слайд 14

Математика на ферме Вычисление вместимости желоба Задача: Водопойные желоба для овец сбиваются из двух одинаковых досок. Под каким углом следует сбивать доски, чтобы получить желоб наибольшего объёма? Решение: Пусть доски имеют ширину а, и сбиты под углом α(0 < α<180). Объем желоба пропорционален площади треугольника. ;поскольку sin α 1;при любом α, то объем поилки максимален при α=90 о . Итак , для наибольшего объёма желоба доски нужно сбивать под прямым углом.

Слайд 15

Задача: Для изготовления водопойного желоба на животноводческой ферме взяли три одинаковые доски длиной 4 метра и шириной 25 сантиметров каждая. При каком значении α получится желоб наибольшей вместимости? Решение: Вместимость V (м 3 ) желоба равна произведению площади трапеции (поперечное сечение) ABCD и длины желоба. Зададим формулой зависимость вместимости желоба от угла α при основании ВС трапеции ABCD и заполним таблицу: Рассмотрим случай , когда α=100 о , d=4м, а=25см, то в поперечном сечении желоб будет иметь форму правильной трапеции. Площадь трапеции можно найти по формуле , где АН-высота. АН=ВА*cos10 0 =25*0.9848=24.62см; ВС= 2ВН+ AD= 2(sin10 0 )*25+25=33.6846см; S=1/2*(33.6846+25)24.62=0.0721м 2 ; V=0.0721*4=0.2884м 3 .

Слайд 16

Остальные случаи рассматриваются аналогично. Результаты приведены в таблице. Итак, при значении угла α=120 0 ,получается желоб наибольшей вместимости. Это подтвердил нам работник фермы Неупокоева Надежда Михайловна - летние поилки сбиваются именно под этим углом.

Слайд 17

Математика в поле Площадь поля Площадь поля находится в зависимости от его формы. Если форма поля нестандартная (т.е. представима в виде простейших геометрических фигур), то его разбивают на простейшие геометрические фигуры, площади которых находятся уже по известным формулам.

Слайд 18

Найти площадь поля Так как ΔАВС -прямоугольный, то его площадь можно найти по формуле S=AB•BC •1/2, если АВ=6,5м, ВС=3,6м, то S =6,5 • 3,6 • 1/2=11,7м 2 . Так как CDAN прямоугольник, то S ANDC =DC • DN, если DC=4 ,7м, DN =7,5м,то S ANDC =7,5 • 4,7=32,25м 2 . Аналогично находятся S 3 , S 4 , S 5 . S=S ! +S 2 +S 3 +S 4 +S 5 = 11,7+32,25+14,25+10,64+7,625= =76,46м 2 . Ответ:Площадь поля равна 76,46м 2 .

Слайд 19

Объём стогов сена Для приближения подсчёта объёма сена в скирде пользуются формулой V (0,52k-0,44c)cl, где k -длина, l -длина скирды, с-её ширина. Поперечное сечение скирды имеет форму, близкую к изображённой на рисунке. Пусть AD=c,CD=h, EF=h 1 . Тогда АВ+ВЕ+ЕС+ CD = R. Обозначается ЕВ=ЕС=l. Площадь многоугольника S ABECD =1/2ch 1 +ch=c(h+h 1 *1/2). Воспользуемся и тем, что скирды островерхими не бывают, значит Если ВЕС=90°, тогда h 1 =0,5с, l 1 =0,71с. Тогда k=2h+2 l 1 =2h+1,42c. Отсюда р=0,50л-0,71с, а S=c(0 ,50л-0,46с). Тогда объём скирды V=cl (0,50 k-0,46c). Если ВEC=120 °,то ЕСВ= ЕВС=30°. Отсюда h=0,50k-0.58c, h 1 =0,29c. Отсюда S=c(0,50k-0,43c), а V=cl(0,50k-0,43c).

Слайд 20

В нашем совхозе для каждого вида скирды имеется своя формула для вычисления объёма сена в скирде. Плосковерхая скирда. О=(0,52П-0,44Ш)*Ш*Д Кругловерхая скирда. О=(0,52П-0,46Ш)*Ш*Д Островерхая скирда. Замечание: ширина, длина и окружность измеряются на высоте 1 метр. Объём стогов сена

Слайд 21

Определение веса сена.

