Исследовательская работа Тема: «Алгебраический метод геометрических построений»

МБОУ ДОД Дворец творчества детей и молодежи города Ростова-на-Дону

Донская академия наук юных исследователей им. Ю.А. Жданова

Наименование  секции: математика

Исследовательская  работа

Тема:  «Алгебраический метод геометрических построений»

Автор  работы: 

Чистова Анастасия, 11класс

МБОУСОШ №6

 Руководитель:

Дуванская Татьяна Ивановна,

учитель математики первой квалификационной  категории.

                                                             г. Сальск

2012 г.

Оглавление

Введение

1. Суть алгебраического метода…………………………………...4
2. Формулы, использующиеся для построений……………… ..5-7
3. Примеры построения отрезков……………………………...8-13
4. Примеры решения задач…………………………………….14-15
5. Критерий разрешимости…………………………....…………16
6. Заключение……………………………………………………..17
7. Список используемой  литературы…………………………18

Введение

Выбор темы «Алгебраический метод геометрических построений», как темы моей исследовательской работы, обусловлен тем, что в программе школьного курса геометрии рассматриваются наиболее простые задачи на построение, тогда как на олимпиадах и на вступительных экзаменах часто встречаются задачи высокого уровня сложности.

Цель работы:

• проанализировать алгебраический метод решения задач на                       построение.
• выяснить, можно ли выразить формулой длину искомого отрезка через длины данных отрезков.
• рассмотреть решение задач с использованием данного метода
• Сформировать умение строить отрезки по данным формулам.

В моей исследовательской работе две части.

В первой части основного раздела «Алгебраический метод геометрических построений» рассмотрена сущность метода, приведены примеры основных построений.

Во второй части представлены решения задач на построение отрезков и фигур с использованием метода.

В конце работы представлен список используемой литературы

Данный материал может использоваться в качестве основы для элективного курса в классах физико-математического профиля, а также  при подготовке к олимпиадам.

1.Суть алгебраического метода.

Алгебраический метод решения задач на построении - один из важнейших методов теории конструктивных задач. Именно с помощью этого метода решаются вопросы, связанные с разрешимостью задач тем или иным набором инструментов.

Кроме того, это один из самых мощных методов, позволяющий решать многие задачи, решение которых обычными способами затруднительно. Метод прекрасно демонстрирует тесную взаимосвязь алгебры и геометрии.

Суть метода состоит в следующем:

а) задача сводится к построению некоторого отрезка;

б) используя известные геометрические соотношения между искомыми и данными, составляют уравнение (систему уравнений), связывающее искомые и данные;

в) решая уравнение или систему уравнений, выражают формулой длину искомого отрезка через длины данных;

г) по формуле строится искомый отрезок (если это возможно);

д) с помощью найденного отрезка строится искомая фигура.

2.Формулы, использующиеся для построений.

Подготовительную работу составляет изучение основных формул и способов построения, где также отрабатываются некоторые элементы схемы решения задач алгебраическим методом, и усваивается сама идея такого подхода к решению задач на построение.

В школьном курсе геометрии обычно рассматривают построения циркулем и линейкой отрезков, заданных следующими некоторыми простейшими формулами :

Формула №1   х = а + b (рис. 1).

Формула №2   х = а - b(а > b) (рис. 2).

Рис. 1                                                                             Рис.2

Формула №3   х = nа,

где n — натуральное число. Сводится к построению формулой №1. На рис. 3 построен отрезок х, такой, что х = 6а.

 Рис.3                                                     рис.4

Формула №4    х =  .

Строим луч, выходящий из какого-либо конца О данного отрезка а под произвольным углом к нему. Откладываем на этом луче n раз произвольный отрезок b, так что OB = nb (см. рис. 4). Соединяем точку В со вторым концом А отрезка а. Через точку В1, определяемую условием 0В1 = b, проводим прямую, параллельную АВ, и отмечаем точку A1, в которой она пересечет отрезок а.

Формула №5     х =

(построение отрезка, четвертого пропорционального трем данным отрезкам).

Запишем условие в виде пропорции с : а = b : х. Пусть (рис. 5) ОА = а, ОС = с, так что члены одного из отношений отложены на одном луче, исходящем из точки О. На другом луче, исходящем из той же точки под произвольным углом, откладываем известный член другого отношения ОB = b. Через точку А проводим прямую, параллельную ВС, и отмечаем точку X ее пересечения с прямой ОВ. Отрезок ОХ искомый, то есть ОХ = х

Рис.5

Формула №6  х =

(построение среднего пропорционального двух данных отрезков).

Строим отрезки АС = а, ВС = b, так что АВ = а + b. На АВ как на диаметре строим полуокружность (см. рис. 6). В точке С восставим перпендикуляр к АВ и отметим точку D его пересечения с окружностью. Тогда х = CD.

H

           Ррр                                    Рис.6

Формула №7    х =

Отрезок x строится как гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами а и b (см. рис. 7).

Рис.7

Формула №8   х =  (a > b).

 Отрезок x строится как катет прямоугольного треугольника с гипотенузой а и катетом b.

