исследовательская работа "Обман зрения. Иллюзии"

Муниципальное бюджетное  общеобразовательное учреждение

«Троицкая  средняя общеобразовательная школа»

Муниципальная научно-практическая конференция

  Естественно - научное направление

«Обман зрения. Иллюзии»

                                              Автор: Неконенко Карина

                              ученица 8 класса

                                                                     Руководитель: Зубова Анна Николаевна

                                  учитель математики

с. Троицкое

2013

Содержание

 Введение…………………………………….…………………………………...3

   Основная часть  

               Зрительные иллюзии……………………………………….……………4

               Анатомия зрения………………………………………………...............5  

               Оптико-геометрические иллюзии.............................................................7

          Анализ тестирования, связанного со зрительными иллюзиями.........14  

              Использование зрительных иллюзий человеком................................15                                                

   Заключение .…………………………………………….................................17

Список литературы ……………………………….........……….....……….…..18

Введение.

Я,  как и все мои сверстники, активно пользуюсь сетью интернет, общаюсь с друзьями не только нашей республики, но и другими областями России.  В последнее время в социальных сетях «Одноклассники», «Вконтакте» стало модным выкладывать  так называемые «иллюзорные  картинки», интригующие своей неправильностью и загадочностью, заставляющие задуматься: верить или нет тому, что ты видишь на мониторе? как объяснить увиденное?

  Когда я узнала, что они  связанны с моими любимыми школьными предметами: геометрией и физикой, а так же биологией  я решила разобраться: почему возникают зрительные иллюзии; когда мы сталкиваемся с оптическим обманом; в каких областях человек использует оптические иллюзии.

Особенность таких иллюзий состоит в том, что порой даже люди с идеальным зрением  неспособны увидеть оптическое искажение, заметить обман, понять, в чем же шутка. Картинки с иллюзиями потому так популярны, что с помощью обманов зрения можно проверить свою креативность, фантазию и способности своей зрительной системы к быстрой адаптации сложных визуальных образов. Актуальность моего исследования  состоит в следующем: решение, а иногда  нахождение ошибок в таких упражнениях являются полезной умственной гимнастикой и очень интересным досуговым занимательным делом.  

Возможно, понимание визуальных парадоксов является одним из признаков того вида творческого потенциала, которым обладают лучшие математики, ученые и художники.

Поэтому объектом моего исследования являются зрительные иллюзии, а

 предметом - изучение причин возникновения иллюзий.

Гипотеза. Зрительные иллюзии можно объяснить с помощью законов геометрии, физики и биологии.

• Цель моей учебно-исследовательской работы: Объяснить причины возникновения зрительных иллюзий. 

Задачи исследования:

1. изучить теоретический материал по данной теме
2. провести тестирование среди учащихся, связанное со зрительными иллюзиями.
3. объяснить возникновение иллюзий  с точки зрения геометрии, физики и биологии.
4. найти примеры использования оптических иллюзий.
5. создать сборник (комплекс) упражнений с геометрическими иллюзиями для умственной гимнастики.

Методы исследования.

 изучение научной литературы,  сопоставление существенных признаков,  доказательство, анализ, сравнение, обобщение.

Результатом моего исследования является создание комплекса упражнений с геометрическими иллюзиями для умственной гимнастики.

Основная часть

Зрительные иллюзии.

Человек воспринимает большую часть информации об окружающем мире благодаря зрению. Когда наш мозг получает очередную картинку, она подвергается всестороннему анализу. В некоторых случаях результаты анализа оказываются неточны или не могут охватить все смысловые нагрузки данной картинки.

Слово «иллюзия» происходит от латинского illusere – обманывать.

Зрительная иллюзия – ошибка в зрительном восприятии, искажение  пространственных соотношений признаков воспринимаемых объектов, ошибка в оценке и сравнении между собой длин отрезков, величин углов, расстояний между предметами, в восприятии формы предметов, совершаемые наблюдателем при определенных условиях.

С давних пор люди пытались объёмные тела изобразить на плоскости так, чтобы их сразу можно было отличить от плоских, чтобы чувствовалась глубина пространства. Была разработана научная теория перспективы, позволяющая «обмануть зрение». Пути науки и искусства переплетались на протяжении столетий. Геометрия дарила живописи новые изобразительные возможности, обогащала язык живописи, а живопись эпохи Возрождения стимулировала исследования по геометрии.

В настоящее время люди не только поражаются обманам зрения и забавляются зрительными иллюзиями, но и сознательно используют их в своей практической деятельности. Иллюзии применяются в архитектуре, изобразительном искусстве, цирковом искусстве, кинематографии и даже в военном деле.

