Лента Мебиуса

Содержание

Введение……………………………………................................. 2

1. Лента Мебиуса- история открытия.…………………………..…3
2.  Что такое топология.……………………….…………………… 5
3. Основные свойства ленты Мёбиуса……………………………. 5
4. Эксперименты, результаты экспериментов, выводы…………..8
5. Применение ленты Мёбиуса……………………………………10

Заключение……………………...………….................................14

Литература……………………………………………………….16

                                             Введение

                           Лента Мёбиуса

Она магнитофонной ленты удлиняет срок,

Пружину делает рабочей впрок,

И ремень передач, штурвал и принтер

Используют её всеядный принцип.

Однако если в путь по ленте устремиться,

То впору будет тут и заблудиться,

Поскольку в перемычке ленты той

Уж вовсе нет материи живой.

        Я думаю тема, которую я выбрала «Лента Мёбиуса (Лист Мёбиуса)», интересная, содержательная и увлекательная.  В современном мире  актуально изучение различных свойств и нестандартных применений.  Интересность  Ленты Мёбиуса в том, что она имеет широкое применение  в науке, технике,  искусстве и быту: абразивные ремни для заточки инструментов, красящие ремни для печатающих устройств, ременные передачи, магнитофонные ленты и т.д. Меня заинтересовал этот лист, я начала искать различную информацию о нем, проводить опыты и эксперименты. Поэтому объектом моего исследования стала лента Мебиуса. Свойства данного листа изучала на наглядных примерах.  Мёбиус сделал своё открытие давно, но и в настоящее  время оно  популярно, так как свойства ленты Мебиуса продолжают быть объектом исследования ученых, для нахождения новых способов применения ее быту в технике;  подросткам, интересное и увлекательное занятие, которое расширяет кругозор и прививает интерес к  математикой.  

 Выполняя данную работу, получены следующие знания:

• Лента Мёбиуса - односторонняя поверхность;
• Лента Мебиуса – обладает замечательными свойствами;
• Лента Мёбиуса -  используется в науке, технике, искусстве и быту;
• Лента Мебиуса – объект развлечения

Цель:  Изучить свойства ленты Мебиуса,  опытно-экспериментальным путем проверить их  и  найти, где они  используются.

Предмет исследования: Лента Мебиуса – как модель односторонней поверхности.

Объект исследования:  Лента Мебиуса, ее свойства и  использование.

Задачи:

• собрать информацию об  истории возникновения ленты Мебиуса;
• изучить  топологические свойства ленты Мебиуса;  
• провести эксперименты с лентой Мебиуса;
• проверить опытно-экспериментальным путем  свойства ленты Мебиуса;
• проанализировать полученную информацию по данному вопросу;
• показать  использование ленты Мебиуса в жизни.

1. Лента Мебиуса – история открытия.

      В 1858 году в возрасте 68 лет Мебиус сделал открытие поразительной красоты.  Это было открытие односторонних поверхностей. Мебиус послал в Парижскую академию наук  работу «Об объеме многогранников», в которую была  включена  информация  о геометрической поверхности, обладающей совершенно невероятным свойством: она имеет только одну сторону! Позже поверхность была названа  лентой Мебиуса.  

     Немецкий  математик астроном-теоретик Август Фердинанд Мёбиус (1790-1868), родился 17 ноября 1790 года на территории княжеской школы Шульпфорте, близ Наумбурга (Саксония-Анхальт). Его мать была потомком Мартина Лютера.  Отец  Мебиуса,  в школе Шульпфорте, занимал  должность учителя танцев. Отец умер, когда Августу было всего три года. Начальное образование Мёбиус получил дома и сразу показал интерес к математике. С 1803 по 1809 годы учился в колледже Шульпфорте, затем поступил в Лейпцигский университет. Первые полгода, в соответствии с рекомендациями семьи, он изучал право, но затем принял окончательное решение посвятить жизнь математике и астрономии. В 1813—1814 годах Мёбиус жил в Гёттингене, где посещал университетские лекции Гаусса по астрономии. Затем он уехал в Халле, чтобы прослушать курс лекций математика Иоганна Пфаффа,  учителя Гаусса. В результате Мёбиус получил глубокие знания по астрономии и математике. Когда Мёбиус работал над  докторской (1815 год), была сделана попытка призвать его в прусскую армию. С трудом, избежав этой угрозы, он успешно получил докторское звание. Математические исследования Мёбиуса принесли ему известность в научном мире. В 1848 году Мёбиус становится директором обсерватории. В 1858 году в возрасте шестидесяти восьми лет он представил Парижской академии мемуары об «односторонних» поверхностях. В своей работе «Об объёме многогранников» он описал геометрическую поверхность, обладающую совершенно невероятным свойством: она имеет только одну сторону! Позже поверхность была названа лентой Мебиуса. В 1868 году Август Фердинанд Мёбиус умирает. Статья о знаменитой ленте Мёбиуса опубликована посмертно. В честь учёного назван астероид 28516 (Möbius).