Слайд 22

Математика на заправочной станции.

Слайд 23

Задача. Выясним, насколько эмпирическая формула для вычисления площади поверхности испарения горючего в резервуарах цилиндрической формы, расположенных горизонтально, удовлетворяет потребностям практики. Решение . Выясним насколько целесообразно применять эту формулу на практике. Пусть длина цистерны AD = l . Тогда следует, что S = AB · l. Если пользоваться данной формулой, то Такое соотношение выполняется при или а это имеет место при или . При , а следовательно, и . При Глубину слоя горючего, наполняющего резервуар, принято называть стрелкой. Таким образом,данная формула выведена в расчёте,что стрелка или Совершенно очевидно, что такой уровень горючего в резервуаре может оказаться лишь в отдельных случаях. Выясним, насколько существенно отличается площадь испарения от указанной в формуле при значениях стрелки, отличных от указанных выше. Произведенное исследование позволяет сделать вывод, что при формула приемлема. При и , и по мере удаления значений стрелки КМ от d/4 и 3d/4 отклонения действительной площади испарения от площади, указанной в данной формуле, быстро растут и становятся весьма значительными.

Слайд 24

Для определения количества жидкости в цистерне, размеры которой: диаметр d=200см, длина l=500см, достаточно измерить высоту столба жидкости «h» и воспользоваться графиком. Задача. Найдём, используя график: сколько литров жидкости в цистерне, если высота столба жидкости равна: а)15 см; б) 25 см. Решение. Воспользуемся графиком 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 h ,см Ответ: а)V=10гл, б)V=18гл.

Слайд 25

Прикладная математика дома Задача : сколько потребуется килограммов краски для покраски пола кабинета? Решение : так как пол кабинета математики имеет форму прямоугольника, то его площадь можно найти по формуле S=a*b , где а - длина, b - ширина. Измерив длину и ширину пола, получаем а=8,55м, b=6,1м. S к =52,155м 2 . На этикетке каждой банки краски написано, сколько краски требуется на квадратный метр. Средний расход краски равен 200г на 1м 2 . Если количество нужной краски обозначить за К, то К= S к *расход краски. К=52,155*0,2=10,431кг. Ответ : для покраски пола потребуется 10,431 килограммов краски.

Слайд 26

Задача . Пол комнаты, имеющий прямоугольную форму со сторонами 5,5 и 6м, нужно покрыть паркетом прямоугольной формы. Длина каждой дощечки паркета 30см, ширина 5 см. Сколько потребуется таких дощечек для покрытия всего пола? Решение . Так как форма пола - прямоугольник, то его площадь можно найти по формуле S=a*b . S пола =5,5*6=33м 2 =33000см 2 ; так как форма дощечки паркета прямоугольная то её площадь можно найти по формуле S=a*b . S дощечки =30см*5см=150см 2; Обозначим количество дощечек за К. К= S пола / S дощечки К = 33000см 2 /150см 2 =2200 Ответ . Для покрытия пола паркетом нужно 2200 паркетных дощечек.

Слайд 27

Задача . Сколько потребуется кафельных плиток квадратной формы со стороной 15 см, для облицовки части стены, если длина стены 3 метра, высота 2,7 метра. Решение . Найдем площадь плитки: так как плитка имеет форму квадрата, то её площадь равна S=a 2 . S плитки = 15 2 = 225см 2 =0,0225м 2 . Так как стена имеет форму прямоугольника, то её площадь равна S=a*b , S стены =3*2,7=8,1м 2 . Обозначим количество плиток за К. К= S стены / S плитки К= 8,1м 2 /0,0225м 2 =360. Ответ . Для облицовки стены потребуется 360 плиток

Слайд 28

При изучении математики мне всегда хотелось узнать о её применении в жизни села, поэтому , работая над данной темой я поняла, что математика не существует отдельно от жизни: математические соотношения рассматриваются применительно к конкретным ситуациям, теоретические результаты сравниваются с приемами, распространёнными в практической деятельности. Заключение