Виды зрительных иллюзий:

· зрительное искажение;

· иллюзии цвета и контраста;

· восприятие размера;

· иллюзия движения;

· двойственные изображение;

· невозможные фигуры;

· распознавание образа;

· соотношение фигур и фона;

· перевёрнутые картины.

Анатомия зрения

Когда ученые объясняют феномен зрения, они часто сравнивают глаз с фотоаппаратом. Свет, подобно тому, как это происходит с линзами аппарата, попадает в глаз через небольшое отверстие — зрачок, расположенный в центре радужной оболочки глаза. Зрачок может быть шире или уже: таким образом, регулируется количество попадающего света. Далее свет направляется на заднюю стенку глаза — сетчатку, в результате чего в мозгу возникает определенная картинка (образ, изображение). Точно так же, когда свет попадает на заднюю стенку фотоаппарата, изображение фиксируется на пленку. Однако анатомия зрения не сводится к этому. Чтобы понять процесс сознательного визуального восприятия, необходимо исследовать и то, как человек, чтобы видеть, одновременно использует и глаза, и мозг, а для этого недостаточно простой аналогии с фотоаппаратом. Занимаясь изучением анатомии человеческого зрения, быстро обнаружим, что свет, проникая в глаза, способствует возникновению целого ряда явлений и процессов в нашем сознании, естественно, влияя на нашу жизнь в целом. Более того: хорошо видеть — не значит просто иметь острое зрение. Зрение формирует саму нашу жизнь, определяя не только то, насколько точно и отчетливо мы можем воспринимать свет, различать цвета и видеть те образы, что проходят перед нами, но и то, как мы проживаем собственную жизнь, что мы при этом испытываем и как взаимодействуем с окружающим миром.

Оптические обманы - не случайные спутники нашего зрения: они сопровождают его при строго определенных условиях, с неизменным постоянством закономерного явления и имеют силу для каждого нормального человеческого глаза. Человеку свойственно поддаваться иллюзиям зрения, обманываться относительно источника своих зрительных впечатлений, не следует вовсе рассматривать как всегда нежелательный недостаток, так как:

Во-первых, изображение на сетчатке перевернуто.

Во-вторых, из-за несовершенных оптических свойств глаза картинка на сетчатке расфокусирована или размазана.

В-третьих, глаз совершает постоянные движения, то есть, изображение находится в постоянной динамике.

В-четвертых, глаз моргает приблизительно 15 раз в минуту, а это значит, что изображение через каждые 5-6 секунд перестает проецироваться на сетчатку.

    Поскольку человек обладает бинокулярным зрением, то фактически он видит два размытых, дергающихся и периодически исчезающих изображения, а значит, возникает проблема совмещения информации, поступающей через правый и левый глаз.

Что касается причин, обусловливающих ту или иную иллюзию зрения, то только для весьма немногих оптических обманов существует твердо установленное, бесспорное объяснение; к ним принадлежат те, которые обусловлены строением глаза: иррадиация, иллюзия Мариотта (слепое пятно), иллюзии, продолжаемые астигматизмом, и т. п.

  Иллюзии, связанные с особенностями строения глаза:

 Иррадиация

Какой из внутренних квадратов больше? Черный или белый?

 Явление иррадиации состоит в том, что светлые предметы на темном фоне кажутся более увеличенными против своих настоящих размеров и как бы захватывают часть темного фона. Когда мы рассматриваем светлую поверхность на темном фоне, вследствие несовершенства хрусталика как бы раздвигаются границы этой поверхности, и эта поверхность кажется нам больше своих истинных геометрических размеров. На рисунке за счет яркости цветов белый квадрат кажется, значительно, большим относительно черного квадрата на белом фоне.

Эффектом иррадиации объясняется и различное впечатление от поверхностей, покрытых поперечными или продольными полосками. Поле с поперечными полосками кажется более низким, чем поле с продольными, так как белый цвет окружающий поля проникает наверху и внизу между полосками и визуально уменьшает высоту поля.

Слепое пятно

Естественные иллюзии появляются из-за особенностей в строении нашего зрительного аппарата. На поверхности сетчатки, у основания зрительного нерва, есть участок лишенный чувствительных к свету клеток. Лучи, приходящие в эту зону, не воспринимаются нами. Мы можем «терять» элементы окружающей нас картинки, если они совпадают со слепым пятном.

Проведем  эксперимент.