      Что же это за поверхность – Лента Мебиуса? Самое удивительное то, что сделать ее можно своими руками и совсем несложно: надо лишь взять полоску бумаги  и склеить ее концы, предварительно повернув один из них на 180°. Тоже самое и однажды сделал Мёбиус, он взял  бумажную ленту, повернул один ее конец на пол-оборота (на 180 градусов), а потом склеил его с другим концом. Может он это сделал от скуки, а может ради научного интереса - теперь уже неизвестно. Зато доподлинно известно, что именно так и появилась еще в прошлом веке знаменитая лента Мёбиуса. Хотя, существуют другие  три версии данного открытия: 1) Мебиус наблюдал за служанкой, которая  однажды неправильно сложила концы ленты; 2) Он увидел, что портной неправильно вшил манжет рубашки; 3) Мебиус увидел, как горничная неправильно одевала на шею платок.

     Чем же она знаменита? А тем, что поверхность ленты Мёбиуса имеет только одну сторону Мы же привыкли к тому, что у всякой поверхности, с которой мы имеем дело (лист бумаги, велосипедная или волейбольная камера) – две  стороны. Это легко проверить. Возьмите карандаш и начните закрашивать ленту в каком-нибудь направлении. Вскоре вы вернетесь в то место, откуда начали. А теперь поглядите внимательно: закрашенной оказалась вся лента целиком! А ведь вы ее не переворачивали, чтобы закрасить с другой стороны. Да и не смогли бы перевернуть, даже если бы очень захотели. Потому как поверхность ленты Мёбиуса - односторонняя. Такое вот у нее любопытное свойство наблюдается.  Особенность "ленты Мебиуса" состоит в возможности попадания из одной точки ее поверхности в любую другую, не пересекая края.

                                      2. Что такое топология?

        Лист Мебиуса – один из объектов топологии. Это новое течение в геометрии  появилось в середине XIX столетия. «Топология» в переводе с греческого «топос» — место и «логос» — наука. Топология - наука, изучающая непрерывные среды и пространство. Проявление законов топологии  легко обнаружить на простой бумажной полоске. Лента Мебиуса имеет удивительное свойство: она имеет один край, одну сторону. Данные свойства не связаны с  ее  положением в пространстве, с понятием расстояния, угла и, тем не менее  они связаны геометрический характер. Свойства такого типа, несмотря на кажущуюся непривычность, связаны с наиболее абстрактными математическими дисциплинами- алгеброй, и теорией функций. В топологии изучаются свойства фигур и тел, которые не меняются при их непрерывных деформациях (как если бы они были сделаны из резины).  С точки зрения топологии баранка и кружка – это одно и тоже. Сжимая и растягивая кусочек резины, можно перейти от одного из этих тел к другому. А вот баранка и шар – разные объекты, чтобы сделать объекты надо разорвать резину.

Понятия и теоремы топологии полезны во всех областях математике, в технике, в экономике, психологии.

                                 3. Основные свойства ленты Мебиуса

          Что же это за поверхность – лента Мебиуса? Какими свойствами она обладает?

1. Первое свойство-односторонняя поверхность.

Попробуем закрасить одну сторону листа Мебиуса -  кусок за куском, не переходя через край ленты. Для этого возьмем карандаш, и начнем закрашивать ленту в каком-нибудь направлении. Вскоре мы вернемся в то место, откуда начали. Закрашенной оказалась вся лента целиком! А ведь мы ее не переворачивали, чтобы закрасить с другой стороны. Да и не смогли бы перевернуть, даже если бы очень захотели. Потому как поверхность ленты Мёбиуса - односторонняя. Это первое любопытное свойство! «Если кто-нибудь попробует раскрасить «только одну» сторону поверхности ленты Мебиуса, пусть лучше сразу погрузит ее в ведро с краской», пишут Рихард Курант и Герберт Роббинс в превосходной книге «Что такое математика?»
Что же из этого свойства следует?  Граница у Листа Мебиуса одна, и не состоит из двух частей, как у обычного кольца.

