Исследовательская работа Тема: «Элементы сферической геометрии»

МБОУ ДОД Дворец творчества детей и молодежи города Ростова-на-Дону

Донская академия наук юных исследователей им. Ю.А. Жданова

Наименование  секции: математика

Исследовательская  работа

Тема:  «Элементы сферической геометрии»

Автор  работы: 

Аскандарова Залина, 11класс

МБОУСОШ №6

 Руководитель:

Дуванская Татьяна Ивановна,

учитель математики первой квалификационной  категории.

г. Сальск

2012 г.

Оглавление

Введение

1.Основные понятия сферической геометрии…………………..4-7

2.Сферическии треугольник……………………………………..8-10

3.Сферическая теорема синусов…………………………………11-12

4.Сферическая теорема косинусов………………………………13-15

5.Решение сферических треугольников…………………………16-18

6.Примеры решения задач………………………………….19-21

Заключение……………………………………………………22

Список литературы ………………………………………...........23

Введение

Еще древние греки считали окружность (круг) и сферу (шар) идеальными формами. Форму шара имеет наша планета и большинство космических тел. А так как планеты, Солнце, Луна и звёзды движутся по воображаемой «небесной сфере», то естественно, для изучения их движения потребовалось знание геометрии сферы.

В настоящее время, существуют различные науки, в основе которых лежит сферическая геометрия. Например, значительный раздел математической картографии — картометрия, которая позволяет по данным карты измерять расстояния, углы и площади на реальной поверхности Земли.

В программе школьного курса геометрии изучению сферы отводится очень мало времени, при этом рассматриваются только основные понятия, и совсем не уделяется внимание фигурам на сфере. Выбор темы «Элементы сферической геометрии», как темы моей исследовательской работы, обусловлен тем, что в настоящее время сферическая геометрия особенно широкое применение находит в астрономии, геодезии, навигации и картографии.

Гипотеза: элементы сферы выражаются формулами отличными от формул евклидовой геометрии.

Цель работы — выявить основные элементы сферической геометрии и описать важнейшие положения данной области научного знания.

В своей работе я изложила основные понятия сферической геометрии, рассмотрела важнейшие закономерности в этой области знания.

Структура работы обусловлена целью исследования. Работа состоит из двух частей: в первой приводится общая теория о сфере, понятие сферического треугольника, сферические теоремы синусов и косинусов, двойственная теорема косинусов

Во второй части работы я рассмотрела решения задач на применение рассмотренных теорем, а также задачи практического характера.

Теоретический материал представлен в форме доступной для понимания учащимися старших классов, подобраны и решены задачи по сферической геометрии.

1.Основные понятия сферической геометрии

Сфера, большая и малая окружности

Сферой называется геометрическое место точек пространства, расположенных на данном расстоянии от данной точки, называемой её центром.

Отрезок, соединяющий центр сферы с какой-либо его точкой, называется радиусом сферы.

Отрезок, соединяющий две точки сферы и проходящий, кроме того, через его центр, называется диаметром. Из определения следует, что все радиусы равны и что диаметр равен удвоенному радиусу.

Плоскость, проходящая через центр сферы, называется диаметральной плоскостью.

В этом случае окружность на сфере и называется большой окружностью. В геометрии на сфере большие окружности играют роль прямых на плоскости.

Так как через всякие три точки пространства, не лежащие на одной прямой, проходит единственная плоскость, то через всякие две точки сферы, не являющиеся диаметрально противоположными, проходит единственная большая окружность (рис.1). Этот факт вполне аналогичен тому, что на плоскости через всякие две точки проходит единственная прямая. Через две диаметрально противоположные точки сферы, напротив, можно провести бесконечное множество больших окружностей (рис.2).

 Так как всякие две диаметральные плоскости сферы пересекаются по её диаметру, то всякие две большие окружности пересекаются в двух диаметрально противоположных точках сферы (рис.4). Здесь наблюдается отличие сферической геометрии от плоской геометрии, в которой две прямые пересекаются не более чем в одной точке.

Рис 1                                             Рис 2

-Так как плоскость делит пространство на две области, то большая окружность делит сферу на две области; эти области называются полусферами, а сама окружность – краем этих полусфер.