  Закрыв правый глаз  смотрите левым на верхний крестик  с расстояния 20 - 25 сантиметров. Вы заметите, что средний большой белый кружок исчезает совершенно, хотя оба меньших кружка по бокам его хорошо видны. Если, не меняя положения рисунка, смотреть на нижний крестик, кружок исчезает только отчасти. Этот опыт носит имя своего создателя – Мариотта.

Исчезновение элемента обусловлено тем, что при указанном положении глаза относительно фигуры изображение кружка попадает на так называемое слепое пятно - место входа зрительного нерва, нечувствительное к световым раздражениям.

 Астигматизм

Астигматизмом - это неодинаковая выпуклость роговой оболочки глаза в различных направлениях (вертикальном, горизонтальном).  Если в течении длительного времени смотреть одним глазом на довольно близком  расстоянии, сосредоточив взгляд на белом квадратике вверху, вы приблизительно через полминуты заметите, что нижняя белая полоса исчезнет (вследствие утомления сетчатки).

Оптико-геометрические иллюзии

Перспектива. С точки зрения геометрии линейная перспектива - это способ изображения фигур, основанный на применении центрального проектирования. Рассмотрим задачу построения перспективного изображения фигуры, которое называется центральной проекцией (от лат. projectio-бросание вперед).        

В живописи плоскость проекций (полотно картины) обычно находится между центром проекции (глазом художника) и объектом, так что точка М' оказывается между точками 0 и М. При этом плоскость л перпендикулярна предметной плоскости , на которой располагаются изображаемые объекты.

Каждому художнику, пишущему в реалистической манере, приходится решать геометрическую задачу на построение центральной проекции объектов на картинную плоскость. Очевидно, что точки основания картины (лежащие на линии пересечения плоскостей  и л) проецируются в себя.

На рисунке  показано, как получается изображение произвольной точки М плоскости  (цифры 1—4 указывают порядок проведения прямых).

Если точка К не лежит в предметной плоскости, то сначала из нее опускают перпендикуляр на  (на рис.  это отрезок КМ), затем для его основания (точки М) выполняют построения 1—3. Наконец, проводят прямую КО, пересечение которой с плоскостью л и есть изображение точки К.

Вообще построение центральной проекции фигуры - задача не из простых. Она рассматривается в одном из разделов прикладной математики - начертательной геометрии изучающей пространственные фигуры при помощи построения их изображений на плоскостях проекций. Начертательная геометрия широко применяется в инженерном деле, строительной практике, в архитектуре и живописи. В этой части своей работы мы постараемся по возможности доказать некоторые из них.

Мы часто видим сходящиеся вдали параллельные линии (полотно железной дороги, шоссе и т. п.). Это явление называется перспективой.

Рассмотрим две «убегающие» от нас параллельные линии (трамвайные или железнодорожные). Они кажутся сходящимися в некоторой точке горизонта. При этом сама точка представляется нам бесконечно удаленной и недосягаемой. Зрение словно пытается убедить нас в том, что вопреки законам геометрии параллельные прямые пересекаются.

Эта иллюзия объясняется тем, что объект (шпала), находящийся на различных расстояниях от наблюдателя, виден под разными углами зрения и по мере удаления вдоль параллельных прямых (рельсов) его угловой размер уменьшается, что приводит к

видимому уменьшению расстояния между линиями (в данном случае оно определяется величиной шпалы). Очевидно, когда угол зрения достигает некоторой "критической" величины, глаз перестает различать удаляющийся объект как тело, имеющее размеры, и прямые «сливаются» для него в одну точку.

Существует предельное значение угла зрения - наименьшее значение, при котором глаз способен видеть раздельно две точки.

Рассмотрим два примера. На одном рисунке соблюдено правило перспективы и человек находящийся на большем расстоянии от нас имеет меньший рост. При рассмотрении другого рисунка перспектива соблюдена только относительно прямых и возникает иллюзия, что последний человечек имеет наибольший рост, хотя они одинаковые.  

   Рельеф и глубина. Интересные зрительные иллюзии имеют место при условиях видимого нами рельефа или глубины рисунка. Возникновение этих иллюзий связано со способностью глаза видеть предметы на  разных  расстояниях, со способностью воспринимать пространство по яркости предметов, по их теням и по числу промежуточных объектов. С другой стороны, эти иллюзии возникают и в процессе осмысливания видимого. Мозг, воспринимая предмет, искажает видимое нами рельефное изображение.  Изображен каркасный  куб. С какой стороны вы на него смотрите: сверху или снизу? А может быть сбоку? При длительном наблюдении происходит удивительная трансформация: кажется, что грани куба все время меняют свое положение! При этом взгляд фиксируется то на одной, то на другой грани.