К рассмотренным построениям можно свести построение отрезков, заданных более сложными формулами.

3.Примеры построения отрезков.

Пример 1

Построить отрезок х, заданный формулой:

где отрезок а=3см; в=1см

Построение:

1)Строим

x1=

2) Строим x2  =

3) Строим х3 = 3*

        х3

                           x1                                                            x1                                                                     x1

4) Строим х4= (x2 – x3) + a

     І)  

                                                   X2

       x2 - x3                                                                         x3

ІІ)

        x2 - x3                                                                        

5) Строим х5=5*a

6) Строим х6=х5-х1

7) Строим х7=(а*х4)/х6

В итоге всех этих построений я построила искомый отрезок  х

В данном построении использованы формулы №1, №2,№3,№5

Пример 2

Построить отрезок х, заданный формулой:

X=, где отрезок  a=3см   ; b=1см

Построение:

Для того чтобы облегчить построение, упростим заданную формулу:

 Х=

Х=

1) Построим х1=

2) Построим x2 =

3) Построим x3 =

4) Построим X4 =

5) Построим x5 = , где АХ=Х5

6) Построим X6 =, где АХ=Х6

В итоге всех этих построений я нашла отрезок  X6 =х (искомому отрезку)

В данном построении использованы формулы №5, №7,№6.

4.Примеры решения задач.

Пример 3

Задача:

Из вершин данного треугольника, как из центров, описать три круга, которые попарно прикасаются внешне.

Решение. Пусть А, В, С— вершины данного треугольника, а,b, c— его стороны. Тогда

Поэтому

Следовательно

Построим один из отрезков, например, и проведем круг с центром в точке А радиуса, длина котрого равняется. Два других круга проводим из центров В и С соответственно радиусов  и .

Пример 4

Задача:

Через точку D, которая принадлежит стороне ВС треугольника АВС, провести прямую, которая разделяет площадь треугольника пополам. Решение. Пусть DE— искомый отрезок .

Тогда.Если – середина отрезка ВС, то  .

Следовательно  ;

Таким образом, чтобы найти точку Е,   проведем отрезокпараллельный AD. Отрезок DE — искомый.

Критерий разрешимости.

Анализ решенных мною задач, позволяет сделать  вывод о критерии разрешимости задач на построение алгебраическим методом.

Для того чтобы циркулем и линейкой можно было построить отрезок, необходимо и достаточно, чтобы длину искомого отрезка можно было выразить через длины даннях отрезков при помощи конечного числа основних действий.

Основные действия.

Под основными действиями понимают операции сложения, умножения, вычитания, деления, извлечение квадратного корня.

Заключение.

В исследовательской работе я познакомилась с алгебраическим методом геометрических построений. Я рассмотрела основные формулы для построения отрезков, установила критерий разрешимости задач. А так же рассмотрела сложные задачи на построение отрезков и примеры решения геометрических задач.

В представленной исследовательской работе получены следующие результаты:

 1) проведен анализ алгебраического метода решения задач на построение;  

2) рассмотрено решения задач с использованием данного метода;

3) выяснили, когда возможно построение отрезков алгебраическим  методом; 4) приведены подробные примеры решения задач алгебраическим методом.

Данный материал может использоваться в качестве основы для элективного курса в классах физико-математического профиля, а также  при подготовке к олимпиадам.

Геометрические построения могут сыграть серьезную роль в математической подготовке школьника. Ни один вид задач не дает, пожалуй столько материала для развития математической инициативы и логических навыков учащегося, как геометрические задачи на построение. Эти задачи обычно не допускают стандартного подхода к ним и формального восприятия их учащимися. Задачи на построение удобны для закрепления теоретических знаний учащихся по любому разделу школьного курса геометрии. Решая геометрические задачи на построение, учащийся приобретает много полезных чертежных навыков.

Список используемой литературы.

1. Аргунов Б. И., Балк М.Б. Геометрические построения на плоскости.- М.: УЧПЕДГИЗ, 1955. –269с.
2. Четверухин Н.Ф. Методы геометрических построений.- М.: УЧПЕДИЗ, 1952.-147с.
3. Василевский А. Б. Обучение решению задач.- Минск : «Выcшая школа», 1979 .-191 с.
4. Сканави М.И.Сборник задач по математики для поступающих в вузы.- К.: «Канон»,1997.-582 с.
5. Погорелов А. В. Геометрия.- М.:«Наука»,-288 с.
6. Александров И., Сборник геометрических задач на построение, изд.18, М.,1950.- 254с.
7. Глаголев А.Н., Сборник геометрических задач на построение, М., 1986.-243
8. Зетель С.И., Геометрия линейки и циркуля, М., 1950.- 308
9. Кушнир И.А. Решение задач с помощью некоторых формул// математика в школе .- 1985.-354с
10. Геометрия. Атанасян Л.С. 10-11 класс,
11. www.alleng.ru ;
12. www.math.ru;
13. http://sgpu-fmf.narod.ru;
14. www.geometria.ru/
15. www.a-geometry.narod.ru/