Звездчатые многогранники

В раннем детстве все мы играли кубиками, пирамидками, с интересом разглядывали мамины и бабушкины серьги и кольца с камушками. Придя в школу, с удивлением узнали, что держали в руках правильные многогранники, а камушки, не что иное как октаэдры.

Многогранники имеют не только значение при геометрических исследованиях по геометрии, но и для практических приложений в других разделах математики. Формы многогранников находят широкое применение в конструировании сложных и красивых многогранных поверхностей, которые используются в реальных архитектурных проектах. Идёт это с глубокой древности. "Только неотступно следуя законам геометрии, архитекторы древности могли создать свои шедевры. Не случайно говорят, что пирамида Хеопса - немой трактат по геометрии, а греческая архитектура - внешнее выражение геометрии Евклида. Прошли века, но роль геометрии не изменилась. Она по-прежнему остаётся грамматикой архитектора" - это высказывание принадлежит великому французскому архитектору Ле Корбюзье. Поэтому мне захотелось, чтобы вы больше узнали о многогранниках и научились изготавливать их различные модели.

Цель работы: Раскрыть тайны моделирования звёздчатых многогранников.

Задачи:

Проследить историю развития многогранников.

Расширить знания о звёздчатых многогранниках.

Исследовать способы изготовления различных моделей звёздчатых многогранников.

Доказать, что многогранники - слагаемые прекрасного.

Что такое многогранник?

1. Многогранник - это тело, поверхность которого состоит из конечного числа плоских многоугольников.

2. Многогранник - это тело, граница которого является объединением конечного числа многоугольников.

Сколько правильных многогранников существует?

Существует бесконечно много различных правильных многоугольников, но лишь пять различных правильных многогранников: тетраэдр, куб (гексаэдр), октаэдр, додекаэдр, икосаэдр. Доказательство этого факта известно уже более двух тысяч лет; этим доказательством и изучением пяти правильных тел завершаются Начала Евклида.

Иоганн Кеплер, для которого правильные многогранники были любимым предметом изучения, предположил, что существует связь между пятью правильными многогранниками и шестью открытыми к тому времени планетами Солнечной системы. Такая модель Солнечной системы получила название "Космического кубка" Кеплера. Идеи Кеплера оказались ошибочными, но без гипотез, иногда самых неожиданных, казалось бы бредовых, не может существовать наука.

Икосаэдро-додекаэдровая структура Земли. Существует много данных о сравнении структур и процессов Земли с правильными многогранниками.

Существует гипотеза, по которой ядро Земли имеет форму и свойства растущего кристалла, оказывающего воздействие на развитие всех природных процессов, идущих на планете. "Лучи" этого кристалла, а точнее его силовое поле, обусловливают то, что в земной коре как бы проступают проекции вписанных в земной шар правильных многогранников: икосаэдра и додекаэдра. 62 их вершины и середины ребер, называемые узлами, оказывается, обладают рядом специфичecких свойств, позволяющих объяснить многие непонятные явления.

Если нанести на глобус очаги наиболее крупных и примечательных культур и цивилизаций Древнего мира, можно заметить закономерность в их расположении относительно географических полюсов и экватора планеты. Многие залежи полезных ископаемых тянутся вдоль икосаэдрово-додекаэдровой сетки.

Еще более удивительные вещи происходят в местах пересечения этих ребер: тут располагаются очаги древнейших культур и цивилизаций: Перу, Северная Монголия, Гаити, Обская культура и другие. В этих точках наблюдаются максимумы и минимумы атмосферного давления, гигантские завихрения Мирового океана, здесь шотландское озеро Лох-Несс, Бермудский треугольник. Дальнейшие исследования Земли, возможно, определят отношение к этой красивой научной гипотезе, в которой, как видно, правильные многогранники занимают важное место.

Советские инженеры В. Макаров и В. Морозов потратили десятилетия на исследование данного вопроса. Они пришли к выводу, что развитие Земли шло поэтапно, и в настоящее время процессы, происходящие на поверхности Земли, привели к появлению залежей с икосаэдро-додекаэдровым узором. Еще в 1929 году С.Н. Кислицин в своих работах сопоставлял структуру додекаэдра-икосаэдра с залежами нефти и алмазов.

Двадцать районов планеты (вершины додекаэдра) - центры поясов выходящего вещества, основывающих биологическую жизнь (флора, фауна, человек). Центры всех магнитных аномалий и магнитного поля планеты расположены в узлах системы треугольников. К тому же согласно исследованиям авторов, в настоящую эпоху все ближайшие небесные тела свои процессы располагают согласно додекаэдро-икосаэдрной системе, что замечено у Марса, Венеры, Солнца. Аналогичные энергетические каркасы присущи всем элементам Космоса (Галактики, звезды и т. д.). Нечто похожее наблюдается и в микроструктурах. Например, строение аденовирусов имеет форму икосаэдра.

Звездчатые многогранники.

Термин "звёздчатый" имеет общий корень со словом "звезда", и это указывает на его происхождение. Существуют звездчатые многоугольники и звездчатые многогранники. Звездчатые многогранники очень декоративны, что позволяет широко применять их в ювелирной промышленности при изготовлении всевозможных украшений. Применяются они и в архитектуре. Многие формы звездчатых многогранников подсказывает сама природа. Снежинки - это звездчатые многогранники. С древности люди пытались описать все возможные типы снежинок, составляли специальные атласы. Сейчас известно несколько тысяч различных типов снежинок.