                                                             Еще пример. Сколько здесь сыра?

Переоценка вертикальных линий.

 В силу исторически накопленного опыта, с одной стороны, и благодаря расположению линии, соединяющей глаза человека  в горизонтальной плоскости, с другой, человек обладает способностью точнее определить на глаз горизонтальные расстояния, чем высоту предметов. Поэтому большинство людей обладает способностью преувеличивать вертикальные протяженности по сравнению с горизонтальными, и это также приводит к иллюзиям зрения. Если предложить ряду лиц начертить вертикальную и горизонтальную линии одинаковой длины, то в большинстве случаев начерченные вертикальные линии будут короче горизонтальных. При делении на глаз вертикальной линии пополам обычно середина оказывается слишком высоко (это ясно видно из приводимого рисунка).

Вертикальные параллельные линии при значительной их длине обычно кажутся в верхней части слегка расходящимися, а горизонтальные - сходящимися.

На другом рисунке нам кажется, что правая фигура уже и выше (взгляд скользит по вертикали) левой фигуры. На самом деле обе эти фигуры - правильные заштрихованные квадраты с равными сторонами. Значит, заполненное пространство нам всегда кажется шире незаполненного и по горизонтали и по вертикали? Однако это не всегда так, и многое в этом зависит от направления, по которому скользит наш взгляд, стремясь воспринять фигуру.

Направление линий. Разнообразны иллюзии, относящиеся к восприятию направлений линий. Пример таких иллюзий дан на следующих рисунках. Длинные, косо направленные прямые линии на одном рисунке кажутся расходящимися в разные стороны. На этом рисунке прямые паралельные линии кажутся изогнутыми.

Такого же характера оптическая иллюзия, изображённая на втором рисунке.

”Целое” и “часть”.     Очень многие ошибочные зрительные впечатления обусловлены тем, что воспринимаемые нами фигуры и их части не отдельно, а всегда в некотором соотношении с окружающими их другими фигурами, некоторым фоном или обстановкой. К этому разделу относится, пожалуй, самое большое количество зрительных иллюзий, встречающихся в практике. Все они могут быть разделены на пять групп.

сравнивая две фигуры, из которых одна действительна меньше другой, мы ошибочно  

воспринимаем все части меньшей фигуры меньшими, а все части большой - большими (“целое больше - больше и его части”). Это хорошо видно, скажем, на примере с линейкой: левый отрезок на ней кажется нам больше длиннее правого, хотя на самом деле они равны. Это обуславливается психологическим аспектом восприятия.

Так же ошибки возникают при восприятии фигур в целом и отдельных их частей (линии, углы, отдельные детали) зрительные иллюзии могут иметь место вследствие так называемого общепсихологического закона контраста, т.е. обстановки, окружения этих частей и их взаимосвязи с другими частями фигуры.

“Фигура” и “фон”.

 Здесь мы рассмотрим ряд иллюзий зрения, обусловленных влиянием контраста яркости, т.е. отношения разности яркостей объекта и фона к яркости фона. Во-первых, на более темном фоне мы видим фигуры более светлыми и, наоборот, на светлом - более темными. Во-вторых, при восприятии фигуры и фона мы склонны видеть прежде всего  пятна меньшей площади, а также пятна более яркие “выступающие”, причем чаще всего фон нам кажется лежащим дальше от нас, за фигурой. Чем больше контраст яркости, тем лучше заметен объект и тем отчетливее видны его контур и форма. На рисунке большинство видит в первую очередь вазу, а затем два силуэта.

Иллюзии цветового зрения.

Иногда при рассматривании цветных объектов мы также встречаемся с ошибками зрения или иллюзиями. Во-первых, иногда о насыщенности цвета мы ошибочно судим по яркости фона или по цвету окружающих его предметов. В этом случае действуют также закономерности контраста яркостей: цвет светлеет на темном фоне и темнеет на белом. Во- вторых, существует понятие собственно цветовых контрастов, когда цвет наблюдаемого нами объекта изменяется в зависимости от того, на каком фоне мы его наблюдаем.