- Так как две пересекающееся плоскости делят пространство на четыре области, то две большие окружности делят сферу на четыре области (рис.3).

-Так как три плоскости, пересекающиеся в одной точке, делят пространство на восемь областей, то три большие окружности, не пересекающиеся в одной точке, делят сферу на восемь областей (на рис.4)

Рис 3                                                 Рис 4.

Если первые два из этих свойств аналогичны свойствам прямых на плоскости, которая делится на две области прямой и на четыре области двумя пересекающимися прямыми, то третье из указанных свойств не вполне аналогично соответствующему свойству прямых на плоскости, так как три попарно пересекающиеся прямые, не проходящие все три через одну точку, делят плоскость не на восемь, а на семь частей (рис.5).

Рис 5.

Сферический отрезок, соединяющий две точки на сфере- кратчайшая из двух дуг большой окружности (АВ), проходящей через две не диаметрально противоположные точки A и В сферы.

Если две точки сферы А и В не являются диаметрально противоположными, то существует единственная плоскость, проходящая через центр сферы и эти две точки. Линия пересечения этой плоскости со сферой есть большая окружность, а меньшую из двух дуг этой окружности, соединяющий точки    А и В, является единственным сферическим отрезком, соединяющим точки А и В.

Если точки А и В диаметрально противоположны на сфере, существует бесконечное число больших окружностей, проходящих через эти две точки, причем эти две точки делят каждую такую большую окружность на две полуокружности, которые являются сферическими отрезками, соединяющими точки А и В (рис.6).

Рис.6

Сферический отрезок обладает замечательным минимальным свойством (как и отрезок на плоскости).

Теорема (минимальное свойство сферического отрезка).

Сферический отрезок, соединяющий две точки на сфере, короче любой другой линии на сфере, соединяющий эти две точки (рис.7).

Рис.7

Угол на сфере

Величина внутреннего угла при вершине В сферического многоугольника, образованного  дугами АВ и ВС на сфере, определяется как угол между двумя лучами, которые выходят из точки В и касаются дуг АВ и ВС в точке В. Поскольку эти лучи  перпендикулярны радиусу ОВ, то угол при вершине В равен двугранному углу между плоскостями ОАВ и ОВС. Понятно, что два угла сферического двуугольника всегда равны (рис.8).

рис.8

Многоугольники на сфере

Сферическим многоугольником называется часть сферы, ограниченная дугами больших окружностей, меньшими полуокружности, концами которых служат точки пересечения этих больших окружностей, взятых в последовательном порядке.

Сферический многоугольник называется выпуклым, если он расположен по одну сторону от каждого из больших кругов, частью которых служат его стороны; в противном случае он называется вогнутым.

В случае, когда многоугольник выпуклый каждый большой круг, частью которого служит сторона многоугольника, делит сферу на две полусферы, из которых одна содержит весь многоугольник; общая область R всех таких полусфер, содержащих данный многоугольник, и будет внутренней областью многоугольника (рис 9, 10).

Рис. 10

Рис. 9

Сферический двуугольник-фигура,образованная двумя полуокружностями больших кругов сферы, исходящими из диаметрально противоположных точек

В отличие от плоскости, где треугольник является многоугольником с наименьшим числом сторон, на сфере имеются многоугольники с числом сторон меньше трех- двуугольники. Двуугольником является часть сферы, ограниченная двумя половинами больших окружностей с общими концами; эти общие концы, называемые вершинами двуугольника, являются диаметрально противоположными точками сферы.

2. Сферический треугольник.

Рис. 11

Сферическим треугольником называется фигура, состоящая из трех точек сферы и трех отрезков, попарно соединяющей эти точки. Здесь под отрезками понимаем меньшую из двух дуг большой окружности, проходящей через эти точки.

        Пусть ABC – сферический треугольник, - радиус векторы вершин.(рис.12) Обозначим дуги , соответственно через  с, b, а.