Не менее  удивительные превращения ленты, происходит если разрезать ее вдоль. В первом случае разрезать ее будем  точно посередине, при этом мы получим   большое  перекрученное кольцо. Во втором случае, будем  разрезать  на расстоянии 1/3 ее ширины от края, в данном случае увидим  два кольца - одно большое и сцепленное с ним маленькое. В третьем случае будем  разрезать  маленькое кольцо вдоль посередине, то получим  переплетенные два кольца - одинаковых по размеру, но разных по ширине. Можно получить и другие интересные комбинации из лент Мёбиуса, если сделать их с двумя и более полуоборотами в них. Например, если разрезать ленту с двумя полуоборотами, то получится два одинаковых кольца, сцепленных между собой. Если разрезать ленту с тремя полуоборотами, последовательно два раза, то получится четыре кольца, сцепленных между собой. Разрез ленты Мёбиуса с дополнительными оборотами даёт неожиданные фигуры, названные парадромными кольцами. Чудеса?.. Попробуйте сами!  

2. Второе свойство – непрерывность. 

Это свойство можно наблюдать проделывая следующий эксперимент. Если поставить произвольную точка на листе Мебиуса и соединить ее с другой, то  при этом нам не придётся переходить через край «ленты». Разрывов нет, получается полная  непрерывность.

3. Третье свойство – связность. 

Это свойство можно наблюдать, если какую-нибудь фигуру, например квадрат разрезать  от стороны к стороне, то он  распадётся на два отдельных куска. Таким образом можно разрезать ножом яблоко, из которого мы получим две части. А можем ли мы одним   действием разделить кольцо на две части?  Нет, для этого мы должны сделать два разреза. Поэтому любой тополог скажет вам, что квадрат– односвязен, кольцо и оправа от очков – двусвязны, а всяческие решётки, диски с отверстиями и подобные сложные фигуры – многосвязны. Ну, а  лист Мёбиуса? Конечно двусвязен, т.к. если разрезать его вдоль, он превратится не в два отдельных кольца, а в одну целую ленту. Если перекрутить ленту на два оборота, то лист становится односвязным. Три оборота – связность снова равна двум. Связность принято оценивать числом Бетти, названным так в честь известного итальянского математика и физика. Иногда пользуются другой величиной – эйлеровой характеристикой – с той же целью: определить число сквозных, от края и до края, разрезов, которое выдерживает фигура, не распадаясь при этом на части.

4)Четвертое свойство-ориентированность.

Ориентированности у листа Мёбиуса нет! Ориентированность – свойство, отсутствующее у ленты Мёбиуса. Так, если бы человек смог путешествовать по всем изгибам ленты Мёбиуса, то когда он вернулся бы в исходную точку, он превратился бы в своё зеркальное отражение.

 5) Пятое свойство- хроматический номер.

 Он равен максимальному числу областей, которые можно нарисовать на поверхности так, чтобы каждая из них имела общую границу со всеми другими. Если каждую такую область выкрасить по-разному, то любой цвет должен соседствовать с любым другим. Так вот, на листе бумаги, даже если его склеить в кольцо, ещё никому не удалось расположить пять цветных пятен любой формы, которые имели бы всеобщую границу. И на сфере, и на цилиндре их может быть не более четырёх. Это и значит что хроматический номер этих поверхностей – четыре. А на бублике число соответствующих цветов равняется семи. Каков же хроматический номер ленты Мёбиуса? Он, как ни поразительно, равен шести.

    Лист Мёбиуса находит многочисленные применения в науке, технике и изучении свойств Вселенной. Есть гипотеза, что спираль ДНК сама по себе  является фрагментом ленты Мебиуса и только поэтому генетический код так сложен для расшифровки и восприятия. Больше того - такая структура вполне логично объясняет причину наступления биологической смерти - спираль замыкается сама на себя и происходит самоуничтожение или аннигиляция, как подтверждают физики. Они, кстати, утверждают также, что все оптические законы основаны на свойствах ленты Мебиуса, в частности отражение в зеркале - это своеобразный перенос во времени. В ритмологическом ключе знак ленты Мёбиуса приобретает иное наполнение. Мы знаем, что есть ритмы, благодаря которым мы развиваем своё энергетическое, сердечное начало, и есть ритмы, обеспечивающие раскрытие нашего мозга, наших информационных возможностей. Чтобы эти противоположные начала развивались в нас равновелико и гармонично, между «энерго» - ритмами и «информо» - ритмами разместились ритмы Мёбиусного вихря. Благодаря им, мы имеем возможность непрерывно и бесконечно перемещаться от сердца к мозгу, от информации к энергии, сохраняя при этом баланс между планетарной  и человеческой сторонами жизни. Ритмы Мёбиусного вихря позволяют нам совершать своеобразный «обмен» энергии на информацию и наоборот.

4. Эксперимент, результаты эксперимента, выводы :

     Для определения необычных свойств ленты Мебиуса проведем ряд экспериментов согласно плану:

1.Какой формы можно взять бумажную полоску, чтобы склеить ленту Мебиуса? Можно ли брать мятую бумагу?

а) Если бумагу нельзя мять, то лист Мёбиуса можно склеить только из прямоугольной полоски, где длина больше ширины.