Чтобы разобраться в существе дела, обратимся к чертежам и моделям.

Звёздчатый октаэдр.

Был открыт Леонардо Да Винчи, затем спустя почти 100 лет переоткрыт И.Кеплером, и назван им " стелла октангула " - звезда восьмиугольная. Отсюда октаэдр имеет и второе название " стелла октангула Кеплера".

У октаэдра есть только одна звёздчатая форма. Её можно рассматривать как соединение двух тетраэдров. Она встречается и в природе: это так называемый двойной кристалл. Для изготовления модели вам потребуются заготовки лишь одного типа - одинаковые равносторонние треугольники.  Звёздчатый октаэдр (stella octangula Кеплера). Для изготовления модели вам потребуются заготовки лишь одного типа — одинаковые равносторонние треугольники. Они подклеиваются друг к другу таким образом, чтобы отсутствующие нижние основания образовывали как бы верхушку октаэдра. При этом грани октаэдра на самом деле будут заменены этими пирамидами. Сделав половину модели, вы заметите, что каждая её грань окрашена в собственный цвет1. Вы также обнаружите, что параллельные грани имеют одну расцветку. Остающиеся четыре пирамиды энантиоморфны первым.

 Малый звёздчатый додекаэдр.

Икосаэдр и додекаэдр дарят миру сразу четыре "почти правильных многогранника". Один из них - малый звездчатый додекаэдр, полученный впервые Иоганном Кеплером.

Этот многогранник — одно из тел Кеплера — Пуансо. В качестве трафарета вам необходим всего лишь равнобедренный треугольник с углами 72°, 72° и 36°. Такой треугольник образует любой луч пятиконечной звезды — пентаграммы. Пять склеенных треугольников образуют часть модели, примыкающую к любой вершине. Справа указаны порядок склеивания и распределение раскраски.

Большой додекаэдр.

Кеплер не додумался, что у полученной им фигуры есть двойник. Многогранник, который называется "большой додекаэдр" - построил французский геометр Луи Пуансон спустя двести лет после кеплеровских звездчатых фигур.

Большой звездчатый додекаэдр.

Большой звездчатый додекаэдр был впервые описан Кеплером в 1619 г. Это последняя звёздчатая форма правильного додекаэдра.

У большого додекаэдра гранями являются пятиугольники, которые, сходятся по пять в каждой из вершин. У малого звёздчатого и большого звёздчатого додекаэдров грани - пятиконечные звёзды (пентаграммы), которые в первом случае сходятся по 5, а во втором по 3.Вершины большого звёздчатого додекаэдра совпадают с вершинами описанного додекаэдра. У каждой вершины соединяются три грани.

Большой икосаэдр.

Большой икосаэдр был впервые описан Луи Пуансон в 1809 году. И опять Кеплер, "увидев" большой звездчатый додекаэдр, честь открытия второй фигуры оставил Луи Пуансону. Из рассмотренных до сих пор многогранников, пожалуй, самым красивым и декоративным является большой икосаэдр - последний из четырёх правильных звёздчатых многогранников Кеплера - Пуансо. Его вершины представляют собой центры правильных пятиугольных звёзд, выступающих из тела многогранника. Это свойство роднит большой икосаэдр с большим додекаэдром и выделяет эти два тела из всего множества однородных многогранников. Многие однородные многогранники имеют звёздчатые грани, но подобного строения вершин вы больше не встретите.

Коши Огюстен Луи  (1811) доказал, что все эти многогранники, открытые ранее, на самом деле являются единственно возможными правильными звёздчатыми телами. Так, к пяти правильным телам, известным ещё древним учёным, математики более близкой к нам эпохи добавили четыре звёздчатых многогранника, гранями которых могут быть правильные или звёздчатые многоугольники. По-прежнему грани соединяются попарно в рёбрах, но до этого они пересекаются с другими гранями. При этом внутренние линии пересечения не считаются рёбрами. Все эти свойства отчётливо прослеживаются на моделях звёздчатых тел.

Мы рассмотрели только небольшую часть удивительного мира земных звезд - правильные звездчатые многогранники. Благодаря правильным многогранникам открываются не только удивительные свойства геометрических фигур, но и пути познания природной гармонии.

Звездчатые многогранники очень декоративны, что позволяет широко применять их в ювелирной промышленности при изготовлении всевозможных украшений. Применяются они и в архитектуре.

Многие формы звездчатых многогранников подсказывает сама природа в виде кристаллов. Снежинки - это тоже звездчатые многогранники. С древности люди пытались описать все возможные типы снежинок, составляли специальные атласы. Сейчас известно несколько тысяч различных типов снежинок.

Модель большого додекаэдра использовали в качестве памятника к одной из годовщин Победы. Установлена она на питерском проспекте Науки (недалеко от метро "Академическая").

Ниже показана мраморная инкрустация, которая изображает небольшой звездчатый додекаэдр, расположенных в полу базилики святого Марка в Венеции. Предположительно она была создана итальянским художником XIV века Пауло Учелло еще в 1420 году. Если это действительно так то открытие многогранника произошло за двести лет до математического описания этого же многогранник в 1619 Кеплером.

Гравюры Эшера Мориса