Рис. 12

Углом между дугами понимают угол между их касательными векторами. Обозначим - угол между дугами и , - угол между и , - между 

Три больших окружности, пересекаясь попарно в двух точках, образуют на сфере восемь сферических треугольников. Зная элементы (стороны и углы) одного из них

Рис. 12

можно определить элементы всех остальных, поэтому рассматривают соотношение между элементами одного из них, того, у которого все стороны меньше половины большой окружности.(рис.13)

Рис. 13

Многие свойства сферического треугольника (а оно одновременно являются и свойствами трехгранных углов) почти полностью повторяют свойства обычного треугольника, среди них- неравенство треугольника или, например, три признака равенства треугольника. Все планиметрические следствия упомянутых теорем вместе с их доказательствами остаются справедливыми на сфере.

Сумма углов всякого сферического треугольника всегда больше 180 . Разность (измеряется в радианах) – величина положительная и называется сферическим избытком данного сферического треугольника.

Равнобедренные сферические треугольники

Сферический треугольник называется равнобедренным, если две его стороны равны.

Всякий сферический треугольник, наложимый на треугольник, ему симметричный, - равнобедренный.

Действительно, в силу того, что оба треугольника имеют противоположное расположение, невозможно наложить один треугольник на другой так, чтобы совпадали соответственные вершины, т.е. вершины, находящиеся первоначально на концах одного диаметра; если бы среди сторон треугольника не было равных между собой, то такое наложение было бы невозможно и ни каким другим образом.

Обратно, всякий равнобедренный сферический треугольник наложим на треугольник, ему симметричный.

Если треугольник А'В'С' симметричен треугольнику АВС и если АВ равно АС, то два треугольника АВС и А'С'В', имеющие (при выбранном порядке вершин каждого из них) одно и тоже расположение, равны по второму признаку равенства.

Теорема. В равнобедренном сферическом треугольнике углы, противолежащие равным сторонам, равны.

Действительно, при совмещении треугольника АВС (АВ=АС) с симметричным ему треугольником А'С'В' угол, совпадающий с углом В', есть угол С'; таким образом, оба эти угла равны, и тоже самое имеет место и для углов С и В'.

Обратно, всякий сферический треугольник, два угла которого равны, равнобедренный.

Действительно, если АВС сферический треугольник, в которомÐВ=ÐС и треугольник А'В'С' – треугольник, ему симметричный, то треугольники АВС и А'С'В', имеющие одинаковое расположение равны по первому признаку равенства, и, следовательно, АВ=А'С'=АС.

Площадь сферического треугольника

Будем называть площадью сферической фигуры, по аналогии с площадью плоской фигуры, действительное число, удовлетворяющее следующим четырём требованиям:

1. площадь сферической фигуры является положительным числом, (свойство позитивности),
2. площадь сферической фигуры не изменяется при движении (свойство инвариантности),
3. если сферическая фигура разложена на две сферические фигуры, то площадь данной фигуры равна сумме площадей двух фигур, на которые она разложена (свойство аддитивности),
4. Площадь всей сферы радиуса R равна 4pR2 (свойство нормировки).

3.Сферическая теорема синусов

Теорема. Синусы сторон сферического треугольника относятся как синусы противолежащих углов.

Пусть длины сторон сферического треугольника (рис. 14) равны а, b, с, а противолежащие им углы этого треугольника равны А, В, С соответственно, r- радиус сферы, тогда

Рис.14

                 рис.15                                 рис.16

Доказательство: В сферическом треугольнике ABC проведем  высоту СН — дугу большой окружности, перпендикулярную большой окружности АВ (рис. 15). Длине высоты |СН|sотвечает величина угла СОH: если , то |CH|s=Rφ. Это наводит на следующее построение для соответствующего трехгранного угла ОАВС. Возьмем на ребре ОС произвольную точку C1 и проведем из нее перпендикуляры С1А1 к (ОA), С1В1к (ОB) и С1Н1к плоскости ОАВ (рис. 16); мы опять рассматриваем случай острых углов α, β, . По теореме о трех перпендикулярах (H1A1)(OA), (H1B1)(OB), поэтому углы C1A1H1и C1B1H1будут линейными углами соответствующих двугранных углов:. Из прямоугольных треугольников OA1C1и С1Н1А1, обозначив |OC1|=z, находим:

 (1.1)

Аналогично из прямоугольных треугольников ОВ1С1и C1H1B1

 (1.2)

Приравнивая правые части равенств (1.1) и (1.2), получим:

откуда

Точно так же доказывается, что

Получающиеся в итоге формулы

и составляют содержание теоремы  синусов для  сферических треугольников или трехгранных углов.