б) Если бумагу не запрещается мять, то ленту Мёбиуса можно склеить не только из квадрата, но и из прямоугольника любых размеров – склеиваемые стороны могут быть во сколько угодно раз длиннее не склеиваемых.
Сделать это можно так. Сложим прямоугольный лист в гармошку, перегнув его чётное число раз. Затем из этой гармошки, как из толстой бумажной полоски, склеим ленту Мёбиуса, вставляя, соответствующие части гармошки друг в друга. Лента Мёбиуса склеена, но лист бумаги оказался смятым.

 При сворачивании листа Мёбиуса в гармошку его свойства не изменяются.

2.Если начать закрашивать ЛМ с одной стороны, не переходя

через край, то какая часть ленты окажется закрашенной?

При закрашивании закрасится вся лента.

3.Что произойдет с Лентой Мебиуса, если ее  разрезать посередине?

Если разрезать ленту вдоль посередине, то вместо двух колец получится одно. Причём оно больше и тоньше исходного.

А разрезав каждое из них еще раз вдоль посередине,  обнаружим уже четыре кольца, соединенных друг с другом. Можно теперь рвать эти кольца по очереди - и всякий раз оставшиеся будут по-прежнему сцеплены вместе.

4. Что произойдет с лентой Мебиуса, если ее разрезать  вдоль,

отступив треть от края?

Если разрезать ленту на расстоянии 1/3 её ширины от края, то получится два кольца. Одно большое и сцепленное с ним маленькое.

5. Что получится, если перекрутить ленту дважды, а потом разрезать вдоль посередине?

При повороте на 360 градусов получим двустороннюю поверхность. При закрашивании её непременно нужно перевернуть на другую сторону. При разрезании вдоль посередине получим два кольца, сцепленных между собой.

Такая поверхность будет уже двусторонней. И чтобы закрасить все кольцо целиком, вам придется непременно перевернуть ленту на другую сторону.

6.Что получим, если склеим плоскую ленту и ленту Мебиуса, и

разрежем ее вдоль пунктира

В результате мы получим геометрическую фигуру (если полоски одинаковой длины) – квадрат

7.Что получится, если взять лист Мебиуса шириной 5 см и разрезать его вдоль края  на расстоянии  1см, 2см, 3см, 4см.

а) Разрезаем вдоль края на 1 см от края.  Получаем два сцепленных друг с другом кольца: ширина первого кольца 3 см его длина  равна длине исходного, ширина второго кольца 1 см,  его длина в два раза больше исходной. Лента получилась перекручена на два полных оборота.

б) Разрезаем вдоль края на 2 см от края. Получаем  два сцепленных друг с другом кольца: ширина первого кольца 1 см, его  длина равна длине исходного. Ширина второго кольца 2 см, его длина в два раза длиннее исходного. Лента получилась перекручена  на два полных оборота.

в) Разрезаем вдоль на расстоянии 3 см от края. Получаем  два сцепленных друг с другом кольца: ширина первого кольца 1 см длина равна длине исходного, ширина второго кольца  2 см, его  длина  в два раза больше длины исходного. Лента получилась перекручена на два полных оборота.

г) Разрезаем вдоль на расстоянии 4 см, от края. Получаем  два сцепленных друг с другом кольца: Ширина первого кольца равна 3 см, его длина равна длине исходного. Ширина второго кольца 2 см, его  длина в два раза больше длины исходного. Лента перекручена на два полных оборота.

Проводя данные эксперименты,  мы и увидели удивительные  превращения ленты.  Можно, конечно, провести еще немало опытов с перекручиванием ленты на четыре оборота, на пять, на шесть и с последующим разрезанием кольца вдоль посередине, и на расстоянии в 1/3 ширины от края, и в 1/4... Но усложнение эксперимента часто не приводит к более эффектным результатам. Недаром говорится: "просто, как все гениальное". Видимо, верно и обратное утверждение: "гениально, как все простое".

И действительно: простая полоска бумаги, но перекрученная всего лишь раз и склеенная затем в кольцо, сразу же превращается в загадочную ленту Мёбиуса и приобретает удивительные свойства.

Экспериментальные выводы.

Итак, на основе проведенных мною теоретических и практических  исследований можно сделать следующие выводы:

Лента Мебиуса имеет 1 край.

Лента Мебиуса имеет одну поверхность.

Лента Мебиуса имеет одну искривленную поверхность, и если по ней двигаться, можно с внутренней части переместиться на внешнюю.

 Лист Мѐбиуса - топологический объект. Как и любая топологическая фигура, лента Мѐбиуса не меняет своих свойств, пока ее не разрезают, не разрывают, или не склеивают его отдельные куски.