Перевертыши. Перевертыш – вид оптической иллюзии, в которой от направления взгляда зависит характер воспринимаемого объекта. Одна из таких картин «лошадь-лягушка»

Иллюзии переработки информации. Некоторые иллюзии возникают в связи с переработкой поступающей информации. Человек иногда видит мир не таким,  каков он есть на самом деле, а таким, каким хотел бы его увидеть, поддаваясь сформированным привычкам, потаенным мечтам или страстным желаниям. Он ищет нужную форму, цвет или другое отличительное качество объекта среди представленных во внешнем мире. Это свойство избирательности называется феноменом перцептивной готовности. 

Посмотрите на рисунок. Символ в центре - буква или цифра? Если рассматривать горизонтальный зрительный ряд, состоящий из букв, в центре будет "В" - к этому наблюдатель подготовлен буквенным рядом. Если смотреть на вертикальный ряд, окажется, что это вовсе не буква, а число 13 - к такому решению подтолкнули цифры.

Подобные иллюзии обусловлены более высоким уровнем обработки информации, когда характер решаемой задачи определяет то, что воспринимает человек в окружающем мире. Интересны особенности избирательности восприятия. Если сказать человеку: в этой книге есть твоя фамилия, - то он сможет, очень быстро пролистав страницы, найти упоминание о себе. Причем ни о каком прочтении текста речи не идет. Такими навыками обладают корректоры, непостижимым образом вычленяющие в тексте ошибки, незаметные обычному читателю. В данном случае речь идет о профессиональных навыках, приобретаемых в процессе деятельности.

Иллюзии движения можно считать самыми интересными и труднообъяснимыми. Неподвижные фигуры кажутся подвижными.   В них важнейшую роль играет периферическое зрение. Для возникновения данной иллюзии необходимо изменение степени яркости и цвета деталей объекта, которое улавливается периферическим зрением. Поэтому большинство иллюзий движения построены на регулярном повторе разных по яркости или цвету фрагментов.

"Невозможные  объекты". Наверное, вы, когда  то встречали такие слова. А что они значат? Само слово объект означает какой – то предмет, который можно рассматривать, трогать, изучать. Как же он может не существовать?

Например, невозможный  треугольник – трибар,  придуманный английским математиком Роджером  Пенроузом в 1954 году. Что же невозможного в этой фигуре? 

 С первого взгляда трибар кажется просто изображением равностороннего треугольника. Но стороны, сходящиеся вверху рисунка, кажутся перпендикулярными. В тоже время левая и правая грани внизу тоже кажутся перпендикулярными. Если смотреть на каждую деталь отдельно, то она кажется реальной, но, в общем, эта фигура существовать не может. Она не деформирована, но при черчении были неправильно соединены правильные элементы. Все три фигуры, изображенные ниже, составлены из очень простых, вполне существующих частей. Но эти части соединены между собой  каким  то правдоподобным, но совершенно невозможным образом.

Анализ тестирования, связанного со зрительными иллюзиями                                                       

Мной было проведено тестирование учащихся 7-11 классов. Всего приняло участие 18 человек. Количество ошибок при выполнения тестирования выражено в процентах:

зрительное искажение        62%

иллюзии цвета и контраста        41%

двойственное изображение        28%

восприятие размера                     24%

распознавание образа        38%

невозможные фигуры        74%

перевернутые картинки        12%

иллюзии движения           68%

Результаты я представила в виде гистограммы:

               При обработке результатов тестирования я обратила внимание на то, что наибольшее количество ошибок приходится на: зрительное искажение, иллюзии движения и невозможные фигуры.  При ответах на вопросы теста  учащиеся старших классов, а также хорошо успевающие по точным предметам учащиеся средних классов менее склонны к обманам зрения, так как способны объянить увиденное используя знания по геометрии, физики, черчения и биологии.    

Использование зрительных иллюзий человеком.

Идея исследования причин иллюзий, её использование в практической жизни не нова. В научной и публистической литературе много работ посвящено использованию зрительных иллюзий в живописи, архитектуре, дизайне интерьера, моделировании одежды. Я хотела бы уделить внимание новым направлениям применения обманов зрения.

Оп-арт - художественное направление,  возникшее  во второй половине ХХ века, основанное на  применение в искусстве различных оптических иллюзий, зависящих от зрительных особенностей восприятия плоских и пространственных фигур

Сторонники оп-арта создают свой особый мир, уникальные произведения, которые не имеют ничего общего с окружающей действительностью, но отличаются гипнотической притягательностью, которая влечет зрителя.  

Оп–арт открывает перед человеком красоту и выразительность геометрического рисунка, который, не смотря на свою внешнюю четкость и неизменность, позволяет по новому взглянуть на возможности обычных форм и фигур, способных перевернуть окружающее пространство.