5.Сферическая теорема косинусов:

                (1.4) 

Доказательство проведём с помощью проекций. На рисунке показан сферический треугольник ABC на сфере радиуса R с центром в точке O. BP — перпендикуляр к плоскости большого круга, проходящего через сторону b, BM — перпендикуляр к OC, BN — перпендикуляр к OA. По утверждению, обратному теореме о трёх перпендикулярах, PM — перпендикуляр к OC, PN — перпендикуляр к OA. Заметим, что угол PMB равен π - C,кроме того,ON = Rcosc и OM = R cos a. Далее, проецируем ломаную OMPN на прямую, содержащую ON.

,

,

,

.

Подставляем три последних выражения и указанное выше выражение ON = R cos c в первое выражение и получаем:

.

Теоремы косинусов для двух других сторон, то есть теорему для cos a и теорему для cos b, получаем аналогично, их также можно получить сразу из формулы для стороны c при помощи круговой перестановки букв:

  Теоремы косинусов для сферического треугольника со сторонами a, b, c и углами A, B, C имеют следующий вид:

Эти две теоремы двойственны по отношению друг к другу, поскольку углы и стороны всякого сферического треугольника дополняются до развёрнутого угла сторонами и углами соответствующего полярного треугольника.

Следствие.

  Если угол C — прямой, первая теорема косинусов переходит в сферическую теорему Пифагора:

Теперь сформулируем и докажем двойственную теорему косинусов:

(1.7)

Запишем для полярного треугольника A’B’C’ теорему косинусов

С учетом формул (1.6), получим (1.7).

 Заметим, что внешне формулы косинусов на плоскости и на сфере непохожи. С другой стороны, на маленьких участках сферу можно считать «почти плоской», тогда (т. е. при малых по сравнению с радиусом Rсферы длинах сторон сферического треугольника ABC) сферическая теорема косинусов должна «почти перейти» в планиметрическую, и то же самое для теоремы синусов. Проверим, так ли это.

Длины сторон а, b, сферического треугольника ABC связаны с соответствующими плоскими углами α, β, γ трехгранного

угла ОАВС формулами

,

поэтому рассматриваемый случай (а, b, с много меньше, чем R) отвечает тому, что α0, β0, γ0. Вспомним, что при малых φ значение sinφ приближенно равно φ:

Отсюда можно вывести аналогичную приближенную формулу для соsφ при малых φ:

Подставляя соответствующие приближения в формулы синусов и косинусов (формулы (6) и (3)), получим приближенные формулы для малых сферических треугольников:

откуда

(отбросила в предпоследнем соотношении слагаемое четвертой степени , поскольку оно мало по сравнению со слагаемыми второй степени —  ). Подставляя в полученные формулы  , действительно получаются обычные теоремы синусов и косинусов.

5.Решение сферических треугольников

Выведенные тригонометрические соотношения позволяют «решить сферический треугольник» по любым трем из его элементов (сторон и углов).

1. Даны три стороны сферического треугольника. Найти углы треугольника. 

Решение: по формуле, выражающей теорему косинусов, находим

и аналогично находим соsВ и  соs С.

2. Даны две стороны сферического треугольника и угол между ними, например стороны b, с и угол А. Найти остальные элементы треугольника. Решение:  сторону а найдем из теоремы косинусов. Зная все три стороны сферического треугольника, найдем его остальные углы, как указано выше.

3. Даны две стороны сферического треугольника и угол, лежащий против одной из них, например стороны а, b и угол A. . Найти остальные элементы треугольника.

Решение: по теореме синусов находим

        .

Заметим, что эта формула даёт для В два значения, дополняющих друг друга доp; это соответствует тому, что в общем случае два сферических треугольника с двумя соответственно равными сторонами и равными углами, лежащими против одной из этих сторон, не обязательно равны, а возможен случай, когда углы этих треугольников, лежащих против другой стороны, дополняют друг друга до p.