Один край и одна сторона листа Мебиуса не связаны с его положением в пространстве, не связаны с понятиями расстояния.

Если закрашивать одну сторону ленты Мебиуса, не пересекая края, то в итоге закрасится вся поверхность ленты.

Если пустить по поверхности ленты Мебиуса, движущиеся объекты, они будут двигаться бесконечно долго.

Если разрезать ленту Мебиуса вдоль посередине параллельно краю, то можно получить не две отдельные ленты, а одну длинную ленту, которая будет уже исходной и дважды перекручена – но не лента Мебиуса.

 Если разрезать ленту Мебиуса вдоль, отступив от края 1/3 ее ширины, то получится два кольца, сцепленные между собой, одно большое – не лента Мебиуса, другое маленькое – лента Мебиуса.

                                5. Применение ленты Мебиуса

      Существует немало изобретений, в основе, которых лежит всё та же односторонняя поверхность. В 1923 году выдан патент изобретателю Ли де форсу, который предложил записывать звук на киноленте без смены катушек, сразу с двух сторон. Придуманы кассеты для магнитофона, где лента перекручивается и склеивается в кольцо, при этом появляется возможность записывать или считывать информацию сразу с двух сторон, что увеличивает ёмкость кассеты и соответственно время звучания.

В 1969 году советский изобретатель Губайдуллин предложил бесконечную шлифовальную ленту в виде листа Мёбиуса. В 1971 году изобретатель с Урала Чесноков П.Н. применил фильтр в виде листа Мёбиуса. Полоса ленточного конвейера выполнялась в виде ленты Мёбиуса, что позволяло ему работать дольше, потому что вся поверхность ленты равномерно изнашивалась.

В матричных принтерах красящая лента имела вид листа Мёбиуса для увеличения срока годности.

         У входа в Музей истории и техники в Вашингтоне медленно вращается на пьедестале стальная лента, закрученная на полвитка. В 1967 году, когда в Бразилии состоялся международный математический конгресс, его устроители выпустили памятную марку достоинством в пять сентаво. На ней была изображена лента Мёбиуса. И монумент высотой более чем в два метра, и крохотная марка – своеобразные памятники немецкому математику и астроному Августу Фердинанду Мёбиусу, профессору Лейпцигского университета.

         Более 100 лет лист Мёбиуса используется для показа различных фокусов и развлечений. Удивительные свойства листа демонстрировались даже в цирке, где подвешивались яркие ленты, склеенные в виде листов Мёбиуса. Фокусник закуривал сигарету и горящим концом дотрагивался до средней линии каждой ленты, которая была выполнена из калийной селитры. Огненная дорожка превращала первую ленту в более длинную, а вторую - в две ленты, продетая одна в другую. (В этом случае фокусник разрезал лист Мёбиуса не посередине, а на расстоянии в одну треть его ширины).

Фокусники используют лист Мебиуса уже на протяжении 75 лет. Вот пример еще одного фокуса: фокусник вручает зрителю три больших бумажных кольца, каждое из которых получилось путем склеивания концов длинной ленты. Зритель разрезает ножницами первое кольцо вдоль ленты посередине, пока не вернется в исходную точку. В результате получаются два отдельных кольца. Разрезая таким же образом второе кольцо, он получает, к своему удивлению, не два кольца, а одно, которое вдвое длиннее исходного. Наконец, разрезая третье, он снова получает поразительный результат: два кольца, сцепленных друг с другом. Результат этого фокуса зависит от того, как были сомкнуты концы ленты перед склейкой. Первое наше кольцо получилось путем простого соединения концов ленты без перекручивание. Второе кольцо получается при соединении концов ленты, перекрученной один раз на 180 градусов. Третье кольцо получилось при разрезании ленты, концы которой перекручивались перед склейкой дважды. Известно еще много фокусов с применением ленты Мебиуса. Кстати, вы даже можете придумать их сами!

 Близким «странным» геометрическим объектом является бутылка Клейна. Бутылка Клейна может быть получена путем склеивания двух лент Мёбиуса по краям. В обычном трехмерном евклидовом пространстве сделать это, не создавая самопересечения, невозможно.

В отличие от обычной бутылки, бутылка Клейна не имеет края, а её поверхность нельзя разделить на внутреннюю и наружную. Та поверхность, которая кажется наружной, непрерывно переходит в ту, которая кажется внутренней, как переходят друг в друга две, на первый взгляд различные, "стороны" листа Мебиуса. К сожалению, в трехмерном пространстве нельзя построить бутылку Клейна, поверхность которой была бы свободна от точек самопересечения.

       В виде парадоксальной геометрической фигуры  можно, оказывается, изготовить лопасти  бетономешалки или обычного бытового миксера - энергозатраты снизятся на одну пятую, а качество бетона (или кондитерского крема) улучшится.