Интерьерный и ландшафтный дизайн, промышленная графика, реклама, архитектура,  сфера развлечений стали ярким подтверждением реализации необычных проектов и форм оп-арта.

Стрит-арт – уличное искусство, значительное культурное явление 20-го века, насчитывающее тысячи километров задействованной городской площади. Для стрит-арта весь мир является одним огромным холстом, к стрит-арту относятся граффити, трафаретное граффити, постеры, уличные инсталляции. Стрит-арт – социальное явление, отражающее мысли и устремления общества.

3D стрит-арт

В начале 21-го века художники стрит-арта начали создавать 3D-изображения, выполненные с учетом перспективы и угла зрения, появился термин «оптические иллюзии». Благодаря своим интерактивным иллюзиям получил известность Курт Вернер, бывший сотрудник НАСА. Свои математические навыки теперь художник использует для создания огромных напольных и настенных фресок. Люди, которые фотографируют эти творения стрит-арта, словно взаимодействуют с персонажами на рисунках и тем самым «оживляют» их.

Изображения с эффектом оптических иллюзий использовать  в борьбе с агрессивным вождением  

Заключение

• Написав эту работу, я выяснила, что такое зрительные иллюзии. Изучение причин их возникновения помогает избегать зрительских искажений предметов, вносить необходимые поправки в изображение. Обманы зрения представляют собой живой интерес для художника, кинематографа, архитектора, дизайнера, модельера, физиолога, врача, психолога и наконец, для каждого любознательного  человека. Иллюзии можно   наблюдать  при любых условиях, без каких-либо приспособлений. Причина обмана объяснима. Зрительные иллюзии можно объяснить с помощью законов геометрии, физики и биологии. Для себя я поняла, что применение иллюзий можно рассматривать  как прогрессирующее и занимательное искусство. Игры с оптическими иллюзиями помогают изменять сознание, заманивают наш мозг на новые уровни восприятия.

        Я разработала свой комплекс упражнений (тренажер для глаз) со зрительными иллюзиями для умственной гимнастики и с удовольствием поделилась им со своими одноклассниками, а так же даю возможность поразмышлять друзьям по социальным сетям.

      Считаю, что я достигла поставленных задач.

Работа является мини-пособием для изучения геометрических оптических иллюзий в 7-10 классах, которую можно использовать  для внеклассных и факультативных занятий по математике. И этим материалом могут воспользоваться те, кто хочет знать о математике больше.

Список используемой литературы

1. С. Толанский,  «Оптические иллюзии». — М.: Мир, 1967. — С. 128.

2. О. Рутерсвард,  «Невозможные фигуры». — М.: Стройиздат, 1990.

3. П.Дёмин, «Физические эксперименты и психологические иллюзии». -  М., 2006.

4. Х. Шиффман, «Чувство и восприятие». -  СПб., 2003.

5. И.Д. Артамонов, «Иллюзии зрения», изд.3 – М., Наука, 1969

6. Я.И. Перельман, «Занимательная физика». – М.,  АСТ,  2010

7. О. Рутерсвард, «Невозможные фигуры». — М., Стройиздат, 1990. 

8. Н.Ф. Четверухин, «Начертательная геометрия», М.1963г

9. В.М. Розин, «Перспектива в геометрии и живописи», М 1998 г

10. Н.Ю. Григорьева, « Живая математика», М.2006г

11. Р.Л Грегори, «Разумные глаза», М.2003г

12. В.П. Демьянов, «Геометрия и Марсельеза»,М.1986г

13. Большая электронная энциклопедия Кирилла и Мефодия Кагиров

14. Н.М Карпунина, «Неожиданная математика», М.2003г

15. Э.Рубин, «Предметы и изображения»,энциклопедия для детей 2000г

16.П Франческа, «О живописной перспективе», энциклопедия 2000

17. Детская энциклопедия по математике «Я познаю мир»

18. И.Я Депман., Виленкин Н.Я. За страницами учебника  математики. М-1988г.

19. Г.И. Косоуров Не верь глазам своим//Квант-1970.-№10-С. 18-20.

Интернет ресурсы.

http://www.illusion.turist.by/main/index/index.php - Зрительные иллюзии и феномены

http://www.sciam.ru/2004/6/ochevidnoe.shtml - Иллюзии зрительного восприятия. Очевидное-невероятное. Журнал         «В мире науки», июнь 2004 № 6

http://www.yugzone.ru/book/gregory.htm -  Л.Р. Грегори «Разумный глаз»