Для определения стороны с и угла С проведём через вершину С дугу большой окружности АВ. Если эти большие окружности пересекаются в точке D, то рассмотрим прямоугольные сферические треугольники АСD и ВСD (рис. 19). В этих треугольниках известны гипотенузы b и а и углы при вершинах Аи В. Второй катет каждого из этих треугольников определяется по первым формулам тангенсов, а угол при вершине С определится по формуле котангенсов.  

Рис.19

Сторона с и угол C сферического треугольника АВС являются суммами найденных сторон или углов прямоугольных треугольников, если точка D лежит на стороне АВ, и разностям и этих сторон или углов, если точка D лежит на продолжении стороны АВ. Именно, если оба угла A,В в исходном треугольнике АВС являются острыми или оба тупыми, то перпендикулярная к АВ окружность, проходящая через точку C,   пересекает  окружность   АВ в двух точках, одна из которых  лежит на дуге АВ; эту точку и следует принять за D в рассматриваемом случае. Таким образом, углы при вершинах Аи В в прямоугольных треугольниках АСD и ВСD совпадают с углами А и В исходного треугольника АВС, а сторона с и угол С треугольника АВС являются суммами найденных нами сторон или углов прямоугольных треугольников АСD и ВСD. Если же в треугольнике АВС один из углов A, В острый, а второй—тупой, то перпендикулярная к АВ окружность, проходящая через точку С, пересекает окружность АВ в двух точках, ни одна из которых не лежит на дуге АВ. В этом случае за D можно принять

Любую из этих точек, например ту, которая лежит на продолжении стороны АВ за точку В(рис. 20).

Рис. 20

Таким образом, угол при вершине А в ∆АСD равен углу А треугольника АВС, а угол при вершине В в ∆ВСD равен p — В. При этом сторона с и угол С треугольника АВС являются разностями сторон АD, ВD или углов при вершине С треугольников АСD и ВСD. Наконец, если один из углов A, В (например, А) прямой, то треугольник АВС прямоугольный, и для нахождения стороны с и угла С можно в атом случае воспользоваться формулами  ,.

4. Даны три угла сферического треугольника. . Найти остальные элементы треугольника.

Решение: по формуле  двойственной теоремы косинусов находим

и аналогично находим  и .

5. Даны два угла сферического треугольника и сторона между ними, например сторона а и углы B и C. . Найти остальные элементы треугольника.

Решение: угол А найдем по формуле  двойственной теоремы косинусов. Зная все три угла сферического треугольника, найдем его остальные стороны, как указано выше.

6. Даны два угла сферического треугольника и сторона, лежащая против одного из них, например углы А и В и сторона а. . Найти остальные элементы треугольника.

Решение: по теореме синусов находим

                .

Заметим, что эта формула дает для b два значения, дополняющих друг друга до pr; это соответствует тому, что в общем случае два сферических треугольника с двумя соответственно равными углами и равными сторонами, лежащими против одного из этих углов, не обязательно равны, а возможен случай, когда стороны этих треугольников, лежащие против другого угла, дополняют друг друга до pr. Сторону с и угол С по углам А, В и сторонам а, b найдем, как указано выше.

6.Примеры решения задач:

Определение метра и морской мили

1. R=6367 км – радиус Земного шара.
2. Длина большой окружности Земли
3. L=2πR
4. L=2·3,1416·6367=40000 км.
5. Один метр – одна 40- миллионная часть длины земного экватора.
6. Морская миля равна одной угловой минуте на земном меридиане.
7. В 60·360=21600 раз короче длины большой окружности земного шара.
8. 1 морская миля равна  40000000м:21600=1852м
9. Длина земного экватора равна ровно 21600 морских миль

Задача1.Мореплаватель Христофор Колумб проплыл 1800 миль в одном направлении из точки А к точке В, повернул на 60 градусов и проплыл в новом направлении еще 2700 миль, оказался в точке С. Требуется найти расстояние между точками А и С (по поверхности земного шара).