      Юрий Артѐмович Арутюнов — житель подмосковного города  Жуковский, кандидат физико-математических наук установил две  ленты Мѐбиуса на концах самолѐтного крыла. Сопротивление  воздушной среды снизилось. За счѐт этого экономия авиационного  топлива составила 7–10%. Но есть ещѐ один результат применения такого маленького приспособления, особенно актуальный для российской авиации: разгрузив крыло с помощью лент Мѐбиуса на 20%, можно увеличить ресурс самолѐта на все 100%, то есть даровать ему вторую жизнь. Особенно это ценно для такой проверенной и оправдавшей себя марки самолѐта, как Ил-76. В скором времени все эти машины должны выйти из строя, а равноценной замены им нет.

       Не только сердце, но и вся Вселенная выполнена по тому же оптимальному образу. лектрон, как выяснилось, описывает вокруг атомного ядра не строго круговую орбиту, а повѐрнутую на 180 градусов и только благодаря этому «изобретению» не падает на ядро.

       Есть гипотеза, что спираль ДНК сама по себе тоже является фрагментом ленты Мѐбиуса и только поэтому генетический код так сложен для расшифровки и восприятия. Больше того – такая структура вполне логично объясняет причину наступления биологической смерти – спираль замыкается сама на себя и происходит самоуничтожение.

       Физики утверждают, что все оптические законы основаны на свойствах ленты Мебиуса, в частности отражение в зеркале – это своеобразный перенос во времени, краткосрочный, длящийся сотые доли секунды, ведь мы видим перед собой… правильно, зеркального своего двойника.

       Кроме того существует гипотеза, что наша Вселенная вполне вероятно замкнута в ту же самую ленту согласно теории относительности – чем больше масса тем больше кривизна пространства. Более того, эта теория полностью согласуется с теорией относительности йнштейна и его предположением, что космический корабль, всѐ время летящий прямо может вернуться к месту старта, что подтверждает неограниченность и конечность Вселенной. Из этого можно сделать вывод о реальности теории зеркальных миров – ведь астронавты, совершившие путешествие по ленте Мѐбиуса и вернувшиеся в исходную точку, превратятся в зеркальных своих двойников.

     В практике индийской йоги используется принцип движения энергетических потоков по траектории листа Мѐбиуса.

      Мини-электростанцию, позволяющую заряжать мобильный телефон энергией ветра, изобрел школьник из Дубно Николай Лукин. Он спроектировал переносную ветряную электростанцию на основе ленты Мебиуса. Конструкция высотой 70 см способна вырабатывать напряжение в 12 вольт, ее двухметровый аналог – до 40 вольт. Устройство работает при порывах ветра не менее шести метров в секунду. Ветер заставляет ленту Мебиуса крутить центральный стержень в зацеплении с маховиком, а маховик вращает генератор, который в свою очередь выдает электроэнергию. От генератора можно заряжать мобильные телефоны, ноутбуки или, например, освещать палатку.

       Аттракцион «Американские горки», являющийся подобием «необыкновенного  листа», многих людей приводили в восторг.

       Необычный вид ленты Мѐбиуса приглянулся и ювелирам. Часто украшения напоминают математический объект.

       Чудесные свойства ленты породили многочисленные фантастические рассказы. В рассказе А.Дейча ―Лента Мебиуса‖ описывался случай в Нью-Йоркском метро. Однажды случилось так, что пути метрополитена пересеклись, и весь он стал напоминать огромную ленту Мебиуса. Поезда один за другим стали исчезать, появляясь снова только через несколько месяцев.

       Дизайнеров тоже вдохновяла лента Мебиуса.

    В Лондоне Олимпийский велодром имеет контуры, которые можно назвать вариацией на тему листа Мёбиуса.

    Невероятный проект  библиотеки  в  городе Астана (Казахстан)  имеет вид ленты  Мебиуса.

    В 2003 году японские учёные смогли получить в лабораторных условиях односторонние кристаллы в форме мёбиусной ленты.

    Устройство под названием резистор Мёбиуса — это недавно изобретённый электронный элемент, который не имеет собственной индуктивности.

    Благодаря ленте Мебиуса появился "Механизм управления", на который получено Авторское свидетельство №1453110 (Приоритет 26.07.1985, автор Смирнов В.Б.). Механизм управления можно применить в детских заводных игрушках,  в конструкции стабилизатора штурвала рулевого привода, в щелевом затворе фото- или кинокамеры.

     Лист Мёбиуса иногда называют прародителем символа бесконечности, т.к. находясь на поверхности ленты Мёбиуса, можно было бы идти по ней вечно. Это не соответствует действительности, так как символ использовался для обозначения бесконечности в течение двух столетий до открытия ленты Мёбиуса.

     Физики-теоретики пришли к выводу, что наша Вселенная вполне вероятна, замкнута в  ленту Мебиуса. Согласно теории относительности - чем больше масса, тем больше кривизна пространства.

     Международный символ переработки представляет собой Лист Мёбиуса.

                                        Заключение

       Цель моей работы – изучить все особенности ленты Мебиуса.  Описывая лист Мебиуса  и процесс его изготовления, раскрывая опытным путем его свойства я  пришла к выводу: Лист  Мебиуса, односторонняя поверхность, обладающая такими свойствами как связанность и непрерывность.

Профессор Август Фердинант Мебиус в 1858 году  сделал масштабное открытие, за которым скрывались многие факты.  Лист Мебиуса служил вдохновением для скульпторов, художников и графиков. Многие физические явления используют для объяснения лист Мебиуса. Ученые генетики рассматривают код ДНК в качестве модели ленты Мебиуса. Лист Мебиуса применяется для усовершенствования технических приборов. Загадочная лента Мебиуса применяется для показа фокусов в цирке.

Закончу сою работу стихотворением  Наталии Юрьевны  Ивановой      

                                                  «Лист Мебиуса»        

Лист Мебиуса – символ математики,
Что служит высшей мудрости венцом…
Он полон неосознанной романтики:
В нем бесконечность свернута кольцом.

В нем – простота, и вместе с нею – сложность,
Что недоступна даже мудрецам:
Здесь на глазах преобразилась плоскость
В поверхность без начала и конца.

Здесь нет пределов, нет ограничений,
Стремись вперед и открывай миры,
Почувствуй силу новых ощущений,
Прими познанья высшего дары:

Познай любовь и ненависть изведай,
Низвергнись в ад – тотчас увидишь рай.
Ты в одночасье насладись победой
И горечь пораженья испытай.

На грани бесконечного блаженства
Испытывая суеверный страх,
Найдешь свой путь. Достигнув совершенства,
Окажешься в таинственных мирах.

И, вдохновленный этим дерзновеньем,
По экспоненте поднимаясь в высь,
Ты ощутишь восторг освобожденья,
Почувствуешь, как возникает Мысль.

Покажется, что распростерлась Вечность,
Что взломан Мироздания пароль.
И вдруг твое стремленье в бесконечность
Тебя вернет к исходной точке: в ноль.

Как о порог, об этот ноль споткнешься.
Но как бы ни был прежний путь тернист,
Вновь выбирай (и ты не ошибешься!)
Путь в бесконечность – Мёбиуса лист.

Тема моей работы далеко не исчерпана. Я продолжу изучение этой темы в будущем.

Литература:

1. Гарднер М., «Математические чудеса и тайны» М: Наука, 1986.
2. Квант: научно-популярный журнал. – 1975, № 7; 1977, № 7.
3. Смирнов С. Г. Библиотека «Математическое просвещение». – Вып. 27. – М.: МЦНМО, 2003
4. Журнал. Математика в школе № 3 / 2007 г. Лист Мёбиуса. С.31. Н.Никифорова, А.Устинов.
5. Ресурсы интернет  http://ru.wikipedia.org/wiki/

Городская научно-практическая конференция учащихся

«В науку шаг за шагом»

Тема:

«Лента Мебиуса»

Выполнен ученицей

 5 класса «Б»

МБОУ «СОШ № 12»

Сусакина Наталья

Руководитель-

учитель

математики

Баринова Ольга

 Анатольевна

Донской, 2013

Рецензия

на работу « Лист Мёбиуса »

ученицы 5 «Б» класса МБОУ

«СОШ №12»

Сусакиной Натальи

        Работа «Лента Мебиуса»  выполнена ученицей пятого класса, которая пытается сама добыть некоторые математические знания, ранее ей неизвестные. Проблема, рассмотренная в данной работе, актуальна на сегодняшний день, т.к. в современном мире приветствуется изучение различных свойств и нестандартных применений.    Интересность  Ленты Мёбиуса в том, что она имеет широкое применение  в быту, науке, технике, в искусстве.    

       Работа включает в себя следующие разделы: «Введение», «Лента Мебиуса- история открытия», «Что такое   топология», «Основные свойства ленты Мёбиуса», «Эксперименты, результаты экспериментов, выводы», «Применение ленты Мёбиуса»,  «Заключение», «Список использованной литературы».

      В работе сформулирована цель, определены задачи.  Приводится  краткий обзор понятия топология. Дается краткая биография А. Мебиуса, приводит  историческую  справку по данному изобретению.