Решение:Обозначим через a, b и с длины дуг ВС, АС и АВ соответственно, y — внутренний угол при вершине В сферического треугольника АВС. Тогда,

где R= — радиус земного шара, выраженный в морских милях.По теореме косинусов для сферического треугольника

По таблицам или с помощью калькулятора находим, что

радиан.

Следовательно, длина дуги АС= b равна b = R*0.90662 = 3437.4*0.906623116.7 миль.

Ответ: 3117 морских миль 5772 км.

Задача 2. Вывести формулу длины ортодромии — кратчайшего расстояния между точками на земной поверхности с известными координатами (в предположении сферичности Земли).

Решение:Обозначим географические широты двух данных точек  и , разность долгот — , кратчайшее расстояние между ними обозначим d, длину дуги в 1 градус — a.(см.рис.) Тогда формула длины ортодромии:

Эта формула сразу получается применением теоремы косинусов к стороне AB сферического треугольника PnAB. Подобная формула справедлива для любой сферической поверхности и поэтому её можно применять также для определения углового расстояния между звёздами по известным их экваториальным координатам

Задача 3. Определить угловое расстояние между двумя светилами на небесной сфере .

Решение: Определим угловое расстояние (x) между звездой δ Цефея (экваториальные координаты: α1=22ч 29м, δ1=+58° 25′) и галактикой Туманность Андромеды (α2=0ч 43м, δ2=+41° 16′) на небесной сфере. Выражаем α1 в градусах и долях градуса:

Аналогично получаем, что α2=10°,75. Выражаем δ1 в градусах и долях градуса:

Аналогично δ2=41°,27. Применяем теорему косинусов:

Отсюда x=27°,11.

Заключение

В данной исследовательской работе я познакомилась со сферической геометрией, которая изучает геометрические образы, находящиеся на сфере, подобно тому, как планиметрия изучает геометрические образы, находящиеся на плоскости. Я  рассмотрела основные понятия, установила соответствие между сферической геометрией и планиметрией. А также рассмотрела практические задачи, необходимые мореплавателям, летчикам и космонавтам. В настоящее время сферическая геометрия особенно широкое применение находит в астрономии и геодезии (науке о форме и размерах Земли), навигации и картографии.

       Одной из важнейших астрономических задач, без которой невозможно решение всех остальных задач астрономии, является определение положения небесного светила на небесной сфере.

       Многие важные открытия, как в прошлом, так и сегодня были бы невозможными без упорного, тяжелого и часто незаметного труда ученых, посвятивших свою жизнь определению небесных координат светил.

      Без результатов 20-летнего труда Тихо Браге, этого искусного измерителя координат планет, Иоганн Кеплер не смог бы открыть законы движения планет вокруг Солнца. Точные определения положения светил на небесной сфере позволили установить, в частности, место малых планет и комет в Солнечной системе, открыть Нептун и Плутон. Методы определения координат небесных светил (их видимых положений на небе) разрабатывались на протяжении свыше двух тысячелетий. Сегодня они составляют один из важнейших разделов астрономии, который называется астрометрией.

Список литературы

1. Избранные вопросы математики: 10 Кл. Факультативный курс/А.М. Абрамов, Н.Я. Виленкин, Г.В. Дорофеев и др.; Сост.: С.И. Шварцбурд.- М.: Просвещение, 1980. - 191 с.
2. Атаносян Л.С. Геометрия. Часть 2. – М.: Просвещение, 1974.
3. Энциклопедия элементарной математики, книга IV, V. Геометрия. – М.: Наука, 1966. – 624 с.
4. Адамар Ж. Элементарная геометрия. Ч.2. М. Учпедгиз, 1958. Андреев
5. Базылев В.Т. Геометрия. М: Просвещение, 1975.
6. Базылев В.Т. Сборник задач по геометрии. М: Просвещение, 1980. -240с.
7. Егоров И.П. Основания геометрии. – М: Просвещение, 1984. – 144с.
8. Розенфельд Б.А. История неевклидовой геометрии. Развитие понятия о геометрическом пространстве. М. Наука., 1976. – 408с.
9. Энциклопедия элементарной математики. Кн.4 – Геометрия. М., 1963.
10. www.allbest.ru/referat
11. http://ru.wikipedia.org