      В основной части работы описываются основные свойства ленты Мебиуса. Далее демонстрируется ряд экспериментов с ней, на основании которых сформулирован вывод. Работа отвечает поставленной цели –  изучение свойств ленты Мебиуса. Работа имеет практическую направленность,  так как дети данного возрасте любят  фокусы и проделывают их.

      Работа содержательна, носит  научный и познавательный характер, указана литература. Подробно описана практическая значимость ленты Мёбиуса. При выполнении работы используются методы: частично – поисковый, анализ библиографических данных, исследовательский.

Работа заслуживает внимания, интересна и поучительна. Ее материалы могут быть использованы учащимися для углубления знаний по математике и учителями для внеклассных занятий по математике.

Рецензент:                

Городская научно-практическая конференция учащихся

« В науку шаг за шагом»

Лента Мебиуса

Доклад (тезисы)

Выполнен ученицей

5 б  класса

МБОУ «СОШ № 12»

Сусакиной Натальей

Алексеевной

Руководитель-

учитель математики

 Баринова Ольга Анатольевна

Донской, 2013

     Выбранная тема «Лента Мёбиуса (Лист Мёбиуса)», интересная, содержательная и увлекательная. В современном мире  актуально изучение различных свойств и нестандартных применений.  Интересность  Ленты Мёбиуса в том, что она имеет широкое применение  в науке, технике,  искусстве и быту: абразивные ремни для заточки инструментов, красящие ремни для печатающих устройств, ременные передачи, магнитофонные ленты и т.д. Поэтому мы занялись поиском различной информации о ней, проводить опыты и эксперименты, и объектом исследования стала лента Мебиуса. Свойства данного листа изучали на наглядных примерах.  Мёбиус сделал своё открытие давно, но и в настоящее  время оно  популярно, так как свойства ленты Мебиуса продолжают быть объектом исследования ученых, для нахождения новых способов применения ее быту в технике;  подросткам, интересное и увлекательное занятие, которое расширяет кругозор и прививает интерес к  математике.

Цель:  Изучить свойства ленты Мебиуса,  опытно-экспериментальным путем проверить их  и  найти, где они  используются.

Предмет исследования: Лента Мебиуса – как модель односторонней поверхности.

Объект исследования:  Лента Мебиуса, ее свойства и  использование.

Задачи:

1. собрать информацию об  истории возникновения ленты Мебиуса;
2. изучить  топологические свойства ленты Мебиуса;  
3. провести эксперименты с лентой Мебиуса;
4. проверить опытно-экспериментальным путем  свойства ленты Мебиуса;
5. проанализировать полученную информацию по данному вопросу;
6. показать  использование ленты Мебиуса в жизни.

Выполняя данную работу, получены следующие знания:

1. Лента Мёбиуса - односторонняя поверхность;
2. Лента Мебиуса – обладает замечательными свойствами, проверенными экспериментально: это односторонняя поверхность,  непрерывность,  

связность, ориентированность,  хроматический номер;

3. Лента Мёбиуса -  используется в науке, технике, искусстве и быту;
4. Лента Мебиуса – объект развлечения

         Лента Мёбиуса обладает любопытными свойствами. Если попробовать разрезать ленту вдоль по линии, равноудалённой от краёв, вместо двух лент Мёбиуса получится одна длинная двухсторонняя (вдвое больше закрученная, чем лента Мёбиуса) лента, которую фокусники называют «афганская лента». Если теперь эту ленту разрезать вдоль посередине, получаются две ленты, намотанные друг на друга. Если же разрезать ленту Мёбиуса, отступая от края приблизительно на треть её ширины, то получаются две ленты, одна — более тонкая лента Мёбиуса, другая — длинная лента с двумя полуоборотами (Афганская лента). Другие интересные комбинации лент могут быть получены из лент Мёбиуса с двумя или более полуоборотами в них. Например, если разрезать ленту с тремя полуоборотами, то получится лента, завитая в узел трилистника. Разрез ленты Мёбиуса с дополнительными оборотами даёт неожиданные фигуры, названные парадромными кольцами.
Таким образом, изучались свойства ленты на наглядных примерах.
Они могут быть полезными для тех, кто начинает изучать топологию, так как более просты и понятны для восприятия.

    В проводимой работе были использованы энциклопедические издания, статьи в научно-популярных журналах, книгах,  материалы сети интернет.

    Главным  источником в работе послужила книга Гарднер М. Математические чудеса и тайны.

    Большую ценность представляют статьи в журналах «Математика в школе», «Квант». Авторы этих статей, описывают удивительные свойства листа Мебиуса.

    Изучая  свойства ленты Мебиуса,  подтверждая их опытно-экспериментальным путем  мы пришли к следующим выводам:

    Практическая значимость настоящего исследования, заключается в следующем, что данный материал может использоваться на уроках и внеклассных мероприятиях по математике.